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ゆきひろもり
5 years ago
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1 < 演習 > 材料の機械的性質の解析 0. 材料の力学的性質を学ぶ理由 : 金属材料は比較的大きな強度を有しながら展延性に富んでいるそのため単に強度が高いというだけでなく様々な形に加工することが可能でありまた衝撃力等に対して脆く破壊する危険性も少ない靭性が高い ) このことが安全性と信頼性が必要な構造材料としての金属材料の有用性を際立たせており多量に使われている理由となっている金属材料は素材として製造する際に圧延鍛造線引き等の一次加工を受けるまた厚板薄板棒線材などの形状になったあと実際の製品とするために鍛造深絞り曲げあるいは切削などの二次加工が行なわれるそこで起こっていることはいずれも金属の塑性変形であるそして製品として用いられる場合機械設計段階で必ず材料の強度延性等が問題となるすなわち金属材料の変形の原理を知ることは構造材料として金属を用いるものにとって避けて通ることのできない課題である本講義演習 ) では材料のマクロな変形を弾性変形塑性変形に分けて論じ応力とひずみという基礎概念から実際の材料試験に即した知識までを概説する本演習の目的は材料の機械的性質の基本的概念を学び力学特性の実験的測定法を理解することである関連する講義材料科学実験 D 材料の変形と結晶の配向の決定材料科学基礎 1 結晶物性学金属材料学材料強度物性より詳しく学ぶための参考書 1) Materials Science And Engineering, An Introduction: by William D. Callister, Jr., John Wiley & Sons, Inc. 2) Mechanical Metallurgy, G.E.Dieter, McGraw Hill, 1987 ) Fundamentals of Metal Forming, Robert H. Wagoner, Jean-Loup Chenot, John Wiley & Sons, ) 材料の科学と工学 [2] 金属材料の力学的性質 W.D. キャリスター著入戸野修監訳培風館 5) 材料強度の原子論日本金属学会 ) 金属塑性加工学加藤健三丸善 ) 材料強度の基礎高村仁一京都大学学術出版会 ) 塑性の物理渋谷陽二森北出版 2011 講義情報および資料のダウンロードサイト宿題の WORD ファイルもダウンロードできます辻研ホームページ : 教育 2017 年講義 ) 教員連絡先材料工学専攻教授辻伸泰つじのぶひろ ) 工学部物理系校舎南棟 8F 828 号室 nobuhiro-tsuji@mtl.kyoto-u.ac.jp TEL 小池秘書貝瀬秘書 :825 号室 ) 1

2 1. 材料のマクロ変形の基礎 1.1. 材料の弾性変形と塑性変形応力破壊 B A 加工硬化降伏 C O ひずみ塑性ひずみ図 1.1 金属材料の典型的な応力ひずみ曲線弾性変形 Elastic Deformation)= 力が徐荷された場合時間的遅れなしに元の形に戻るような変形 σ = E ε 1.1) E : Young's modulus ヤング率縦弾性係数 )) τ = G γ 1.2) G : Shear modulus 剛性率横弾性係数 )) G = E 2 1+ ν ) 1.) ν : Poisson's ratio ポアソン比 ) 表 1.1 典型的な金属材料の弾性定数 Material E GPa) G GPa) ν Aluminum alloys Copper Steel plain carbon & low-alloy) Stainless steel 18Cr-8Ni) Titanium Tungsten 塑性変形 Plastic Deformation)= 力を徐荷しても残る永久変形 2

3 1.2. 応力とひずみひずみと回転仮定 : 連続体線形弾性論微小変形理論ひずみ成分の大きさが1に比べて十分小さい ) 図 1.2 変位 Displacement): u u 1,u 2,u ) 1.4) u が物体内のどの部分でも同一なら単に平行移動しただけ変形 u の場所による変化の議論変形勾配 Distortion): u i x j i, j =1,2, ) 1.5) 変形勾配の対称成分をひずみ Strain)εij 反対称成分を回転 Rotation) ωij と定義する対称化操作による変形勾配テンソルからの剛体スピン成分の除去 ) ε ij + ω ij u i x j ε ij 1 u i + u j 2' & x j x * i ) 1.6)

4 ω ij 1 & u i u ) j 2 ' x j x + i * 注 ) ひずみという場合工学せん断ひずみを用いる場合もある γ ij u i x j + u j x i = 2ε ij i j) 1.7) # ε 11 ε 12 ε 1 & ε ij = ε 21 ε 22 ε 2 $ ε 1 ε 2 ε ' ) u 1 1# u 1 + u & 2 1# u 1 + u &, +. + x 1 2$ x 2 x 1 ' 2$ x x 1 '. 1# u = 2 + u & 1 u 2 1 u 2 + u ) ε + # &. 11 ε 12 ε 1, = 2$ x 1 x 2 ' x 2 2$ x x 2 ' + ε 12 ε 22 ε # u + u & 1 1# u + u. & * + ε 2 u 1 ε 2 ε * 2$ x 1 x ' 2$ x 2 x ' x. - # 1 + u 0 1 u u 1-0 u.& - 0 # ω 11 ω 12 ω 1 & 2, x 2 x 1 / 2, x x 1 / 1 + u ω ij = ω 21 ω 22 ω 2 = 2 u u u , x $ ω 1 ω 2 ω ' 1 x 2 / 2, x x 2 / 1 + u u. 1 1 u - 0 u $ 2, x 1 x / 2, x 2 x / ' 1.8) 1.9) 一般に行列の対角成分の和 trace) は座標系の取り方によらない不変量 invariant) であるよって微小変形の場合 ε 11 + ε 22 + ε = 不変量 1.10) V + ΔV = V 1+ ε 11 ) 1+ ε 22 ) 1+ ε ) V 1 + ε 11 + ε 22 + ε ) 1.11) ε 11 + ε 22 + ε = ΔV V 1.12) ひずみ行列のトレース = 物体の体積変化率 4

5 応力力 force, load ) 表面力 traction ); 物体表面に作用体積力 body force ); 物体全体に作用電磁力重力 etc.) 外力が物体に作用すると物体は自ら変形することにより外力と釣り合う内力を生じる内力の分布状態は材料の形状寸法などにより変化するためひずみ局部的な変形 ) に対応する局所的な内力応力 Stress)) を定義する必要がある x x σ F = F1, F2, F) σ2 F σ1 σ2 A F2 x2 σ11 σ1 σ12 σ21 σ22 x2 F1 x1 図 1.. 図 1.4. x1 面力応力の定義 X = F A 1.1) 垂直応力 Normal Stress) σ F A 1.14) せん断応力 Shear stress) σ 1 F 1 A, σ 2 F 2 A 1.15) # σ 11 σ 12 σ 1 & σ ij = σ 21 σ 22 σ 2 $ σ 1 σ 2 σ ' # σ ii & # 0 0 σ 11 σ ii σ = 0 ii 0 + σ 12 σ 0 0 ii $ ' $ 静水圧 Hydrostatic) 成分 σ ii = σ 11 + σ 22 + σ ) σ 12 σ 1 σ 22 σ ii σ 2 σ 1 σ 2 σ σ ii 偏差 Deviatoric) 成分 & ' 1.16) 5

6 1.. 弾性変形における応力とひずみの関係線形弾性論 : フックの法則 Hooke's law) σ ij = C ijkl e kl 1.17) Cijkl: 弾性定数 Elastic Constant ) 弾性スティフネス Elastic Stiffness) e ij = C 1 ijkl σ kl 1.18) Cijkl -1 : 弾性コンプライアンス Elastic Compliance) 応力成分ひずみ成分が対称であること弾性ひずみエネルギーがひずみの 2 次形式で表されることから C ijkl = C jikl = C ijlk = C klij 1.19) よって独立な弾性定数は最大で 21 個結晶のように対称性が高い場合には独立な弾性定数の数はさらに減り立方晶では個等方体では 2 個の独立な弾性定数 Lame's constant:λ μ) があるのみで σ 11 = λ+2µ ) e 11 + λ e 22 +e ) σ 22 = λ+2µ ) e 22 + λ e +e 11 ) σ = λ+2µ ) e + λ e 11 +e 22 ) 1.20) σ 12 = 2 µ e 12 σ 2 = 2 µ e 2 σ 1 = 2 µ e 1 等方体の弾性定数としてはヤング率 E ポアソン比 ν 体積弾性率 Bulk Modulus)K なども用いられる外部応力として σ11 のみの一軸応力を付加した場合 E σ 11 e 11 ν e 22 e 11 e e ) 体積弾性率は静水圧 σ11=σ22=σ=σh の付加の下で以上の式より K σ 11+σ 22 +σ e 11 +e 22 +e ) σ H e ii 1.22) E = µ λ+2µ ) λ+µ ν = λ 2 λ+µ ) E = 2µ 1+ ν) 1.2) K = λ+2µ = E 1 2ν ) 6

7 1.4. 弾性ひずみエネルギー力 F k F 図 1.5. 伸びたバネに蓄えられる弾性エネルギー伸び x E S = 1 2 k x2 = 1 2 F x 1.24) 単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー弾性エネルギー密度 )E0 は E 0 = 1 2 C ijkl e ji e kl = 1 2 σ kl e kl 1.25) 一般に応力ひずみは場所によって異なるので体積 Vの物体に蓄えられる弾性ひずみエネルギー Eel は E el = 1 2 C ijkl e ji e kl dv = 1 2 V V σ kl e kl dv 1.26) 7

8 1.5. 降伏条件等方弾性体の降伏現象金属材料の塑性変形機構は一般にすべり変形であることから体積ひずみ変化 dεii=dε11+ dε22 + dε ) はほとんど無視することができる塑性仕事増分 dw は偏差応力成分 σ ij 圧力 P を用いて dw = σ ij dε ij = σ $ ij dε ij + P dε ij 1.27) 金属材料に対して提唱使用されている 2 つの降伏条件 1 Tresca の降伏条件 : 物体内で最大せん断応力が降伏せん断応力 χ) に達すると降伏する 2 von Mises の降伏条件 : 偏差応力の二次不変量 J'2) が一定値に達すると降伏する Taylor と Quinney の組み合わせ応力実験により妥当性が確認され塑性流動解析にも有用 von Mises の条件をと書くとよりとなる J " 2 = σ " x σ " y σ " y σ " z σ " z σ " x + σ xy 2 +σ 2 yz +σ 2 ) zx 1.28) σ # xx σ # yy σ # yy σ # zz σ # zz σ # xx = 1 6 σ xx σ yy) 2 + σ yy σ &' zz J " 2 = σ xx σ yy ) 2 + σ yy σ zz ) 2 + σ zz σ xx ) 2 + σ zz σ xx ) 2 )* 1.29) ) 2 +6 σ 2 xy +σ 2 yz +σ 2 ) zx = 一定 1.0) いま単軸引張り σ xx = Y 他の成分はゼロ ) を考えると J " 2 = 2Y 2 =const. 1.1) よって von Mises の条件は σ xx σ yy ) 2 + σ yy σ zz となるテンソル表記を用いると 1 $ 2 σ " ' 2 ij σ " & ij = Y ) ) 2 + σ zz σ xx と書けるため左辺を相当応力 σ と定義すると ) 2 +6 σ xy 2 +σ 2 +σ 2 yz ) = 2Y 2 = 6 χ 2 zx 1.2) von Mises の条件 = 相当応力が引張降伏応力に達すると材料は降伏するということができる 1.) 8

2017 H29) 担当辻伸泰１６材料試験による応力 -ひずみ曲線の測定前節で示したように応力とひずみは３次のテンソル量であるしかし我々は行列形式の複雑なテンソル量を直感的に理解することが難しい材料の機械的特性を数値として表し理解するために単純な変形様式を用いた材料試験が行われ応力

9 2017 H29) 担当辻伸泰１６材料試験による応力 -ひずみ曲線の測定前節で示したように応力とひずみは３次のテンソル量であるしかし我々は行列形式の複雑なテンソル量を直感的に理解することが難しい材料の機械的特性を数値として表し理解するために単純な変形様式を用いた材料試験が行われ応力ひずみ曲線が得られる用いられる単純な変形様式としては図１６に示す引張圧縮せん断ねじりなどがある図１６ a)引張 b)圧縮 c)せん断 d)ねじりこれらの中で信頼性ある応力ひずみ関係を得るためにもっとも良く用いられるのが引張試験 Tensile Test である典型的な引張試験機の構成を図１７に示す図１７典型的な引張試験機の構成 9

10 引張試験引張試験片 : 丸棒状板状 JIS で規定 JIS Z2201 ) 初期標点間距離 L 0 初期直径 D 0 の丸棒試験片初期断面積 A 0 = π D 0 2 / 4 ) の単軸引張試験を行い標点間距離が L となった時点直径が D) の垂直荷重が P だとすると公称応力 Nominal Stress): s P A 0 1.4) 公称ひずみ Nominal Strain): e L L 0 L 0 1.5) 真応力 True Stress): σ P A 1.6) 真ひずみ True Strain): 1.4) 1.7) より σ = s 1 + e また ε ln L L 0 = 2ln D 0 D 1.7) ) 1.8) ) 1.9) ε = ln 1 + e ひずみ速度 Strain Rate): ε = dε dt = 1 dl L dt v L p 1.40) L p : 各時刻における試験片の平行部長さ v: クロスヘッドの移動速度絞り Reduction in Area): φ A 0 A f A ) 10

11 公称応力 - 公称ひずみ曲線 a) 明瞭な降伏点降下 ) 現象 Yield Drop; Discontinuous Yielding) のある場合軟鋼など s σb M N: くびれ開始点 x 破断 σyu σyl E P e eu el ef 図 1.8 P: 比例限 E: 弾性限 σ yu : 上降伏応力 Upper Yield Stress) σ yl : 下降伏応力 Lower Yield Stress) σ B : 引張強さ Tensile Strength ) e u : 均一伸び Uniform Elongation) e l : 局部伸び Local Elongation) e f : 全伸び破断伸び ;Total Elongation) 注 ) 公称応力ひずみ曲線の最大応力点 M 引張強さを示す点 ) とくびれ開始点 N とは図 1 8に示すように厳密には一致しないが実際には M=N として均一伸びを求めることが一般的である b) 明瞭な降伏現象のない場合アルミニウムなど s σb x σ0.2 e e = 0.2 図 1.9 σ 0.2 : 0.2 耐力 0.2 Proof Stress; 0.2 Offset Stress ) 11

12 2017 H29) 担当辻伸泰ところで引張試験の途中で除荷を行なうと図１１０に示すように弾性定数の傾きに平行に左斜め下に曲線が推移し応力ゼロの地点のひずみがその応力での塑性ひずみを表すつまり降伏以降も材料の変形には負荷荷重に応じた弾性変形分が含まれることに注意しなければいけない図１１０除荷再負荷時の挙動図１１１には引張試験により得られる公称応力公称ひずみ曲線と真応力真ひずみ曲線との関係を模式的に示す図１１１公称応力公称ひずみ曲線と真応力真ひずみ曲線の関係 12

13 2017 H29) 担当辻伸泰１６２くびれの発展条件塑性不安定 Plastic Instability 引張試験中の試験片の外形変化を応力ひずみ曲線に対応させながら模式的に示したのが図１１２である引張試験においてはいずれ試験片のくびれ necking が生じ破断に至る図１１２引張試験中の試験片の外形変化の模式図ここで試験片のくびれが発展していくかどうかの条件を考察してみる F F A L A + da σ L + dl σ + dσ 図１１３変形が局所的に起こり長さＬなる領域のみがＬ+ dｌ dｌ０に変形し断面積もＡ + dａ d Ａ０に減少したとする一方加工硬化 Strain Hardening, Work-Hardening のためにこの領域をさらに塑性変形させるための応力が σ + dσ dσ ０へと増加したとするとくびれの進展する条件は 1

14 σ + dσ ) A + da) σ A A dσ + σ da ) 体積一定条件 AL = 一定 ) および真ひずみの定義より da A = dl L = dε 1.4) よってくびれの開始条件塑性不安定条件 ) は dσ dε σ 1.44) 左辺は加工硬化率 Strain Hardening Rate) である注 : 変形応力変形抵抗 ; flow stress ) がひずみ速度の関数であれば 1.44) 式の表現は異なるものとなる ) いずれにせよ加工硬化が大きいほどくびれは発生しにくく材料の塑性変形は安定に進行するまた塑性不安定点は均一伸びを理論的に導くものでもあり材料の強度だけでなく延性に対しても加工硬化 strain-hardening) が重要であることを示している変形応力の実験式 n 乗硬化則 Hollomon の式 ): σ = K ε n Ludwik の式 : σ = Y + K ε n Swift の式 : ) n σ = K B + ε 1.45) 1.46) 1.47) 14

1.6.4. 圧縮試験圧縮試験では治具と試験片の間の摩擦の影響が大なり小なり生じ材料中の変形は均一ではない潤滑の重要性図 1.

15 圧縮試験圧縮試験では治具と試験片の間の摩擦の影響が大なり小なり生じ材料中の変形は均一ではない潤滑の重要性図 1.9 I : 不変形領域 dead cone ) II : 主変形領域 III : 均一変形領域 s 圧縮 x 引張 e 図 1.10 引張試験圧縮試験により得られる公称応力 - 公称ひずみ曲線 15

力学的性質

力学的性質 Materials Science And Engineering, An Introduction: by William D. Callister, Jr., John Wiley & Sons, Inc. Mechanical Metallurgy, G.E.Dieter, McGraw Hill, 1987 Fundamentals of Metal Forming, Robert H. Wagoner,