いざな複素数平面への誘い GRS による複素数平面の表現 複素数平面への第一歩 - 複素数モード - 点と複素数 -3 複素数の四則演算 -4 絶対値と偏角, 共役複素数 -5 絶対値と偏角による複素数の表現 複素数平面の変換 4 - 回転移動と相似拡大 - 直線 に関する対称変換 -3 単位円に関する反転変換 -4 複素数平面の変換と曲線 3 入試問題に挑戦 6 3- 陰関数を利用した図形の表示 3- 点と曲線の利用 3-3 一次分数変換と相似 4 複素数と関数 8 4- 複素数の関数 4- 陰関数 定義関数での複素数の扱い ug / 0 大阪教育大学附属高等学校平野校舎 友田勝久
複素数平面への第一歩 - 複素数モード操作 ⅰ オプションウィンドウの [ 関数 ] ページを表示する 操作 ⅱ [ ベクトルを複素数として扱う ] をチェックする 操作 ⅲ [ (-)= i とする ] もチェックする これで,GRS の座標平面は, 複素数平面として機能します また, 演算や関数のいくつかのものは複素数に対応するようになります このとき, 角の単位は弧度法に固定されます - 点と複素数 性質 ⅰ 複素数モードでは, 点 ( ab, ) は複素数 a biと同一視される 性質 ⅱ 実数 a は点 ( a,0) と同一視される 性質 ⅲ 虚数単位 i を使うことができる ( i (0,)) GRS では点とベクトルを区別しません したがって, 点, ベクトル, 複素数が同一視されることになります 複素数と成分 ( a, b) a bi のとき,.x a,. b 3 B 3 x -3 複素数の四則演算 複素数の四則演算および冪計算を行うことができます 例 (,) (, 3) ( i) (3 i) 34 i (3, 4) (, ) (, 3) ( i)( 3 i) 5 i (,5) D 5 4 3 B (, ) ( i) i ( 0, ) 3 x
-4 絶対値と偏角, 共役複素数 点 ( 複素数 ) に対して, : の絶対値 ( 式テキストは [] ) arg () : の偏角 : の共役複素数 ( 式テキストは conj() ) 補足複素数モードでは, 角の単位は弧度法に固定されています 角を度数法で与えたいときは, 45 のように を付けます は度数法から弧度法への変換を行います 補足偏角の範囲は, ディフォルトでは0 ~ です [ オプション ] の [ 関数 ] ページで ~ に変更することができます -5 絶対値と偏角による複素数の表現 絶対値がr で偏角がの複素数 は, r(cos isin ) あるいは, i re で表されます GRS では, 関数 roll 関数を用いて, rroll( ) とすることもできます B 3 x サンプルより 積と相似 3
複素数平面の変換 中心, 半径 a の円が, 変換によって別の図形 に写される様子を表示します 以下では, 円周 上の点を とし, 変換による の像を とします 準備 点 を適当にとる 円周上の点 を, a (cost isin t) とする は 0t の範囲の 曲線 とし, 点はドラッグ可能で残像を残すようにします x - 回転移動と相似拡大 変換 w による変換の様子を描いてみましょう 操作 点 () を適当にとる 点 をとり, ( または ) とする このとき, 点 には残像を残すようにします 3 点 をドラッグして動かしてみましょう x 4
- 直線 に関する対称変換 () とするとき, w x -3 単位円に関する反転変換 w x x -4 複素数平面の変換と曲線 (i) w () (w) (w) () 4 x 4 x (ii) w 円 カージオイド 3 3 x 円 レムニスケート 5 4 直線 放物線 x () (w) 直線 双曲線
3 入試問題に挑戦 次の入試問題を考察してみましょう を複素数とし,i を虚数単位とする () が実数となる点 全体の描く図形 F を図示せよ () が上で求めた図形 F 上を動くときにの描く図形を図示せよ ( 北大 003 理 ) 3- 陰関数を利用した図形の表示 求める図形 F を, 陰関数で,. 0 Xi Xi として描いてみると, 実軸と単位円を合わせたものであることがわかります しかし, この方法では, なぜそうなるのかまではわかりません ( iです GRS で描いた場合, その点のドットは空白になりますが, まず見分けられません ) x 3- 点と曲線の利用 4 (k は実数 ) とおくと, i i k k 0 より, k k これを5k 5の範囲で描いたのが右図です U x V パラメータ k を動かしてみましょう k の範囲では, 単位円上を動きます x i とすれば, x k, i k k i ですから, x であるのがわかります 6
3-3 一次分数変換と相似 設問 () を調べてみましょう まず, i, B i,, 次に, 自由にドラッグできる点 をとり, さらに, B とします このとき, 点 を実軸上をドラッグすると, 点 は単位円上を動きます 次に, 点 を単位円上をドラッグすると, 点 は虚軸上を動きます x x B B どうしてでしょうか つの三角形 と B 描いて点 を動かしてみると様子が見えてきます 種明かしをしましょう w 0 ( i) 0 i と変形できますから, (0),(),( i ),B( i), ( ),( w ) より, B ですから, 点 が実軸上にあるときには, B = より, = = これより, 点 は単位円上にあることがわかります また, 点 が単位円上にあるときには, = B = 90 これより, 点 は虚軸上にあることがわかります B x B x 7
4 複素数と関数 4- 複素数の関数 複素数モードでは, いくつかの関数が拡張されます ( 以下では, w, は複素数,a, x, は実数 ) 指数関数 対数関数 x i x e e (cos isin ), a log arg( ), log 双曲線関数 三角関数 平方根 cosh e cos e そのほか i e e i w e, w w e xi (log a)( xi) log log w,sinh e e, tanh sinh cosh i i,sin e e, tan sin cos (arg w ) a ai( ただし, a 0 )( 虚数の平方根は定義されていません ) 複素数モードでは, ベクトルの内積は使えません 4- 陰関数 定義関数での複素数の扱い 陰関数 定義関数での複素数の扱い 陰関数における等号 = は, 両辺の実数部分だけしか比較しません X ( x, ) は, x i として扱われます r は X の絶対値を,は X の偏角を表します, すなわち, r X, arg(x) 補足 をパラメータとして扱うときは,[ オプション ] の [ 関数 ] ページで [ 定義関数や陰関数中のは偏角とみなす ] のチェックを外します 陰関数や陽関数における等号 = の扱い [ 陰関数 ] では, 両辺の値を比較してグラフや領域を描きますが, 両辺の計算結果の実数部分だけしか比較しません 例 : X は, x と同じです ( X ( x i) x xi ) [ 陽関数 ] では, 計算結果の実数部分のグラフを描きます 8