1/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 5 重積分と面積分 Ⅰ. 重積分 と で 回積分することを 重積分 といいます この 重積分は何を意味しているのでしょう? 通常の積分 (1 重積分 ) では C d 図 1a 1 f d (5.1) 1 f d f ( ) は 図形的には図 1a のように面積を表しています つまり 1 f ( ) を高さとしてプロットすると図 1a のような曲線 C ができます そのとき 図 1a では = f ( ) (5.) となります ( 微小 ) 長方形は 高さ f ( ) = (5.3) 底辺 = d (5.4) なので f ( ) d (5.5) は微小長方形の面積であることがわかります 積分により 1 f d (5.6) は 上辺を曲線 C 底辺を 軸とする 平面図形の面積であることがわかります では (5.1) に対応した 重積分は 1 1 d df (5.7) 図形的には何を表すでしょう? そこで f を高さとしてプロットしたら図 1b のような曲面 f (, ) 1 図 1b 1 dd ができた
/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 とします そのとき 図 1b では = f (5.8) となります ( 微小 ) 四角柱は 高さ f (, ) = (5.9) 底面積 = dd (5.1) なので f (, ) dd (5.11) は微小四角柱の体積であることがわかります 積分により 1 1 d df (5.1) は 上面を曲面 上での曲がった四辺形 底面を 平面上での長方形とする 立体の体積であることがわかります 面積分も 重積分で (5.7) Ⅱ. 面積分 : 平面上 1 1 d df 体積 :V と表します ところで d dd は微小面積 1 d ですが これ以外にも考えられる微小面積があります そ 1 d 1 こで 図 a のような体積 V の直方体を考えてみます 面 の方向と面の名前は 図 a 方向 平面 ( の順番 ) d 方向 平面 ( の順番 ) 平面 方向 平面 ( の順番 ) 平面 平面のような関係があることがわかります それぞれの面に微 d 小面積があり 図 b を参考に d 方向 平面 dd ( の順番 ) 方向 平面 dd ( の順番 ) 方向 平面 dd ( の順番 ) と計算できます dd 以外に dd, dd が丁度 3 つ現れるので この 3 つをまとめて微小面
3/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 積ベクトル d : d = ddi + ddj + ddk (5.13) として導入します ここで 面の方向 d は面に垂直なっているので注意しましょう d を用いた積分を得るために 面を通過する流体の量を求めたいと思います 例として 図 c のように流体が図 b + d 速度 v で 面を 方向に通過 している場合に 単位時間 (1 秒間 ) の微小通過体積 方向微小通過体積 =v dd (5.14) d + d + d d 同様にして 面を 方向 面を 方向の単位時間の微小通過体積は 方向微小通過体積 =v dd (5.15) v [m/s] d dd [m ] 図 c 方向微小通過体積 =v dd (5.16) になります 従って 全方向の微小通過体積 つまり 流体の単位時間の微小量は d d v dd + v dd + v dd (5.17) になります ここで v = v i+ v j+ v k : v, v, v (5.18) d = ddi+ ddj+ ddk : dd, dd, dd (5.19) を用いると 1 1 1 v dd + v dd + v dd = v i idd + v j jdd + v k kdd ( v v v ) = i + j + k ddi+ ddj + ddk = v d とわかります 従って 流体の単位時間当りの全通過量は dd の項は d や d 等と 回積分 ( 重積分 ) して (5.) v d = v dd + v dd + v dd (5.1) となります 図 a より積分範囲を明示すると 積分範囲としてわかるような表記 : 1 v dd + v dd + v dd ですが, の 1 1 1 1 1
4/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 1 単位時間当りの全通過量 = v d = d dv + d dv + d dv (5.) 1 1 1 1 1 をして積分を計算することになります これを速度 v 以外の一般的なベクトル A :( A, A, A) にも拡張でき 1 d = d da + d da + d da A (5.3) 1 1 1 1 1 の面積分を得ることができます 実際に A を計算するには d da ( ) + d da( ) + d da d 1 1 1 1 1 1 を用いる というルールができます ( 積分は直交座標 d, d, d 以外にも極座標 d, dθ, dφ なども使います ) また 暗黙の了解として のかわりに を用いて ( d ) d A = A (5.4) と表記される事もあります Ⅲ. 面積分 : 曲面上 今度は 平面上の積分 曲面 上の積分 を考えます 被積分関数を g(, ) として 関数 g(, ) を曲面 上で積分 します 曲面は曲がっているので 微小面積は平面用の直交座標での dd のように簡単に表せません そこで 微小面積をあらわす記号として d を用います 後ほど (5.19) を使った d = d d = ddi+ ddj+ ddk (5.5) になることがわかります 平面 ( d = ) では d = dd 平面上 (5.6) です 従って (5.1) は d df (, ) = f (, ) d ( : 平面 ) (5.7) 1 1 と表示されます さて 積分
5/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 ( : ) g d 曲面 (5.8) は 曲面 上で行うので その変数は曲面 上にあり (5.8): f (, ) = を満たします 図 3a には 重積分 ( 図 1b と同じ ) と面積分の違いを示してあります 違いは の値の違いとして現れ 重積分 : 平面 = 上での積分 ( 図 1b) f (, ) 1 重積分 1 d = dd g (, ) 1 図 3a 面積分 1 d 面積分 : 曲面 f (, ) = 上での積分 になります ( 図 3b) つまり 違いは 面の種類の違い に帰着します どちらも 重積分なので この違いを吸収した式で表してみます 違いを吸収した式では 同じ関数名として h を用い この関数名 h を読み替えてそれぞれの積分に一致させます 積分に現れわれる座標, 以外に 図 3a,b には座標として 座標もあるので 関数も拡張して 座標を含めます つまり 重積分 : = 上 重積分図 3b 面積分 f ( d, ) h (,,) d (5.9) 面積分 : f (, ) = 上 (,, (, )) g d h f d (5.3) = = f (, ) d = dd d のように同じ関数 h(,, ) を用いて表すことになります 読み替えは 平面上 での重積分 ( = ) 上での重積分 ( ) = : = h,, = f, h(,, ) d = : 曲面 f, h,, f, g, (5.31) です 計算できるかどうかは別にして (5.31) はどんな曲面 も指定できます 次に 平面を残りの面 : 平面 (,, ) ( h dd と表示します 残りの面 面 平面上なので (5.6): d ることを目指し (5.3) の h h にして 平面に拡張するため 面を と変更し 面の寄与を集めて h = ( h, h, h) (,, ) + (,, ) + (,, ) = dd が成り立っている ) (5.3) とベクトルにまとめ h dd h dd h dd (5.33)
6/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 とすれば (5.33) は (,, ) + (,, ) + (,, ) h dd h dd h dd h d ( (,, ) (,, ) (,, ) ) = h i + h j + h k ddi+ ddj + ddk = h d に等しいので これが平面上の積分 : d ( : 平面上 ) h になります 形式上 を曲面上に替えることで 曲面上の面積分 : d = 面が決められているので h h = = ( d : 省略形 ) ϕ(, ) : h( ) h,, ϕ(, ) (5.34) (5.35) が得られます 従って (5.4) は ( d : ) d A = A 省略形 ( 面積分 ) (5.36) と表記して計算することになります 特に 面が閉じているとき 閉じている記号として を 用いた積分記号 を用いて ( d : ) d A = A 省略形 ( 面積分 : 閉じた面 ) (5.37) と表します ( 例は Ⅵ. 球面上の面積分 : 閉じた面で取り扱います ) Ⅳ. 面積分 : 平面上と曲面上 曲面を指定しないと曲面上の面積分が計算できません 面を決めるのに 3 微分ベクトル -Ⅰ. 一般曲面と微分ベクトルでは (,, ) f = c = 一定 (5.38) の条件を使用しました 例としては 半径 の球面では f (,, ), c ます 一方 (5.8) は = + + = を満たし = f (5.39) としました 球面の例では + + = =± なので 例えば f = (5.4) です ここで (5.39) で (5.38) と同じ関数名 f が用いられているので 改めて (5.39) の関数名をϕ として表し (, ) = ϕ : 曲面を表す (5.41)
7/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 とします そのとき (5.38) は (,, ) = ϕ (. ) f f (,, ) = c c = (5.4) と当たえられます さて 曲面上の微小面積の大きさはベクトル d の大きさです d の大きさを d と表すとき ( dd) ( dd) ( dd) ( dd) d = d = dd + dd + dd = + + dd (5.43) 1 d d = 1+ + dd d d d d : こちらが大きい d > dd 従って d > dd (5.44) dd dd 図 4a です この関係は図 4a よりも明らかです 面 上で (5.41) より ϕ (, ) = を満たしているので d ϕ = d d ϕ = d と計算され (, ) (, ) (5.45) (, ) ϕ(, ) ϕ d ( = d ) = 1+ + dd (5.46) として与えられます 従って A( ) と d のなす角度を θ ( ) とする 角度 θ は曲面の場所 によって違うかもしれないので θ ( ) となる の角度 θ を用いて内積 A( ) d が計算でき = cosθ = A d A d A cosθd 図 4b A( ) d (, ) ϕ(, ) ϕ = A( ) cosθ ( ) 1+ + dd (5.47) D dd
8/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 より 図のように 平面上の領域を D とすると となります (, ) ϕ(, ) ϕ A( ) d = A( ) cosθ ( ) 1+ + dd (5.48) D 体積は 重積分により 1 1 Ⅴ. 例 : 半球の体積と 重積分 d df (5.49) で計算できます 実際に体積を計算できる事を見るために 図 5a の半径 の半球に適用してみます 球上の点 (,, ) は + + = を満たします 従って f (, ) = を計算す 図 5a = ると =± なので 図 5a の半径 の半球 ( 北半球 ) d d は を用いて = 従って ( ) f = 内が正か (5.5) となります 体積は 積分値を I として (5.49) より (5.51) 1 1 I = d d と与えられます この積分値は半球なので 球の体積 の 1/ なので I 3 3 = (5.5) です (5.51) を積分してこの答えになれば 半球の体積が計算できる事になります 積分範囲を決めないといけませんが まず を最初に積分する とき はからまで増加すします そのとき を与えた ときに の最大値は 図 5b より なので 積分範囲は (5.53) + = 図 1b
9/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 となります 従って (5.51) は (5.54) I = d d と与えられます (5.54) の計算方法は 媒介変数 θ を使います まず があるので 三角関数 sinθ を使って θ = θ を利用してをはずす 1 sin cos という手法です そこで なので = sinθ d = dθ cosθ = cosθ θ d d θ cosθdθ cosθ ( ) (5.55) I = d d = d = d cos θdθ になります 三角関数の積分 cos θdθ は 三角関数の 乗 ( cos θ ) の積分はできない 三角関数の 1 乗の積分はできる ので 公式 cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1を利用して (5.56) 1+ cosθ cos θ = (5.57) を利用します つまり 1+ cos 1 1 1 1 θ 1 cos θ d θ = d θ = d θ cos θ d θ θ sin + = + [ ] [ θ ] 1 1 sin = 1 = sin sin [ ] + 4 = + = (5.58) となる (5.56) は ( ) cos θdθ ( ) (5.59) I = d = d n と計算できます の積分は 公式 d= ( = 1) n+ 1 n + 1 を利用して
1/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 n = n= 1 3 I = [ ] d= d d = 3 (5.6) 1 3 3 3 3 = ( ) ( ) = 3 3 6 4 = = = 3 3 3 3 3 3 になります 従って (5.5) と計算できました Ⅵ. 例 : 半球の体積と球面上の面積分 重積分と面積分の違いをみるために 図 6a のように (5.51) を半径 の球面上での積分 : 1 1 (5.61) I = d d I = d = 図 6a を実行します (5.46) を用いると (, ) ϕ(, ) ϕ I = d = 1+ + dd (5.6) になります ここで 1, = ϕ = = (5.63) ϕ なので (, ) ϕ と (, ) ( ) ( ) を計算でき n X n1 1 = nx n= X 1 1 1 = ( ) ϕ, 1 = = ( ) 1 1 = ( ) ( ) = = 1 1 ϕ (, ) ( ) = = にて = にて = = 安江正樹@ 東海大学理学部物理学科 X = (5.64) d = dd
11/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 より 1 1 I = d = + + dd = + + dd = dd dd d = + + = = d (5.65) になります 図 6a より なので dd は平面に描かれた半径 の円の面積 半径の円の面積 (5.66) dd = = とわかる 従って 3 dd (5.67) I = = = と計算できました 以上から 半球の体積は = = 3 3 d d 3 球面上の面積分曲面 平面上の面積分平坦面 (5.68) のように比較できます ( 問題 1: 球面上の面積分のほうが大きいのは どの式が原因か?) Ⅶ. 例 : 球面上の面積分 : 閉じた面 A 閉じた面上の積分 (5.37): d を計算してみましょう 代表的な閉じた面として 半径 R の球面から一定の速度 v で放出される流体の単位時間の全通過量 Q を求めてみます 積分は (5.) で与えられますが 球面が閉じているので Q= v d (5.69) 図 7a dφ と表記されます 球面なので d を求めるために (5.13) の直交座標系表示ではなく図 7a のような極座標系表示を使います その時の単位ベクトルは 図 7b に示す極座標 (,, ) θφ の値が増加する方向で ˆ, ˆ θ, ˆ φ と 記述する であり 球面は曲がっているので 球面の方向は 球面に接する平面 ( 接平面 ) の方向 として与えます 例として 図 7a には南極に接する平面 ( 接平面 A ) を描いてあります 南極を指すベクトル R と接平面 A は なの φ θ dθ R φ θ R R R = R θˆ 接平面 A ˆ 7b φˆ
1/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 で 南極での面の方向はベクトル の方向と一致することになります 同様にして ベクトル R に接する平面の方向はベクトル R の方向と一致 します d の方向は面の方向なので d = 微小面積 R の方向 (5.7) と計算されます R の方向 は単位ベクトルで表わすことができるので 図 7c より その単位ベクトルは ˆ であり R と R の長さ を使って d ( ) R ˆ 図 7c ( θφ) ˆ = = R の方向は,, 座標では,, (5.71) になります 微小面積 は 図 7a の dφ と dθ で決められる球面上の微小面積で dθ φ θ R dφ R = R Rsinθ dφ dθ R Rsinθdφ Rdθ dθ dφ 長方形の面積 図のように計算でき 長方形の面積 = Rdθ Rsinθdφ = R sinθdθdφ (5.7) になります ( 問題 : 図を元に (5.7) の導出過程を説明せよ ) これより (5.7) は d = 微小面積 Rの方向 = R sinθdθdφ (5.73) と計算できます 従って ˆ = v = v sinθ θ φˆ = v ˆsinθ θ φ (5.74) Q d R d d R d d v は一定なので Q R ˆsinθdθdφ v ˆR dφ sn i θd = v = θ (5.75) です ( 問題 3: θ と φ の積分範囲の説明をせよ ) ここで v の極座標 (, θ, φ ) の成分を ( θ φ ) v : v, v, v と表すと v ˆ = (5.76) になります さて (5.75) の dφ sinθdθ の積分を計算するために まずθ の積分は三角関数の積分公式 sinθdθ = cosθ + C, cosθdθ = sinθ + C (5.77)
13/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 を用いると sinθdθ = [ cosθ + C] = cos + C ( cos + C) = ( 1) ( 1) = (5.78) 次に φ の積分は [ φ] dφ = = (5.79) と計算できます 従って 以上から φ θ θ dφ sinθdθ Q= v ˆ R d sin d = v R = v R = 4 R v (5.8) Q= d = 4 R R ( 半径の球面上の面積分 ) v v (5.81) と計算できました 結果 (5.8) は 4 R が球の表面積なので Q = 球の表面積 v (5.8) になっています 実は 球面上では が導かれ d R sinθdθdφˆ 4R ˆ = = (5.83) ˆ ( 半径の球面上の面積分 ) d = 4 R R (5.84) になる事が分かります Ⅷ. 例 : 極座標の単位ベクトル 最後に (5.19) の代わりに 極座標の単位ベクトル ˆ, ˆ θ, ˆ φ を使用して d = dθdφˆ + dφd ˆ θ + ddθ ˆ φ : dθdφ, dφd, ddθ (5.85) と表記されます そこで ˆ, ˆ θ, ˆ φ をもとの i, j, k で表してみよう まず より = i+ j+ k = ˆ = + + (5.86) + + ˆ = i j k (5.87) がわかります 一方
14/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 = cosφ sinθ = sinφ sinθ = cosθ (5.88) より i + j + k cosφ sinθi+ sinφsinθ j + cosθk ˆ = = = sinθ cosφi+ sinφj + cosθk と計算できます (5.89) θˆ ˆ φˆ 図 8a 次に 残りの ˆ θ, ˆ φ は 共に ˆ と直交する条件 : ˆ θ ˆ=, ˆ φ ˆ= (5.9) から求められます ( 問題 4: 何故 直交する条件 が (5.9) で与えられるか?) 図 7a より ˆ φ は平面上での方向を示すことがわかるので ˆ φ は i, jで表さられ ˆ φ = ai+ bj (5.91) と書けます (5.9): ˆ φ ˆ = は ˆ φ ˆ = ai+ bj sinθ cosφi+ sinφj + cosθk = acosφsinθ + bsinφsinθ = cosφ+ sinφ sinθ = ( a b ) (5.9) なので acosφ + bsinφ = より acosφ = bsinφ 従って a=ksinφ a: b=sin φ:cos φ ( k: 比例係数 ) (5.93) b = kcosφ と計算できます (5.91) は ˆ φ = ai + bj = k sin φi + cos φ j (5.94) 比例係数 k を決めるため 単位ベクトルの大きさは 1: ˆ φ = 1 を使います ˆ φ の大きさ ˆ φ は ( φ φ) ˆ sin co s φ = a + b = k + = k = k (5.95) なので k = 1 (5.94) は ˆ φ = sinφi+ cosφ j (5.96) と与えられます 残りの ˆ θ は ˆ θ = 1で ˆ θ ˆ =, ˆ θ ˆ φ = より ˆ θ = cos θ cos φi + sin φj sin θk (5.97)
15/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分で与えられる事が分かります ( 問題 5: ˆ θ ˆ =, ˆ θ ˆ φ = を証明せよ ) 以上から ˆ = sinθ cosφi+ sinφj + cosθk ˆ θ = cosθ cosφi + sinφj sinθk ˆ φ = sinφi+ cosφj (5.98) と計算できました これを答えの分かっている場所でチェックします 図 4b では θ =, φ = の点での ˆ, ˆ θ, ˆ 図 8b φ を示しています 図 8b から分かるように ˆ 軸方向 ˆ= i θ =, φ = ˆ θ 軸方向 ˆ θ =k (5.99) ˆ ˆ ˆ φ 軸方向 φ = j θˆ なので (5.98) に θ =, φ = を代入した式と一致する事が分かりま す ( 問題 6: θ =, φ = のとき (5.98) を計算し (5.99) に一致する事を示せ ) θ = φ = ˆ φ