解答速報数学 07 年度大阪医科大学 ( 前期 ) 一般入学試験 () 0, 8 9 0t= $ - - 0t= - = 0t= - dx = - - t t t - = = () x 軸と平行 dt =- - t t =0. t=0, x=0, y= dx y 軸と平行 dt = t -=0. t=$ U, x=p U, y= - ( 複号同順 ) () t dx = - t - t - より, t<- U, 0<t< U のとき dx >0 - U <t<0, <t のとき U dx <0 (4) 増減表をかくと下のようになる t -* - 0 * U U dx + 0 - - 0 + dt + + 0 - - dt 89 x -* y 8 0 9 @ U A 89 0 - @ U A * 8 09
y (0, ) (- U, ) ( (0, ) U, ) O x y A (0,) z D F F- E- E B O x C O B x= U C y A D- (0,-) x () 平面 z=t と線分 BF,BD の交点を点 X,Y とする. U F D このとき BDFQ BXY であり, 相似比 : t であるから XY=tDF=U t Y X t B t とすると U 0 -t S0t = 60, 6U0-t7 sin60,- 6U0-t7 sin60, = U 4 0-t +t+ U 0 -t U V= Q0 4 0-t +t+dt= U - + + 4 t t t = U - 0 = U () 八面体 K の平面 z=t による切り口の面積を S0 () 八面体 K の体積を V とすると < = 4 8 9
() ABC: ACM=BM:CM であり, ABC: ACM= AM sin A : b AM sin A =:b より, BM:CM=:b () BM= a よりAI:IM=: a = 0 :a AI= bab+ bab+ = ここで ( 左辺 )=aia+bib+ic=bab+-0b + AI bab+ =bab+-0 =0=( 右辺 ) () a PA +b PB + PC =0 AP -0bAB+ AP+b AB + AC bab+ =0 AP- + 定数 bab+ よって AP= =AI で最小となる
4 () (i) a=0 のとき 袋の中は赤玉 0 個, 白玉 0 個なので,P0a = (ii) a=7 のとき 袋の中は赤玉 7 個, 白玉 個なので,P0a = 7C C 0C 4 = 4 0 9 8 (iii) a)8 のとき袋の中に白玉が 個以下なので,P0a =0 (iv) 0(a(6 のとき 4 個中赤が0 個または 個となればよいので, 0-aC 4+ a C 0-aC P0a = = 0 0-a 09-a08-a0 7 0C 4 0 9 8 7 0 9 8 7 なお, これにa=0 を代入すると 0 9 8 7 = 68 a=7 を代入すると 0 9 8 7 = 4 0 9 8 a=8, 9, 0 を代入すると0 (i)~(iv) より,0(a(0 で P0a = 0 0-a 09-a08-a0 7 と表わせ, 680 P0a はa の多項式である () P0-P0a - = 09-a08-a07-a0 0 00-a09-a08-a0 7 680 = 0 9-a 08-a607-a0 0-00-a0 77 680 = -a 09 -a08-a 680 よって, a=0,8,9 のときP0a =P0 a=,,,7 のとき P0a >P0 () () より,P0a は減少関数となる P00 = 0>0.95 9 8 7 0 P0 = 0 9 8 7 = 0 >0.95 8 7 6 P0 = 0 9 8 7 = 9 95 0 =0.968 >0.95 7 6 5 6 P0 = 0 9 8 7 = 5 57 0 =0.9 <0.95 よって,a=0,,
5 () OMR と OM Rにおいて OR は共通 またOM, OM はそれぞれ弦 AB, AB の垂直二等分線より 4OMR=4OM R=90, OM= OM より OMR6 OM R () AB の中点 Mを表す複素数は b であり, u=os h+i sinh とすると, A 0au, B 0bu と表わせ AB b の中点 M u と表せる 8 9 よって,4MOM =h であり,() より,4MOR=4M OR であるから, 4MOR=h () M はM より偏角がh 進んでいることと,4MOR=h かつ,Rの偏角はMとM の間にあることから,RはMよりも偏角がh 進んでいるとわかる また, OR OM = osh であるから,R を表す複素数を z とすると, z +i sinh = b osh 0 osh z= osh+ i sinh osh 0b =k0b 同様にして,P,Q も求まり,P00k,Q00+ak,R00bk (4) P,Q,R に対応する複素数をa-,b-,- とおく a--d a-d = b-- d b-d = --d となる -d D0d が存在すればよい a--d a-d = b--d を満たすd を求める b-d 0a--d0b-d =0b--d0a-d d -0a-+bd+a-b= d -0b-d+ab- 60a-b-0a--b-7d=ab--a-b ここで,a-=0k,b-=0+ak より, 0a-b0+kd=0a-b0k + d= 0 k + k 同様に, b--d b-d = --d を満たすdは,d= 0 k と表せる -d + k よって,Dは存在し,d= 0 k + k
解答速報数学 07 年度大阪医科大学 ( 前期 ) 一般入学試験 講評 私立大医学部最難関校にふさわしい問題となり 昨年度より難化した 番, 番,4 番は医学部受験生ならば解いた経験のある問題であろうから ここで得点したい 初等幾何についての重要性はレギュラー授業の中でもよく話していたが 番, 番,5 番と幾何的な問題が多いのも今年の特徴であろう 全体として6 割程度は解けていてほしい 微分難易度 : 標準問題文の意味が読み取りづらかったかもしれないが それさえわかれば標準的な媒介変数を用いた関数の問題である 誘導に上手く乗って 最後のグラフまで描いておきたい 積分難易度 : やや難図形をイメージするのが難しかったかもしれないが () の考え方がわかれば切断面の面積から体積を求めるといういつもの求積問題となる 出来るかできないか大きく分 かれる問題であろう 平面ベクトル難易度 : 標準 () は角の 等分線の性質の証明である ()() は始点をそろえて式を整理するという頻 出問題であるから 確実に得点したい 4 確率難易度 : 標準 () は組合せから求める確率の問題である () は確率の隣接する 項の間に成り立つ大小関係を 差を取ることから調べればよい () は計算が大変であるが 単調性を考え地道に調べていこう 5 複素数平面難易度 : やや難 ()() は中学数学の三角形の合同条件を用いる問題 ()(4) は複素数の積 商を用いた回転 拡大の問題である 誘導に従って 前の問題をどのように利用するか考えながら解いていくとよい 昭和大 近畿大 日本医科大 大阪医科大 関西医科大申し込み受付中 イシャニナロウお問い合わせは 00-48-76