2. 原理コンデンサーに電気を蓄える作業を充電という. コンデンサーから電気を流出させる作業を放電という. コンデンサーの2つの電極に, 導線で電池の両極を接続して充電する. 最終的には, 電池の正 ( 負 ) 極と接続されたコンデンサーの電極は, 電池の正 ( 負 ) 極と同じ電位になる ( 導

Size: px

Start display at page:

Download "2. 原理コンデンサーに電気を蓄える作業を充電という. コンデンサーから電気を流出させる作業を放電という. コンデンサーの2つの電極に, 導線で電池の両極を接続して充電する. 最終的には, 電池の正 ( 負 ) 極と接続されたコンデンサーの電極は, 電池の正 ( 負 ) 極と同じ電位になる ( 導"

まなこうい
5 years ago
Views:

1 1 回路部品としてのコンデンサーコンデンサー ( 英語ではキャパシター ) は, 電気を蓄える装置である :2 枚の導体板に正負の電荷を分離して蓄える. 2 枚の導体板を電極という. コンデンサーの祖先は, 第一章で紹介したライデン瓶である. コンデンサは, 電極間を満たす物質の種類や, 電極の構造により, 様々な名称がある. 電解コンデンサ-, フィルムコンデンサー, マイカコンデンサー, タンタルコンデンサー, チタンコンデンサー, セラミックコンデンサー, オイルコンデンサー, 可変コンデンサーまた, 半導体集積回路の中にコンデンサーを構造の一部として組み込む. コンデンサーは, 電気を蓄え必要なときに放出するという, いわば電気エネルギーの貯蔵庫として使われる場合もあるが, それ以外の用途がむしろ多い. たとえば, 信号波形を変える目的で使われる ( 後で学ぶ ). EM1 07 コンデンサー 1

2 2. 原理コンデンサーに電気を蓄える作業を充電という. コンデンサーから電気を流出させる作業を放電という. コンデンサーの2つの電極に, 導線で電池の両極を接続して充電する. 最終的には, 電池の正 ( 負 ) 極と接続されたコンデンサーの電極は, 電池の正 ( 負 ) 極と同じ電位になる ( 導体の性質 ). 十分に時間が経つとそれ以上充電しなくなり, 導線を取り除いても ( スイッチを切っても ), コンデンサーに蓄えられた電荷は電極に留まる. コンデンサーが蓄えた電荷の量と, その電荷を蓄えるために必要だった電位差に注目する. 同じ電位差でより多くの電荷を蓄えるコンデンサーは, 電気容量 ( 単に容量という ) が大きいという. コンデンサーの能力を容量で表現する. 電荷を蓄える方法は電池をつなぐ以外にも考えられる. 摩擦電気で正電荷をもった棒を一方の電極に接触すると, その電極が正に帯電する. このとき他方の電極を接地 ( 大地と接続, アース ) しておくと, 正電極による静電誘導で, こちらには負電荷が現れるから, その後に接地を切り離す. 内容的には上と同じだが絶縁体でできたベルトコンベアーに電荷をのせて, 電極に運ぶ.( バンデグラフ起電機の構造 ) コンデンサーの電極を擦って摩擦電気を起こす ( 容量の大きなコンデンサーは,2つの電極を導体でつなげて ( ショートして ) 保管する. ( 摩擦電気で非常に大きな電気エネルギーをため込むので危険 ) すでに正 ( 負 ) に帯電した電極に, さらに正 ( 負 ) 電荷を帯電させようとすると, 反発力があるので仕事が必要になる. すなわち, コンデンサーを充電するには仕事が要る. コンデンサーは外部から仕事をされて, 自らの電気的なエネルギーを増やす. 電池で充電するときは, 電池に内蔵された化学エネルギーを用いる. バンデグラフのような場合は, 力学的なエネルギーを用いる. 電気容量と, 蓄えた電荷あるいは充電電圧を使って, 蓄えた電気的なエネルギーを表すことができる. EM1 07 コンデンサー 2

3 3. 平行板コンデンサーコンデンサーにはたくさんの種類があることはすでに述べた. 電極の形状もさまざまだが, ここでは, 最も簡単な平行板コンデンサーの性質を調べる. 平行板コンデンサーの考察で得た考え方は, 他のコンデンサーにも適用できる. 平行板コンデンサーは,2 枚の平板電極を互いに平行に置いたものである. このコンデンサーを充電すると, 両電極の空間を挟んで対向する面 ( 内側の面 ) に, 正負の電荷が分布する. 電極の面積が小さく, 電極の間隔が広いときは, 電荷は外側の表面にまで分布するが, 電極の面積が広く, 間隔が狭いときは, ほとんどの電荷が内側の表面に分布する. 現実にはあり得ないのだが, モデルとして, 無限に広い電極を考えると, 電荷分布は均一になる. 一方, 電極の面積が十分に広くて, 間隔が十分に狭いとき電極の縁が遠くて見えない中央付近の電荷分布は均一としてよい縁付近の面積より, 中央付近の面積がずっと広いほとんど全域で均一な電荷分布をもつという近似をしても, そう悪くないだろう正負の電荷が平行な2 平面に均一に分布するときの電場空間は真空( 空気は比誘電率がほとんど 1 なので, 真空と変わらない ) 電極面積 SS, 電極間の距離 dd, 蓄えた電荷 ±QQ 電荷密度 ±σσ, σσ = QQ/SS 2 面に挟まれた空間の電場 EE, 電極間の電位差 VV すでに学んだこと : EE = σσ εε 0, VV = EEEE = σσ dd = σσσσ dd = dd QQ QQ = (εε SS εε 0 εε 0 SS εε 0 SS 0 ) VV dd EM1 07 コンデンサー 3

4 4. 電気容量平行板コンデンサーの充電電圧 VV とそのとき蓄えられた電荷 QQ の関係 : QQ = (εε 0 SS dd ) VV QQとVVは比例する VVが同じなら, 電極面積 SSが大きいほど, また電極間隔 ddが小さいほど,qqが大きい SS コンデンサーが電荷を蓄える能力は, 比例係数 (εε 0 ) で表される. dd 平行板コンデンサーの電気容量 ( 電荷を蓄える能力 ) SS CC = εε 0, QQ = CCCC dd 電気容量の単位 1V の電位差で 1C の電荷を蓄えるコンデンサーの電気容量を 1 F( ファラッド ) という真空の誘電率の単位を F/m とすることを既に述べた. 上式により, 単位の整合性を確認せよ. 例 : CC = F = 1 pf の平行板コンデンサーの電極面積が SS = 1 cm2 のとき, 間隔 ddはどれだけか. dd = εε 0 SS/CC = ( ) (10 4 /10 12 ) = m 1 mm QQ = CCCC の一般性どんな形でもよいが, 何個かの導体を配置して帯電させると, 静電誘導により電荷分布 ρρが自動的に決まり, 空間内の至るところで電場 EE が定まる : EE = ρρ/εε 0 2 導体 1 と 2 の間の電位差は,VV = φφ 2 φφ 1 = EE ddrr 1 導体の配置をそのままにして, どの導体に帯電した電荷もkk 倍する電荷分布は形をたもったままkk 倍になり, 電気力線の形が変わらずに密度 ( したがって電場 ) がkk 倍になる : EE = ρρ εε 0 (kkee ) = (kkkk) εε 0 2 電位差もkk 倍になる : VV = EE ddrr 1 したがって 2 kkkk = kkee ddrr 1 QQ = CCCC という比例関係がどんなときにも成り立つ.( 例外 : 誘電体があるときは, 電場の強さにより, 誘電率が変化するかもしれない ) EM1 07 コンデンサー 4

5 5. 誘電率と容量コンデンサーの電極間を誘電体で埋めると, 容量が増加する. 誘電体による遮蔽効果で, 電極の電荷が ( 本当にそこにある真電荷 ) より小さく見えるため, 電位差が小さい. 言い換えると, 同じ電位差で充電しても, 真電荷をたくさん蓄えることができる. 遮蔽の効果で, 同じ電場にたいする真電荷が比誘電率倍になるので, 電気容量はεε 0 を誘電体の誘電率 εεで置き換えた値となる. EM1 07 コンデンサー 5

6 6. コンデンサーに蓄えたエネルギーコンデンサーが充電されると, そこには電気的なエネルギーが蓄えられる. 電極間の電位差がすでにVVのとき, 負電極から正電極に電荷 dddd > 0 を運ぶために必要な仕事は 2 点間の電位差がVVのとき,ddddの位置エネルギーの差 VVVVVVに等しい : dddd = VV dddd この微小な仕事を, 電荷がまったく無い状態から, 蓄えた電荷が QQ 0 となるときまで寄せ集める ( 積分する ). 電位差 VV はそのときに蓄えている電荷 QQ に比例し, 電荷が移動すると電位差も変わる.dddd に注目して積分するので,VV を QQ で表しておくと積分しやすい : VV = 1 CC QQ dddd = VVVVVV = 1 QQ dddd CC 電荷が 0 の状態から充電を始めて, 電荷が QQ 0 になるまでに必要な仕事はとなる. QQ 0 UU = 1 CC QQQQQQ = 1 CC 0 QQ 0 QQQQQQ 0 = 1 QQ 0 CC 1 2 QQ2 = 1 0 2CC QQ 0 2 = 1 2 CCVV 0 2 = 1 2 QQ 0VV 0 (1/2) の起源よく聞く説明は, 充電の過程を表すQQ VV 図の三角形の面積 = (1/2) 底辺 (QQ 0 ) 高さ (VV 0 ) の (1/2), あるいは積分のときでてくる (1/2) というもので, 正しい説明だがより一般的な議論が可能である ( 次スライド ). EM1 07 コンデンサー 6

7 7. 電荷系のエネルギーいくつかの点電荷が, 互いにある距離を保ちながら集まり, ある分布を形成している.( たとえば, コンデンサーの両極の電荷分布がそれである.) 電荷は互いに力を及ぼしあうから, 電荷が ( 無限遠で力を及ぼしあわない ) ばらばらにあった状態から, その分布を作り出すには仕事が必要である. 仕事は, この電荷系がもつエネルギーとして蓄えられる. 電荷が 1 個位置エネルギーは考えない. 自分が作り出す電位のなかに自分がいるときのエネルギー ( 自己エネルギー ) は, 現在の電磁気学では取り扱わない. 電荷が 2 個電荷 QQ 1 を点 rr 1 に固定し,QQ 2 を無限遠から近づけて来てrr 2 で止める. 電荷 QQ 1 を固定するには力が必要だが, 移動しないのでこの力がする仕事は 0. 電荷系がもつエネルギー UU 12 はQQ 2 にした仕事と等しく,QQ 1 がつくる電位の中でQQ 2 がもつ位置エネルギーと同じである. UU 12 = 1 4ππεε 0 QQ 1 QQ 2 rr 1 rr 2 電荷が 3 個電荷 QQ 1 を点 rr 1 に固定し,QQ 2 を無限遠から近づけて来てrr 2 で止めて, 固定する. このときQQ 3 は無限遠に留めておく. UU 12 = 1 QQ 1 QQ 2 4ππεε 0 rr 1 rr 2 次に電荷 QQ 1 を点 rr 1 に,QQ 2 を点 rr 2 に固定して,QQ 3 を無限遠から近づけて来てrr 3 で止める. UU 23 = 1 QQ 2 QQ 3 4ππεε 0 rr 2 rr 3, UU 31 = 1 QQ 3 QQ 1 4ππεε 0 rr 3 rr 1 電荷系のエネルギーは, これらの和 : である. UU = UU 12 + UU 23 + UU 31 = 1 4ππεε 0 QQ 1QQ 2 rr 1 rr 2 + QQ 2QQ 3 rr 2 rr 3 + QQ 3QQ 1 rr 3 rr 1 右辺を総和記号により書き直そう. jj 番目の電荷を止めて置いてkk 番目の電荷を無限遠から近づけたときの仕事 : 1 QQ jj QQ kk 4ππεε 0 rr jj rr kk のjjとkkについて和をとる. すなわち, まず EM1 07 コンデンサー 7

8 1 QQ jj QQ kk = 1 QQ jjqq kk = 1 QQ jjqq 1 4ππεε 0 rr jj rr kk 4ππεε 0 rr jj rr kk 4ππεε 0 rr jj rr 1 + QQ jjqq 2 rr jj rr 2 + QQ jjqq 3 rr jj rr 3 jj=1,2,3 kk=1,2,3 jj=1,2,3 kk=1,2,3 ここでjj = 1,2,3として和をとろうと思うと, 分母が 0 になるが, これは自己エネルギーであり除外する. 二重の総和は, 外側のjjの値を決めておいて内側の総和を実行し, つぎにjjの値を変えながら外側の和を実行するしたがって,1,2,3 のなかから決められたjjと異なる値だけをピックアップしてkkについて和をとらなければならない. jj=1,2,3 このことを表す総和記号 ( 二重の和だが Σ を 1 個で表し, かわりに和をとる変数 2 個を明記する ) が下式左辺であり, その値を右辺に書くと 1 QQ jj QQ kk = 1 QQ 1QQ 2 4ππεε 0 rr jj rr kk 4ππεε 0 rr 1 rr 2 + QQ 1QQ 3 rr 1 rr QQ 2QQ 3 4ππεε 0 rr 2 rr 3 + QQ 2QQ 1 rr 2 rr QQ 3QQ 1 4ππεε 0 rr 3 rr 1 + QQ 3QQ 2 rr 3 rr 2 kk jj = 2 1 4ππεε 0 QQ 1QQ 2 rr 1 rr 2 + QQ 2QQ 3 rr 2 rr 3 + QQ 3QQ 1 rr 3 rr 1 となり, この系のエネルギーの 2 倍を得る. 2 倍になった理由は, 総和記号の計算では, たとえば 1と 2 の間のエネルギーと 2 と 1 の間のエネルギーの両方を取りこんでしまったことによる. いわば, 総和記号の使い方の不注意による. 外側の変数が j=1 のときは k=2,3, j=2 のときは k=3, j=3 のときは和をとらないとすればよかった. この総和を表す記号を用いることもある. 1 QQ jj QQ kk 4ππεε 0 rr jj rr kk kk>jj こうして UU = 1 QQ jjqq kk = 1 4ππεε 0 rr jj rr kk 2 1 QQ jjqq kk 4ππεε 0 rr jj rr kk kk>jj となる. この形にしておけば, 電荷が何個あっても同じ式で表せる. 中辺の条件は, 連続分布の多重積分に移行するとき少しだけわかりにくいので敬遠し, スライドには右辺を記した. kk jj EM1 07 コンデンサー 8

9 8 電荷系のエネルギー (2) 前スライドの最終の式 UU = QQ jjqq kk 4ππεε 0 rr jj rr kk を他の電荷がつくる電位の中に電荷があるという表現に変える. kk jj それには, 電位 QQ kk φφ(rr ) = 1 4ππεε rr rr 0 rr rr kk kk が見えるように, 式を変形すればよい. もういちど総和を 2 重に書くと UU = QQ jjqq kk = 1 4ππεε 0 rr jj rr kk 2 QQ jj 1 QQ kk = 1 4ππεε 0 rr jj rr kk 2 QQ jjφφ(rr jj ) 連続電荷分布のとき, jj kk jj kk jj kk jj jj となる. UU = 1 2 ρρ(rr )φφ(rr )dddd VV コンデンサーに蓄えられたエネルギー UU = 1 2 QQ 0VV 0 負極の電位を φφ, 電荷密度を σσ_ 正極の電位を φφ +, 電荷密度を σσ + とすると, UU = 1 2 ρρ(rr )φφ(rr )dddd VV = 1 2 σσ + SS( 正電極 ) φφ + dddd σσ SS(ff 負電極 ) φφ dddd = 1 2 φφ + σσ + SS dddd φφ σσ dddd SS = 1 2 φφ + QQ φφ ( QQ 0 ) = 1 2 (φφ + φφ )QQ 0 = 1 2 VV 0QQ 0 EM1 07 コンデンサー 9

10 9. 電場のエネルギー密度コンデンサーに蓄えた電気的エネルギーを充電に要した仕事電荷系のエネルギーとして理解することを学んだ. ここでは, このエネルギーを電極間の空間の電気的な歪み, すなわち電場のエネルギーと, とらえる. 電極間の空間にはがある. コンデンサーに蓄えられたエネルギー EE = σσ 0 εε 0 となる. UU = 1 2 CCVV 0 2 = 1 εε 0 SS 2 dd EE dd 2 = 1 2 εε 0EE 2 (SSSS) = 1 2 εε 0 電場があるところの体積これより, 電場のエネルギー密度 ( 単位体積当たりのエネルギー ) をと考えることができる. uu = 1 2 εε 0EE 2 EM1 07 コンデンサー 10

11 10 容量の合成 2 個のコンデンサーを並列あるいは直列に接続にしたときの, 全体の容量を求める. 並列コンデンサーの電極面積が広がったのだから, 容量が増える ( 和になる ). 並列に接続した2 個のコンデンサー ( 容量 CC 1 とCC 2 ) を電位差 VVで充電する. 各コンデンサーに蓄えられる電荷は QQ 1 = CC 1 VV, QQ 2 = CC 2 VV となる. 全体として蓄えた電荷と充電電圧の関係は QQ = QQ 1 + QQ 2 = (CC 1 + CC 2 )VV = CCCC, CC = CC 1 + CC 2 直列コンデンサーの電極間隔が広がったのだから, 容量が減る. 直列に接続した 2 個のコンデンサー ( 容量 CC 1 とCC 2 ) を電位差 VVで充電する各コンデンサーの充電電圧は VV 1 + VV 2 = VV. が蓄えた電荷は, 静電誘導を考慮すると, 同じQQである. QQ = CC 1 VV 1, QQ = CC 2 VV 2 VV = QQ + QQ QQ = CC 1 CC 2 VV CC = CC 1 CC 2 CC 1 CC 2 1 CC + 1 = CC 1 + CC 2 1 CC 2 EM1 07 コンデンサー 11

Microsoft PowerPoint - 第5回電磁気学I　

Microsoft PowerPoint - 第5回電磁気学I　 1 年 11 月 8 日 ( 月 ) 1:-1: Y 平成年度工系 ( 社会環境工学科 ) 第 5 回電磁気学 Ⅰ 天野浩項目電界と電束密度ガウスの発散定理とガウスの法則の積分形と微分形 * ファラデーの電気力線の使い方をマスターします * 電界と電束密度を定義します * ガウスの発散定理を用いてガウスの法則の積分形から微分形をガウスの法則の積分形から微分形を導出します * ガウスの法則を用いて