電場 electric field 電気の正体は? 電気の発見静電気電子の発見 摩擦電気 問題の P は個人で G はグループで考える C はチャレンジ紀元前 600 年のギリシャ時代 コハクを擦ることにより小さな埃が吸い付くことが知られていた 電気という言葉の起源はこのコハク (electrum)

Transcription

1 電気の正体は? 電気の発見静電気電子の発見 摩擦電気 問題の P は個人で G はグループで考える はチャレンジ紀元前 6 年のギリシャ時代 コハクを擦ることにより小さな埃が吸い付くことが知られていた 電気という言葉の起源はこのコハク electrum による しかし 今のように電気の種類が ーの 2 種類しかないことや電気の中には摩擦電気のような静電気以外に金属の中を流れる電流が発見されたのは 7 世紀になってからである さらに 897 年になって J.J トムソンが陰極線の正体が電子であると発見した G よく乾燥した日に下図のようにストローの中心に穴をあけ紙でよく擦り糸でつるす もう一つのストローも紙で擦って近づけてみよう 紙とストローを近づけるとどうなるか図示せよ 反発引き合う 紙 帯電 ミクロで見る 電子 自由電子 導体 ー ー ー 不導体 このように摩擦することによって引き合ったり 反発したりする性質を電気が帯電するという 帯電した電気のことを電荷という 電流の担い手は電気素量.6 9 を持つ電子である 従って他の原子はこの電気素量の整数倍の電気量しか持てない P 不導体中の電子の様子 半導体中の電子の様子 導体中の電子の様子をモデル化せよ ただし 電子については自由に動ける自由電子 伝導電子 のみを図示せよ 不導体 絶縁体 半導体 Si,Ge 導体 金属 4Si 4Si 自由電子自由電子 5P 自由電子 P2 摩擦電気よう帯電しやすい物質は導体 半導体 絶縁体のうちどれか 絶縁体 不導体 P3 下の表のように物質の帯電の強さ 左ほど 右ほど がわかっている これから紙とストローはそれぞれどちらに帯電していたか 負 毛皮ガラス雲母絹紙木材コハクストローエボナイトナイロン バン デ グラフ起電器 コンデンサー G4 下図のように中心部に回転する絶縁体 エボナイト 外部に絶縁体 毛皮 をセットして中心の絶縁体を回転させ摩擦をおこすとどうなるか またこれと同じ働 きをする回路を直流電源 電池 を用いて図右に描け 金属板 金属板 2 ー ー ー ー ー G5 導体 金属 は帯電しないか するとしたら絶縁体とのちがいは何か 金属も電気を帯びることができるが自由電子が移動すので電気は表面に帯びる 反対側には反対の電気が帯電するので全体では常に中性である 摩擦電気が生じた絶縁体は全体で電気を帯びている 摩擦電気 絶縁体 不導体 におきる現象 外力により 電子が移動する 電場

2 静電誘導 帯電体を 導体 に近づけた時 近いほうに異極 遠いほうに同極 の電気を帯びる これを 静電誘導 という 摩擦電気のように異なる物体に電子が移動するわけ ではなく全体では 中性 で電荷は 境界面 のみに生じる 箔検電器 下の図のようにガラス瓶をコルク栓で閉じて 金属板を上部にアルミ箔 2 枚をガラス容器 正の電気は明治 にいれ金属でつなげたものを 箔検電器 といい 帯電した電気の種類や大きさを 負の電気はで図 調べるのに用いられる 示すること P 箔検電器のアルミ箔ははじめ閉じているとする これに毛皮で擦ったエボナイト棒 箔検電器 を近づけるとどうなるか図示せよ 導体の部分を色づけすること 静電誘導により 箔は 世界の教科書から静電気 ElectroMagnetic iel TheoryMIT 皿 棒と同じ に帯電する よって箔が開く あたり前のことのように見えるが棒と皿は接 箔 触しているわけではなく この間の空間は真 空であっても同じことが起きる つまり電気 のない場所を経て電気は伝わるわけである P2 さらに近づけるとアルミ箔はどうなるか また 遠ざけるとどうなるか 近づけた時 アルミ箔に帯電している電荷の種類は何か さらに開く 遠ざけるとやや閉じる アルミ箔には棒と同じ負が帯電している P3 次に図の右のようにエボナイト棒を近づけたままにして金属板に手 金属 で触れたアルミ箔はどうなるか アース Groun 地球はどんなに電子を流しても中性 回路記号 アースするのと同じで電荷が移動し 電気のない状態になろうとするがまだ 棒が近くにあるので一部の の電荷はこれに束縛され残る 例えばが 3 つ残ったとすると残りのーとはぶつかり消滅するが が3つ分はのこりアースにより外に出る G4 次に手もエボナイト棒も遠くに取り去った箔検電器の帯電の様子を図示しなさい また 箔を閉じさせるためにはどうしたらよいか図右に図示しなさい 残った の電荷が導 体に一様に広がるの 再び皿に導体で触れ てアースする で箔は開く 電気の分布に偏りができるとそれ だけで電気的なエネルギーを持ち G7 静電気の現象 摩擦電気 は導体 半導体 不導体のどの物質で見られるか 摩擦電気は不導体 導体でも電気をためることができるが表面のみの分布になる 量子色力学クォークでは の2 種類ではなく色の 3 原色のように赤 緑 青がそろうと中性になり安定する 不安定になる できるかぎり一様になろうとする G5 最後に箔検電器に帯電した電気と同じ種類にするためにはどうすればよいか 上の図 左 では最後に棒と反対の電荷が残る 同じ電荷を残すには帯電体を皿の部分にこすりつける 全体が一様になろうとするので電荷が導体にも移り 同じ電荷で耐電する G6 ここまでの実験を参考にして世の中の電気はとしかないことを証明してみよ ととも引き合う があったとすると と引き合うものどうしを調べたときとのように引き合うものがあるはずである しかし 発見されない よって今のところ は存在しない G8 導体には束縛力の小さい自由電子がたくさんあるのに静電現象がおきないのはなぜか 導体内部に電子を留め置けない 内部に電位差をつくることはない 自由電子は束縛されていないので動きやすく 外力を加えてもはがれたりしない 電場 2 電場 3

3 誘電分極真空にも誘電率はある光 電磁波は振動する帯電体のようなもの 誘電分極と分散 電気双極子 コンデンサー 種類と構造 静電容量容量 誘電率 ε 比誘電率 ε r 静電容量 [] 不導体 絶縁体 に帯電体近づけた時 電子の移動は無いが電子の分布が帯電体側が異極 反対が同極に分極する これを誘電分極という 真空は分極しないと考える また導体も分極しない 誘電分極がおこると内部に電気量をためることができる これは束縛された電子があると電気双極子として振動子し 光 電磁波 と相互作用するからで光の伝わる速さは真空より遅くなる これを分散という 分散では振動が大きくエネルギーの大きい 青 紫 色の光りほど遅くなり よく屈折する 電気をためることができる電子部品がコンデンサーである コンデンサーには電荷を最大にためることができる静電容量 が決まっている * 静電容量を変化できるコンデンサー バリアブルコンデンサ もある コンデンサーは一定以上の電圧を加えると破壊する 限界の電圧を耐電圧という 間隔 S 断面積 P. 上図のような平行版コンデンサー 間隔 断面積 S の静電容量を とする 比例定数をεとして静電容量 を表す式を考えよ ε は真空の誘電率 ε は比誘電率という = ɛ S = ɛ S ɛ r,,ɛ r = ɛ ɛ さらにコンデンサの性質をあげるために真空に対する誘電率が ε ε ε r の物質 誘電体 を上図右のようにつめる すると誘 電体には誘電分極が生じる ε ': 紙 3.2 雲母 7 ゴム 8.5 チタン酸バリウム 5 の電圧をコンデンサに加えた時 ちょうと の電気量がたまればそのコンデンサの静電容量 は ファラド という しかし 実用的には次のような単位が元いられる m = 3 μ = 6 n = 9 p = 2 ε * 世界の教科書から * ONTEMPORRY OLLEGE Physics P2 5μ は何 か 5. 5 電流 I= Δ / Δt [] P3 たまったコンデンサを m の定電流で放電させるのにおよそ何秒かかるか =It だから = 3 t t= 3 秒実際には I は一定ではない 電気量コンデンサーなどに帯電した電荷の総量が電気量 である これは電気容量に比例し 極版間の電圧に比例する 電気量は回路が閉じれば電流として流れる =[c] P4 静電容量 電位差 として電気量 を求めよ =[c] P5 コンデンサーに帯電した様子を図示し上下の極版の電気量を求めよ 極は =[c] 極は = [c] 静電誘導と誘電分極 静電誘導 誘電分極 コンデンサー P6 静電誘導と誘電分極の違いをまとめよ 静電誘導は導体に起きる 自由電子が表面に移動し 全体としては中性である 誘電分極は不導体で起きる 電子の移動はなく電子の分布に偏りができる = ɛ S = ɛ S ɛ r,,ɛ r = ɛ ɛ 真空の誘電率 ε 誘電率 ε 比誘電率 ε r 電場 4 電場 5

4 電気力線 ここで初めて 場 という考えを学ぶ 帯電体の周りの空間は目には見えないが電気的な力を クーロンの法則 たとえ真空中でも電荷が存在すれば電気力線が生じ 等電位面に垂直に力が働く N =4πk =/ε 伝えることができる そこで次のような電気力線を用いて電気的な場を表現する. プラスの電荷からマイナスの電荷に向かう矢印のついた曲線で表現する クーロン力に作用反作 帯電粒子が2つあるとその間の力はクーロン力あらわされる 電荷 :,2 r:2 点間の距離 とよばれ実験により次のような式で e は向きを表す単位ベクトル k: ε : 2. 交わることがなく 空間に一様に広がる 密度できまる すり抜けられない 3. 必ず等電位面と直交する 電気力線の総数 N は 用は成立しているか kクーロン定数 : k=9. 9 Nm 2 / 2 _ = k 2 r 2 電場 E[N/][/m] N=4πk=/ε とする 電場 E は電気力線の密度で表すことができる 例えば電気量 の帯電体を仮想的に持ってくると この試験電荷に働く力が電場である よってこの試験電荷の動きを線で結べば電気力線が描ける 基本形 P P2 クーロンのポテンシャル U 電位 として力, 電場 Eを表せ ベクトルは成分表示せよ E =, E y = = U,,E = y, E = E 2 E r r y 2 空間の原点に q [c] の点電荷がある距離 r での電場 E と電位 を求めよ 単位ベクトルは e * 試験電荷 の電気量を持った小さな粒子を点電荷 試験電荷 という 式とグラフ また r Er のグラフを示せ 試験電荷を距離 r の位置にもってくる クーロンの法則から 電場の式 = q E P. 電場 E を力 [N] と電気量 q [c] で表せ また 単位も示すこと 力学では何に相当するか 電位を [] 変位 [m] として力学の位置エネルギーに相当するものはどうなるか 式 : 単位 : E[N/][/m] 物理はイメージ! 参照 HP [ 電場電位 ] 電位は 青が電位 kq/r のグラフだが 正になることに すぐにに働く力が電場だから =, 2 =として原点に近づくと E=k/r 2 となるが本来はこれに単位ベクトル e 正方向に大きなをかけておく また = k / rだがこのrは大き 電位 逆らう外力 =qe = q E E = /q[n/] 力学では =ma に対応する 加速度に対応するのが場である U=mgh =q E=q[J] 電位とは の電荷を距離 r [m] まで運ぶのに逆らう外力のする r ともいえる これから = Er U = q Er 電位 と E の関係は となる U は となる * 電場はベクトル量 電位はスカラー量である r 仕事 山 谷 電場は傾きにマイナス試験電荷で向きを確認! 注意 原点に近づくと 負方向に大きな 力が働く 力が働く r 赤が電場のグラフ 電位より傾き が 2 乗の分だけ急になる 負にな ることに注意 さであるので絶対値をつけさらには符号は基準や電荷の正負で決める 電場はベクトル 電位はスカラー E = k r 3 r, = ±k r 電場は試験電荷 G 次のように距離 離れた 極板と 極板があり電場 E> は一様である 極板をアースし 等電位面 地図の等高線のように 同じ電位の位置を結んだ曲線を 等電位面 線 という この 軸の原点とする 電場の向きを図示し 極板の電位を求めよ また 質量 m の軽い 線は電気力線と必ず 直交 している 電荷 q を 極板に置いた 極板に到達する時間を求めよ 電気力線電場 G. 次のような点電荷がある電気量は q q 電気力線 等電位面を図示せよ の試験電荷を原点にもってくると図右に動くので 等電位面電位 できるなら 3 像を想像せよ さらに電場 E, 電位 の様子を下に示せ E は右向き 定義から =E [] 図示 赤の向きがある 青の閉曲線 円 が等電 また =ma=qe から a=qe/m t= 2m/qE 基本パターン のが電気力線で 位面 地図の等高線に 力学との関係 電気力線が描ければそこには電場があり 帯電体は 加速 運動する つまりそこには あり電場の向き _ 相当する =E 力が生じ それがうに電場が電位の 傾き 電場と関係している よって力と位置エネルギーのよを表す 電荷 q [c] が原点にある時 次に答えよ 図とグラフ電位と電場 青 : 電位赤 : 電場 電位の式 G2. 電場 E を Δ, Δ で表し と U の関係から電場 E を変位 [m] と電位差 [] で表せ 力学では = Δ U/ Δ である = q E,U =q という関係から E= Δ / Δ となる 一般には E = / である 場と力 地球上では重力がはたらくこれは重力場が 質量 と相互作用するためだ 同じように 場荷力 電気では電場が電荷と作用し 磁気では磁場が磁荷と作用する 力学とのアナロジー 場にはエネルギー ポテンシャルU があり このー 傾き が力なのは共通している 式 : = U,,E = r r m h 荷力場高さエネルギー力学質量 m 重力 mg g h mgh 電荷 電気 電荷 q =qe E = E 電位 電気力線の行方 _ 2 _ 電場の式電気力線 = q E =E U=q=qE E= ー Δ / Δ 電気力線 N =4πk = / ε = U,,E = r r G2. k と の点電荷があるとき k> から出た電気力線の何割がの電荷に入るか 電荷の比が電気力線の比になるから の /k だけーに入る /k 割がーに入る 電場 6 電場 7

5 電位電場図 3 次元でイメージ 参照 HP 電場のシミュレーション 電場と電位の作図 まず電位はスカラーなので山 谷のイメージで描く 分数関数 次に電場はさらに傾きを急にして描く 向きは の試験電荷の向き < = kq 参考文献 lassical Electroynamics Jackson 著 < = kq > = kq 分数関数微分 = 2 = 2 < = kq < = kq G. 図のようにq [c] とq [c] の点電荷を位置 B に固定した クーロン定数はkとする 原点と位置 での電場と電位を求めよ 電位は無限遠をとする 各点での電場を図示 y[m] 原点では中点での電場は を原点に せよ B [m] 持って来て B からは右に EB = kq/ 2 からも右に E = kq/ 2 q q よって全体では E=2kq/ 2 [/m] 中点での電圧は明らかに [] 位置 では が負の時の符号に注意し = kq E =kq 2 2, > E E y[m] E = kq 2 E = kq 2 2 2, <, < G2. 図のようにqcとqcの点電荷を位置 B に固定した クー ロン定数はkとする 原点と位置 での電場と電位を求めよ 各点での電場を図示 y[m] 原点では中点で電場はあきらかに [/m] せよ B [m] 電圧はスカラーで = B =2kq/ 位置 では場合分けに注意して q q = kq E = kq, > 2 2 E =kq 2 2, < < E = kq, < 2 2 電荷が等しくない場合 作用 反作用の法則 力学 クーロン力 等電位面が円になる 電位は場合分け = 同じ作用点 作用点は電荷の重心 k a 参考文献 電場と電位 WEB: 教育を考える会 G3. 軸の原点に4の電荷 があり =2 の位置に2 の電荷 B がある クーロン定数はkとする ア が B から受ける力と B が から受ける力を求めよ また この時 作用反作用の法則は成り立っているか,B に出入りする電気力線の本数も求めよ が受ける力は図の右 B が受ける力は左になるが大き B さは同じでクーロンの法則から =8k/2 2 =2k[N] θ [m] 作用反作用は同じ作用点からではないが 成り立つ 4c 2c からは電気力線は出て N = 6 πk B には電気力線は入り NB=8πk イ から出た電気力線と 軸とのなす角をθとする θが何度までであればその電気力線はbに到達するか 電気力線の様子を下図に図示せよ 電荷の大きさの比が 2 対 なのでの半分がBに入る よってBと反対側の半分の空間にから出る電気力線はBに到達できない これから 9 度ウ,B は固定し c の電荷を持ってくる 軸上でPに働く力がになる位置 P と電位が になる位置 を求めよ また 軸上の電場と電位のグラフを描け Pの座標 とすればEはなので 軸上ではE= E E B =4k/ 2 2k/2 2 E= とすると 2 ー 88= =4 ± 2 2 となるが >2 となるべきだから= 42 2=6.8m 2 同じく 点の電位は B の前後で =4k/ ± 2k/2= として E, =4/3,4 よって.3m と 4m 拡大電場上 電位下 E: = 6~ :=~ 青が電位 黄が電場 2 エ の電位がになる位置を y 平面上で連続に結んだ等電位面を図示せよ どんな図形になるか イの図に図示せよ,B からの距離の比を等しくとると図のような円になる よってウの結果から中心は 4/34/2=2.7 半径 44/3/2=.3 の円である これは電位の式からも導ける > = kq クーロン力電場と電位 E = k r 3 r, = ±k r E= Δ / Δ はスカラー Eはベクトル アポロニウスの円 2 点 B から比が一定な 軌跡は円になる P r B b a 参照 : アポロニウスの円半径 r 2 点を固定し 点 P が動くとき 図の線分の比 :B が一定になるのは P が円周を動く時である これから ab=r 2 という関係が成り立つ 電場 8 電場 9

6 3 点電荷 G4 一辺 2m の正三角形の頂点に図の符号で同じ の点電荷をおく B, の電荷は固定する 平面コンデンサ P. 図のように距離 m 離れた面積 S の金属板 に の の電荷をおく 図右はアースされ 加速度と力電場とポテンシャル θ _ B ア 点の電荷は質量が5gとして電荷 の加速度を求めよ クーロン定数はkでよい 重力は考えない また その後どの電気力線に沿って運動するとしてよいか B,から等しく f = k 2 /2 2 =25k の力受けるのでベクトル合成すると右向きに =25 kになる これは B, の作る電気力線の向きである 加速度は ma= より.5a=25k a=5k[m/s 2 ] イ 次に 点の電荷は取り去り B の中点を原点に上方に y 軸 B 側に 軸をとる アース 接地 電場と電位の関係 ている 電気力線 等電位面を図示せよ 真空と考えてよい 真空の誘電率はε 赤 : 等電位面 等間隔の直線 青 : 電気力線密度は一定 P2. 右図の 極板の電位をとする 電場 E E 赤 : 電位 とのグラフを描け 中点でのE,と アースで 単調に減少 このコンデンサの静電容量 を求めよ 青 : 電場は一定 点 P y での電場を求めよ また 電場が になる y はどこか 電場 E は一定で E= / 中点での電位は /2 y 軸上の 点にc の電荷を持ってきてこれに働く力が電場である 図のなす角をθとし からの力 とすると求める電場 E= 2os θ=2k/y 2 os θ= 2k/y 2 os θ 静電容量は定義から = ε S/ となるが図から os θ= / y 2 なので から E=2k/y 2 3/2 これから E= となるのは 静電誘導と G3 一様な電場の中に導体 誘電体を入れた時の電気力線 電場 電位の様子を描け 微分 y= ± の点になる ウ 任意の位置 P,y での電場 y 成分 と電位を求めよ 電位はスカラーなので からは =k/ { 2 y 2 }=k/ { 2 y 2 } B からは B = k/ { ー 2 y 2 } よって電場 成分は E=/, k = 電場の y 成分は Ey=/y から求まる 2 y k 2 2 y 2 誘電分極導体中に電場はない! でも自由電子の移動は電場でおきる? * 誘電体があると電気力線はどうなるか 誘電体の誘電率 ε 誘電体中の導体誘電体電位差 導体中の 電位差 G4. 負極板をアースしたとして導体 誘電体がある場合の電場 E, 電位 のグラフを描け E = k 2 y k ky 2 y 2, E 3 y = 2 2 y ky 2 y E 赤 : 電位青 : 電場 E 誘電分極と屈折率 導体中の電場は で 静電誘導 により 電荷は表面 に集中すると考える 誘電体中では電場は真空に比べ 小さくなるが存在する これは誘電分極により 分極はミクロに起きる 分極が生じるためである これにより多数の 電気双極子 が存在することになるので が分散はマクロな波動 全体の 電子密度 に揺らぎが生じる よって誘電体の中を電磁波が通過すると電子の振動 現象である と干渉し 振動数 が大きいほど真空中に比べ速さが光速より遅くなる よって屈折率が 3 つの電荷がある 誘電率も周波数に依存 物質中では真空に比べ 大くなることになり これを分散という 時の電気力線,2 の電荷がある時 し これを誘電分散と G. 次を誘電体中で速い順に並べ替えなさい いう.γ 線 B.β 線.M 電波. 紫外線 E. 赤外線.M 電波 G 可視光 光の速さは一定 波長が長い順に,,E,G,,,B B は電子なので質量がある B 以外は電磁波の仲間であるので真空中であれば光速で伝達する G2. 真空 導体 誘電体中の電場 電磁波 の伝搬の様子を図示しなさい また 導体中 で抵抗が大きいと電場の伝わる速さはどうなるか真空も導体も抵抗に関係なく 真空導体分散はない速さ一定誘電体 誘電体と分散誘電体は分極する 電気双極子ができる 物質の屈折率は振動数が大きいと大きい 真空の屈折率は一定 電場 電場

7 静電遮蔽 電流 がない導体中の静電場は である これから電場の影響を遮断するには全体 ガウスの法則 電荷 が存在するとそこから等方的に に電気力線が伸びる この電気力線の数 N は 同心球コンデンサ を導体で囲めばよい これを静電遮蔽という アースで効果大導体表面は等電位になるので電気力線は表面に対し必ず直交する 導体でできた同心球殻がある 外場 Eの中電気力線の様子を描け も図示せよ また 内球に 電荷を与えるとどうなるか さらに 外球殻をアースするとどうなるか 導体表面に電気力線は必ず直交する 球殻の内側が 外側がになるがアースすると外側の電位はである 天才登場! N= 4πk となった これは誘電率 εで表すと N=/ ε となる また電場は 面積 当たりの 電気力線 の数と考えることができる これから次の 関係式が成り立つ これが有用なガウスの法則である ただし面積 S は 電気力線 と 垂直 に 全ての電気力線を覆うように考えないといけない 式 : 図 : E Sn = / ε 電気力線を覆う曲面の作り方は幾通りも ε= /4 πk あるが 垂直になる面は つに決まる G 点電荷 q の点電荷から距離 r 離れた位置での電場 E を求めよ これから k と ε の関係を導け ε と k ガウスの法則から q の点電荷の場合 E 4πr 2 = q/ ε よって E= q /4 πεr 2 電気力線はゴムひも? 電気力線は実際に一様に広がろうとする力が働く 2 図のようなコンデンサー 上極板が 内の電場 さらにq qの軽い帯電体を入れた場合も同様に電気力線 等電位面を図示せよ コンデンサーの内外図示すること また 極板の電荷を>q として 極板に入る電気力線の数を求めよ 入れてないコンデンサ内部の電場を E とし 帯電体に働く力を求め 図示せよ G2 平行板コンデンサ クーロンの式と比較し k= / 4πεを得る 電圧 間隔 のコンデンサがある に帯電している面積 S の板の電場を内部外部で求めよ またこのコンデンサの静電容量を求めよ ε S,, の内 必要なものでこたえよ E 2S=/ ε E =/2S ε E ー = ー /2S ε 内部では E=E ー E=/Sε =E,= から = ε S/ を得る E =qe _ =qe G3 帯電棒 図のように無限に長い棒に線密度 ρ で一様に 電荷が分布している 棒から の距離にある P 点での電場を求めよ 誘電率はεとする ガウスの法則をつかって半径 の円柱で棒を囲む長さ L として P 円柱の面積 S= 2π L ガウスの法則から電気量 = ρ L だから 全てー極板にはいるので q からは全て 側に入る q だけ吸収される E S=/ ε から 2 π LE= ρ L/ ε E=ρ/2πε 本数は N= 4 πk 本数は N= 4 πk q 本数は N= 4 πk ー q 世界の教科書から ElectroMagnetic iel Thory MIT OW どんな強さの電荷がどこにあるか? 世界の教科書から Gauss の法則 MIT OW TET 場荷力 ガウスの法則 E Sn =4πk =/ ε 電気力線の数は Sn は電気力線に垂直で全てを覆う面積 電場と電位ガウスの法則 電場 2 電場 3

8 電場内の運動. 図のように断面積 S, 誘電率 ε 距離 だけ離れた平行板コンデンサに電圧 を加える 静電エネルギー コンデンサ内に蓄えられているエネルギーを 静電エネルギー という 単位体積当たりの SI 単位 負極板上に質量 m で q の電荷を持つ帯電体を静かに置いた 負極板から上に 軸を取る エネルギー密度 エネルギーを エネルギー密度 という 重力加速度は下向きに g である 帯電体は上方に運動しはじめた 単位は SI 単位を用いよ 電荷のエネルギー P 以上から静電エネルギー密度 u を求めよ 電荷の位置エネルギー U=q[J] G 帯電体が中点に到達した時のコンデンサ内の電気力線の様子を描け P 極板に蓄えられた電気量, コンデンサ内の電場 Eを求めよ 以後,E を用いてよい =E より E=/[/m] == ε S/[c] U=q 静電エネルギー 先の結果に体積 Δ = S Δを代入すると W =ε E 2 Δ /2 従ってエネルギー密度はΔ でわればよい u=εe 2 /2 U=/2. 静電容量 のコンデンサに電圧 をかけて充電した この時電流 I が一定なるようにした 力と電場には相手あり自分に働く力は自分の電荷と相手からの場をかける 極板間に働く力極板間には片方の極板に対して =E/2 の引力 P2 エネルギー保存則から帯電体が 極板に到達直前の速さを求めよ 上向きに = q E 下向きには重力が働くので運動方程式は ma=qemg,a=qemg/m で等加速運動をおこなう よって v 2 =2aS から v= 2a= {2qEmg/m} エネルギー保存則からは q = qe = mg /2mv 2 v= {2qEmg/m} P3 ある電圧 に変更したら帯電体は極板の途中で静止した この電圧 を求めよ a= とすればq E=mg E=/ からq /=mg '=mg/q [] 外では打ち消しあって弱くなる 電源の仕事 q グラフ 時定数 T=R は充電 放電時間を 完全に充電するまで T だけ時間がかかった この回路の抵抗を R とする 電源をつないだ直後の 極板の電気量をq q の最大値を とする P を I, 及び で表せ また 電流が流れている時の極板間 の電圧 v 極板の電荷 q はどうなっているか I= Δq / Δt =IT = 電流が流れている時は q=it q=v だから q vは比例して変化する 表す GT を抵抗 R を用いて表せ この結果を時定数という 電荷 のコンデンサの中点で質量 m の帯電体が電荷 q の速さ v₀ である時 この帯電体 回路になくともコンデン =IT = から T=/I = R に働く力を図示し 運動方程式を示せ また 中点と 極板直前でのエネルギー保存則を サには抵抗 R が必ずある q v は比例して変化する qe mg 示せ ただし直前での速さをv 重力加速度 g 極板間隔 とする 高さでの運動方程式は ma=qemg でに依存しない エネルギー保存則はこれを = から /2 まで積分し /2 mv²=qe/2mg/2=q/2mg/2 これは = と =/2 でエネルギー保存則を立て q=/2 mv² mg/2 q/2 と同じ コンデンサの静電 U は関係ない 次に電気量, 誘電率 εのコンデンサの極板間にどれだけのエネルギー S が蓄えられているかを求めたい 帯電後に電源をはずして考える ε P 各極板 内外 について電気力線を図示し 極板がつくる電場 E E と全 E 求めよ S εで表せ 電源の仕事の分配電源の の仕事はコンデンサーと電流の仕事に半々に分けられる R に無関係に決まる G2 実際には特別な装置をつけないと電流が一定になることはない コンデンサに蓄えられる電荷は定電流装置があ る時と無いときでどうなるかqtグラフを描け 電流が流れることでコンデンサの両端の電圧は現象するので t 流れる電流も減る よってグラフは e kt のよな関数になる コンデンサーの電荷 q 両端の電圧 v 回路の抵抗を流れる電荷 q 抵抗の両端の電圧 v 電場は電気力線の密度に等しいが電気力線は極板の上下に出ているから として コンデンサ 抵抗それぞれの q v グラフを選び コンデンサ 抵抗 電源 外では打ち消しあって弱くなる 先のガウスの法則でみたように E = / 2Sε E = / 2Sε E= / Sε q のした仕事をそれぞれ求めよ 定電流装置はつけていない q q q q 電源あり G2 極板が受ける力 を求めよ 電場 E を用いて表せ はどういう向きか は相手の電場 E を用いて =E = 2 / 2Sε = E/ 2 v v v v v どちらの極板も引力になる 電源なし G3 極板を上向きに Δ だけ引くのに必要な外力のする仕事を求めよ ε E で表せ は変化しないから W = S = Δ=Δ 2 /2Sε=SεE 2 Δ /2 コンデンサは 抵抗は 2 電源は 5 電源の電圧は一定なので電源の仕事 W' = = 2 [J] である よってコンデンサと抵 静電エネルギー G4 これからコンデンサに蓄えられるエネルギー U を, または, で表せ = ε S/ =E から U=SεE 2 Δ /2 = /2 2 = から U = /2 [J] 抗でこの半分のエネルギーがたまることになる 後の半分は電荷が変化する時や導線等の抵抗でジュール熱として外に逃げる この 曲線はコンデンサにたまる静電エネルギーを表している コンデンサ極板力エネルギー 極板力 = E/ 2 電荷のエネルギーは U=q[J] 電源の仕事電源は [J] 静電エネルギー U=/2 [J] 抵抗のジュール熱 W=/2 [J] 静電エネルギー U=/2 2 =/2 [J] エネルギー密度 u=/2 ε E 2 時定数 R はコンデンサーの電荷がはじめの /e になるまでの時間電場 4 電場 5

9 同心球コンデンサ 中心に半径 a の銅球さらに外側は内半径 bb > a 厚さ の銅の球殻がある 中心の銅球 コンデンサー コンデンサの静電容量は断面積 S に比例し 距離 に反比例した さらに誘電率が に [c] の電荷を与え 外側はアースする 中心から外側に r 軸をとる 誘電率は ε とする 係数にかかる これはコンデンサの極板間に 誘電体 をいれることで変化する 球形の導体が帯電して P. アースする前の後での電気力線の様子を図示せよ 真空の誘電率は記号 ε で表し もっとも小さい 静電容量 は比誘電率 ε を用 いるとき 外からみれ G. 中心から r での電場 E と電位 を求め そのグラフを描け アースなし いて表すと = ε ε S/ なる 真空の誘電率はε = [/m] である ば中心に全ての電荷が G2. この同心球はコンデンサと考えることができる 静電容量 を求めよ 比誘電率 ε 真空の誘電率との比を比誘電率という 誘電率 ε ε ε の関係をまとめよ あるとみてよい. ガウスの法則から ε=ε ε ε ε は [/m] という単位を持つ物理量だが比誘電率 ε 導体内の電場導体内部には静電誘導により反対向きの電場ができ 元の電場を打ち消す 内部の電荷導体の中心に電荷が集中すると考える のグラフは連続だが E アースすると導体の表面電荷が無限遠まで遠ざかったと考える E[/m] /4 πε a 2 E 4πr 2 = / ε E=/ 4πεr 2 電位は中心ほど高く =k/r から a = 4πɛa, b = 4πɛb, b a b a = 4πɛab 3. 静電容量を とすると = だから ba = として = 4πɛab b a [] [] /4 πε a 電気力線 は単なる数値 静電容量が '= ε となるように作られた P. 断面積が m 2, 極版間の距離が 2mm の並行板コンデンサの容量が μ である ア 距離を 4mm にすると容量はどれだけになるか イ さらに断面積を 4m 2, にすると容量はどうなるか ア 5μ イ 2μ G. コンデンサ に電圧 をかけた後 これに比誘電率 2の誘電体を充填する 電源をつけた場合 はずした場合の電荷 と電気力線の本数 N を求めよ 真空の誘電率をε₀とする 充填前には =, N = とすると 4πɛ はその微分になるので不連続な場合もある /4 πε b 2 4πɛb 2 /4 πε b 4πɛb a b b r[m] a b b r[m] コンデンサーの接続コンデンサ並列 = 2 直列 /=/ / 2 電源ありでは が変化しないので '=2 だから '=2 N'='/2=N 電気力線は変化しない 電源なしでは が変化しないので N=/2 で電気力線は半分になる コンデンサは並列にすればそれだけ面積が増えるから容量も増える また接続された各極板の電位は全て等しい 直列では静電誘導から電荷の大きさは全て等しい P 次の静電容量を 2 電圧 とする 合成容量を求め 電荷電位の分配則を示せ 並列 = 2 直列 鏡像法 静電誘導 電場は導体中ではである しかし電位は定数になる とは限らない アースしたところがになる y 平面において図のようにが負の領域は十分大きな導体である G 原点から a, の位置に電気量 qの点電荷 をおく 電気力線の様子を図示しせよ 位置 P,y >a,y>a での電場の E Ey 成分を求めよ クーロン定数をkとしてよい バネ並列 K=k k 2 直列 /K=/k /k 2 抵抗直列 R=r r 2 2 = 2 = 静電誘導で全て電荷は等しい P2 は μ 2 は 2 μ 3 は 2 μ である 次の場合の合成容量を求めよ 導体表面と電気力線は常に直交する G2 q [c] の点電荷 が受ける力を求めよ ただし の結果を利用してよい. 静電誘導で鏡像法から得られる対称点に異極の電荷を置いた場合と同じ電気力線を描く ただし 導体の中には電場はないので電気力線は表面までである P 鏡像法から,a にー qの仮想電荷を置く P,y からはじめに電位 を求めると = kq/ {a 2 y 2 }kq/ {a 2 y 2 } a a q q E = = kq a kq a a2 y a2 y E y = y = kqy a2 y kqy a2 y 並列 /R=/r /r 2 コンデンサ電圧の配分並は電位同じ直は電位は和 と反比例電気量の配分直は電荷同じ並は電荷は和 ア = 2 イ =3μ 2 P3 は μ 2 は 2 μ である それぞれの極板の電気量を求めよ また P 点の電位も求めよ 電源は共に 5 を ON にしてしばらくたったとする ア イ P =5 μ = 2=3 μ 2= 5 2 p= 5 P =2= μ =2μ 2. 点での電場は Y 方向はだから= a y=を前の結果に代入して E=E= ー kq /2a 2 = ー kq/4a 2 となり =qe から = kq 2 / 4a 2 向きは 軸の負の向きこれはクーロンの法則を使っても同じ結果である 誘電体の挿入 '= ε 倍導体の導入その空間を G Ωと に比誘電率 3. の物質を満たし 2 に極板間の半分の厚さの金属を入れた 容量は前問と同じ P 点の電位と各電荷を求めよ R 抵抗は電流がなければ導線 P = 3μ 2 =4μ 2 よって5= / 3μ / 4μ = 26μ 電場と電位 電場 E はベクトル 傾き 電位はスカラー 山 谷 =qe 取り除く P = / 2 =26/ 4=6.4 成分では E= ー / E= E 2 Ey 2 コンデンサの合成 並列 = 2 =/2/ 力と位置 E Ey = ー /y コンデンサの容量 / 直列 = //2 合成は抵抗と反対 =//2 電場 6 電場 7

10 誘電体 導体の挿入 導体 誘電体 コンデンサの分割 比例式は分数比例なら自分の値元の値全体の値反比例なら全体の値元の値自分の値 P 図のように静電容量 のコンデンサに電圧 を与え物質を半分の高さ 幅になるように挿入した 物質が次の場合それぞれ蓄えられる電気量を求めよ わずかな隙間がある ⅰ 導体 ⅱ 比誘電率 ε ' の誘電体 ⅰ 導体 ⅱ 比誘電率 ε ' の誘電体 幅 i 導体が接触したら =2, 2=2 ε コンデンサではな い わずかな隙間で 直列に合成して = 2ɛ も E はある! 導体の高さをとして ɛ ⅱ =/2,2= ε /2 導体部分はカット '=/2 / /2 = ɛ して幅が半分だか = 2 2 ら '= 2 となりに依存する. 図のように静電容量 [] 間隔 [m] 面積 S [m 2 ] のコンデンサに同じ面積で高さ の物体を高さがyの位置に図の < だけ挿入する は極板の横幅 この物体が次の物質である場合 それぞれの静電容量を求めよ y G 導体 S 2 =/{} 2=/ 2=/{} =/{} S = = << を ' とする G2 比誘電率 r の誘電体ただし = とし 厚さ方向には誘電体で満たす まず と 2 を合成 =2 r 2 = ε / = 2= / 直列だから分母を通分し コンデンサー内の P コンデンサの極板の面積 S 幅 間隔 誘電率 ε 電圧は はじめの容量は エネルギーまとめ ⅰ 帯電後電源をはずす P2. 静電容量 ⅱ 帯電後電源 を加えたまま Point 電荷 が一定電圧 が一定 = 以下,,, で表せガウスの法則から E も一定 電源を含めたエネルギー保存則 G. 極板を動かす P 極板は固定し 極板を 極板に近づける 負極板に働く力を図示すること 最初の負極板の位 置を原点に上方に 軸を取る 極板 は = の位置 負極 板を G2. 極板働く力 = E/2 一定 E=/ だから が一定 = E/2=/2 /²/ グラフ = /2 2 / /2 2 / =/' = / ε S G3. 位置 での極板 =/ 間の電位 グラフ G4. 位置 での極板 ガウスの法則 E S=/ εから E は一定 中の電場 E E E の向きは下向き E グラフ だからこの基準で は負になる ー / E=/=/ =/2 ²/² /2 2 / E ー / は一定 E=/ だから 向きを考慮して E= ー / G5. 位置 での極板 U=/2 ' = /2 / U=/2 =/2 ' 2 '=/ 内の静電エネルギー U=/2 2 / =/2 2 / U U U グラフ /2 2 /2 2 このように帯電されたコンデンサに誘電体や帯電体を挿入することについて 電気力 線を考えることで挿入体に働く力を考え 正しい記述を選びなさい 複数可 挿入体が金属の時には引き込む向きに 誘電体の時はコンデンサの外に出そうとす, 外力のした仕事 W' 電源の仕事 W, 静電エネルギー U の間の式 との関係式を求めよ る向きに力が働く 外力の向きは負で仕事も負外部電源がな外部電源があるので G2 の結果から 2 挿入体がには共に引き込む向きの力がはたらくが 金属と誘電体では誘電体のほういので U = W' = U W=UW' が一定 =U/ ではなく = W が力が強い W=2U だから W'=U = ー W'/ である 3 コンデンサの電源をきってから導入すると誘電体の場合に単振動し 電源をつない G6. 帯電体位置 に質量 mの帯電体 qを静かに置く 力も図示せよ 極板の電圧は 間隔 は固定だままであればどちらも引き込む向きの力が働くが 単振動にならない 位置 での帯電体に U U=q 4 コンデンサに電源をつないでから挿入する場合と 電源を切ってから挿入する場合働く力 グラフ q/ =q/ は切ってからの方が挿入体は単振動により近い運動をする 位置 での帯電体の q 電気 U グラフ 4 次頁で確認する コンデンサの U=/2 =/2 2 =/2 2 / 静電エネルギー電場 8 電場 9

11 コンデンサー内の P コンデンサの極板の面積 S 幅 間隔 誘電率 ε 電圧は はじめの容量は エネルギーまとめ 電荷 が一定 電圧 が一定 Point エネルギー保存則 WW' = U をはじめに考える G. 厚さ 幅 の ⅰ 帯電後電源をはずす P2. 静電容量 =' ⅱ 帯電後電源 を加えたまま 導体を入れる 一定だから U=/2 2 /' 保存則 WW'=U W=2U = <<2 U = 電源 W= = ' 2 位置 での静電 U = 2 2 << << 電源の仕事 W U = W = = 2 外力の仕事 W' U = <<2 2 2 エネルギー保存則 <<2 の時 W = 2 2 負 U グラフ U 2 で置き換え << の時 /2 2 U 導体の右端基準 /2' 2 '/2 2 / G2. 位置 での負極 = U 板に働く力 と向き = << = W = 2 2 U の微分にならない グラフ = U = 近似単振動でない! /2 2 /' > の場合 << 導体には内 /2 2 /' 極板に働く力 向きの力 外力は外向きなので =U/ ではなく導体には内向きの力 = ー W'/ である G3. 厚さ 幅 の 一定だから U=/2 2 /' 静電容量 保存則 WW'=U W=2U 比誘電率 r の誘電体分割して U = を入れる <<2 2 2 r << 電源 W= = ' 2 2 r '=/r/ 位置 での静電 U r U = W = = << 2 2 2r U = r 2 電源の仕事 W <<2 2r 2 = 外力の仕事 W' W = r 2 負 <<2 2 エネルギー保存則 U << U グラフ /2 2 U 誘電帯の右端基準 /2 r 2 r G4. 位置 での負極板に働く力 と向き グラフ > の場合 2 r /2 2 /r /2 2 2 = U = 2 2 r r 2 << = U = 2 2 r 2r 2 r 2 2 誘電体には内向きの力 r 2 2 <<2 = W = r 2 2 << = W = r 2 2 <<2 r U の微分にならない 近似単振動でない! 外力は外向きなので 誘電体には内向きの力 電荷保存則 コンデンサ回路 電荷保存則孤立回路の電荷は変化しない! 複数のコンデンサの回路において 極板を含む閉ざされた回路 内の電荷は保存される 図のように5で充電された3μのと充電してない2μの2を直列につなぎ の電圧を加えた P,2の各極板に蓄えられる電荷を求めよ P * はじめに電荷があるので電圧の分配は成立しない 3μ 電荷保存則から ー 2 =5μ 2 電位の式から 2μ / 3μ 2/ 2μ= 2 2から =2μ 2= 6μ 点線の中の電荷の総和は電圧 P2P, 点の電位を求めよ を加える前後で変化しない p= q= 6/ 2=3 図のように電源 は 2 μ 2は3μ 3は 2 μである はじめスイッチS S2は開いてある はじめ各コンデンサに電荷はない 電位は 電源をとする P スイッチSを閉じる,2に蓄られる電気量と極板間の電圧を求めよ 直列だから =2== 2μ 3 = 4,2=6 2μ P2 スイッチSを開き S2を閉じる 2に蓄られる電気量と極板間の電圧を求めよ 図のような赤の閉回路内で 3 の上極板を 3 とおく 電荷保存則から 3 2= 2μ 電位の式から 3/2 μ= 2/ 3μ 3= 4.8μ 2= 7.2μ 2= 2.4 r 上の極板は負になるから =2/2=24/2=.4 になる 2 2 コンデンサ回路 2 2 電荷保存電場 2 電場 2 初期チェックは大事! はじめに電荷があるか否か 演習 繰り返しの極限繰り返しの極限は電荷の移動がおこらない スイッチは全て ON 電位の分配 合成容量でおこなう S2 P3S2 を開き S を閉じる,2 の電気量と極板間の電圧を求めよ 電荷保存則からー 2= ー 2μ7.2μ 電位の式から /2 μ 2/ 3μ= = 3.9μ 2= 9. = 7 2= 3 P4 次に S を開き S2 を閉じる この操作を何回も繰り返した時 点の電位はどうなるか スイッチを閉じても電荷の移動がおこらないと 考える 3 と 2 の合成は5μ になるから 2μ 電圧の分配から = 2/ 7= μ これから 2=6/7uc,=/7uc 2μ G 次にスイッチを全てを閉じ 電荷が逃げないようにして電源を Ωの抵抗に換え 3 は取り除いた 電荷は回路を新しくつないだ直後から抵抗をどちらに何 移動したか また 点の電位も求めよ 抵抗には電荷が移動している間は図左向きに電流が流れる 前問から 6/7uc 2 2 =/7u,2=6/7u 上の極板の電荷を左から 2, とすると電荷保存則から 2=4/7uc, 並列だから /2u=2/3u = ー 6/7uc,2=24/7uc よって Ω /7uc 下の極板は 6/7uc になるからその差 Δ =6/7 = 2u 移動した 2 2μ 3μ S

12 櫛形コンデンサ 2 櫛形電極 S2,S4 はアースしていないので全体では中性である どんなに薄くても表 裏に分かれる 切断してねじればメビウスの帯とおなじ! 図のように断面積 S の銅版を間隔 でn 枚並べた S,S2 Sn 真空の誘電率はε₀とする ー PS に電荷 を与えた 電気力線の様子を図示し 極板 Sn の電荷を求めよ この理由はどういう現象か 静電誘導がおこるので n が奇数なら nが偶数な S S2 Sn らー [] になる このコンデンサの電気容量はどうなるか次から選択せよ n ε₀ S/ 2 ε₀ S/n 3 ε₀ S/ 4 2 n ε₀ S/ ガウスの法則から 極板の電場を E として 2E S=/ ε₀ 同じことが負極板にも成り立 つから E も求まり E=E E より E=/ ε₀ S 公式からc=ε₀ S/ 直列接続だから 公式により = c c = n c よって =c/n 選択は 2 次に同じ4 枚の銅板を次のように導線で結び S に を与える S4 をアースする G 電気力線を図示し 極板 S S2 S3 S4 の電荷 各極板内の電場を求めよ 以下静電容量 c= ε₀ S/ を利用してよい S S2 S3 S4 アースなしで極板に 8 個の電荷ができたとすると S=S3= S2=S4= ー 電場の大きさはイ と変わらない 向きが変化するので 左から順に E,E,E, G2 このコンデンサ全体の静電容量は次のどれか c/3 2c/2 3c 42c 53c 導線で結ばれた極板は等電位になる S2 と S3 は極板を引き裂いて考える 図のような並列接続になる よって =ccc=3c 選択は5 次に同じ4 枚の銅板の位置を図のよう SS2 と S3S4 間を S2S3 間をに変えて導線で 結び S に を与える >S4 をアースする G3 電気力線を図示し 極板 S S2 S3 S4 の電荷 各極板内の電場を求めよ S S2 S3 S4 極板間隔がことなるので電荷がことなる 極板の裏 表 に分かれて 電荷は分布する S と S3 右は等電位で電荷は SS2,S3S4 の容量は / に減るから電位差は / に増える S3 も同じ電位だから S2S3 間の電場は E/ に増える よって電荷も / に増える 電荷は S は左右,S2 は左ー, 右ー / S3 は左 / 右 S4 は左右ー 電場は左から E,E/,E G4 このコンデンサ全体の静電容量はいくつになるか c,, で表せ 導線で結ばれた極板は等電位になるので 点線で引き裂いて 動かせば 図のような並列接続になる 断面積は全て 等しいから左から,/,/ 全合成容量 は '=2/ 演習 2 起電力 E=75の電池に μ 2 2μ 3は3μ R= Ω 繰り返し操作 R2=2 Ωをつなげる コンデンサは未充電であり はじめスイッチS S2は開いている Gは検流計である G S 2 電源入瞬間とその後 P スイッチSを閉じる 閉じた直後と 十分 μ 2μ 直後は抵抗は絶縁 時間がたった場合の点, の電位を求めよ R R2 コンデンサは導体直後は抵抗は絶縁 コンデンサは導体 S2 よって共に その後 コンデンサは絶縁 E 75 B 3 =2==5 μ =25,=5 3 μ P2 次にSを開き S2を閉じると 点の電位は何 になるか この時 検流計 Gを流れ た電気量を求めよ 十分時間経過後の点 の電位を求めよ 電荷保存から 流れた電気量は 3 に等しい =2/c=2u/2u= 23=5 μ 3μ は変わらず 5 電位の式から 2/2 μ= 3/ 3μ よって 2=2 μ,3=3 μ G 次にS2を開き Sを閉じると 点の電位は何 になるか の負極板と 2 の正極板で電荷保存から ー 2= ー 5 μ 2 μ =2/ 2=5 電位の式から 繰り返しの極限 2/2 μ=75 よって =6 μ,2=3 μ 繰り返しの極限は G2 この操作を何回も繰り返した時 点の電位はどうなるか 電荷の移動がおこ 最終的にはスイッチを閉じた回路のように電荷がたまる 従って 2 と 3 の合成は5μ, らない スイッチ はμ が直列になっているので全体で75 だから は2. 5 は全て ON R 回路 直流 * 抵抗の値に関係なく ジュール熱が決まると いうことは抵抗値は何 を決めているだろう? 時定数 T T=R[s] 放電では/eになる時間 充電では /e たまる時間 ER 回路の抵抗 E,R 回路エネルギー保存則 3 は6μ, 2 は2μ R は5kΩ 電源は 5 で スイッチは全て開いている P はじめ S3 を閉じ S を閉じる 2 を求めよ 充電までに R で消費した熱と S S2 S3 電池のした仕事を求めよ 抵抗で消費した熱は充電されたコンデンサの内部エネルギー 6u に等しい = から = 5 6μ=3μ 2= μ 2 2u よってコンデンサのエネルギーと抵抗は /2 = J R 5K 電源は = 5 3 J 充電にかかる時間を見積もれ [s] より大 Wt = 2 /R t= 75 μ J だからこれから t=7.5 5/25 2 =.5 2 [s] を得るが これは正確ではない正しくは後にやる微分方程式を解くことになる 時定数 T=R= 3 2 [s] が元の電荷の /2.7=.37 になる時間である G2 次に S 3を開き S2 を閉じる,2 を求めよ この時 R と回路で消費する熱も求めよ 電荷保存から 2から 2= 3μ '= 225μ 電位の式から 抵抗は電流が流れないならば導線と考え 2'= 75μ /6 μ= 2/2 μ 2 2から =75/2 = R の発熱量はコンデンサのエ 消費されるエネルギーがコンデンサの内部エネルギーの減少 ネルギーの減少分と考える 分だから U = /2 =7.5 3 J ΔU=.9 3 J 3より U' U2' = /2'2'= J 電源はつながれていないので よってΔ U = =.9 3 J 回路全体も同じ 電場 22 電場 23

13 発展問題 過渡状態の物理 静電エネルギー抵抗の役割時間を調整 電気回路などでは電源を入れてから回路が安定するまでに微少な時間がかかる この不安定な状態から安定な状態になるまでが過渡状態である 例えばコンデンサーを直流電源につなぐと過渡状態では電流が流れる 安定した状態では電流は流れない 過渡状態を観察するには時間が非常に短いのでオシロスコープ測定器が必要である 3. 静電容量 [] のコンデンサにの電圧を与え しばらくして電源と切り離し 図のように抵抗 R Ωにスイッチを切り替えた. コンデンサの極板の電位を図示せよ 2. コンデンサに蓄えられた静電エネルギーと電源の仕事を求めよ 3. 抵抗で発生したジュール熱を求めよ 微分方程式 i=q/t=q ==R= の時のグラフ R 回路の式まず電位の式 時定数 T=R 4. 電気が蓄えられるまでの 点を流れる電流 i の it グラフ コンデンサの電荷 q t グラフを描け i q 電源がある場合の電位の式はコンデンサの電位を q v 抵抗 R があるとし irv= v,i は変数 微分に置き換えて =q Rq/ 変数分離し i t R = q t= で q= だから = として q 5. 電荷 だけ帯電した後スイッチを R 側に切り替えた t 秒後のコンデンサの電気量 qt とqtグラフ 点の i t グラフを描け i q 電源がない場合の電位の式はコンデンサの電位を v 抵抗 R とし irv= v,i は変数 R t 微分に置き換えて =q Rq/ 変数分離し R = q t= で q= として積分すると q t = log q よってt 秒後の q が R 電流は q を微分すると充電と反対向きで qt = e t R it = q t = R e t R 5. コンデンサの容量がはじめの /e になる時間を求めよ 上の式 から q=/e とすると /e=e t/r だから指数を比較して t=r T=R とおいてこれを時定数という 6. 抵抗で発生したジュール熱と コンデンサに蓄えられていたエネルギーを求めよ 2 と求まる 抵抗での消費電力は P=I 2 R だから先の式 2 からはじめの状態で = だから と求まる P=I²R = 2 /R 2 e 2t/R これの Pt グラフを描き その面積を求める 積分すると W = I 2 Rt = これは静電エネルギーに等しい t R = log q,q = e t R ',' は定数で初期条件から ''= に等しい この式からも時定数 R が時間の単位であることがわかるだろう 2 R 2 e 2t/R t = 2 R 2 R 2 = 2 2 = 2 となり コンデンサ回路微分表現静電エネルギー R 回路 :ir = 微分方程式 :Rq/tq/= 外部起電力 電場 24