空間周波数 周波数領域での処理 空間周波数 (spatial frquncy) とは 単位長さ当たりの正弦波状の濃淡変化の繰り返し回数を表したもの 正弦波 : y sin( t) 周期 : 周波数 : T f / T 角周波数 : f 画像処理 空間周波数 周波数領域での処理 波形が違うと 周波数も違う 画像処理
空間周波数 周波数領域での処理 画像処理 3 周波数領域での処理 周波数は一つしかない?- ーいいえ 一つの波形に複数の周波数成分が存在する 任意の波形は 単純な正弦波の和で表現できる これらの正弦波が各々の周波数が異なる 画像処理 4
次元 関数 t) が実数変数 t の連続関数 (continuous function) とする : F{ t)} ) t) t dt - 逆 : t F { )} t) ) d 角周波数ではなく 周波数を用いると 次のようになる f ) t) t) f ) ft ft dt df 画像処理 5 補足 : オイラーの公式 オイラーの公式は 次式で表される関係式で 複素平面上では 図に示す関係になる 虚軸 x cos x sin x sin x x 上記の複素数は 大きさ 偏角が x である cos x 実軸 画像処理 6 3
振幅特性と位相特性フリーエ変換が一般的に複素数であるので 次のように書ける f ) R( f ) I( f ) フーリエスペクトル (Fourir spctrum)( 振幅スペクトル ) f ) R ( f ) I ( f ) 位相角 (phas angl) ( f ) tan I( u) R( u) 画像処理 7 エネルギーの保持 原信号とフーリエ結果との間パーセバル等式が成り立つ (Parsval s thorm) トータルエネルギー (Total powr) t) dt ) d f ) df 角周波数で表現 周波数で表現 画像処理 8 4
5 画像処理 9 例 : 次元連続関数の x (x) f 右に示す関数の u u u u u ux u u u u u dx ux dx ux x f u F ) sin( ] [ ] [ ] [ ] xp[ ] )xp[ ( ) ( 画像処理 例 : 次元連続関数のフーリエスペクトルは次のものである u u u u u F u sin sin ) ( スペクトルのグラフは左に示す ここで = = とする
エネルギーの保持? 確認 空間領域総エネルギー f ( x) dx dx 周波数領域総エネルギー F( u) du sin t sinu u t dt du sinu u du u エネルギーの保持が確認できた 画像処理 次元離散 連続関数 x) を間隔 x標本化した離散関数 ( 標本数 M) x), x x), x x),, x [ M ] x)} { この離散関数を次のように書き換える x) x xx) 離散系列 : { ), ), ),, M )} x) 画像の 行または 列がこのような離散系列と考えられる x x x x 3 x N- 画像処理 6
次元離散 : u) M M x x) xp ux / M 逆 : x) M M u /M, なしの式もある u) xp[ ux / M ] 画像処理 3 例 : 次元離散 具体的にがどのように働くのか 例で示す 連続関数 x) を.5,.75,.,.5 のところで標本化した ( 次元画像として考える ) 4 3 x) x ) x x) x x) x 3x) 離散関数の,,, 3 のところ 値を与えられた ),),),3) を求め.5.5.75..5 x x x x x 3 標本数 M=4 画像処理 4 7
8 画像処理 5 例 : 次元離散 6.5 4) / 4 3 ( (3) () () () )xp() ( 4 () 4 g g g g x g G x ) / ( 4 4 3 4] / )xp[ ( 4 () / 3 4 / 3 x x g G x 同じ方法で : ) / ( (3) / () G G オイラー公式を利用した画像処理 6 例 : 次元離散各周波数においてフーリエスペクトル : 5 (3) () 5 () 6.5 () / / G G G G
エネルギーの保持? 確認 空間領域総エネルギー 3 i i) 3 4 4 45 周波数領域総エネルギー 3 u u) 6.5 5 5 45 エネルギーの保持が確認できた 画像処理 7 次元 次元を簡単に 次元へ拡張できる : x, y) ( uxvy) dxdy 逆 : x, y) ( uxvy) dudv 画像処理 8 9
次元 次元フリーエ変換も一般的に複素数であるので フーリエスペクトルを次のもの : R ( I ( ) / v 位相角 (phas angl) ( tan I( R( 画像処理 9 例 : 次元 x,y) Y y x 例えば = =3 Y=5 画像処理
次元離散 (DFT) : MN M N x y x, y)xp[ ( ux / M vy / N)] 逆 : x, y) MN M N u v xp[ ( ux / M vy / N)] 画像が 次元離散関数と見なされるので 次元離散 (Discrt Fourir Transform) を適用できる ここで 画像の横方向のサイズ M, 縦方向のサイズ N とする 画像処理 変換結果における周波数成分の配置 計算上 DFT 結果を 次元配列に格納する その配置は次の図のようになる 直流成分 : 周波数が の場合の成分 画像処理
変換結果をどのように表示するのか フーリエスペクトルを画像として表示する ( 視覚化 :visualization) 一般的にスペクトルの値をデバイス ( 画像 ) の表示能力を超える 次のようにスケールダウン : D( c log 原画像スペクトル ( そのまま ) 画像処理 3 変換結果をどのように表示するのか D( 6log 直流成分が隅のところ 画像処理 4
多次元の分離可能性 x 方向に対する変換 y 方向に対する変換 MN M x xp[ ux / M ] N y x, y)xp[ vy / N] 次元を二つの 次元に分離できる (n 次元のを n 回の 次元に分離できる ) 大きな利点 : 例えば 先に y 方向に対してを行ってから続いて x 方向に対してを行う 画像処理 5 畳込みの定義 畳込み定理 つの関数 f(t) とt) を与えられるとき 畳込み積分 (convolution) は次のように定義する h ( t) f ( t) t) f ( ) t ) d h(t) のを f(t) と t) のから計算できる H ( ) F( ) ) また h( t) F ( H ( )) F ( F( ) )) 結論 : 畳込みを空間領域と周波数領域で両方計算できる 画像処理 6 3
フィルタとは 入力信号 フィルタ 出力信号 出力信号を得るために 入力信号に施される関数である この関数が入力信号のある周波数成分を除去する ー > フィルタリング フィルタリング処理 : 鮮鋭化 平滑化 エッジ 線の強調など 画像処理 7 低域通過フィルタリング 原画像を f ( x, y) を F( とする 低域通過 (low pass) フィルタ H ( を用いて高周波数を除去 F( H ( 低域通過フィルタについては色々な形があるが 例えば H ( ここで D( if D( D if D( D u v / D が周波数平面上原点から点への距離カットオフ (cut off) という 画像処理 8 H( Idal filtr D D( 4
例 : 低域通過フィルタリング 原画像 原画像の周波数 ( スペクトル ) 画像処理 9 例 : 低域通過フィルタリング 低域通過した周波数 D =3 の場合 ( 説明のため Idal filtr を使った ただし いいフィルタではない ) 低域周波数通過した画像 ( 高い周波数成分なくなり ぼける ) 画像処理 3 5
低域通過 Buttrworth フィルタリング Idal フィルタの場合 結果画像にリング (ring) 現象がある 画質あまりよくない Buttrworth filtr: H ( ここで D( D( / D u v / D がカットオフである カットオフが 3 の場合 低域通過 Buttrworth フィルタのグラフ 画像処理 3 例 : 低域通過 Buttrworth フィルタリング 低域通過 buttrworth フィルタを施したあと 残った低周波数 (D =3 の場合 ) 低域周波数通過した画像 ( 高い周波数成分なくなり ぼける ) 画像処理 3 6
高域通過フィルタリング原画像を f ( x, y) を F( とする 高域通過 (high pass) フィルタH ( を用いて低周波数を除去 F( H ( 高域通過フィルタについては色々な形があるが 例えば H ( ここで D( if D( D if D( D u v / D が周波数平面上原点から点への距離カットオフ (cut off) という H( Idal filtr 画像処理 33 D D( 例 : 高域通過フィルタリング 高域通過した周波数 D =3 の場合 ( 説明のため Idal filtr を使った ただし いいフィルタではない ) 高域周波数通過した画像 ( 低い周波数成分なくなり エッジが残る ) 画像処理 34 7
高域通過 Buttrworth フィルタリング Idal フィルタの場合 結果画像にリング (ring) 現象がある 画質あまりよくない Buttrworth filtr: H ( ここで D( D / D( u v / D がカットオフである カットオフが 3 の場合 高域通過 Buttrworth フィルタのグラフ 画像処理 35 例 : 高域通過 Buttrworth フィルタリング 高域通過 buttrworth フィルタを施したあと 残った高周波数 (D =3 の場合 ) 高域周波数通過した画像 ( 低い周波数成分なくなり エッジが残る ) 画像処理 36 8
: 大局処理 入力画像中のある広い範囲を用いる場合を大局処理 (global opration) と呼ぶ 出力 出力画像中の一つのピクセル値を得るために 入力画像中の広範囲画素を使う が大局処理である 画像処理 37 9