(2) 数学 - 小問ごとの難易度差が最も激しいのは数学だ! 例年大問は4 題です 大問 は比較的平易な独立小問題が 問 大問 2は少々応用力が必要な 4 問の小問集 大問 3は関数 ( 年によって異なる場合有り ) をテーマにした問題 そして大問 4は図形の問題 というのが近年の傾向です 5 教科

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2 (2) 数学 - 小問ごとの難易度差が最も激しいのは数学だ! 例年大問は4 題です 大問 は比較的平易な独立小問題が 問 大問 2は少々応用力が必要な 4 問の小問集 大問 3は関数 ( 年によって異なる場合有り ) をテーマにした問題 そして大問 4は図形の問題 というのが近年の傾向です 5 教科の中では最も小問間の通過率の差が激しく 通過率が高い問題では 95% 以上のものもある一方 通過率が % 未満という難問もあります 大問 基礎的な独立小問 2 独立小問 3 関数 4 平面図形 小問 () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) ア () イ () (2) (3) (4) () (2) () (2) (3) 25 年数学 配点出題内容 4 文字式 4 正負の数の計算 4 混合のついた数の計算 4 式の値 ( 因数分解してから代入するタイプ ) 4 2 次方程式の解法 ( 解の公式を利用 ) 4 連立方程式の解法 4 2 次関数の変化の割合から比例定数を求める 4 四捨五入と数の範囲 4 x a の a を座標から求める 5 回転体 ( 円柱 ) の表面積 4 数を当てる 5 数を当てることができる理由を説明する 5 角度 ( 円の接線の利用 ) 5 作図 ( 円の中心 ) 5 確率 5 三角錐の体積 ( 展開図から組み立てる ) 5 三角形の面積 6 斜めの線分の長さ ( 相似の利用 ) 7 証明 ( 三角形の相似 ) 6 紙折りと三平方の定理 (:: 2の直角三角形) 長さを求める 6 面積を求める 通過率 大問 は比較的平易な問題の集まりですが それでも (8) 以降には多少難易度の高い問題も混じっています さらに ここ数年 () は 問題文が長く 題意把握に時間のかかる問題が出題されています ここで時間配分を誤ってしまう過ちが目立ちます 大問 2は 作図 場合の数 確率 関数 図形の独立小問ですが 正答率が 2 0% 前後のものが多く 決して楽な問題ではありません 特に 難関校の受験生にとっては ここで差がつくようです 大問 3は関数が題材とはなっていますが 問題の本質は 図形的処理 の力があるかどうかを試すような問題です いわゆる 座標幾何 と呼ばれるジャンルです 最後に大問 4は図形の問題 特に紙を折り曲げる問題が近年では頻繁に出題されています 埼玉県数学のひとつの特徴なのですが この 紙を折る タイプの問題は 問題用紙の一部に 実際に

3 切り取って折り曲げる作業をするためのページがあり 実物を作りながら考えることができます ということは 紙を切ったり折ったりという作業を短時間で正確にできる器用さも必要ということになります もちろん紙を折ったりという作業なしで解いてもよいのですが なかなか難しいでしょう 大問 と大問 2を甘く見ないこと! この2つの大問で 70 点分にあたるのですが 決して簡単な問題ばかりではありません まず 通過率 20%~ 50% 程度の差がつく問題ですが これは 大問 の後半と大問 2の独立小問題に集中しています 大問 だから簡単! と侮れないわけです 平成 24 年度入試での通過率を確認すると 大問 の (8) は半球の体積を求める問題で 38.% (9) は円周角の問題で 45.3% (0) は相似の利用の問題で 0.5% () は資料の整理に関する 3 問からなる問題でそれぞれ 66.9% 22.9% 7.% でした 大問 2 は 場合の数 作図 関数と図形 関数の分野からの出題で () ~ (4) までの独立小問です それぞれの通過率は 2.0% 4.3% 8.2% 8.0% ととても低い状況でした そして 平成 25 年度は前ページの表のようになっており 同じような傾向となっていることがわかるでしょう その平成 25 年度入試の問題を確認してみましょう 大問 の (7) までは計算を中心とした基礎的な内容で 多くの受験生が得点できたのではないかと思います (8) は四捨五入をテーマにした範囲に関する問題ですが これは新しい学習単元からの出題でした そのため 演習が十分でなかったためでしょうか 全く手が出なかったり わかったつもりでも題意の読み違え等のミスがあったりしたようです (9) は反比例と比例のグラフに関する問題でした 比較的平易なはずですが 反比例のグラフは原点に対して対称 という知識事項を忘れていて解答できなかったケースも目立ちます (0) は円柱の表面積を求める問題でさほど難しくはありませんが 全体通過率は 40.9% と半分を下回っています 底面積の片方だけしか入れなかったり 側面積と勘違いしたりというミスが多かったのでしょう () は会話をもとにして数字を当てる問題ですが 時間をかければ難しくないのでしょうが ここで時間を使いすぎてしまって あとの問題に十分取り組めないという失敗も目立ったようです 大問 2の独立小問 4 題も 例年通り 単純に簡単に解答できる問題はありません どれもひとひねりされており 思考力が要求されています たとえば (2) で 円の中心を作図する問題が出題されました 円の中心は 弦の垂直二等分線上にあるということはわかると思うのですが その弦が示されていなく 自分で2 本の弦を設定するところから始めなければならないという点が " ひとひねり " です ただ知識を身に着けているだけでは解答は難しいということです そして 大問 3と大問 4は いかに効率よく得点するかにかかっています 例年 0% 前後の通過率の問題で構成されています

4 平成 24 年大問 3() を用いて具体的に解説します 座標平面上で図形を解く! a x 2 x, a D x cm 2 a cma 平成 24 年大問 3() o x 2 乗に比例する関数のグラフですが 大問 3なので 図形の問題 として解きます 条件を正確に読み取るために問題文が 行か2 行程度であれば 条件の読みおとし は少ないかもしれませんが 5 行 6 行と問題文が続くと 読んだときには大丈夫でも 解いている最中に条件の一部を忘れてしまう ということもよくあります また その都度問題文に立ち戻り 読み直したりもすることでしょう そうしているうちに 時間が足りなくなってしまいます このような場合は 条件を箇条書きにして整理しましょう 問題文を読みながら語句や式や 座標で示された条件を箇条書きしていきます 図形や関数の問題では 箇条書きにするとともに 図やグラフに長さや角度 座標等を書き込んでいきます 具体的に示しましょう 問題の条件ア = ax 2 と = ax + (a > 0) イ,の x 座標はそれぞれ- 5, 5 ( - 5,? ), (5,? ) ウ D エ = 20cm 2 オ点 の x 座標は正求めるもの a の値 = ax 2 の a の値を求めるか? それとも 直線の傾き a を求めるか?

5 では a の値を求めていきましょう まず 放物線の a から求めるか 直線の傾き a から求めるのか ヒントになりそうな点は,, の 3 点ですが x 座標 座標がともにわかりそうな点はありません したがって 放物 線の a の値を求めるという方向では難しいようです どうやら直線の傾きから求めていくこと になりそうです イの条件から = 0 ということがわかります さらに 条件エより を底辺と見たときの の高さを逆算できます 点 から辺 に垂線を引き 辺 と交わった点を とすると 2 = 20 より, =4とわかります の増加量 すると 求める直線の傾き a はですから を求めればよく はわかり x の増加量 ましたから あとは がわかれば解決します ここで直角三角形についてのポイントを確認しましょう つめです 直角三角形に関するポイント 直角三角形の斜辺に垂線を下すと 3 つの相似な三角形ができる このポイントから となることを利用します = t とおくと = 0 - t 4 より : = : t :4=4:(0 - t) t (0 - t )=6 t この 2 次方程式を解いて 0 t = 2,8 t =2だとのx 座標は負になってしまうので不適 よって t =8 4 a の値 = 直線の傾き= = 8 = 2 答 0-t

6 このように 関数の問題ですが 直角三角形の相似という 純粋な図形の問題として解いています さて この問題を別の図形的知識を用いて解いてみましょう 直角三角形に関するポイントの 2 つめを使います 直角三角形に関するポイント 2 直角三角形の斜辺は直角三角形を囲む円の直径になる D グラフ上の直角三角形を囲む円をかきます このポイントから は円の直径となり と 軸の交点を E とすると点 E は円の中心となります の面積を用いて =4 と求めるところま では先ほどと同じです E そして 円が出てきましたから 円の半径はどこでも同じなので E = E = 5 さらに 半径は別 な場所でも活用しますから と E を結んだ E の o x 長さも 5 とわかります すると 新たに出来上がった直角三角形 E に おいて E =5 =4 ですから 三平方の定理 を用いて E の長さは 3 と求まります どうでしょう? これで終わっちゃいましたよね なぜなら 目標は の傾きを求めることなので = 5+3 = 8 =4より傾き= = この問題は 関数の問題として解くことも可能ですが とても難解な過程を経ることになります 埼玉県の大問 3と大問 4は 見た目が関数であったとしても 図形として解く ことにより比較的楽に解くことができる問題が多いものです 他の過去問でも試してみましょう

7 3 つめのの直角三角形に関するポイントと それを利用した問題を紹介します 直角三角形に関するポイント 3 座標平面上に直角がある場合 たて 横に線を補って直角三角形の相似を作る 0 x 0 x このポイントを使った例題を紹介します 埼玉県の過去問です ( 例題 ) 右の図のように, 点, の座標をそれぞれ (0,6),(,4) とし,x 軸上 に点 を, が直角となるようにとり ます このとき, 点 の座標を求めなさい ただし, 線分 は線分 より長いものと します O x まず, 座標が与えられているので, 左の (0,6) 図のように, わかる長さを書き込んでおきます そして, 先のポイントを使うために, (,4) から x 軸に垂線を引き 直角三角形の相 6 似を作ります 引いた垂線と x 軸との交点 4 を とします O t -t x すると, O となります 求めるものは点 の x 座標ですから, O の長さを求めるために点 の x 座標を t とおきます すると,O の長さが ですから, =-t と表せます これで2つの直角三角形の対応する2 辺の長さを表すことができましたから, 比例式を作ります

8 ここで, 対応する辺を間違えないようにするために,2つの直角三角形を, 同じ向きに並べます ちょっとした一手間ですが ミスを減らすためにとても有効な手段です O: = O: 6:( - t)= t:4 よって,( - t) t =6 4 この 2 次方程式を解いて,x = 3,8 6 -t 題意より, > なので t =3 答えるものは点 の座標ですから (3,0) O t 4 ここでは 直角三角形という図形のポイントに焦点を当てて解きました 図形のポイントは他にもたくさんありますからしっかりと整理して覚えておきましょう 2できなかった問題に対するアプローチが重要! できる問題を何度も繰り返しても効果は薄い 問題が解けて正解だととても気持ちが良いものです そんなことばかりだと勉強も楽しいかもしれませんね しかし それを繰り返しているだけでは学力は身に付きません せいぜいミス防止と より確実な定着に役立つ程度でしょう ( それも大切ですが ) 自分の力でできなかった問題が 自分の力でできるようになった ということが 学力がついた と見なせる最大の要因です できなかった問題にどのように対処するか 一例を挙げます 自分なりにアレンジして役立ててください ) わかっていたはずなのに 答えが違う場合 自分のノートを再確認し どこで間違えたのかを探しましょう どこかで考え違いや計算ミスをしているはずです それを探すという作業が大切です 見つかったらそこからやり直しましょう もし見つからない場合は解説を見て 自分の考え方とどこが違うかを確認しましょう 2) わからなくて解けなかった ( 答えが出せなかった ) 場合 まず解説と必要に応じて教科書や参考書を見ます 理解できたら 再度はじめから自分で解いてみます このときに 解説を写すのではなく 本当に理解できたかどうかを確認するために 解説を見ないで解くことがポイントです 解説や教科書を見てもわからなかった場合は 解説のどの箇所が理解できないのかを明らかにします 解説の 行目からわからないということは滅多にありません 解説の何行目が理解できないのかを特定します その上で先生に質問しましょう この問題がわからないのですけど と質問するのではなく この問題の解説で 行目まではわかるのですが 次の = の意味がわからないのですけど となるわけです

9 この 質問の仕方及びそのために自分が行っておくことは できなかった問題をできるようにするための大変効果的な方法のひとつです もちろん質問して理解できた場合は もう一度自分の力だけで解いてみましょう 他の教科でも同様のことがいえますが 数学は特に 受け身だけの学習 ではなく 能動的な学習 ( 自分が主体となって考え やってみる ) という行為が学力向上に不可欠です 3 知識事項の整理法を 2 つ 公式や定理 あるいは重要な考え方を 問題を解くための知識 として覚えることも重要です そのような知識事項は その都度ノートに記録していくと思いますが そのままでは 覚えるための知識 が ノートのあちこちにちりばめられた状態のままとなってしまい 繰り返し覚えるには不自由です そのときは覚えたと思っていても いつの間にか忘れてしまうということも珍しくありません 知識事項をしっかりと管理して いつでも頭の中を整理できるように工夫することも重要です ) カード管理学習法小さめのカードを使って 覚えるべきことをまとめる工夫です 小さな名刺サイズ程度のカードをたくさん用意します テーマ 枚でカードを用い 知識事項を書いておきます 表にタイトル 裏に覚えるべき知識事項を書きます まとめて書くのではなく ( はじめはまとめて書くと思いますが ) 白紙のカードを常に用意しておき 授業や問題演習で知ったことをその場で書きます 単元やテーマごとにカードの色を変えても良いですし 穴をあけてリングでまとめておいても良いでしょう このカードを テスト前の度に一通り確認すると いつの間にか必要な知識が身に付きます もうかんぺきに覚えた! これは大丈夫! というカードは別にしていけばよいと思います そうすれば 覚えなければならないことは何か が一目瞭然です

10 2) 知識整理ノートを作成する ( ルーズリーフが便利 ) 本質的には ) のカード管理と同じです 単元やジャンルごとに 知識事項をまとめて記録するためのノートを専用に用意します ルーズリーフを利用すれば 追加したり並べ替えたりするのに都合がよいでしょう これも ) のカードと同じように 学習したそのときに書き加えることがポイントですから 学習するときにはいつもそばにおいておきましょう 4 思考力の養成 思考力をつける必要がある 言葉にすれば誰もがそう思うものですが ではどうやってつけるか それが問題ですよね 特効薬があるわけではありません コツコツと練習する必要があります 練習の仕方はいろいろありますが ここではとても効果のある方法をひとつ紹介します 途中の流れを書く訓練応用問題を解くときに 何種類もの計算をすると思いますが その計算の流れをしっかりと筋道立てて記述する練習をしましょう いうなれば 問題集の解説 にあるような文章を 自分で書く練習をするということです 思考力を付けるためには 論理的な流れを追うことが必要であり そのためには 解答に至る流れを 文章等で第三者に伝わるよう表現する練習が効果的です はじめのうちはうまくいかないかもしれませんので 問題集の解説のような 文章 ではなく 箇条書き から始めても良いと思います

11 ( 例題 ) 右の図で, は直線 = x + 4 のグラフ, 2は直線 =- 2 x + 0 で,2は点 で交わっています 直線 が x 軸, 軸と交わる点をそれぞれ,, 直線 2が x, 軸と交わる点をそれぞれ D,E, 原点を O とします 線分 上に点 P,x 軸上に Q,R, 線分 D 上に点 S をとり 長方形 PQRS を作ります 長方形 PQRS が正方形となるとき点 P の座 x 標を求めなさい まず悪い例です t + 4 =- 2 x x =- t +6 x = -2 t t +2- t t +4=-2t +2- t 4 t =8 t =2 ( 答 ) (2,6) t が何なのかの説明がない 何をしたのか説明がないので 何を根拠とした等式なのかわからない 何を求めようとしているのかわからない これが何を表すのかわからない どのような根拠で方程式を立てているのかがわからない 次に 箇条書きにして手順を整理しながら解いた場合 ( 良い例です ) 点 P の x 座標を t とすると P( t, t + 4) と表せる 2 点 S の座標を t を用いて表す P と S は 座標が等しい S(?, t + 4 ) =- 2 x + 0 に 座標の t + 4 を代入する t + 4 =- 2 x + 0 x =- 2 t + 2 S の x 座標 S( - 2 t + 2, t + 4) 3 PQ と PS の長さを t で表す PQ = t +4 PS = ( - 2 t + 2) - t =- 3t PQ = PS となることから方程式を立てる t +4=-3t + 2

12 これを解いて t =2 5 ( 答 ) (2,6) 文章で流れをかく場合 ( これも良い例です ) ( 方針 ) PQ と PS の長さを文字式で表し, 長さが等しいことから方程式を立てる ( 解答 ) 点 Pのx 座標を t とおくと, 点 P は直線 = x + 4 上にあることから, 点 P の座標は ( t, t +4) と表せる PS は x 軸と平行なので, 点 P と点 S の 座標は等しい よって点 S の 座標は t +4 である これを, 直線の式 =- 2 x + 0 に代入して, 点 S の x 座標を t で表す t +4 =- 2 x + 0 となり これを x について解いて, x =- 2 t + 2 となる よって,S の座標は ( - 2 t + 2, t + 4) と表せる PS の長さは, 点 S と点 P の x 座標の差なので,PS = ( - 2 t + 2) - t =- 3 t + 2 PQ の長さは点 P の 座標と等しく,PQ = t +4 題意より,PQ = PS となるので, t +4=-3t + 2 が成り立つ これを解いて, t =2 よって点 P の座標は,(2,6) これはかなりていねいに書いた例ですが, 一つひとつの手順を文章に表現することにより理解が深まり, その積み重ねで思考力がついていきます はじめのうちは時間がかかりますが練習してみましょう 5 最後に 数学では図やグラフを利用する問題がたくさんあります 多くの受験生は問題集の図をそのまま利用してかき込みがちですが 自分で図をかいて それを用いて解くことを習慣にしたいものです 問題文に書かれたことと 図形のイメージを結びつけるためにも 自分で図をかく 練習をしましょう また 試験問題にかかれた図は 必ずしも正確とは限りません 問題によっては 図の正確さ が正解に近づくこともありますので是非練習してください