マクスウエルの方程式 Akio Arimoto, Monday, November, 7. イントロ長野 []p.4 に証明抜きで以下のような解説がある 次節以下これを証明していきたいと思う grad f «df d dx =,, rot «( i i), [ ] div «d ( dx dx + dx dx + dx dx ) æ f f f æ f f f rot grad f = rot( df ) = rot dx + dy + dz = d dx + dy + dz = ddf è x y z è x y z div rot = div d dx = d d dx = dd dx ( ( i i) ) ( ( i i) ) ( i i) とかけるが 外微分 d の一般的性質 dd º より ベクトル解析でよく知られた関係 : rot grad f = div rot = が導かれる 電磁気学で基本となる静止媒質に対するマクスウエルの方程式は 磁場 c 光速 D 電気変位 i 電気密度 r 電荷密度 E 電場 B 磁場 次 とすると 4p rot - D = i, div D = 4pr, rot E + B =, div B = c c c である 次微分形式 F = B dx dx + B dx dx + B dx dx + E dx dx G =- D dx dx + D dx dx + D dx dx + dx dx s = i dx dx + i dx dx + i dx dx dx -rdx dx dx c 次形式 4
とおく ( x, x, x ) て x 4 = は我々の住む空間 の座標を表し 時間 t とおい = ct としてみると上のマクスウエルの方程式は外微分を用いて df =, dg = 4ps と非常に簡単に書ける. 微分形式以下の外積の定義から示されるのであるが座標 xy, に対して dx dy =-dy dx, dx dx = などを頭に入れておく m のある領域で定義された関数 w (,. i ) i w k i m i< i< < i m i = x x ÎC に対して w= w x,, x dx dx を k 次微分形式と呼ぶ k 次微分形式 w w < < < = x,, x dx dx とl 次微分形式 i< i< < i m i h= h x,, x dx dx の外積 w h を m i i x,, x,, k m x x l m dxi dx i dx k dx i< <, < < w h= w h で定義する k 次微分形式 w w i< i< < = x,, x dx dx の外微分を i< i< < i m i dw= dw x,, x dx dx i m i で定義する ここで dw ( x x ) は関数 w = w ( x x ) i i m,. k ( x,. x ) w ( x,. x ) w dw x x dx dx,. i i m 全微分で i m i m ii,. k m = + + m x xm という 次形式である
. grad, rot,div の微分形式による表現 æ f x æ æ æ f f f f grad f = = + + y x y z è ø è ø è ø f è z である 他方 の基底 f f f df = dx + dy + dz x y z æææ に対し 次の微分形式のベクトル空間 V は基底 dx, dy, dz èøèøèø をもつ ([]p.56) æ «dx, dy «, è ø è ø «dz の対応を考えれば è 関係 : æ f x f f f f grad f = «dx + dy + dz y x y z f è z grad f «df æ - y x = z ) に対して rot = - z x である è ø - x y è
æ «dx, dy «, è ø è ø «dz の対応をもう一度考えれば è = xyz,, «w = ( xyzdx,, ) + ( xyzdy,, ) + ( xyzdz,. ) è となるが 次形式 w の外微分 dw を の定義で計算してみると (,, ) (,, ) (,. ) dw = d x y z dx + d x y z dy + d x y z dz æ æ dx dy dz dx dx dy dz dy è x y z è x y z æ + dx + dy + dz dz è x y z ø = + + + + + ここで dx dx = などの関係を使うと æ dy dz æ æ dx dx dz = + + + dy è y z è x z + dx + dy dz ø è x y そして 分配法則と dx dy =-dy dx などの関係を使うと æ æ æ = - dy dz + - dz dx + - dx dy è y z è z x è x y 今度は における 次微分形式の基底は dy dz, dz dx, dx dy である ([]p.58) æ dy dz, dz dx, dx dy の対応を考えれば è ø è ø è 関係 : = «w = dx+ dy+ dz è rot dw となる 4
(,, ) = x y z に対して div = + + x y z è である (,, ) = x y z h = dy dz + dz dx + dx dy è の対応を考え h = dy dz + dz dx + dx dy の外微分を計算する æ æ dx dy dz dy dz dx dy dz è x y z è x y z dz dx æ + dx + dy + dz dx dy è x y z = + + + + + 再び dx dy =-dy dx, dx dx = の関係と分配法則を使うと æ è x y z dh = + + dxdydz をえる 結局 関係 (,, ) = x y z h = dy dz + dz dx + dx dy è div = + + «x y z æ dh = dx dy dz + + è x y z もちろん における 次微分形式全体は 次元でその基底は dx dy dz という関係をもちている 5
4. rot E + B =, div B = の証明と関係 df = c この節以降では 4 で考える 座標 ( x, x, x, x ) z, ct) 4 外微分 " d " も と 4 では異なり 4 では f f f f df = dx + dy + dz + dt x y z = を用いる そして と最後の dt 項が追加される これは 4 にお ける 次微分形式である つまり 次微分形式の基底は { dx, dy, dz, dt } 次 微分形式の基底は { dx dy, dx dz, dx dt, dy dz, dy dt, dz dt} 次微分形式の 基底は { dx dy dz, dx dy dt, dx dz dt, dy dz dt} 4 次微分形式の基底は { dx dy dz dt} となる さて 次微分形式 において df を計算する F = B dx dx + B dx dx + B dx dx + E dx dx df = db dx dx + db dx dx + db dx dx + de dx dx æ B B B B B B è x y z x B B dbdx dx= dy dz dx + dt dz dx y dbdx dx = dx + dy + dz + dtdy dz = dx dy dz + dt dy dz B B = + z したがってこれらを加えて db dx dx dz dx dy dt dx dy () db dx dx + db dx dx + db dx dx æ B B B æ B B B = + + dx dy dz + dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z è ø また de dx = de dx + de dy + de dz は 6
æ E E E E E de dx = dx + dy + dz dx =- dx dy + dz dx è x y z ø y z æ E E E E E de dy = dx + dy + dz dy = dx dy - dy dz è x y z x z æ E E E E E de dz = dx + dy + dz dz =- dz dx + dy dz è x y z x y の和となる したがって () æ E E æ E E æ E E de dx = - dy dz + - dz dx + - dx dy è y dz è z x è x y ø である (),() より df = db dx dx + db dx dx + db dx dx + de dx dx æ B B B æ B B B = + + dx dy dz + dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z è ø ææ E E æ E E æ E E + - + - + - y dz z x x y èè ø è ø è ø c dy dz dz dx dx dy dt が得られた df は 4 における 次微分形式形式でその基底 dx dy dz, dx dy dt, dxdz dt, dy dz dt は 次独立である つまり df = であるための必要十分条件は B B B + + = x y z および æ B B B dy dz + dz dx + dx dy dt cè ææ E E æ E E æ E E + dy dz dz dx dx dy - + - + - dt = y dz è z x x y èè ø è ø ø これは div B = と B+ rot E= を表している c 証明終わり 7
5. d 4p rot - D = i, div D = 4pr と関係 dg = 4ps cdt c G =- D dx dx + D dx dx + D dx dx + dx dx において dg を計算する ほとんど 4 節と同じ繰り返しになるが dg =- dd dx dx + dd dx dx + dd dx dx + d dx dx D D = + x D D dddx dx= dy dz dx + dt dz dx y dd dx dx dx dy dz dt dy dz D D z dddx dx = dz dx dy + dt dx dy これを加えて () dd dx dx + dd dx dx + dd dx dx æ D D D æ D D D = + + dx dy dz + dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z è また (4) d dx æ æ æ = - dy dz + dz dx - + - dx dy è y dz ø è z x è x y ø である 結局 dg は æ D D D æ D D D dg =- + + dx dy dz - dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z ø è ìæ æ æ ü + í ï ï - + - + - ý y dz z x x y ïîè ø è ø è ø ïþ c dy dz dz dx dx dy dt 4p 4 s = i dx dx + i dx dx + i dx dx dx -4prdx dx dx c これが p 4 に等しいことから dx dy dz, dx dy dt, dxdz dt, dy dz dt は 次独立性を用いて 8
æ D D D + + dx dy dz = 4prdx dy dz è x y z すなわち div D = 4pr そして æ D D D - dy dz + dz dx + dx dy dt + cè ø ì æ æ æ ü í ï dy dz dz dx dx dyï - + - + - ýdt y dz z x x y ïîè ø è ø è ø ïþ 4p = ( idx dx+ idx dx+ idxdx) dt c より D 4p rot - = i c c が得られた 証明終わり 参考文献 [] 志賀浩二ベクトル解析 講朝倉書店 [] 清水勇二基礎と応用ベクトル解析サイエンス社 [] 長野正曲面の数学培風館 9