概要材料に外から力が作用すると応力が発生し それに見合った変形が生じる 変形が発生すると 材料に内力が発生し 内力は外力と釣り合い変形が止まる この応力と変形 ( 歪 ) の関係を本講座では復習する 学習の内容. 応力と歪. 真っ直ぐな軸に外力が軸方向に作用する場合 3. 真っ直ぐな梁の曲げ. 軸のねじり 5. 座屈 6. エネルギー法
第 章 : 釣り合いの状態力の釣り合いとモーメントの釣り合いを満たすことによる. 力の分解と釣り合い 釣り合うとはその方向の力の合計がゼロ ( 力が働いていないのと同じ ) 水平 垂直の両方とも釣り合う事により水平にも 垂直にも動けない 棒に方向が反対で 大きさが同じ力が作用している ( 偶力によるモーメント ) 力は釣り合っている 位置 ( 重心 ) は動かない モーメントは釣り合っていない まわる
. モーメントの釣り合い (O 点回りに回転させようとする力の成分 ) O 点回りのモーメント M 大きさ : rf ( ベクトル ) r ( F sin ) ( rsin ) F 偶力モーメントが働く場合 O 点回り Mo pf ( p c) f cf p f c=a+b a b C 点回り Mc af bf cf O C 釣り合うためにはこれと反対のモーメントが必要 B f 点 B 点でも同一の値 つまり剛体全体に同一のモーメントを発生させる どの点も cf のモーメントで自転しようとする 3
3. 外力と内力 基礎コース 棒を長手方向に左右に外力を作用させる すると左から作用させた力と右から作用させた力で釣り合う 仮に材料の仮想面で考えると 力は棒の内部では同じ面の右向きの面には右向きの 左向きで考えれば左向きの力が作用している このように面と直角に作用する力を軸力 材料をはさみで切る時のような 仮想面に面と平行な力が作用する力のかけ方がある このような力を剪断力という
. 応力とひずみ ここから 考え方だけでなく 数値が導入されます -. 垂直応力 σ(n/m ) / 垂直応力 : 応力とは面積当たりの力を示す つまり 単位面積当たりどの程度の力が作用するかで考える 面に直角に作用し 正 ( 負 ) のほうを向いた面に正 ( 負 ) の力が加わると 正の応力 あるいは引張力を正の応力とする 正 ( 負 ) のほうを向いた面に負 ( 正 ) の力が加わると 負の応力 あるいは圧縮力を負の応力とする 演習 : 60Kg の人が cm の鉄の棒にぶら下がった 応力は? Kg=9.8N. 5
-. 垂直歪 軸力を作用させると内力が発生し材料は伸びる ( 圧縮なら縮む ) もとの長さが倍なら力が同一でも倍伸びる 従って伸びの長さではなく 伸び量が元の長さの何パーセントかで歪を表す 垂直歪 歪は軸力を倍にするとバネと同じく 倍伸びる 外力が倍でも断面積が倍なら応力は同じ 垂直応力を倍作用させると垂直歪も倍になる つまり比例する その比例定数を で示しヤング率 ( 縦弾性係数 ) と言う これをフックの法則と言う x x F x x 応力と歪で考えることにより 長さ ( 形状 ) とか断面積 ( 太さ ) を考えることなく 材料の種類だけ考慮すればよい 6
-3. ポアソン比 軸方向に引張力を作用させる 軸方向は伸び それと直角方向は縮む 軸方向の歪 ( 数値は正 ) x 0 0 直径方向の歪 ( 数値負 ) y d d d 0 0 両歪の比をポアソン比と呼び y x 通常ポアソン比は 横歪の少ないガラスなどの 0. 位から体積変化しないゴムなどの 0.5 位であり 鉄などは約 0.3 程度である 圧縮力の時も歪の符号が変わるだけで上の式は成立する 7
-. 剪断応力と剪断歪 離れた面積 に剪断力 が作用している すると単位面積当たりの剪断力 ( 剪断応力 ) は この力が働くことにより 四角であった断面は λ だけ菱形に変形する この変形量 λ を で割り単位長さ当たりの変形量 ( 剪断歪 ) を求める ここで 変形量は小さいのでと思って構わない 今 γ と τ は比例し その比例定数を横弾性係数 G とする tan G と G と ν の間には以下の関係があることが後で分かる G ( ) 8
-5. 応力歪線図 基礎コース 軟鋼と硬鋼を軸方向に引っ張った時の応力歪線図を示す σ : 比例限界 σs : 降伏応力 ( 軟鋼特有 ) σb : 引っ張り強さ σy : 0.% 耐力 (0.% の永久歪が残る応力 ) : ヤング率 ヤング率 : (Ga) ポアソン比 :ν (%) 降伏応力 :σs または 0.% 耐力 σy (Ma) 引っ張り強さ :σb (Ma) 軟鋼 00~0 0.3 00~0 350~50 硬鋼 00~0 0.3 60~380 50~550 合金 70~75 0.3~0.33 0~30 0~60 耐力より大きい応力が作用する場合 材料に塑性変形発生 それを通常 壊れた と言う 9
-6. 許容応力と安全率 機械の設計を行うとき 変形や破壊は具材にどのような応力が働くかによる 材料欠陥 応力集中 繰り返し荷重等により作用させうる荷重が決まる この荷重を許容応力と呼ぶ これに対して設計基準強度 ( 例えば引っ張り強度 降伏応力 あるいは疲労限度など ) が何倍になっているかを安全率 S で表す S=( たとえば引っ張り強さ )/( 設計上材料に作用する最大応力 ) 演習. =0Ga F=5000N L=00mm 直径 0mm. 応力 歪 伸び λ を求めよ 答え : σ=63.7ma ε=0.000303 λ=0.0606mm 0
5. 応力と変形の取り扱い左の様な外形のものに外力が作用する 材料は で =70Ga 長さ全体の伸びを求める / 添字 での断面積はよって応力 歪 伸びは同様 添字 の部分では よって 全体の伸びは ) ( 0 09 0.05 0. 0.03 0. 0 70 0 6 6 9 3 m 基礎コース
サンブナンの原理 基礎コース 上記計算では サンブナンの原理が成立すると仮定して計算されている サンブナンの原理とは円形の断面は円形のままで かつワーピング ( 平らだった面が平らでなくなること ) しない事を言う これは 太い部分と細い部分の結合部の様な所では 太い部分の中央部のみが右に引っ張られ外周部より変位が大きく 厳密には平らではない しかしこのような現象は 結合部から少し左の部分では 面全体に同一の応力が作用し面の平らが保たれる と考えるのである
積分を用い 慣れる 長さ 断面 の棒の下に質量 M が吊るされている 棒のヤング率 密度 ρ 重力加速度 g として 棒に生じる最大応力 および棒全体の伸びを求めよ 自重は無視できない 図のように座標 x をとる xまでの棒の質量は ρx. xにおける荷重と応力は ( x) ( M x) g ( x) ( x) よって最大応力は x が最大の で生じ max 基礎コース M M xg g また x において σ(x) の応力が作用し dx の長さに対し dλ だけ伸びるとすると x での歪は ( x) d dx d ( x) dx ( x) dx g M xdx 3
積分実行この伸びをx=0からx= まで足し合わせる ( 積分する ) g M g M d xdx 0 0 と全体の伸びが求められる
5 6. 棒の伸びに関する不静定問題既に示した左の問題を考える 添字 両方の部分の応力と歪 ( をかけると伸び ) を求める / 添字 での断面積はよって応力 歪 伸びは同様 添字 の部分では よって 全体の伸びは と各部の力の釣り合いから応力と歪が決まる これを静定問題と言う 基礎コース
これに対し 以下に示すような問題を不静定問題と言う 基礎コース 左のような 3 本の棒でできていて 一本がヤング率が異なる これをらをまとめて荷重 で引っ張る 各棒の応力と伸びを求めよ 今 棒を上から 3 と呼ぶ 各棒に作用する力を 3. 内力を応力で 応力と歪の関係 フックの法則 外力と内力の釣り合い 3 3 ( ) 3 3 -() -() -(3) ここで歪は 3 本の棒全てで同じという条件が適応されている このように力の釣り合いだけではその位置 ( この場合 棒 ) の力 ( 応力 ) が決められず 歪 ( 曲げなら傾き角 ) などの条件を必要とする問題 = 不静定問題 歪が同じなら 3 -() 6
7 ) ( ) ( -(5) これなら () 式に入れ歪が求められる 3 歪が分かれば () 式より軸力が分かる ) ( ) ( 3 応力は断面積で割り ) ( 全体の伸びは歪よりと求められる 基礎コース
8 演習問題 ( 教科書の演習問題 7.) 太さの異なる区間の段付き棒がある 太さが変わるところに が作用する ヤング率は一様に 区間 に作用する応力と作用点の変位を求めよ () 0 0 () ) ( ) ( ) ( () と () を連立させ 略解 : 基礎コース
7. 熱応力 温度変化が比較的小さい範囲では棒の伸びの間に 0 0 0 T 0 と温度変化 の関係がある このを熱歪といい を線膨張係数という 基礎コース T 鉄 ( 炭素鋼 ) では.0 5 (/ K) 程度で m のものが 00 度温度上昇すると. mm伸びることとなると覚えると覚えやすい アルミは倍強 銅はその中間です 従って この温度によって部材の伸びが発生しても 周囲のものに外力を発生させないように設計する必要がある 9
演習問題 ( 教科書の例題問題 8.) 0 00 直径 =0mm の左図のような棒が0 =00Ga から00 度に温度上昇した 両脇がベア α=μ/k リングで固定されていると棒に生じる熱 =00mm 応力はいくらか 両脇が固定されているので 温度で伸びる歪と両脇からかかる外力による歪が同じにならねばならないという条件が必要になる不静定問題となる 略解 熱歪 + 弾性歪 =0 弾性歪 =-( 熱歪 )=-αδt T 760 6 000 76Ma 9 よって棒内部に発生する熱応力は 0 6 (00 0) 圧縮 ( 軟鉄の比例限界に近い ) 0
8. トラス構造物 骨組み構造物 - トラスとラーメンに分けられる トラス ー部材の間がピン指示で 回転に抵抗が発生せず 軸力のみが発生する ラーメンー部材の間が溶接や金具で固定されていて 回転に対して抵抗が発生し典型的な不静定問題となり大規模な連立方程式を解く必要が発生する ここでは トラスを考え 力の釣り合いだけで部材の軸力が求まるつまり 歪と応力が求まる静定問題と 力の釣り合い式より未知数が大きく トラスの変形を考慮する必要のある不静定問題の例題を示す
演習問題 3( 教科書の例題問題 9.) 本の部材は C 点で壁にピン止め 長さは 本とも =000mm 直径 0mm. ヤング率 =0Ga. Θ=30 =5kN. 部材の伸びにより変化する θ の量は無視できるとする 部材の伸び量と B 点での真下方向への変異量を求めよ 略解 左右対称なので と C 方向へ引っ張る力 Q は同じである よって B 点での垂直方向つり合いより Qsin Q sin 作用する力 応力 歪 部材の伸びがわかる 部材の応力歪は分かり 静定問題 Q S S sin Ssin
3 以上で部材の伸びは分かった よって部材の伸びが元の長さに比し小さいなら θ は不変 従って図のように考えることができる これは幾何学上この関係が成立するということで つり合いとか未知数とかとは関係がない ) 63.7( sin ) 0.606( sin sin sin sin Ma mm S 基礎コース
演習問題 ( 教科書の例題問題 9.3) B θ θ F C 3 本のトラスでできた構造物を考える 寸法は左のようである 部材は丸棒で直径 ヤング率 とする 部材に生じる応力と F 点の真下方向変異を求めよ 略解 FCF にはたらく力 Q BF にはたらく力 Q とすると Qcos Q () 釣り合い式はこの一本 未知数は Q Q の 個 解けない 従って 変形に関する条件式を導入する
cos 幾何条件 () F CF 具材の長さここで伸びと荷重の関係は Q cos cos Q (3) を () に代入 Qcos () と () を連立で 今度は解ける 応力は 断面積で除し cos 3 cos cos 3 ( cos ) (3) Q () cos Q Q (5) 3 3 ( cos ) (6) 鉛直方向変位 δ は Q ( cos 3 ) (7) 5