面積の比 つの三角形の高さが等しいときは, 面積の比は底辺の長さの比に等しい. 三角形の面積は ( 底辺 ) ( 高さ ) で求められる. 右図の ABC と ABD の面積は各々 ABC ABD BC h BD h ここで BC:BDa:b ならば 辺 BC の長さを BC と書く. 文字式の計算として B と C を掛けているわけではない.BD も辺の長さを表す記号. 式の中で ABC と書いたときは ABC の面積を表す. ABC : ABD BC h : BD h BC:BD a:b となって, ABC と ABD との面積比は底辺の長さの比に等しくなる. 例 右図 において ABC と ABD の高さは等しいから, 図 図 ABC : ABD: ABC : ACD: つの三角形の底辺の長さが等しいときは, 面積の比は高さの比に等しい. 高さが書いていないときでも, 組の辺の比が m:n のときは, 高さが m:n と考えてよい. の証明三角形の面積は ( 底辺 ) ( 高さ ) で求められる. 右図の FBC と ABC の面積は各々 FBC ABC BC FD BC AE ここで底辺 BC は共通 FBC : ABC BC FD: BC AE FD : AE の証明右図 の FBD と ABE は相似図形, FD:AEFB:AB したがって FBC : ABC FD : AE FB : AB ( は,FB と AB を底辺と考えると と同じ内容になる.) 例 右図 において DBC と ABC の底辺 BC は共通, DBC : ABC: DBC : ADC: 図 図
つの三角形の底辺の比が a:b, 高さの比が m:n のとき, 面積の比は am:bn になる. 右図 6 のように つの三角形で つの角が共通のとき, この角をはさむ 辺の比が各々 a:b,m:n のとき, 面積の比は am:bn になる. の証明 DBE BE DF ABC BC AG DBE : ABC am : bn am : bn 図 の証明右図 6 においては と同様に高さの比が m:n になるから, DBE : ABC am : bn 例 右図 において DBE : ABC8: DBE :( 四角形 )ADEC8:(-8)8: 図 6 図 6 相似比が a:b となる つの三角形の面積の比は a :b になる. 6の証明 において底辺の比も高さの比もa:b になるから, DBE : ABC aa : bb a :b 例 右図において ADE : ABC:9 ADE :( 四角形 )DBCE: (9-): 図 8 まとめ () 右図 9 ののように つの三角形の底辺の比が a:b, 高さの比が m:n のとき, 面積の比は am:bn になる.( 右の図 9 では高さの比を m:n と読む.) () 右図 0 のような図形において, つ以上の三角形の面積を比較するときは, 次のように 比の値 を 分数 にすると簡単にできる. BEP 図 9 BEP BEP:8: 8
図 0 例題 右図 において () BEP :6: 高さが等しく, 底辺が 6: と見る () ABC : PBC: 底辺が等しく, 高さが : と見る () APC : PEC: 右図のように AP, PE を底辺とみると, 高さが等しく, 底辺が : () :: BPE BPE 6 BPE BPE 6 :: 図 例題 右図 において () :: 高さが等しく, 底辺が : と見る () :: 高さが等しく, 底辺が : と見る () :: 図 :: 例題 右図 の平行四辺形 ABCD において () ABQ FDQ ( 相似比は9::) ABQ : FDQ : 9: ABP : ABQ:9 ( 高さが等しく底辺が:9) ABP : FDQ: () BEP ADP ( 相似比は:8:) BEP : ADP: APQ : :8 ( 高さが等しく底辺が:8) BEP : APQ : : 8 例題 右図 の平行四辺形 ABCD において () APE CPB ( 相似比は AP:PC: ) EP:PB: APE と は高さが等しく底辺が : APE: : () APE CPB 9 相似比 :の相似図形 () の別解 APE () の結果 QPB 高さが等しく底辺が: APE QPB 図 図
CPB QPB 高さが等しく底辺が: APE CPB CPB QPB 9 APE: QPB: () BQA FQC BQ:QFAQ:QC6:: CQB と FQC は高さが等しく底辺が : CQB: FQC: () : FED: () BQP: DEF6: () の証明 BQP ABC 9 まとめ DAC DEF まとめ AP:PC: AE:BC: したがって AE:ED: AQ:QC6: AB:CF6: したがって CD:CF6:,CF:FD:: ABC CAD 平行四辺形 APE: QPB: () の証明 APE CPB AE:CBAP:CP: AE:DA: ( 平行四辺形 ) AE:ED: ----------------------- AQB AB:CFAQ:QC6:: DC:CF: ( 平行四辺形 ) CF:FD: ----------------------- CAD 8 まとめ CAD FED まとめ CAD CAD FED 8 : FED: BQP CAD CAD DEF 9 6 問題 右図の ABC において () BEP : : OO () ABC : PBC : OO () APC : PEC : OO () BCP : : OO () ここがポイント BCP と を直接比較するのが難しいので, それぞれを第 の三角形 PEC などと比較します. () BEP と は高さが等しく, 底辺が : BEP: : () ABC と PBC は底辺が等しく, 高さが : ABC: PBC: () APC と PEC の底辺を各々 AP, PE と見ると, 高さが等しく, 底辺が : APC: PEC: () BCP ECP ECP BCP ECP ECP BCP::6 問題 右図の四角形 ABCD において対角線 AC, BD の交点を P とする.AP:PC:, BP:PD: のとき次の面積比を求めなさい. () : : OO () : CPB : OO () ここがポイント と CPB を直接比較するのが難し () :: :: () ::
いので, それぞれを第 の三角形 などと比較します. : CPB: CPB CPB CPB 0 問題 右図の平行四辺形 ABCD において対角線 AC を ::6 に分ける点を順に P, Q とするとき, 次の面積比を求めなさい. () EPA : DPC : OO () EPA : DPQ : OO () : PQD : OO () ここがポイント 直接比較するのは難しいので, 各々の三角形を第 の三角形 AQD と比較します.( ここまで順に解いてくれば, 類推で分かると期待しましたが, 形が似ていないと類推が働かないのかもしれません ) () EPA DPC で相似比が : 面積比は : 6: () () より DPC DPC: DPQ: () EPA DPC DPQ EPA DPC DPC DPQ 6 6 EPA DPQ AQD 8 6 9 6 相似比 6:9 の相似図形 AQD 9 PQD 高さが等しく底辺が9: AQD AQD PQD 9 : PQD: 9