数学類題にチャレンジ 資料の活用 資料の活用語句のまとめ 階級 資料を整理したときの つ つの区間のこと 階級の幅 区間の幅のこと 各階級の最大値と最小値の差 度数 各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと 度数分布表 資料をいくつかの階級に分け 階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと 階級値 度数分布表で 各階級の真ん中の値のこと ヒストグラム 度数分布多角形 ( 度数折れ線 ) 階級の幅を横 度数を縦とする長方形を並べたグラフのこと ヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだグラフのこと 左右の両端は度数が 0 の階級があるものとして線分で結ぶ ヒストグラム ( 人 ) 度数分布表 年 組通学時間時間 ( 分 ) 度数 ( 人 ) 以上未満 ~ ~ 0 ~ 8 ~ 計 8 0 8 度数分布 多角形 0 ( 分 )
各階級の度数の 全体に対する割合のこと 相対度数 相対度数 = 階級の度数度数の合計 代表値 資料の値全体を つの値で代表させ これを基準にして ものごとを考えたり判断したりすることがある このようなとき 資料の値全体を代表する値のこと 平均値 平均値 = 資料の個々の値の合計資料の個数 中央値 ( メジアン ) 最頻値 ( モード ) 範囲 ( レンジ ) 真の値 資料の値を大きさの順に並べたとき その中央の値のこと 資料の中で もっとも多く現れる値のこと 資料の最大の値と最小の値の差のこと そのものの本当の値のこと 近似値 測定して得られた値などのように 真の値に近い値のこと 誤差 近似値から真の値をひいた差のこと 誤差 = 近似値 - 真の値 有効数字 近似値を表す数で 意味のある数字のこと どこまでが有効数字であるかはっきりさせたいとき ( 整数部分が けたの数 ) (0 の累乗 ) の形で表すことがある 例 : 測定値 0g の有効数字が,, のとき 次のように表す. 0 g
数学類題にチャレンジ 資料の活用問題編 類題 下の表の空欄を埋めましょう 資料を整理したときの つ つの区間のこと 区間の幅のこと 各階級の最大値と最小値の差 各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと 資料をいくつかの階級に分け 階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと 度数分布表で 各階級の真ん中の値のこと 階級の幅を横 度数を縦とする長方形を並べたグラフのこと ヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだグラフのこと 左右の両端は度数が 0 の階級があるものとして線分で結ぶ 各階級の度数の 全体に対する割合のこと 資料の値全体を つの値で代表させ これを基準にして ものごとを考えたり判断したりすることがある このようなとき 資料の値全体を代表する値のこと 資料の値を大きさの順に並べたとき その中央の値のこと 資料の中で もっとも多く現れる値のこと 資料の最大の値と最小の値の差のこと そのものの本当の値のこと 測定して得られた値などのように 真の値に近い値のこと 近似値から真の値をひいた差のこと 近似値を表す数で 意味のある数字のこと
類題 右の図は, 小学校の男子生徒のボール投げの記録をヒストグラムに表したものです このヒストグラムからわかることとして正しいものを, 下のア~オの中から つ選び, その記号を書きなさい ( 人 ) 8 0 0 8 (m) ア 平均値は 9m より小さい イ 中央値含まれている階級の相対度数は 0. より小さい ウ 階級の幅は m である エ ボール投げの記録の分布の範囲は m より大きい オ 度数が である階級の階級値は m である
類題 下の表値は, ある中学 年生クラス 人の体重測定の結果です 8 8 0 9 7 8 9 ( 単位 :kg) 人の体重の中央値を求めなさい 右の表は, 上の結果の度数分布表です この表における 人体重の最頻値を求めなさい 体重が kg の生徒は, この 人のなかでは軽いほう重いほうのどちらですか またそう判断した理由を答えなさい 体重 (kg) 度数 ( 人 ) 以上未満 ~ 9 9 ~ ~ 7 7 ~ ~ 計
数学類題にチャレンジ 類題 ポイント資料の活用は 用語の確認 資料の活用解法 解答編 階級 資料を整理したときの つ つの区間のこと 階級の幅 区間の幅のこと 各階級の最大値と最小値の差 度数 各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと 度数分布表 資料をいくつかの階級に分け 階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと 階級値 度数分布表で 各階級の真ん中の値のこと ヒストグラム 階級の幅を横 度数を縦とする長方形を並べたグラフのこと 度数分布多角形 ( 度数折れ線 ) 相対度数 ヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだグラフのこと 左右の両端は度数が 0 の階級があるものとして線分で結ぶ 各階級の度数の 全体に対する割合のこと 代表値 資料の値全体を つの値で代表させ これを基準にして ものごとを考えたり判断したりすることがある このようなとき 資料の値全体を代表する値のこと 中央値 ( メジアン ) 最頻値 ( モード ) 範囲 ( レンジ ) 真の値 資料の値を大きさの順に並べたとき その中央の値のこと 資料の中で もっとも多く現れる値のこと 資料の最大の値と最小の値の差のこと そのものの本当の値のこと 近似値 測定して得られた値などのように 真の値に近い値のこと 誤差 近似値から真の値をひいた差のこと 有効数字 近似値を表す数で 意味のある数字のこと
類題 ア 正しい ( 平均値 ) = ( 階級値 ) ( 度数 ) の和 ( 度数の合計 ) で求めます ( 階級値 ) ( 度数 ) の和 = + + 0 8 + = 男子の生徒数 ( 度数の合計 ) は 人であるから, 平均値 = = 7. 9 となりま す イ 正しくない 記録が小さい方から 番目の生徒がいる階級を調べればよい 0m 以上 m 未満が 人 m 以上 8m 未満が 人だから, 記録が小さい方から 番目の生徒がいる階級は 8 m 以上 m 未満です よって中央値はこの階級に含まれます この階級の度数は 8 人だから相対度数は 8 =0. となります ウ 正しくない 階級の幅は - 0=m です エ 正しくない 分布の範囲は - 0 = m です オ 正しい 度数が である階級は,m 以上 8m 未満です この階級の階級値は m です 答えアオ
類題 中央値は軽いほうから 8 番目の生徒の体重だから k g です 答え k g 最頻値は, 7 k g 以上 k g 未満の階級の階級値 ( 真ん中の値 ) だから 9kg となります 答え 9 k g より 人の体重の中央値は k g で, この中央値と比較して考えます k g は 中央値より小さいので, 体重が k g の生徒は, この 人の中では軽いほうと いうことができます 答え軽いほう理由 : 中央値と比較すると中央値より軽いから
数学類題にチャレンジ 確率標本調査問題編 類題 次の各問に答えなさい () 本のうち当たりが 本入ったくじから, 同時に 本のくじをひくとき, 少なくとも 本は当たりくじである 確率を求めなさい () つのさいころを投げるとき, 目の数の和が の倍数になる確率を求めなさい () から までの数字を つずつ書いた 枚のカードをよくきり, 枚ずつ 回続けて取り出すとき, 枚 とも奇数である確率を求めなさい
類題 次の各問に答えなさい () ある工場で製造した製品の中から,00 個を無作為に抽出して品質検査をしたところ, 個の不良品 が含まれていた このことから, この工場で製造された 000 個の製品の中には, およそ何個の不良品 が含まれていると推定されるか求めなさい () ある湖にすんでいる魚の数を推定するために, わなをしかけて 0 匹の魚をつかまえ, これらの魚に 印をつけて湖に戻した 週間後に, 再びわなをしかけたところ,70 匹つかまり, そのうちの 7 匹に印 がついていた この湖にはおよそ何匹の魚がすんでいると推定されるか求めなさい () 袋の中に白い碁石がたくさん入っていて, その個数を数えるかわりに, 同じ大きさの黒い碁石 0 個を 袋に入れ, よくかき混ぜた後, 袋から任意に 0 個の碁石を取り出したところ, その中に黒い碁石が 個 含まれていた はじめに袋に入っていた白い碁石はおよそ何個と推定されるか求めなさい
数学類題にチャレンジ 確率標本調査解法 解答編 類題 ポイント樹形図に丸を付ける 解法 ( ) 当たりくじを,, はずれくじを,,, として樹形図をかき, 少なくとも 本は当たりくじの場 合に, 丸を付ける 9 よって, = 答え ( ) さいころの目の組み合わせを樹形図にかき, 目の和が の倍数になる場合に, 丸を付ける 9 よって, = 答え ( ) カードの組み合わせを樹形図にかき, 枚とも奇数である場合に, 丸を付ける よって, = 答え
類題 ポイント比例式を利用して解く 解法 () 不良品を 個とすると, 000:=00: = 答えおよそ 個 ( ) ある湖にすんでいる魚の数を 匹とすると, :0=70:7 =700 答えおよそ 700 匹 ( ) はじめに袋に入っていた白い碁石の個数を 個とすると, 袋の中と抽出した標本で, 白い碁石と黒い碁石の個数の比は等しいと考えられるので :0=(0-): =90 答えおよそ 90 個
SIEI ランクアップポイント 余事象の確率 余事象とはある事象 ( 事柄 ) に対して, が起こらないという事象 ( 事柄 ) のことです 例えば, さいころを 回ふるとき, の目が出るという事象 ( 事柄 ) に対する余事象は の目が出ないこと すなわち,,,, の目が出ることです ( ある事柄 が起こる確率 )+( ある事柄 が起こらない確率 )= ですから 直接求めにくい確率は, もう一方を求めて から引けばよいのです この余事象の確率の考えを用いる時のキーワードは 少なくとも ~ です 類題 の ( ) の問題では, 少なくとも 本は当たりくじ の余事象は 本ともはずれくじ ですから 本ともはずれ の確率を求めて から引けばよいのです 本ともはずれくじ は上の樹形図の 印です その確率は = なので 少なくとも 本は当たりくじ の確率は - = となります
数学類題にチャレンジ 関数問題編 類題 右の図で, 曲線は = のグラフです 曲線上に 座標 が - である点 と, 座標が正である点 をとります 直線 の傾きが であるとき, 次の各問に答えなさい () 点 の座標を求めなさい () O の面積を求めなさい O () 曲線上を, 座標が -<< の範囲で動く点 P を考えます ただし, 点 P は原点 O とは異なる点と します OP と OP の面積が等しくなるとき, 点 P の座標を途中の説明も書いて答えなさい その 際, 図を用いて説明してもよいものとします
類題 右の図で, 曲線は = のグラフです 曲線上に 座標 が - である点 と, 座標が正である点 をとります さら に, 軸について点 に対称な点を C とします 直線 の傾きが - であるとき, 次の各問に答えなさい C () 点 の座標を求めなさい O () 四角形 OC の面積を求めなさい () 点 と点 C の間を動く曲線上の点 P を考えます PC と CP の面積が等しくなるとき, 点 P の 座標を途中の説明も書いて答えなさい その際, 図を用いて説明してもよいものとします
類題 右の図で, 曲線は =- のグラフです 曲線上に 座標 が - である点 と, 座標が正である をとります 直線 の傾きが であるとき, 次の各問に答えなさい O () 点 の座標を求めなさい () 軸上に, 座標が -0 である点 C をとります このとき, C の面積を求めなさい () 曲線上を, 座標が > の範囲で動く点 P を考えます OP と P の面積が等しくなるとき, 点 P の座標を途中の説明も書いて答えなさい その際, 図を用いて説明してもよいものとします
数学類題にチャレンジ 関数解法 解答編 ポイント 関数は 交点の座標を求める ポイント 等しい三角形は 平行線 ポイント 放物線上の平行線は 座標の和が等しい 類題 詳しくは SIEI ランクアップポイント を参照してください 解法 ( ) 関数 = において,=- のとき = (-) = よって, の座標は (-,) 直線 の式を =+b とおき, 点 の座標を代入すると, =-+b これを解いて,b= よって, 直線 の式は =+ 放物線 = と直線 =+ との交点が点 なので, ポイント より = =+ この連立方程式から, 次方程式 =+ を解いて,=-, 点 の 座標は正の数なので, 放物線の式 = に代入して,= = よって, 点 の座標は (,) 答え (,) ( ) 直線 と 軸との交点を C とする () で求めた直線の 切片より, 点 C の 座標は なので,OC= 次に, O を OC と OC に分けて面積を求める いず れも辺 OC を底辺とする 点, の 座標から, OC の高 さは, OC の高さは よって, それぞれ面積は OC= =9 OC= =8 したがって, O=9+8=7 答え 7 C - O ( ) OP と OP において, 共通な辺は辺 OP よって, ポイント より //OP となるように点 P をとれば, OP= OP となる 点 P の 座標を p とおく ポイント より, 0+p=-+ これを解いて,p= = に 座標の を代入して, = = よって, 点 P の座標は (,) 答え (,) P - O p
類題 解法 ( ) 関数 = において,=- のとき = (-) =8 よって, の座標は (-,8) 直線 の式を =- +b とおき, 点 の座標を代入すると, 8=- (-)+b これを解いて,b= よって, 直線 の式は =- + 放物線 = と直線 =- + との交点が点 なので, ポイント より = =- + この連立方程式から, 次方程式 =- + を解いて,=-, 点 の 座標は正の数なので, 放物線の式 = に代入して,= = 9 よって, 点 の座標は (, 9 ) 答え (, 9 ) ( ) 点 C は点 と 軸について対称なので, 座標は (-, 9 ) 四角形 OC を OC と C に分けて面積を求める いずれも辺 C を底辺とする C=-(-)= 次に, 点, の 座標から, OC の高さは 9, C の高さは 8-9 = 7 よって, それぞれ面積は OC= 9 = 7 C= 7 = したがって, 四角形 OC= 7 + = 答え C - 8 O 9 ( ) PC と CP において, 共通な辺は辺 CP よって, ポイント より //CP となるように点 P をとれば, PC= CP となる 点 P の 座標を p とおく ポイント より -+p=-+ C これを解いて,p= = に代入して, = = P よって, 点 P の座標は (,) 答え (,) - - O p
類題 解法 ( ) 関数 =- において,=- のとき =- (-) =-9 よって, の座標は (-,-9) 直線 の式を = +b とおき, 点 の座標を代入すると, -9= (-)+b これを解いて,b=- よって, 直線 の式は = - 放物線 =- と直線 = - との交点が点 なので, ポイント より =- = - この連立方程式から, 次方程式 - = - を解いて,=-, 点 の 座標は正の数なので, 放物線の式 =- に代入して, =- =- よって, 点 の座標は (,-) 答え (,-) ( ) 直線 と 軸との交点を D とする () で求めた直線の 切片より, 点 D の 座標は - なので,CD=--(-0)= 次に, C を CD と CD に分けて面積を求める いず れも辺 CD を底辺とする 点, の 座標から, CD の高 さは, CD の高さは よって, CD= = CD= =8 したがって, C=+8=0 答え 0 - O - D -0 C ( ) OP と P において, 共通な辺は辺 P よって, ポイント より O//P となるように点 P をとれば, OP= P となる 点 P の 座標を p とおく ポイント より, -+p=0+ これを解いて,p=0 =- に代入して, =- 0 =- よって, 点 P の座標は (0,-) 答え (0,-) - O p P
SIEI ランクアップポイント 放物線と平行線 =a D C p r O s q 上の図で直線 の変化の割合 ( 傾き ) は a(p+q), 直線 CD の変化の割合 ( 傾き ) は a(r+s) なので 直線 と直線 CD が平行なとき,a(p+q)=a(r+s) となり, 両辺を a で割ると p+q=r+s つまり, 放物線上の平行線は 座標の和が等しい ということが成り立つのです
SIEI ランクアップポイント 放物線上の三角形の面積 =a S C r O q p 放物線 =a のグラフ上の, 座標が p,q,r である 点を頂点とする三角形の面積を S とすると, S = a(p-q)(q-r)(p-r) で求めることができます ( ただし,p>q>r とします ) これは, 放物線 =a のグラフ上に頂点がある三角形の面積は, ( 放物線の定数 ) ( 各辺の両端の点の 座標の差 ) で求められるということです