演習問題集応用編 6 年上 第 3 回のくわしい解説 問題 ページ 応用問題 A 1(1) 2 (2) 4 (3) 5 2(1) 7 (2) 9 3(1) 10 (2) 12 4(1) 14 (2) 15 (3) 16 5(1) 17 (2) 19 (3) 20 応用問題 B 1(1) 22 (2) 24 2(1) 26 (2) 30 3 34 4(1) 36 (2) 38 すぐる学習会 - 1 -
第 3 回 A 1(1) AE:EF:FB の長さの比を求めるような 問題では, 特別のテクニックがある それは, まず,AE:EB を求め, 次に,AF:FB を求め, その 2 つの比を 使って,AE:EF:FB を求める, という テクニックである まず,AE:EB を求める 右図のクロス形において, AG:CB=1:3 だから, AE:EBも,1:3 になる - 2 -
次に,AF:FB を求める 右図のクロス形において, AC:DB=2:1 だから, AF:FB も,2:1 になる よって, 右図のように表すことができる ここで,AE=1,EB=3 とすると, AB=1+3=4 になり, AF=2,FB=1 とすると, AB=2+1=3 になる ABが,4であり,3でもあるのは, おかしい そこで,ABを,4と3の最小公倍数である, 12にする すると,AB=4のほうは,3 倍することになるので,AE=3,EB=9 になる AB=3のほうは,4 倍することになるので, AF=8,FB=4 になる すると,EFの長さは,8-3=5 になる (9-4=5 としてもよい ) よって,AE:EF:FB=3:5:4 であることがわかった 答え 3:5:4-3 -
第 3 回 A 1(2) (1) によって,AE:EF:FB=3:5:4 であることがわかった すると,AF:FB=(3+5):4=2:1 であるから, 右図のようになる 三角形 ACFと三角形 CFBの面積の比も, 2:1 である 三角形 ACBの面積は, 底辺が 2 3=6(cm), 高さが 2 2=4(cm) であるから, 6 4 2=12(cm 2 ) よって, 三角形 CFBの面積は, 12 (2+1) 1=4(cm 2 ) 答え 4 cm 2-4 -
第 3 回 A 1(3) 求めたいのは, 五角形 EFDHG( 右図の斜線部分 ) である (1) で,AE:EF:FB=3:5:4 であることがわかっているから, 三角形 ACE, 三角形 ECF, 三角形 FCB の 面積の比も,3:5:4 である 三角形 ACBの面積は,(2) で求めたように, 12 cm 2 である よって, 三角形 ECFの面積は, 12 (3+5+4) 5=5(cm 2 ) 三角形 ACG の面積は, 2 4 2=4(cm 2 ) - 5 -
三角形 DCB の面積は, 6 2 2=6(cm 2 ) 長方形 ABCD の面積は,6 4=24(cm 2 ) で あるから, 斜線部分の面積は, 24-(4+5+6)=9(cm 2 ) である 答え 9 cm 2-6 -
第 3 回 A 2(1) 問題に書いてあることを図に書き込むと, 右図の ようになる 三角形 ADEの底辺をDEにして, 高さを cm とすると, 面積は6 cm 2 であるから, 2 2=6 =6 であるから, 三角形 ADEの高さは,6 cm になる ところで, このような 折り曲げる問題 の基本的な解き方は, 折り曲げてない状態にもどす ことである 右図が, 折り曲げる前の状態である - 7 -
すると, 次のような ピラミッド形 があることに気がつく 高さの比は (6 2):6=2:1 だから, 底辺の比も 2:1 DE=2 cm であるから,BC=2 2=4(cm) 折った状態にすると, 右図のようになる BC と AC の長さは等しいので,BC が 4 cm ならば,AC も 4 cm である 答え 4 cm - 8 -
第 3 回 A 2(2) 求めたいのは, 三角形 FCA の面積である 三角形 FCA の底辺は 4 cm なので, 高さ さえ求められたら, 面積も求められる 高さを求めるためには, 右図のクロス形に注目する DE:CA=2:4=1:2 であるから, 高さも1:2 である よって, 三角形 FCA の高さは, 6 (1+2) 2=4(cm) である 三角形 FCA の面積は, 4 4 2=8(cm 2 ) となる 答え 8 cm 2-9 -
第 3 回 A 3(1) AF:FD=1:3 だから, 右図のように,AF=1,FD=3 にする AD=1+3=4 であるから, BCも4になる 右図のクロス形において, AF:FD=1:3 だから, 三角形 AEFと三角形 DCFの面積の比は, (1 1):(3 3)=1:9 となる そこで, 三角形 AEFの面積を1, 三角形 DCFの面積を9とする 次に, 右図の斜線部分のクロス形に注目 する FD:BC=3:4 であるから, - 10 -
FG:GCも,3:4である よって, 右図の と の部分の面積の比も 3:4 になるが,9を3:4に分ける( ということは,3+4=7 で割ることになる ) のは, 分数になるので計算しにくい そこで,1 と 9 をそれぞれ 7 倍しておいて, 右図のようにしておけば,3:4 に分けやす くなる 63 (3+4)=9 9 3=27, 9 4=36 であるから, 右図のようになる よって, 三角形 AEF と三角形 DFG の面積の比は,7:27 になる 答え 7:27-11 -
第 3 回 A 3(2) 平行四辺形 ABCD の面積が 56 cm 2 なの で, 三角形 ABD, 三角形 BCD の面積は, どちらも 56 2=28(cm 2 ) である 右図のクロス形に注目する FD:BC=3:4 であるから, DG:GB も,3:4 である よって, 三角形 DGCと, 三角形 GBCの面積の比も3:4 であるから, 28 (3+4)=4 4 3=12(cm 2 ) 三角形 DGCの面積 4 4=16(cm 2 ) 三角形 GBCの面積 - 12 -
また,FG:GCも,3:4 であるから, 三角形 FGDと, 三角形 DGCの面積の比も, 3:4 である 三角形 DGCの面積は12 cm 2 だから, 三角形 FGD の面積は, 12 4 3=9(cm 2 ) になる 三角形 ABD の面積は 28 cm 2 だったから, 四角形 ABGF の面積は, 28-9=19(cm 2 ) 答え 19 cm 2-13 -
第 3 回 A 4(1) 3と5の最小公倍数は15なので,3と5の公倍数は,15,30,45, のような,15の倍数になる よってこの問題は,1から100までの中に,15の倍数が何個あるか, という問題になる 100 15=6 あまり 10 だから,15の倍数は6 個ある 答え 6 個 - 14 -
第 3 回 A 4(2) 3の倍数をぬき出すと,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30, となる 5の倍数をぬき出すと,5,10,15,20,25,30, となる 3の倍数と5の倍数をぬき出す という問題の意味は,3の倍数もぬき出し,5の倍数もぬき出す, ということだから, 次のようになる 3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,27,30, 3 と 5 の最小公倍数は 15 なので,15,30, のところで折り返して段にすると, 次のようになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30, 100 までの数をすべて書くのは面倒なので,15 の倍数だけ書いていき,100 が近 づくと 1 つずつ書いていくと, 次のようになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 90までは, どの段も7 個ずつある 全部で6 段と, あと 93,95,96,99,100 の5 個あるから, 7 6+5=47( 個 ) よって,100はこの数列の,47 番目の数になる 答え 47 番目 - 15 -
第 3 回 A 4(3) (2) で書いた次の表があれば,(3) も簡単に解ける 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 27 個目の数を求める問題だが,90までは, どの段も7 個ずつある 27 7=3 あまり 6 この式の意味は, 7 個ずつの段が3 段あって, あと6 個あまっている という意味である 7 個ずつの段が3 段で, 次の網掛け部分までになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 あと 6 個あまっている のだが,1 段には 7 個あるから,4 番目は一番右の数の直前 までになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 たとえば 15 の直前の数は 12 であり,30 の直前の数は 27 である 同じように考えると,60 の直前の数は,60 よりも 3 小さい,57 である 答え 57-16 -
第 3 回 A 5(1) このような問題では, どのように数を並べて あるのかを, 考える必要がある まず,1 を並べ, 次に,2,3,4 を並べた 4 という数は,2 2 という平方数になっている 次に,9 までを並べた 9 という数は,3 3 という平方数になっている 次に,16までを並べた 16という数は,4 4 という平方数になっている このように考えると, この問題は, 平方数 が大切な働きをしていることがわかる - 17 -
次の平方数である,5 5=25 は, 第 1 行の第 5 列に並んでいる ここで, 第 1 行に注目すると, 第 1 列, 第 3 列, 第 5 列という奇数列の場合は,1 1,3 3, 5 5 という, 平方数になっていることがわかる すると, 第 1 行の第 7 列も, 7 7=49 という, 平方数になって いることがわかる 答え 49-18 -
第 3 回 A 5(2) 今度は, 第 1 列に注目してみよう 第 2 行, 第 4 行, 第 6 行, という偶数行は, 2 2=4,4 4=16,6 6=36, というように, 平方数になっている よって, 第 20 行も,20 20=400, という 平方数になっていることがわかる 答え 400-19 -
第 3 回 A 5(3) この問題では, 平方数が大切な働きをしていることが,(1) や (2) の問題でわかった そこで,2005に近い平方数を探すことが大切になってくる 近い平方数を探す, かんたんな方法はない いろいろやってみる ことが, もっとも良い方法である たとえば 40 40 ならば,1600となり, 小さすぎる 50 50 ならば,2500となり, 大きすぎる 45 45 ならば,2025 となり, ちょっと大きい 44 44 ならば,1936 となり, ちょっと小さい では,2025と1936の, どちらが2005に近いか, 計算をしてみよう 2025-2005=20, 2005-1936=69 だから,2025の方が近いことがわかった ところで, 2025=45 45 の, 45 という数は, 奇数であるから,(1) で考えたように, 2025は, 第 1 行の, 第 45 列目にある 斜線部分を見るとわかるように,2025という数は, 矢印のように数を並べていったときの, いちばん最後の数である - 20 -
2005という数は, 2025よりも20だけ小さいから,2025よりも20 行だけ下の行にあるはずである よって, 第 1 行よりも 20 行だけ下の, 第 21 行 に,2005 という数はある 答え 第 21 行の第 45 列 - 21 -
第 3 回 B 1(1) 問題文に書いてあることを図に 書き込むと, 右図のようになる PDの長さは, 20-12=8(cm) である BCの長さは,ADと等しいので, 20 cm である 右図のようなクロス形に注目する PD:BC=8:20=2:5 だから, - 22 -
DQ:QB も,2:5 である AD と RQ は平行なので, DQ:QB が 2:5 ならば, AR:RB も,2:5 である ABの長さは14 cm だから, 14 (2+5)=2 2 2=4(cm) AR 2 5=10(cm) RB よって,AR の長さは 4 cm である 答え 4 cm - 23 -
第 3 回 B 1(2) 相似を利用することによって, 長さを求めることのできるところがあるかどうかを 考える 右図の太線部分は, ピラミッド形に なっている ピラミッド形の場合は, きちんとぬき出すことによって, 相似がわかりやすくなる 7 上の図において,ABはRBの,14 10= ( 倍 ) になっている 5 7 よって,RQ の倍が AD の長さである 20 cm になるのだから,RQ の長さは, 5 7 2 20 =14 (cm) 5 7-24 -
右図のように,RQ の長さを書き こんでおく 三角形 BQR の面積は, 底辺を 2 RQ=14 (cm) とし, 高さは 7 ( 多少ななめになっているが ) 無理 矢理,RB(=10 cm) だと考えて しまう すると, 2 500 14 10 2= (cm 2 ) 7 7 となる 三角形 PQDの面積は, 底辺が PD=8 cm として, 高さは, やっぱり多少ななめになっているが, AR(=4 cm) だと考えてよい すると, 8 4 2=16(cm 2 ) となる 500 これで, 三角形 BQRの面積は cm 2, 三角形 PQDの面積は16 cm 2 と考えて 7 よいことがわかったから, 三角形 BQR の面積は三角形 PQD の面積の, 500 13 16=4 ( 倍 ) となる 7 28 13 答え 4 倍 28-25 -
第 3 回 B 2(1) この問題は, ア : イを求める問題だが, ア : イ を求めるためには, 右図のア : イ : ウを求めるこ とになる ア : イ : ウを求めるためには, 次のような テクニックが, ひんぱんに使われる まず,EJ:JC を求め, 次に,EK:KC を求めることによって, ア : イ : ウを求める, というテクニックである - 26 -
では, まず EJ:JC を求めることにしよう 今後の説明のために, 右図のように点 L, 点 M を定める そして, 斜線部分のような, クロス形に注目する EはABのまん中の点であるから, ELの長さはAGの長さの半分なので, 2 2=1(cm) である 小さい斜線部分の三角形と, 大きい斜線部分の三角形の, 底辺の比は1:6 なので, EJ:JC も,1:6 となる - 27 -
次に,EK:KC を求める E は AB のまん中の点であるから, EMの長さはADの長さの半分になり, 6 2=3(cm) である よって, 小さい斜線部分の三角形と, 大きい斜線部分の三角形の, 底辺の比は,3:6= 1:2 なので, EK:KC も,1:2 になる - 28 -
EJ:JC=1:6 のとき,ECの長さは, 1+6=7 にあたる EK:KC=1:2 のとき,ECの長さは, 1+2=3 にあたる ECの長さが,7になったり3になったりしてはまずいので,7と3の最小公倍数である 21にすると, 1+6=7の方は3 倍し, 1+2=3の方は7 倍することになるので, 右図のようになる このとき,JK=7-3=4 である (18-14=4 としてもよい ) 右図のように, EJ:JK:KC=3:4:14 とわかった ので,EJ:JK=3:4 である 答え 3:4-29 -
第 3 回 B 2(2) (1) の問題で,EJ:JK=3:4 である ことがわかったから,EJ=3,JK=4 と する 右図の太線部分はピラミッド形になっている 三角形 EBJと三角形 ABHとは相似で, ABの長さは 3+3=6(cm) で, EB=3 cm の2 倍である よって,AH の長さも EJ の長さの 2 倍に なり,3 2=6 である - 30 -
同じように考えて, 右図の太線部分の ピラミッド形において, HI の長さは,JK の長さの 2 倍となるので, 4 2=8 である つまり,EJ と JK の比が 3:4 ならば, AH と HI の比も,6:8=3:4 となる AH:HI=3:4 だから, 三角形 AHG と三角形 GHI の面積の比も, 3:4 となる - 31 -
三角形 GHI の面積を求めるためには, 右図の 斜線部分の面積がわかれば,3:4 に分けること によって, 求められる 斜線部分の面積を求めるためには, 底辺は AG=2 cm とわかっているから, あとは 高さがわかればよい そこで, 右図の太線部分のクロス形に 注目する - 32 -
点 Mは辺 EFのまん中にあるので,MFの長さは,6 2=3(cm) である 相似比は,6:3=2:1 だから, 高さの比も,2:1 になる 3 (2+1) 2=2(cm) が, 斜線部分の三角形の高さになる よって, 斜線部分の三角形の面積は, 2 2 2=2(cm 2 ) になる 求めたいのは, 三角形 GHIの面積だから, 1 2 (3+4) 4=1 (cm 2 ) である 7 1 答え 1 cm 2 7-33 -
第 3 回 B 3 この数列 1,2,5,7,10,11,13,14, は,1から200までの整数のうち,3の倍数と4の倍数を, 取り除いた数を並べたものである この数列の中には,200はふくまれていない なぜなら,200は4の倍数なので, 取り除かれているはずだからである 199は,3で割り切れないし4でも割り切れない よって, この数列の中にふくまれているはずである よって, この数列の最後の数は,199になる アの答えは199であることがわかった ところで,3 と 4 の最小公倍数は 12 だから,12 までを 1 つのセットとし, 次に 24 までを 1 つのセットとするように考えると, この数列は次のようになる 1 セット目 1, 2, 5, 7,10,11 2 セット目 13,14,17,19,22,23 3 セット目 25,26,29,31,34,35 199 12=16 あまり 7 で,7 という数は,1 セット目を見るとわかる通り, そのセットの4 個目の数である よって,199は,16セットと, あと4 個目 1セットの中に数は6 個あるから,199は,6 16+4=100( 個目 ) よって, 数列の最後の数である199は, この数列の100 番目の数である この100 個の数を, 右の表のように, 段にして並べた 1 段目には1 個並んでいて, 2 段目までには 1+2=3( 個 ) 並んでいて, 3 段目までには 1+2+3=6( 個 ) 並んでいて, 10 段目までには 1+2+ +10=55( 個 ) 並んでいて, 13 段目までには 1+2+ +13=91( 個 ) 並んでいる よって,100 番目の数である 199 は, その次の 14 段目の, 左から,100-91= 9( 番目 ) に並んでいる これで, イの答えは 14, ウの答えは 9 であることがわかった - 34 -
次に,9 段目の数の和を求める 8 段目までに, 数は 1+2+ +8=36( 個 ) 並んでいる 1セットあたり, 数は6 個並んでいるのだから,36 6=6( セット ) ある よって,9 段目には,7セット目からの数が並んでいるはずである 1つセットには, 次のように6 個ずつ数が並んでいるのだった 1 セット目 1, 2, 5, 7,10,11 2 セット目 13,14,17,19,22,23 3 セット目 25,26,29,31,34,35 それぞれのセットの中の,1 個目の数に注目してみよう 1セット目の1 個目は1 2セット目の1 個目は13 3セット目の1 個目は25 このように, それぞれのセットの中の1 個目は,1から始まり12ずつ増える, 等差数列になっている よって,7セット目の1 個目の数は,1+12 (7-1)=73 になる 1 個目の数がわかったら,1セット目とくらべることによって,7セット目のすべての数がわかる 8セット目の数も, 同じようにすればわかる 1 セット目 1, 2, 5, 7,10,11 7 セット目 73,74,77,79,82,83 8 セット目 85,86,89,91,94,95 9 段目には,7 セット目からの数が 9 個並んでいるのだから,73 から数えて, 73,74,77,79,82,83,85,86,89 この 9 個の数の和は, 73+74+77+79+82+83+85+86+89=728 よって, エの答えは 728 になる 答えア 199, イ 14, ウ 9, エ 728-35 -
第 3 回 B 4(1) ケタ数で分けて考える まず,2ケタのときを考える 2ケタの数は,A A という形をしている Aが1のとき,A A は11, Aが2のとき,A A は22, Aが3のとき,A A は33, Aが9のとき,A A は99となる つまり,Aが1から9まで変わることによって,A A という2ケタの数も,11から 99へと変わっていく よって,2ケタの数は,9 個あることになる 次に,3ケタの数を考える 3ケタの数は,A B A という形をしている この3ケタの数は,A と B がどんな数かによって, 変わっていく A B が10だったら,A B A は101になる A B が11だったら,A B A は111になる A B が12だったら,A B A は121になる A B が99だったら,A B A は999になる つまり,A B が10から99まで変わることによって,A B A という3ケタの数も,101から999へと変わっていく よって,3 ケタの数は,A B が10から99まで変わってできる個数と同じだけある 10から99までには, 数は 99-10+1=90( 個 ) あるから,A B A という 3ケタの数も,90 個ある 次に,4ケタの数を考える 4ケタの数は, A B B A という形をしている この4ケタの数は,A と B がどんな数かによって, 変わっていく A B が10だったら,A B B A は1001になる A B が11だったら,A B B A は1111になる A B が12だったら,A B B A は1221になる そして, いよいよA B が20のときに,A B B A は2002になる つまり,A B が10から20まで変わることによって,A B B A という4ケタの数も,1001から2002へと変わっていく - 36 -
よって,2002までの4ケタの数は,A B が10から20まで変わってできる個数と同じだけある 10から20までには, 数は 20-10+1=11( 個 ) あるから,2002までの4 ケタの数も,11 個ある 結局,2 ケタの数は 9 個,3 ケタの数は 90 個,2002 までの 4 ケタの数は 11 個 あるのだから, 全部で 9+90+11=110( 個 ) あることになる よって,2002 は,110 番目の数であることがわかった 答え 110 番目 - 37 -
第 3 回 B 4(2) この問題も,(1) と同様に, ケタ数で分けて考える まず,2 ケタの数 A A について考える この数は,A が 1 から 9 まで変わることによって変わっていくから,9 個ある 次に,3 ケタの数 A B A について この数は,A B が 10 から 99 まで変わることによって変わっていくから, 99-10+1=90( 個 ) 次に,4 ケタの数 A B B A について この数も,3 ケタの数と同様に,A B が 10 から 99 まで変わることによって変わっ ていくから,99-10+1=90( 個 ) 次に,5 ケタの数 A B C B A について この数は,A B C が 100 から 999 まで変わることによって変わっていくから, 999-100+1=900( 個 ) 次に,6 ケタの数 A B C C B A について この数は,A B C が 100 から 999 まで変わることによって変わっていくから, 999-100+1=900( 個 ) ここまでで,9+90+90+900+900=1989( 個 ) あと,2002-1989=13( 個 ) で,2002 番目の数となる 次に,7ケタの数 A B C D C B A について この数は,A B C D が1000から変わることによって変わっていく 1000から13 個目は,1012である よって,A B C D が1012のときのA B C D C B A を求めることになるから, 答えは1012101 になる 答え 1012101-38 -