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1 F: 輻射強度 2007 年 11 月 12 日 単位名学部 : 天体輻射論 I 大学院 : 恒星物理学特論 IV 教官名 中田好一 授業の最後に出す問題に対し レポートを提出 成績は レポート + 出欠 でつける 授業の内容は下の HP に掲載される

2 授業タイトル A: 原子のエネルギー準位 2007 年 10 月 1 日 B: 化学平衡 2007 年 10 月 15 日 C: 線吸収 2007 年 10 月 22 日 D: 連続吸収 2007 年 10 月 29 日 E: ダストの吸収 2007 年 11 月 5 日 F: 輻射強度 2007 年 11 月 12 日 G: 黒体輻射 2007 年 11 月 19 日 H: 等級 2007 年 11 月 26 日 I: 色等級図 2007 年 12 月 3 日 J: 星間減光 2007 年 12 月 10 日 K: 輻射方程式 2007 年 12 月 17 日 L: エディントン近似 2008 年 1 月 7 日 M: 吸収線の形成 2008 年 1 月 21 日 N: 星のスペクトル 2008 年 1 月 28 日

3 物理 天文 F.1. 輻射強度 (Intensity) の定義 光の強さをどう表現しようか? 光子 ( 振動数 位置 方向 ) の分布の 2 つの表現法 (1) 光子の分布関数 ( 位置 運動量 ) (2) 輻射強度 ( インテンシティー ) f(x, p) I (x, ν, Ω )

4 (1) f(x, p) dn=dn dx =f(x,p)dxdp = 位置 dx 運動量 dpの箱内の光子の数下に位相空間の6 軸中 X Px Py の3 軸だけ描いた図を示す (2) I (x, ν, Ω) de=i (x, ν, Ω)dνdΩdSdt = 位置 x 法線方向 Ω の微小面 dsを通り Ω 方向立体角 dω に時間 dt 内に流れる振動数 dν の光子エネルギー x f(x, p)= 位相空間密度 p y dn dpx dx dpy px dω de I (x, ν, Ω) = 輻射強度 (Intensity) dn=f(x,p)d 3 xd 3 p ds de=i (x, ν, Ω)dνdΩdSdt

5 f と I をどうつなぐか? (1) 分布関数 f を運動量に関し絶対値 角度表示する dn =f(x,p)dp=f(x, p,ω) p 2 dpdω x (2) dω 方向に垂直な微小面をdSとする Py dn=dt 内に dω 方向へdSを通る光子数 dx dn dω =dn c ds dt dp (3) de=hν dn I (x, ν, Ω)dν dω ds dt=hν dn c ds dt Px ((4) 光子に対して hν=c p だから dp=(h/c)dν I (x, ν, Ω)=(h 4 ν 3 /c 2 ) f(x,p) =hν f(x, p,ω) p 2 dp c dω ds dt 輻射強度 (Intensity) は基本的には 光子の位相密度関数 f を立体角表示したものである

6 注 1: 光子に対しては ε=hν=c p から dp=(h/c)dν なので 注 2: f(x, p)d 3 p=f(x,p) p 2 dp dω =(h 3 ν 2 /c 3 ) f(x,p) dν dω したがって g (x, ν, Ω)=(h 3 ν 2 /c 3 ) f(x,hν/c) とおくと dn =g (x, ν, Ω) dν dω I (x, ν, Ω)=ε c g (x, ν, Ω) したがって 輻射強度の変化は光子に対するボルツマン方程式で記述される これが輻射輸達方程式である 光子の吸収 放出はボルツマン方程式の衝突項にあたる 吸収 散乱のない輻射は無衝突ボルツマン方程式に相当する その場合に成立する 位相密度 f(x p t) は軌道に沿って不変である という Liouville の定理は次に述べる輻射強度不変の法則に対応するわけである

7 F.2. 輻射強度不変の法則 一様に光る円盤 ds から放射される光を考えよう ds から輻射強度 Ⅰ 立体角 dω で放射した光が全て R 離れた ds を輻射強度 Ⅰ 立体角 dω で通過する de =Ⅰ ds dω =ⅠdSdΩ ds=r 2 dω ds =R 2 dω Ⅰ R 2 dωdω =ⅠR 2 dω dω よって Ⅰ=Ⅰ R Ⅰ dω Ⅰ ds ds dω 吸収や散乱の無い時 輻射強度 Ⅰ は距離によって変化しない

8 この光線の広がりを 光子の位相密度関数の立場で考えてみよう Ω Ωo So S 左から右に進む光子の運動を考える 位置空間を位置 Xとそれに垂直な面 S で表す 運動量空間としては 運動量 Pと運動方向の広がり立体角 Ωをとる 面 Soを立体角 Ωoで出たN= n o So Ωo 個の光子の集団が位置 Xに達する その時の光子の空間的な広がりSはS=Ωo X 2 で与えられ 方向の広がりは Ω=S/X 2 で与えられる X

9 実空間 (S) で広がる 運動量空間 (Ω) で絞られる (SΩ= 一定 ) 光子の総数 N=n S Ωは変わらず SΩ 一定であるから位相密度 n は不変である これが光子の運動の最も単純な場合に対するLiouvilleの定理の一例である 位相密度 nは輻射強度 Iに比例するから n= 一定は I= 一定を意味する つまり 光束が広がると角度が絞られ 光束が縮むと角度が広がる結果 輻射強度 I は一定に保たれるのである S S1 S0 X1 X Ω Ω0 Ω1 位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変 (Liouville の定理 )

10 F.3. 表面輝度 ( 輻射強度の別名 ) 等方的に光る壁 A-B を点 X から見る A I(A,ω A ) I(X,ω A ) =I(A,ω A ) 斜めに見ると光線が圧縮されるので濃く見える 遠くなると光が弱くなるので壁の輝きが弱まる X から A を見ると A 点は I(X,ω A )=I(A,ω A ) の強さで光って見える この強さは X によらず A 点固有の量である そこで I(A,ω A ) を [ 天文では実際に測定するのは I(X,ω A ) だが ] A 点での ω A 方向の表面輝度と呼ぶ 説明から分かるように表面輝度は輻射強度と同じである B I(B,ω B ) X I(X,ω B ) I(X,ω A )

11 壁から離れた点 y z での輻射強度は? 輻射強度 = 表面輝度は距離で変わらない y z 点 z から見た壁 点 y から見た壁 黄色い部分は小さく見えるが そこの色 明るさは変わらない 銀河の表面輝度は距離で変わらない 大きさが変わるだけ

12 F. 4. フラックス (Flux) 最初に定義を少し ( 見にくいけれど太字はベクトル ) dω(k) dω=kdω=ω 方向の微小立体角 (k は Ω 方向の単位ベクトル ) S=S k= 法線ベクトルkの微小面 k=sの法線ベクトル ( 長さ1) k S=Sk k =k と角度 θ をなす単位ベクトル (k k )=cosθ k S θ k

13 単位時間に S を通る光子のエネルギー E を計算してみよう S を通る光 (Ω 方向 ) は法線 k(ω 方向 ) に対し角度 (θ) を持つ dω =k dω =Ω 方向の微小立体角 Ω 方向の光がSを通過するときは Sを斜めに見るので その有効面積は k S θ k cosθ S S cosθ= (k k ) S=(S k ) S を通り dω 方向に流れるエネルギー de は de =I (Ω )(S k )dω したがって = I (Ω )(S dω ) E= de = I (Ω )(S dω ) =S I (Ω )dω dω =k dω k θ k S=kS =S F

14 F= I(Ω)dΩ= 輻射流束ベクトル = フラックスベクトル S を単位面積にしたときの F=(k F) もフラックスというので注意 F(k)=(k F) I(k ) =k I(Ω )dω θ = I(Ω )(k dω ) = I(Ω )(k k )dω = I(Ω )cosθdω dω =k dω ds=kds F(k)=k 方向の面を通るフラックス =(k F) = フラックス ( 輻射流束 ) ベクトル F の k 方向成分

15 フラックスとインテンシティ フラックス F インテンシティ I 周波数表示 W/m 2 /Hz W/m 2 /Hz/Str. 波長表示 W/m 2 /mμ W/m 2 /mμ/str. 全エネルギー表示 W/m 2 W/m 2 /Str. と フラックスとインテンシティは単位としては立体角 (Str) 当たりかどうかが違いであるが 立体角は無次元なので 実際にはフラックスとインテンシティは同じ単位で表される 天文では ジャンスキー (Jansky)=Jy=10-26 W/m 2 /Hz という単位が多用される 星などの点光源に用いられるときはフラックスの意味である しかし 空の背景輻射など広がった天体の話で Jansky が現れたら インテンシティの意味で使われているから注意が必要である

16 F.5. 体積輻射率 ε インテンシティ I のソースはどこだろうか? 1) 壁 I 2 =I 1 I 1 I 2 2) 途中からの輻射の集積 I 2 = di

17 A 点でのインテンシティ I への 途中 B 点での微小区間 dx からの寄与をもう少し 丁寧に考えてみる 長さ=dX, 断面積 =dsの微小体積 dv=dsdxを考える dv 内で生み出される光エネルギー率を 4πεdV とする 4πは後での記述の整理のために入れた定数 ε= 体積放射係数と呼ぶ 4πεdVのエネルギーはB 点から四方八方に放出される その内でA 点でのインテンシティに寄与する割合を考える B 点 dω A 点 dω ds=x 2 dω X ds=x 2 dω dω dx A 点に微小面積 ds を立てる A 点から B 点の ds を見る立体角 =dω=ds/x 2 逆に B 点から ds を見込む立体角 dω=ds/x 2

18 dv 内で発生する輻射 (4πεdV) のうち (dω/4π) が A 点で ds を通り dω の方向に流れていく 4πεdV ds=x 2 dω dx X ds dω したがって dv から ds を通って dω に放出されるエネルギー率は (4πεdV)(dΩ/4π)=(4πεX 2 dωdx)(ds/ 4πX 2 )=εdxdsdω この式を見ると dx 部分からの I への寄与 di は di=εdx である したがって 2) の場合は I= di= εdx 注意 : テキストによっては dv 内でのエネルギー放出率を εdv としている この場合には di=(ε/ 4π)dx I= di= (ε/ 4π)dx となる

19 F.6. 簡単な例 (a) 壁表面でのフラックス F (1) F = I cosθdω = I(θ φ)cosθsinθdθdφ (2) I(θ φ) が壁の法線に関して軸対称 (φによらない) と F=2π π/2 0 I (θ)cosθsinθdθ =2π 01 I (μ)μdμ (μ=cosθ) (3) I(θ φ) が一定 ( 等方 ) I=Io な場合 F=2πIo 0 π/2 cosθsinθdθ =2πIo 01 μdμ =πi0 F を求める際の立体角 Ω は壁前面なので 2π に渡る しかし F の計算には I に cosθ の重みがかかる (F= IcosθdΩ) ので <cosθ>=0.5 のため F=2 πio でなく F=πIo になるのである

20 (b) 望遠鏡の F 比 星雲を焦点距離 f 口径 Dの望遠鏡で撮影する 簡単のため 望遠鏡の収差は無視する 星雲上の点 Aの像が焦点位置 Bにできたとする Bに置いた画像検出器 ( 写真乾板 CCDなど ) が受ける輻射量 すなわち像の明るさを考えよう I B B I A A D 2η (tanη=d/2f) f A 点から輻射強度 =I A で出た光は D を通り 輻射強度 =I B で B 点に集まる A.2. でやったように I A =I B である B 点でのフラックス F は収束光の立体角を ω とすると F= I B cosθdω I B ω πi B η 2 πi A (D/2f) 2 広がった像の単位面積当たりの光量 = フラックスは (f / D)=F 比で決まる

21 焦点距離 = f 画像の長さ L=f θ θ f L 像が大きい 像が小さい F 比 = F tanη=d/2f=1/(2f) D f η 像が明るい 像が暗い

22 前頁の式に出てくる f/d を望遠鏡の F 比 (F-ratio) と呼ぶ 一般に望遠鏡の画像の大きさは焦点距離 f で決まり 画像の明るさは F 比で決まる F 比大 F 比小 焦点距離 f 大 焦点距離 f 小 したがって淡い画像 例えば銀河の周りに広がる薄いエンベロープ を検出しようとする際には口径の大きさよりも F 比を重視しなければいけない

23 いくつかの例 すばる望遠鏡 口径 =8m 主焦点 ( 主鏡の焦点 ) の焦点距離 =15m F=15/8=1.9 岡山天体物理 観測所 1.88m 望遠鏡 口径 =1.88m 主焦点 ( 主鏡の焦点 ) の焦点距離 =9.15m F=9.15/1.88=4.9 木曽観測所 シュミット望遠鏡 口径 =1.05m 主焦点 ( 主鏡の焦点 ) の焦点距離 =3.3m F=3.3/1.05=3.1 ニコン口径 =36mm 焦点距離 =50mm カメラ標準レンズ F=50/36=1.4

24 (c) マゼラン雲内の恒星コラム数密度 光度 ( エネルギー総放出率 )Lの星が数密度 nで分布しているとする 体積 dv 内の星の総数 =ndvだから 4πεdV=LndV ε=ln/4π マゼラン雲の面輝度 Bを測ったところ B=10-5 W/m 2 であった マゼラン雲内の星の光度を仮に太陽の光度の100 倍 Lo= W とし 途中の光吸収をゼロと仮定すると B= (Lo n/4π)dx=(lo/4π)(n X) N=(n X)=(4π 10-5 / )/m 2 = /m 2 = ( ) 2 /pc 2 =3/pc 2 次ページに示すのはマゼラン雲バーの中心 7.8 分角のJHK3 色画像である マゼラン雲までの距離を50kpcとすると 113pc 四方となる この画像に写っている星は大部分が赤色巨星で100Loよりは明るく 星の数は1 万程度なので 上の見積もりと大体合う

25 大マゼラン雲 (LMC)

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27 (d) オルバースのパラドックス オルバース ( ) は 星が地球 ( 太陽 ) の周りにどこまでも存在する宇宙を考えた 星の半径 =Ro 明るさ =Lo 星の数密度 =n とする R dr 半径 =R 厚み =dr の球殻 dn=4πr 2 dr n= 球殻中の星の数 S=πRo 2 = 一つの星の断面積 ω=s/r 2 =π(ro/r) 2 = 一つの星の立体角 dω=ω dn =π(ro/r) 2 4πR 2 dr n =4π 2 Ro 2 n dr = 球殻内の星が空を覆う立体角 Ω(R)= 0R dω=4π 2 Ro 2 n R = 地球から距離 R 以内の星全体が空を覆う立体角 オルバースは 宇宙が一様で無限であるなら Ω(R) が 4π となり全天が太陽表面と同じ明るさで輝くはずなのに なぜ夜空は暗いのか という問題を提唱した

28 この問題を輻射強度 I の言葉で表現してみよう 例 (c) で見たように 恒星数密度 n の時 ε=lo n/4π だから 地球から距離 R 以内の恒星による輻射強度は I(R)= 0R εdr=lo n R/4π I(R) はRに比例するので Rが無限大になるとI(R) も発散する 前頁のΩを数値で当ってみると 簡単のためRo= m n=1/pc 3 Ω(R)=4π 2 Ro 2 n R=4π 2 ( / ) 2 R(pc) =4π R(pc) Ω(R)=4πとなるのは R= pc= 光年 として R=100 億光年 =10 10 光年とすると Ω =4π(10 10 / )=π =π ( ) 2 1 =π/180= なので =15.2 太陽の視半径 =16 なので 太陽近傍の恒星密度で宇宙が100 億光年まで一様であったら 夜空は昼間と同じくらいにまでは明るかったであろう

29 問題 F 出題 : 平成 19 年 11 月 12 日 解答レポートの第 1 頁には 氏名 学科 学年 提出月日を忘れず記入せよ ( なるべく ) 翌週の授業に提出すること F-1 黒体表面での輻射強度は等方的である すなわち 黒体表面をどのような角度から見ても同じ輝き ( 表面輝度 ) に見える 下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景である 市街地を無限に広がる平面とみなし W=100 ワットの電球が N=0.1 個 /m 2 の密度で灯っているとしよう 公園の高さを市街から h=50m とし 公園における輻射強度を鉛直方向からの角度 θ( ) の関数として求めよ 等方的に光る電球を一様に並べたのに なぜ市街地の表面輝度は一様でないのか その理由を述べよ

30 F-2 下の花火の写真を見ると 中央よりも縁の方が火の粉が多いこと ( リムブライトニング ) に気付くであろう 写真上での火の粉の面密度を測って 花火の中心からの距離の関数としてグラフにせよ 次にそれを適当なモデルで説明せよ