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きのこかんざとばる
5 years ago
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1 研究の動機圧縮応力下の破壊現象主要な亀裂の破壊に支配される引張応力下の破壊現象と異なり, 亀裂群の破壊パターンが多様物理亀裂の進展条件数理多様な破壊パターン理論解析と数値解析現状理論解析が主, 数値解析を従将来数値解析が主, 理論解析を従数値解析を前提とした数理問題の設定が必要

2 背景解析が困難な破壊現象亀裂の三次元的進展圧縮応力下での破壊破壊問題を解くために FEM に導入される技巧ジョイント要素リメッシュメッシュフリーガラーキン法変位の不連続の取り扱いが困難変形する物体連続体モデル FEM 解析

3 個別要素法粒状体の力学的挙動の解析に適している粘土 / 砂 / 岩粉体破壊パターンの再現に強いとされている変形する物体に対する剛体バネモデル破壊はバネの切断で表現破壊 = バネの切断変形する物体粒子モデル DEM 解析

4 背景のまとめ現象 fracture 連続体との等価性は明らかでないが,DEM は破壊の問題を解ける物理モデル continuum 数理モデル BVP 計算手法 FEM / FDM / BEM DEM block and mysterious spring 破壊現象の境界値問題はうまく解けない. 解が特異性を持つ 2. domain configuration が変化する何故 DEM で破壊問題が解けるのか? DEM は変位場の離散化に特性関数を用いた FEM とみなすことが出来る

5 FEM-: 連続体の境界値問題に対する新解法重なりのない不連続な形状関数通常の FEM u FEM- u 2 u 2 u x 2 u 3 x 3 x x Ω 2 u x 2 3 Ω FEM Ω 3 x 3 u i (x) = u α ϕ α i (x) α 滑らかではあるが, 互いに重なり合う形状関数で変位場を離散化特性関数で変位場を離散化

6 問題設定線型弾性体の境界値問題 (c ui kl = u u k,l i ),i = 0 inb on B ポテンシャルエネルギー汎関数 J( u) = B 2 u i, j c kl u k, l ds 計算には少し工夫が必要. なぜなら, ひずみエネルギーを, 不連続かつ重なりのない形状関数で離散化された変位場を用いて評価. 境界で変位が不連続 2. 境界を除いてほとんどいたるところひずみが 0

7 平均ひずみの計算 x Δ 02 y 0 Δ 03 Delaunay 三角形上で平均ひずみを計算変位場の離散化 (Voronoi 分割 ) x 2 x 3 Δ 023 Delaunay 三角形の凸包の変形で平均ひずみを評価

8 ばね定数の決め方汎関数の離散化平均ひずみを用いて平均ひずみエネルギーを計算 J = 2 [ ] T u [ k][ u] x [k] は通常の FEM の剛性マトリクスと一致 Ω 行列 [k] は剛体的に動くブロック間のバネを表す Ω 2 Ω 3 x 2 x 3

9 FEM との比較 : 重なりのない形状関数 u u u 2 u 2 u 3 u 3 FEM- 通常の FEM FEM- の形状関数は重なりをもたない通常の FEM の形状関数は互いに重なり合う

10 DEM との比較 : ばね定数の決めかた FEM- x Ω 4 DEM x Ω Ω x 2 Ω 2 Ω 3 x 3 x 2 Ω 2 Ω 3 FEM- のバネ定数は 3 つのブロックの相対変位に基づいて決められる. DEM のバネ定数は 2 つのブロックの相対変位で決められる. ( ひずみの退化が生じる )

11 FEM- と FEM/DEM との比較 ( まとめ ) 変形する物体 FEM FEM- DEM t n ε nn ( 0) ε ( tn 0) 三角形要素の変形 3 つのブロックの相対変位 ε tt = 0

12 整理汎関数 J の離散化剛体ブロック (Voronoi ブロック ) で領域を離散化重なりのない形状関数で変位場を離散化. いたるところ不連続な変位場 2. ほとんどいたるところひずみが 0 Delaunay 三角形上で平均ひずみを計算平均ひずみに基づき平均ひずみエネルギーを評価積分可能性の問題ブロック境界でデルタ関数が立つひずみ場ひずみエネルギーはデルタ関数の 2 乗の積分積分できない!

13 CONJUGATE DISCRETIZATION 共役な場に対するエネルギー汎関数 I( u, ) = B ε 2 c 第一変分 kl kl ds δi = B δu j,i + δ ( ε c kl kl ) ds 離散化変位場は Voronoi 分割で応力場は Delaunay 分割で u i (x) = u α ϕ α i (x) α ( x) = ψ (x)

14 計算計算 ( ) S,i j j, i 2, B,i j j, i 2 s ds (x) u (x) u ds (x) u (x) u (x) ε = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ψ α α α α α α α α α α γ α γ α γ α ϕ ϕ =, k i S,l kl S j, S 2 u u ds c ds Î = ψ ψ kl kl 2 B kl kl 2 c s (x)ds (x)c. 代入 2. の決定 3. u α の決定通常の FEM の剛性マトリクスと一致 ( ) α ε = kl kl 2 c s }) },{ ({ Î u ε = B kl kl 2 ds c ), ( I u ( ) ε = kl c s Î

15 まとめ FEM- の特徴オーバーラップしない関数を用いた離散化によって, 破壊現象を表現することが容易変形する物体に対し, 連続体モデルと等価なバネ-マス系モデルを提示 FEM- の定式化双対汎関数双対の物理量に双対の離散化を施すと, 汎関数を最適化することができる新しい物理数学の描像物理量を表す関数として, 連続な関数の代わりに, 数値解析に適した離散的な関数を用いることが可能.

16 境界値問題の一般的な解析理論物理数学の楕円型境界値問題 cp, j) p = p (, i on B 共役汎関数と共役離散化 = 0 in B H( p, q) = qip,i qic q j ds Ω 2 関数 p を Voronoi ブロックの特性関数で離散化する場合, 関数の微係数を Voronoi ブロック以外の特性関数で離散化可能共役な Delaunay 三角形の特性関数を使うと汎関数 H を最小化

17 FEM- の解釈 inadmissible functions space of displacement used by FEM- solution of failure problem: singular/discontinuous admissible functions FEM- の変位場はいたるところ不連続であるため, admissible でない. space of functions used by ordinary FEM: becomes larger as for finer discretization

18 DEM 的な破壊の表現 : ばねの切断 FEM- の剛性マトリクス [k [k [k 2 3 ] ] ] [k [k [k ] ] ] [k [k [k ] ] ] strain energy due to relative deformation of Ω and Ω 2 through Ω 3 for indirect interaction for direct interaction Ω x ( T k ] [k ]) [ ji = Ω 2 Ω 3 direct [k2] = [k2 ] + [k ] indirect 2 x 2 剛性マトリクスの成分から, 直接間接ばねの寄与を正しく取り去る x 3

19 局所的な乱れの導入 Delaunay y x Ω not Delaunay y x Ω Ω 2 y 3 x 2 y 0 x 3 Ω 2 y 0 y 3 x 3 x 2 y 2 Ω 3 y 2 Ω 3 通常の FEM と等価局所的乱れの導入局所的乱れは破壊の核に.

20 数値解析例 : 破壊パターン収束性板の軸引張

21 ひずみ場の乱れの程度 Delaunay 厳密解 Voronoi 中点 ε

22 変位ノルムの収束性 NDF=83 NDF=522 NDF=875 NDF=7248 η d 0.04 η d NDF displacement norm w.r.t. NDF (w/o interpolation in the post process) displacement norm w.r.t. disturbance (with interpolation ξ in the post-process) displacement norm: η d = B u û B û 2 2 dv dv disturbance: ξ N a i i= = N i= a a FEM i FEM i

23 特異性のある問題における回転自由度の影響 K I - field 変位ノルム K I field corresponding to far-field uniform tension

24 変位ノルムの収束 0.0 without rotational DOF with rotational DOF η d NDF displacement norm w.r.t. NDF (w/o interpolation in the post process) 回転自由度を入れると, 同じ自由度で 40% 誤差が低減

25 エネルギーノルムの収束性 η e 0.0 NDF=83 NDF=522 NDF=875 NDF= ξ energy norm 0.05 w.r.t. disturbance0. energy norm: η e = B 2 ( ε εˆ)c( ε εˆ)dv B 2 εˆcˆ εdv

26 亀裂開口変位局所的回転 with rotational DOF without rotational DOF r /2 のプロファイルに沿うように局所的回転が分配される局所的回転は亀裂端で発散変位場の局所 Taylor 展開のうち, 局所的回転に対応する部分を新たな自由度として導入並進と異なる挙動を示す自由度の導入により亀裂端の変位場を表現しやすくなる

27 問題提起 () 変形の問題破壊の問題 x a PDF 均一体の解 u 2 (x a ) PDF 均一体の解 u 2 (x a ) u (x a ) u (x a ) 現象均一体の挙動現象均一体の挙動均一体の問題を高い離散化で精度良く解析することに意義がある均一体の問題を高い離散化で精度良く解析することにはほとんど意味がない

28 圧縮応力下の破壊現象の解析のポイント不均一性の影響現象と均一体の挙動が乖離 ( 均一体の精度良い解析?) 局所的収束は必要なし ( 現象が局所収束しないから ) むしろ, 局所的乱れに応じて, 微妙に異なる破壊パターンを再現できる解析手法が適している Mesh 依存性あって当然離散化の度合い高離散化高精度は必ずしも成立しない解析対象の不均一性の空間スケールに応じた離散化で十分適度な離散化が存在するはず ( 大きいことは良いことだとは限らない )

29 問題提起 (2) 変形破壊現象に対する連続体モデルの妥当性理論解析を前提とすると連続体モデルは適当数値解析を前提とすると連続体モデルは不適当? - 理論解析を主, 数値解析を従とした数理体系は不適当変形する物体に対する粒子モデル正しく定義されたバネでつながれた剛体ブロックの集合でモデル化連続体モデルで用いられるグローバルな材料定数に基づき, バネ定数が一意に決定されるモデルの離散化により自然に導入される局所的乱れが破壊の核となる局所的な回転の自由度により, 特異性を持つ場をうまく表現できる

30 まとめ FEM- の定式化互いに重なり合わない形状関数の利用 Conjugate discretization による conjugate energy potential の数値的評価破壊をうまく扱う仕組みばねの切断による破壊の簡便な表現離散化により自然に導入される局所的乱れ= 破壊の核局所的回転自由度による特異な場の表現

(Microsoft PowerPoint - \221\34613\211\361)

$(Microsoft PowerPoint - \221\34613\211\361)$ 計算力学 ~ 第回弾性問題の有限要素解析 (Ⅱ)~ 修士年後期 ( 選択科目 ) 担当 : 岩佐貴史講義の概要全 5 講義. 計算力学概論, ガイダンス. 自然現象の数理モデル化. 行列場とその演算. 数値計算法 (Ⅰ) 5. 数値計算法 (Ⅱ) 6. 初期値境界値問題 (Ⅰ) 7. 初期値境界値問題 (Ⅱ) 8. マトリックス変位法による構造解析 9. トラス構造の有限要素解析. 重み付き残差法と古典的近似解法.