数学類題にチャレンジ 問題編 類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形 を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目とします さらに, 頂点 が線分 上に重なるように を折り目として折り曲げ, 頂点 と線分 が重なった点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい
類題 縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形 を, 頂点 が辺 上にくるように, 点 を通る折り 目で折ります このとき, 折り目の直線と辺 との交点を とし, 点 が移った点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) と が相似であることを証明しなさい () =6cm のとき, 線分 の長さを求めなさい
類題 3 下の図のように,=10cm で, 縦と横の辺の長さの比が 1: の長方形 があります 辺 の中点 をとり, 線分 を折り目として長方形 を折ったとき, 点 が移った点を とし, の延長と辺 との交点を G とします 折った紙を元に戻し折り目の線分 と線分 G,G を書きます このとき, 次の各問に答えなさい (1) G G であることを証明しなさい G () G の面積を求めなさい
類題 4 下の図 1のような,=0cm で, 縦と横の長さの比が 1: の長方形 の紙があります 辺 を 3 等分する点を に近い方から, とし, 辺 を 3 等分する点を に近い方から R,S とします 図 のように, 線分 R,S を折り目として, 線分, がぴったり重なるように折って, 立体をつくります このとき, 次の各問に答えなさい 図 1 図 R S (1) 図 でつくられた立体の体積を求めなさい () 図 において, 重なった線分, を離し, 右の図 3 図 3 のように改めて対角線 を折り目として折り重ねたときの点 の移った点を, 線分, の交点を とし, 線分,S の交点を とします このとき, 四角形 の面積を求めなさい R S
数学類題にチャレンジ 解法 解答編 類題 1 ポイント 1 図形を折り返すと, 等しい長さの線分や等しい大きさの角が移る ポイント 直角三角形の 3 辺の長さを数や文字で表し, 三平方の定理を用いて方程式をつくる ポイント 3 3 辺の比が,1:: ポイント 4 相似な三角形の 3 辺の比は等しい 解法 (1 ) ポイント 1 より, 線分, が移った線分が, なので,=,==8cm になる ポイント より, で三平方の定理を用いて, + = + 4 = 8 = 4 3 である直角三角形の 3 つの内角は,30,60,90 である よって, の 3 辺の比は 1:: 3 となり, ポイント 3 より,30,60,90 の直角三角形になる と において = =90 1 =180-90 - =90-30 =60 また, =60 より = =60 1, より, 組の角がそれぞれ等しいので ( はさみ込み型 ) ポイント 4 より, の 3 辺の比は 1:: 3 となる で,=8-=(8-4 3 ) cm :=:1 より =(8-4 3 )=(16-8 3 ) cm 答え (16-8 3 ) cm ( ) の面積は, 1 で求められるので, 1 (16-8 3 ) 8=(64-3 3 ) cm 答え (64-3 3 ) cm
類題 ポイント 1 図形を折り返すと, 等しい長さの線分や等しい大きさの角が移る ポイント 直角三角形に着目し, 三平方の定理を用いて辺の長さを求める ポイント 3 直角二等辺三角形の 3 辺の比は 1:1: である 解法 (1) ポイント 1 より が移った角が なので, 大きさはいずれも 90 また,, も 90 なので, ( 図中の ) を用いて, 角の大きさを図のように表すことができる 180-90 - 解答例 と において, 仮定より, = =90 1 長方形を折っているので, =90 ここで, 点 に集まる角の和より 180-90 - =180-90 - また, の内角の和より, =180-90 - 3,3 より, = 4 1,4 より, 組の角がそれぞれ等しいので 終 ( ) 長方形の辺の長さの比は :1 なので, 辺 の 長さは 6 =6 cm ポイント 1 より辺 が移っ たのが辺 なので,=6 cm また, 辺 が移 6-6(cm) ったのが辺 なので, 辺 の長さを求めればよい ここで, ポイント より に注目する 辺 の 長さを x(cm) とおくと, 三平方の定理を用いて x +6 =(6 ) 6 cm これを解いて,x=6cm よって ==6cm なので, は直角二等辺三角形 また, 6 cm x=6cm なので, も直角二等辺三角形 次に, ポイント 3 より の 3 辺の比を利用する =6 cm,=6cm なので,=6-6(cm) :=1: なので, 6cm =(6-6) =1-6 (cm) 答え 1-6 (cm)
類題 3 ポイント 1 図形を折り返すと, 等しい長さの線分や等しい大きさの角が移る ポイント 合同の証明の後の問題では, 対応する辺の長さや角の大きさが等しいことを利用する ポイント 3 直角三角形に着目し, 三平方の定理を用いて辺の長さを求める 解法 (1 ) G G を証明するためにはポイント 1 より折り返した図形の辺や角は等しい ことと, さらに長方形の角の大きさがすべて 90 であることを利用する 証明例 G と G において, 折っているので = 1 点 は辺 の中点なので,= 1,より = 3 長方形の角はすべて 90 なので = G=90 4 折っているので = =90 5 5より, G=180 - =180-90 =90 6 4,6より, G= G=90 7 共通なので G=G 8 3,7,8より, 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので, G G () 縦と横の長さの比が 1: で縦の長さが 10cm であるから, 横の長さは10 cm である また, 辺 の中点が なので 1 ==10 = 5 cm である 5 cm ポイント 1 より,==10cm,== 5 cm, = =90 である また,G=xcm とおくと, ポイント より, G=G だから,G=xcm 10cm 5 cm 10cm xcm xcm G (10-x)cm よって,G=(10-x)cm と表すことができる ここで, ポイント 3 より, 直角三角形 G に 10 cm 三平方の定理を用いて, ( 10 ) +(10-x) =(10+x) これを解いて,x=5 よって,G=10+5=15cm G の面積は,G 1 で求められるので, 1 75 15 5 = cm である 答え 75 cm
類題 4 ポイント 1 90,60,30 の直角三角形の 3 辺の比は,1:: である ポイント 直角三角形の 3 辺の長さを, 数や文字で表し, 三平方の定理を用いて方程式をつくる ポイント 3 相似な三角形 ( 砂時計型 ) を発見し, その相似比から辺の長さを求める 解法 (1 ) できた立体は三角柱で, 底面は R=RS=S より正三角形 =0cm で,:=1: より,= 0 cm また, を 0 3 等分しているので, 正三角形 RS の 1 辺の長さは 3 cm () 30 ここで, 正三角形 RS の頂点 から辺 RS に垂線 H を引くと, RH は 90,60,30 の直角三角形 ポイント 1 より, その 3 辺 の比は,1:: 3 したがって, 0 RH= 3 1 = 10 3 cm,h= 10 3 10 6 3= 3 cm, R 60 H S 0 RS= 3 10 6 3 1 00 3 = 9 cm 00 よって, 求める立体の体積は, 9 3 4000 3 0= 9 cm 3 答え 4000 9 3 cm 3 () 折り返しにより, = また, 平行線の錯角より, = よって, = だから, は = の二等辺三角形である ここで,==xcm とおくと, =(0 -x)cm と表せる ( はみ出し型 ) より ==xcm よって,=(0 -x)cm としてもよい また,=0cm であることから, ポイント より, で三平 R S 方の定理を用いて, (0 -x) +0 =x 1 これを解いて,x=15 cm よって, の面積は15 0 =150 cm と分かる 次に, ポイント 3 より, S で, その相似比は,:S=:1 だから,:S=:1 40 40 よって,=0 = cm また,= 0 = cm 3 3 3 3 40 ゆえに, = 3 40 1 800 = cm したがって, 求める四角形 の面積は, 3 9 800 550 150 - = 9 9 cm 答え 550 9 cm