全国学力・学習状況調査の4年間の調査結果から今後の取組が期待される内容のまとめ(中学校編数学)｜国立教育政策研究所 National Institute for Educational Policy Research

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1 中学校数学課題として考えられる内容に該当する調査問題 調査結果A数と式中学校数学 課題として考えられる内容に該当する調査問題 調査結果 A 数と式 115

2 1 1 数と式 数と式 における課題 方程式における移項の意味を理解すること 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 19 年度 A3(1) 方程式の解き方とその利用 (1) 出題の趣旨方程式を解くに当たって, 移項と等式の性質の関係を理解しているかどうかをみる 正答率 61.7% 無解答率 1.3% 解答類型と反応率 反応率問題番号解答類型正答 (%) 3 (1) 1 アと解答しているもの イと解答しているもの 3 ウと解答しているもの 4 エと解答しているもの 9 上記以外の解答 0 無解答

3 (2) 調査結果についての解説 移項の意味を理解することは, 関係を表す式の変形や, 方程式を解く際に必要である 正答率は,61.7% であり, 移項の意味の理解に課題がある 誤答については, 7x =5x+6 の5x をみて, 両辺に5をかける選択肢ウを選んだ解答類型 3の反応率が,16.6% である ( ) を含む一次方程式を解く問題 ( 平成 19 年度 A3(2)) の正答率は,83.6% である 平成 19 年度 A3(2) で一次方程式を解くことができた生徒のうち,30.1% の生徒が本問題で誤答である 一次方程式を解くことができていても, 方程式を解く際に用いる移項の意味を理解できていない生徒がいると考えられる (3) 学習指導に当たって 方程式を解く際に, 移項による解き方と等式の性質による解き方を対比し, 移項による解き方は, 等式の性質による解き方を形式的に簡略化したものであることを理解できるようにすることが大切である 連立方程式や一次関数などで, 移項を用いて等式の変形をする際にも, 移項の根拠を問うなどして, 移項と等式の性質の関係をより確実に理解できるようにすることが大切である 参考平成 19 年度 A3(2) 正答率 83.6% 無解答率 6.8% 117

4 1 2 数と式 数と式 における課題 方程式をつくって問題を解決するために数量の関係を捉え 2 通りに表せる数量に着目すること 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 20 年度 A3(2) 方程式の解き方とその利用 (1) 出題の趣旨 具体的な事象における数量の関係を捉え, 一元一次方程式を立式することができるかどうかをみる 正答率 60.5% 無解答率 18.5% 3 次の (1) から (4) までの各問いに答えなさい (2) 折り紙を何人かの生徒に配るのに,1 人に3 枚ずつ配ると20 枚余ります また,1 人に5 枚ずつ配ると2 枚たりません 生徒の人数を求めるために, 生徒の人数を x 人として, 方程式をつくりなさい ただし, つくった方程式を解く必要はありません 解答類型と反応率 反応率問題番号解答類型正答 (%) 3 (2) = =5-2 またはと解答しているもの 1 = ( 同値な式であればよい 枚数は y と異なる文字で表していてもよい 以下同様 ) = =5 +2 またはと解答しているもの 4.1 = = = 5-2 または1と解答しているもの 0.2 = 上記以外の一元一次方程式を解答しているもの 上記以外の解答 無解答 (2) 調査結果についての解説 具体的な事象における数量の関係を捉えて, 方程式を立式することは, 一次関数や二次方程式などを利用して問題を解決する際に必要である 正答率は,60.5% であり, 具体的な事象における数量の関係を捉え, 一元一次方程式を立式することに課題がある 無解答率は,18.5% である 118

5 (3) 学習指導に当たって 問題から数量を表す式をつくることができるようにすることが大切である 本問題を使って授業を行う場合, 数量を文字式で表すために, 下のように, 生徒の人数と折り紙の枚数の関係を調べることを通して, 文字式に表す活動を取り入れることが考えられる 1 人の生徒に3 枚ずつ配る場合 1 人の生徒に5 枚ずつ配る場合 4 人のとき ( 枚 ) 4 人のとき 5 4 2( 枚 ) 5 人のとき ( 枚 ) 5 人のとき 5 5 2( 枚 ) 6 人のとき ( 枚 ) 6 人のとき 5 6 2( 枚 ) x 人のとき 3 x +20( 枚 ) x 人のとき 5 x 2( 枚 ) 問題場面に含まれる数量に着目し, その中で2 通りに表すことができる数量を見いだし, それを等式で表すことで方程式を立式することができるようにすることが大切である 本問題を使って授業を行う場合, 折り紙の枚数が 3x+20 と 5x 2 というように2 通りに表せることから, これを等式で表して方程式を立式する活動を取り入れることが考えられる 線分図や表を利用して, 問題場面にある等しい数量の関係を捉えることができるようにすることが大切である 本問題を使って授業を行う場合, 生徒の人数と折り紙の枚数に着目し, これらについて下のような線分図で整理して数量の関係を捉える活動を取り入れることが考えられる 折り紙の枚数 3 枚 ( 人数 ) 20 枚 5 枚 ( 人数 ) 2 枚 119

6 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 21 年度 A3(3) 方程式の解き方とその利用 (1) 出題の趣旨 一元一次方程式をつくって問題を解決するために, 数量の関係を捉え,2 通りに表せる数量に着目できるかどうかをみる 正答率 36.3% 無解答率 17.9% 3 次の (1) から (4) までの各問いに答えなさい (3) 次の問題と考え方を読んで, 下のに当てはまる 言葉を書きなさい 問題折り紙を何人かの生徒に配るのに,1 人に3 枚ずつ配ると 20 枚余ります また,1 人に5 枚ずつ配ると2 枚たりません 生徒の人数を求めるために, 生徒の人数を x 人として, 方程式をつくりなさい 考え方方程式をつくるために,x を使って, 上の問題の数量のうち, を2 通りの式で表すと,3x +20 と5x -2になります この2つの式が等しいので, 方程式は3x +20=5x -2です 解答類型と反応率 反応率問題番号解答類型正答 (%) 3 (3) 1 折り紙の枚数 と解答しているもの ( 枚数と解答しているものを含む ) 2 折り紙と解答しているもの 生徒の人数と解答しているもの ( 生徒, または人数と解答しているものを含む ) 配り方 と解答しているもの 上記以外の解答 無解答 17.9 (2) 調査結果についての解説 数量の関係を捉え,2 通りに表せる数量に着目することは, 問題場面に即して方程式をつくるために必要である 正答率は,36.3% であり, 一元一次方程式をつくって問題を解決するために, 数量の関係を捉え,2 通りに表せる数量に着目することに課題がある 誤答については, 生徒の人数と解答した解答類型 3の反応率は,19.3% である この中には, 問題の中で問われている数量をそのまま答えた生徒がいると考えられる 解答類型 9の反応率は,19.5% である この中には, 方程式 や 一次方程式 な 120

7 どの解答がある 無解答率は,17.9% である 平成 20 年度調査 A3では, 同じ問題場面において, 一元一次方程式をつくることができるかどうかをみる問題を出題した 正答率は60.5%, 無解答率は18.5% であり, 具体的な事象における数量の関係を捉え, 一元一次方程式を立式することに課題があった 平成 20 年度調査と平成 21 年度調査の結果を比較すると, 立式をする際に, 立式の手順やそのもとになる考え方を説明することに課題があると考えられる (3) 学習指導に当たって 問題の中の数量を2 通りの式に表せば等式ができることを理解し, それに基づいて方程式をつくることが大切である 例えば, 本問題では, 生徒の人数を x 人とし, 折り紙の枚数に着目すれば, それは一方で3x+20, 他方で5x 2と表される このことから, 方程式 3x+20=5x 2をつくるとともに, 方程式をつくるのに用いた方法を説明する活動を取り入れることが考えられる その際, 折り紙の枚数, 生徒の人数, 生徒 1 人分の枚数など, 問題の中の数量を捉え, それらの関係を言葉の式や線分図で表して整理することが大切である このような活動を通して, 例えば, 次のように方程式をつくる手順をまとめることが考えられる 数量及びその関係を捉える ある数量に着目する その数量を2 通りの式に表す 2 通りに表された数量を等号を使って表す 方程式を利用して問題解決をするときに, その方程式がどのような数量に着目してつくられているのかを振り返ることが大切である 例えば, 次のような問題を方程式を用いて解くには, ケーキ1 個の値段を x 円として, 支払ったお金, ケーキの代金, おつりに着目した方程式をつくることができる 問題 ケーキ4 個を買って,1000 円支払ったら, おつりは280 円でした ケーキ1 個の値段は何円ですか 4x+280=1000 ( 支払ったお金に着目 ) 4x= ( ケーキの代金に着目 ) x=280 ( おつりに着目 ) これらの方程式で, 支払ったお金, ケーキの代金, おつりなど, 問題の中のどの数量に着目して方程式をつくったかを, 問題場面を参照しながら説明し合う活動を取り入れることが考えられる 121

8 記述式問題における課題その 1 予想した事柄を数学的な表現を用いて説明すること ( 事実 事柄の証明 ) 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 20 年度 B2(3) 発展的に考え, 予想すること ( 位を入れかえた数 ) (1) 出題の趣旨 発展的に考え, 予想した事柄を説明することができるかどうかをみる 正答率 49.2% 無解答率 36.1% 122

9 解答類型と反応率 反応率問題番号解答類型正答 (%) 2 (3) ( 正答の条件 ) は になる という形で (a) ( b) または (a) ( c) の条件を 満たし 成り立つ事柄を記述している (a) が 2けたの自然数と その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差 である (b) が 次のいずれかである 9の倍数または3の倍数 十の位の数と一の位の数の和が9 もとの2けたの自然数の十の位の数と一の位の数の差の9 倍 (c) が もとの2けたの自然数の十の位の数と一の位の数の差に着目したものである ( 正答例 ) 例 1 2けたの自然数と その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は 9の倍数になる 例 2 2けたの自然数と その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は もとの2けたの自然数の十の位の数と一の位の数の差が5であるとき 5の倍数になる 1 (a) ( b) の条件を満たして記述しているもの 上記 1 で (a) の 2 けたの自然数と その数の十の位の数と一の位の 数を入れかえた数の差 に関する記述が十分でないもの 上記 1 で がなく (b) の条件を満たして記述しているもの 例 9 の倍数になる (a) ( c) の条件を満たして記述しているもの 上記 4で (a) の 2けたの自然数と その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差 に関する記述が十分でないもの 上記 4で がなく (c) の条件を満たして記述しているもの 0.0 (a) の条件を満たして記述しているもの ( 2 けたの自然数と その数 7 の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差 に関する記述が十分で 0.2 ないものを含む ) 8 上記以外で 2けたの自然数と その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差の性質について記述しているもの 上記以外の解答 無解答 36.1 正答率 分析結果と課題 本問題では 発展的に考え 予想した事柄を説明することが求められる 2けたの自然数 (2) 調査結果についての解説と その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差についての性質を予想できるかどうか そして その予想した事柄を ~は になる という形で表現できるかどう 本問題では, 発展的に考え, 予想した事柄を説明することが求められる 2けたの自かをみるものである 正答率は 49.2% であり 発展的に考え 予想した事柄を ~は 然数とになる という形で表現することに課題がある, その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差についての性質を予想できるかどうか, そして, その予想した事柄を は, になる という形で表現 できるかどうかをみるものである 正答率は無解答率は 36.1% である,49.2% であり, 発展的に考え, 予想した 事柄を は, になる という形で表現することに課題がある 学習指導に当たって 数や図形に関する性質を考察する場面において 成り立つ性質を予想できるようにするこ無解答率は,36.1% である とが大切である 例えば 数の性質を下のような例を調べることを通して帰納的に見いだす場面や 和の場合をもとに差の場合の性質を類推する場面などにおいて 生徒が自由に予想し その予想を 123 表現する活動を取り入れることが考えられる

10 (3) 学習指導に当たって 数や図形に関する性質を考察する場面において, 成り立つ性質を予想できるようにすることが大切である 例えば, 数の性質を下のような例を調べることを通して帰納的に見いだす場面や, 和の場合を基に差の場合の性質を類推する場面などにおいて, 生徒が自由に予想し, その予想を表現する活動を取り入れることが考えられる 41 14=27= =18= =54=9 6 数や図形に関する性質を予想し, は, になる ( である ) という形で主語 ( 説明する前提や根拠 ) と述語 ( 説明される結論 ) を明確にして表現できるようにすることが大切である 本問題を使って授業を行う場合には, 9の倍数になる や 数の差は9の倍数になる など, 主語が明確に表現できていない予想を取り上げ, この表現では相手に予想した内容を正確に伝えられないことから, 条件を明確にして主語と述語を表現することの大切さを実感できる活動を取り入れることが考えられる 証明や説明を振り返ったり, 条件を変えたりすることで, 考察の対象に関する新しい性質を予想できるようにすることが大切である 本問題を使って授業を行う場合には, 問題の条件を和から差に変えたり,2けたの自然数を3けたに変えたりするなど, 発展的に考えるための視点を示した上で, 生徒自らがその視点を用いて新たな性質を予想する活動を取り入れることが考えられる 今までに学んだ事柄に関連付けながら, いくつかの数に共通する規則を見いだすことができるようにすることが大切である 例えば,41 14や53 35を計算して得られる27や18などの2けたの数が, かけ算九九表でみたときには 9の段 に表れることを見いだし, 2けたの自然数と, その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は,9の倍数になる と予想していく活動を取り入れることが考えられる 124

11 中学校数学課題として考えられる内容に該当する調査問題 調査結果B図形中学校数学 課題として考えられる内容に該当する調査問題 調査結果 B 図形 125

12 2 1 図形 図形 における課題 証明の必要性や意味を理解すること 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 20 年度 A8 証明の意義 (1) 出題の趣旨 証明の意義について理解しているかどうかをみる 正答率 58.3% 無解答率 1.3% 8 平行四辺形 ABCD の辺 AD, 辺 BC 上に,DE =BF となるような この証明のあと, 図 1と形の違う図 2のような平行四辺形 ABCD に 点 E, 点 Fをそれぞれとるとき,AF =CE となることを, ある学級 ついても, 同じようにAF =CE となるかどうかを考えてみたところ, では, 下の図 1をかいて証明しました 下のアからエのような意見が出ました 正しいものを1つ選びなさい 図 1 図 2 A E D A E D B F C B F C 証明 ABF と CDEにおいて 四角形 ABCDは平行四辺形だから, AB = CD 1 ABF = CDE 2 仮定から, BF = DE 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから, ABF CDE したがって, AF=CE ア図 2の場合も,AF =CE であることは, すでに前ページの証明で示されている イ図 2の場合は,AF =CE であることを, 改めて証明する必要がある ウ図 2の場合は,AF =CE であることを, それぞれの長さを測って確認しなければならない エ図 2の場合は,AF =CE ではない 解答類型と反応率 問題番号 解 答 類 型 反応率 (%) 正答 8 1 ア と解答しているもの イ と解答しているもの ウ と解答しているもの エ と解答しているもの 上記以外の解答 無解答

13 (2) 調査結果についての解説 証明の意義を理解することは, 数学的な推論の方法を理解し, 数や図形の性質を見いだしたり, 説明したりするために必要である また, 実生活において事柄を論理的に考えたり説明したりする際にも必要である 正答率は,58.3% であり, 証明の意義の理解に課題がある 誤答については, 改めて証明する必要があると考えている解答類型 2の反応率が, 29.2% である 平成 19 年度調査 A7では, 証明は, 命題が例外なしに成り立つことを明らかにする方法であること に焦点を当てた問題を出題した 正答率は,73.6% であり, その問題において, 改めて証明する必要があると考えている生徒の割合は,14.2% であった 平成 19 年度調査では,1つの図について証明を提示したのに対し, 本設問は,2つの異なる図を示して問いかけたものである 条件に合う図が複数提示された場合に, 証明が変わらないことの理解に課題があると考えられる (3) 学習指導に当たって 条件に合う複数の図で同じ証明が成り立つことを理解できるようにすることが大切である 例えば, 証明をする前に, 下の図のように条件に合う図を複数かき, どの場合でも結論が成り立つことを確かめ, それぞれの図形で証明を行うことを通して, 図が変わっても証明が変わらないことを確認する活動を取り入れることが考えられる また, 証明した後で, 条件に合う別の図でも証明が成り立つことを確かめることを通して, 同じ条件を満たす他の図で改めて証明する必要がないことを実感する活動を取り入れることが考えられる が考えられる A E D A E D A E D B F C B F C B F C 127

14 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 21 年度 A8 証明の意義 (1) 出題の趣旨 証明の意義について理解しているかどうかをみる 正答率 29.7% 無解答率 1.2% 8 ある学級で, 三角形の内角の和は 180 である ことの証明についどんな三角形でも内角の和は180 であることの証明について, て, 次の, を比べて考えています 下のアからオまでの中から正しいものを1つ選びなさい 下の図の ABC で, 辺 BCを延長した直線上の点をDとし, 点 Cを通り辺 BA に平行な直線 CEをひく B A a e b c d 平行線の錯角は等しいから, C E a = e 平行線の同位角は等しいから, b = d したがって, a + b + c = e + d + c = 180 よって, 三角形の内角の和は 180 である D アもも証明できている イは証明できており, は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになる ウは証明できているが, は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめても証明したことにはならない エもも形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになる オは形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになるが, はそれでも証明したことにはならない 下の図の ABC で, 3つの角の大きさをそれぞれ測ると, A A=72 B=64 C=44 B C したがって, A+ B+ C= = 180 よって, 三角形の内角の和は180 である 解答類型と反応率 問題番号 解 答 類 型 反応率 (%) 正答 8 1 ア と解答しているもの イ と解答しているもの ウ と解答しているもの エ と解答しているもの オ と解答しているもの 上記以外の解答 無解答

15 (2) 調査結果についての解説 証明の意義を理解することは, 数学的な推論の意味を理解し, 数や図形の性質を見いだしたり, 証明したりするために必要である また, 実生活において事柄を筋道立てて考えたり説明したりする際にも必要である 正答率は,29.7% であり, 証明の意義の理解に課題がある 誤答については, 解答類型 1の反応率は,22.9% である この中には, 実測や操作な えんえき ど帰納的な方法による説明と演繹的な推論による証明の違いを理解できていない生徒が いると考えられる また, 解答類型 2の反応率は,32.6% である この中には, 実測や操作など帰納的な方法による説明の限界について理解できていない生徒がいると考えられる これら2つの解答類型 1,2と解答類型 4の反応率を合わせると,63.4% である これらの生徒は, 実測や操作など帰納的な方法による説明で証明したことになると捉えていると考えられる 提示された方針に基づいて証明する平成 21 年度 B4(1) の正答率は,41.8% である 平成 21 年度 B4(1) を正答した生徒のうち,63.1% の生徒が本問題で誤答している このことから, 証明を正しく書くことはできても, 証明の意義を理解していない生徒がいると考えられる 平成 19 年度調査 A7では, 証明は, 命題が例外なしに成り立つことを明らかにする方法であること に焦点を当てた問題を出題した 正答率は,73.6% であった また, 平成 20 年度調査 A8では, 証明をするためにかかれた図は, すべての代表として示されている図であること に焦点を当てた問題を出題した 正答率は,58.3% であった (3) 学習指導に当たって 帰納的な方法は, 図形の性質や関係を見いだしたり, 個々の具体的な図形を考察したりする方法としては有効であるが, その見いだした個々の図形の性質や関係の一般性を保証するものではない このような帰納的な方法の意義と限界を理解し, 演繹的な推論による証明により命題が例外なしに成り立つことを明らかにできることの理解を深めることが大切である 例えば, 本問題を使って授業を行う場合, いくつかの三角形について内角の和が180 であることを帰納的に見いだし, それを他の三角形でも調べることで, その事柄の信頼性を高めることができる しかし, すべての三角形についてその事柄が正しいかどうかを調べることはできないことを確認し, 演繹的に説明する証明が必要であることを理解できるようにすることが大切である 129

16 2 2 図形 図形 における課題 円柱と円錐の体積の関係を理解すること 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 19 年度 A5(4) 空間図形 (1) 出題の趣旨 円錐の体積を, 底面が合同で高さが等しい円柱の体積との関係で理解しているかどうかをみる 正答率 38.1% 無解答率 0.8% 130

17 解答類型と反応率 反応率問題番号解答類型正答 (%) 5 (4) 1 アと解答しているもの イと解答しているもの 3 ウと解答しているもの 4 エと解答しているもの 5 オと解答しているもの 9 上記以外の解答 0 無解答 (2) 調査結果についての解説 柱体と錐体の体積の関係は, 実生活の中で量 ( 容積, 体積, 重さなど ) について考察する際に必要である 正答率は,38.1% であり, 円柱と円錐の体積の関係の理解に課題がある 誤答については,2 杯と考えた解答類型 2の反応率が,36.7% である この解答をした生徒は, 底面積と高さがそれぞれ等しい柱体と錐体の体積の関係を, 底辺と高さがそれぞれ等しい平行四辺形と三角形の面積の比 2:1と同じように捉えていると考えられる (3) 学習指導に当たって 柱体と錐体の体積の関係について, 実験や実測を通して, 実感を伴って理解できるようにすることが大切である 本問題では, 水を円柱から円錐に移す場面について予想を立て, 実験や実測を通して確かめることが考えられる また, 水を円錐から円柱に移すという逆の場面についても取り上げ, 双方向から理解を深めることも考えられる 平面図形の面積と空間図形の体積とを対比することで, それぞれの特徴を的確に理解できるようにすることが大切である 本問題で選択肢イを選んだ生徒には, 底辺と高さがそれぞれ等しい三角形と平行四辺形の面積の比は1:2であるのに対し, 底面積と高さがそれぞれ等しい円錐と円柱の体積の比は1:2とはならないことなど, 平面図形の面積と空間図形の体積の違いを確認することが考えられる 見た目だけで判断するのではなく, その判断の根拠を明らかにし, それに基づいて説明できるようにすることが大切である 本問題では, 体積の公式により, 底面と高さがそれぞれ等しい円柱と円錐の体積の比が3:1となることを根拠として,3 杯となることを判断し, 説明することが考えられる 131

18 数学的に表現したり, 数学的に表現されたものの意味を読み取ったりすることにおける課題 関係や法則などを式に表現したり, 式の意味を読み取ったりすること 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 22 年度 B4(1)(2) 証明を振り返り, 発展的に考えること ( 二等辺三角形 ) (1) 出題の趣旨設問 (1) 与えられた証明を読み, そのしくみを考えることができるかどうかをみる 設問 (2) 発展的に考えて証明することができるかどうかをみる 設問 (1) 正答率 48.8% 無解答率 14.6% 設問 (2) 正答率 48.2% 無解答率 21.9% 4 次の問題 1 は, 下のように証明できます 問題 1 (2) 問題 1 の一部を変えると, 次の問題 2 をつくることができます 問題 2 図 1のように,AB =AC の二等辺三角形 ABC の辺 AB, 辺 AC 上にAD =AE となる点 D, 点 Eをそれぞれとります このとき,BE =CD となることを証明しなさい 問題 1の証明 図 1 B D A E C 図 2のように,AB =AC の二等辺三角形 ABC の辺 BA, 辺 CA を延長した直線上にAD =AE となる点 D, 点 Eをそれぞれとります このとき,BE =CD となることを証明しなさい 図 2 E B A D C ABE と ACD において, 仮定から, AB =AC 1 AE =AD 2 共通な角だから, BAE = CAD 3 B 1,2,3より, 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから, ABE ACD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいから, BE =CD D A E C 問題 2でも ABE と ACD に着目すると, 問題 1と同じように, BE =CD となることを証明できます 問題 1の証明を参考にして, 問題 2の証明を完成しなさい 問題 2の証明 ABE と ACD において, E A D 次の (1),(2) の各問いに答えなさい B C (1) 問題 1の証明では, 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい という三角形の合同条件が用いられています この合同条件を用いるとき, ABE と ACD の対応する2 辺の間の角が等しいことを表しているのは, 上の証明のどの部分ですか その部分を書きなさい 合同な図形の対応する辺の長さは等しいから, BE =CD 132

19 解答類型と反応率 反応率 問題番号 解 答 類 型 (%) 正答 4 (1) BAE= CAD と解答しているもの 1 ( 共通な角だから を加えて書いていたり, 3 と解答していたり 48.8 するものを含む 以下同様 ) 2 BAE = CAD と解答しているもの AB=AC,AE=AD, BAE= CAD と解答しているもの 9.1 AB = AC と解答しているもの 4 または, 7.3 AE = AD と解答しているもの 5 BE = CD と解答しているもの ABE ACD と解答しているもの 上記以外の解答 無解答 14.6 正答率 48.8 解答類型と反応率 反応率 問題番号 解 答 類 型 (%) 正答 4 (2) ( 正答の条件 ) 次の (a),(b),(c) とそれぞれの根拠を記述し, 証明しているもの 根拠 (a) AB = AC, AE = AD 仮定 (b) BAE= CAD 対頂角は等しい (c) ABE ACD 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい ( 正答例 ) 仮定から, AB=AC 1 AE=AD 2 対頂角は等しいので, BAE= CAD 3 1,2,3より, 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから, ABE ACD ( 解答類型 1) 1 (a),(b),(c) とそれぞれの根拠を記述しているもの 37.7 (a),(b),(c) の表現が十分でなかったり, 記号を書き忘れていたり するが,(a),(b),(c) の根拠を記述し, 証明の筋道が正しいと分か 2 るもの 4.1 例 正答例で, 角の記号 ( ) を書き忘れている (a),(b),(c) の根拠が抜けていたり, 根拠の表現が十分でなかった りするが,(a),(b),(c) を記述し, 証明の筋道が正しいと分かるもの ((a),(b),(c) の表現が十分でなかったり, 記号を書き忘れていた 3 りするものを含む ) 6.4 例 正答例で, 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから を書き忘 れている 4 上記 1~3 について,(b) の根拠を 共通な角 と記述しているもの 6.8 上記 1~3 以外で, 正しく証明をしているもの 例 EBC DCB を証明しているもの 上記 5について, 表現が十分でなかったり, 記号を書き忘れていたり 6 するが, 証明の筋道が正しいと分かるもの ( 根拠が抜けていたり, 根拠の表現が十分でなかったりするものを含む ) 7 仮定として, BE=CD を用いているもの (a) のみを記述しているもの 3.6 または,(a) と (c) について記述しているもの 9 上記以外の解答 無解答 21.9 正答率 48.2 分析結果と課題 本問題では, 証明を振り返って発展的に考え証明することが求められる 問題の条件を変えたときに, もとの証明の何が変わり何が変わらないかを振り返ってとらえ, それに基づいて証明することができるかどうかをみるものである 正答率は,48.2% であり, 証明を振り返り, 発展的に考えて証明することに課題がある 133

20 (2) 調査結果についての解説設問 (1) 本問題では, 与えられた証明に用いられている根拠を確認することが求められる 提示された証明の中で,3つの相等関係のうち仮定にはない部分を指摘できるかどうかをみるものである 正答率は,48.8% であり, 与えられた証明を読み, そのしくみを考えることに課題がある 解答類型 9の反応率は,15.0% である この中には, 共通な角だから や A などの解答がある 設問 (2) 本問題では, 証明を振り返って発展的に考え証明することが求められる 問題の条件を変えたときに, もとの証明の何が変わり何が変わらないかを振り返って捉え, それに基づいて証明することができるかどうかをみるものである 正答率は,48.2% であり, 証明を振り返り, 発展的に考えて証明することに課題がある 解答類型 9の反応率は,15.6% である この中には, 共通な角だから, BEA= CDA と書いている解答があり, 問題 1と問題 2で共通な条件を把握できていない生徒がいると考えられる (3) 学習指導に当たって設問 (1) 結論を導くために用いられている条件や根拠に着目しながら証明を読み, そのしくみを捉えることが大切である 本問題を使って授業を行う際には, 問題 1の証明を読む場面で, 結論 BE=CD を導くためにBEと CDがそれぞれ含まれる図形に着目して ABE ACD を示していることや, どの合同条件を使って ABE ACD を示しているかを確認する機会を設定することが考えられる その際, 三角形の合同条件を成り立たせる3つの要素を, 図に色や印をつけて対応させるなど, 言葉や記号で表されたことを図と対応付けて的確に読み取れるようにすることが大切である また, 本問題のように合同な三角形が重なり合っている場合には,2 つの三角形を別々にかき出し, 辺や角の対応関係を確認できるようにすることも考えられる 設問 (2) 証明の学習においては, 命題が成り立つことを示すにとどまらず, 問題の条件を変えて, 発展的に考えることが大切である 例えば, 本問題のようにもとの三角形の2 辺の延長上に点をとるなど, 発展的に考えるための着想を得る機会を取り入れることが考えられる その際, 生徒自ら図をかくことを通して, もとの問題と新しい問題との条件の異同を見いだすことができるようにすることが考えられる もとの命題の証明を参考にして, 発展的に考えた命題を証明することが大切である 指導に当たっては, 発展的に考えて予想した命題を証明する際, もとの証明の何が変わり何が変わらないかを確認する活動を取り入れることが考えられる 例えば, 本問題 134

21 では, 三角形の合同条件において BAE= CAD であることの根拠が 共通する角 から 対頂角は等しい に変わり, 他の部分は変わらないことを確認した上で証明できるようにすることが大切である 135

22 136

23 中学校数学課題として考えられる内容に該当する調査問題 調査結果C数量関係中学校数学 課題として考えられる内容に該当する調査問題 調査結果 C 数量関係 137

24 3 1 数量関係 数量関係 における課題 2 つの数量の関係が比例 反比例 一次関数の関係になることを理解すること 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 20 年度 A9(1) 比例と反比例の意味 (1) 出題の趣旨 具体的な事象の中には比例を用いて捉えられるものがあることを理解しているかどうかをみる 正答率 59.6% 無解答率 1.4% 9 次の (1),(2) の各問いに答えなさい (1)y が x に比例するものを, 下のアからオの中から1つ選びなさい ア面積が60cm 2 の長方形で, 縦の長さが x cm のときの横の長さ y cm イ 1 辺の長さが x cm である正方形の面積 y cm 2 ウ 1 個 120 円のりんごを x 個と,1 個 70 円のオレンジを3 個買ったときの代金 y 円 エ 1 冊 80 円のノートを x 冊買ったときの代金 y 円 オ 6m のリボンを x 人で同じ長さに分けたときの 1 人分の 長さ y m 解答類型と反応率 問題番号 解 答 類 型 反応率 (%) 正答 9 (1) 1 ア と解答しているもの イ と解答しているもの ウ と解答しているもの エ と解答しているもの オ と解答しているもの 上記以外の解答 無解答

25 (2) 調査結果についての解説 この問題では, 具体的な事象の中で,2つの数量が比例の関係にあるものを見いだすために,2つの数量の関係を考察し,y= ax の式で表すことができるかどうかを判断することが求められる このことは, 反比例, 一次関数, 関数 y= ax 2 などの学習において必要である また, 具体的な事象から2つの数量を取り出して, それらの数量の間にどのような関数関係があるかを見いだす際にも必要である 正答率は,59.6% であり, 比例の意味に基づいて, 具体的な事象の中で比例の関係を捉えることに課題がある 誤答については,x の値が増えるとそれに対応する y の値も増えることだけから比例と判断したと考えられる解答類型 2と3の反応率を合わせると,24.5% である (3) 学習指導に当たって 比例の意味や性質に基づいて比例かどうかを判断する活動を通して, 比例の関係について理解を深めることが大切である 例えば, 比例と比例でない事象を取り上げ, それぞれの事象について x の値を2 倍, 3 倍, にすると, それに対応する y の値は2 倍,3 倍, となる, y= ax の式で表すことができる, 変化の割合が一定であり,x が0のとき y が0である といった比例の意味や性質に基づいて調べる活動を取り入れることが考えられる 具体的な事象における数量の関係を見いだし, その関係を式に表すことができるようにすることが大切である 例えば, 具体的な事象における数量の関係を捉えるために, まずは数量の関係を表やグラフを用いて表すことを通して, 変化や対応の様子を実際に調べ, そのことを基にして式に表す活動を取り入れることが考えられる 139

26 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 19 年度 A⓫(1) 一次関数の意味とそのグラフ (1) 出題の趣旨 具体的な事象における 2つの数量の関係が, 一次関数になることを理解しているかどうかをみる 正答率 64.5% 無解答率 1.7% 解答類型と反応率 反応率問題番号解答類型正答 (%) 11 (1) 1 アと解答しているもの イと解答しているもの 3 ウと解答しているもの 4 エと解答しているもの 5 オと解答しているもの 9 上記以外の解答 0 無解答 (2) 調査結果についての解説 具体的な事象から一次関数の関係を見いだすには,2つの数量の関係が関数になっているか, また, どのような式で表されるかなどを考える必要がある これは, 方程式の利用や関数 y= ax 2 などの学習において必要である また, 具体的な事象や場面を考察したり, 予測したりする際にも必要である 正答率は,64.5% であり, 具体的な事象で2 140

27 つの数量の関係が一次関数になることの理解に課題がある 誤答については, 反比例の関係を一次関数と捉えている解答類型 1,4 の反応率を合 わせると,24.5% である (3) 学習指導に当たって 2つの数量が一次関数の関係であるかどうかを判断する際には, 表や式を用いて一次関数の特徴があるかどうかを調べることが大切である 本問題では, 各選択肢において数量の関係を表や式で表し, 変化の割合が一定であるかどうかや, 式が y= a x + b の形になるかどうかを調べることが考えられる 141

28 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 21 年度 A⓬ 二元一次方程式のグラフ (1) 出題の趣旨 二元一次方程式の解を座標とする点の集合は, 直線として表されることを理解しているかどうかをみる 正答率 36.7% 無解答率 2.0% 12 下のアからエまでの中に, 二元一次方程式 2x + y =6 の解を座標 とする点の全体を表したものがあります それを 1 つ選びなさい ア y イ y O 5 x -5 O 5 x -5-5 ウ y エ y O 5 x -5 O 5 x -5-5 解答類型と反応率 問題番号 解 答 類 型 反応率 (%) 正答 12 1 ア と解答しているもの イ と解答しているもの ウ と解答しているもの エ と解答しているもの 上記以外の解答 無解答

29 (2) 調査結果についての解説 二元一次方程式の解を座標とする点の集合が, 直線として表されることを理解することは, 連立二元一次方程式の解が2 直線の交点の座標と一致することなど, 連立二元一次方程式の解の意味を視覚的に捉える際に必要である 正答率は,36.7% であり, 二元一次方程式の解を座標とする点の集合は, 直線として表されることの理解に課題がある 誤答については, 二元一次方程式の解を座標とする点を1つ, または2つだけ示した解答類型 1,2の反応率を合わせると,19.4% である この中には, 二元一次方程式の解の個数が無数にあることを理解できていない生徒がいると考えられる また, 二元一次方程式の解を座標とする点として, 与えられた座標平面上の格子点だけを示した解答類型 3の反応率は,41.9% である この中には, 二元一次方程式の解の集合として整数以外の有理数もあることを理解できていない生徒がいると考えられる 平成 20 年度調査 A⓭では, 同じ二元一次方程式のグラフを, 傾きと切片の異なる4 本の直線の中から選択する問題を出題した 正答率は57.8% であり, 二元一次方程式の解を座標とする点の集合が, 直線のグラフとして表されることの理解に課題があった 平成 20 年度調査と平成 21 年度調査の結果を比較すると, 二元一次方程式のグラフが直線であると捉えていても, その直線が二元一次方程式の解を座標とする点の集合であると理解できていない生徒がいると考えられる (3) 学習指導に当たって 二元一次方程式の解の意味を理解し, 解は無数にあることを理解することが大切である 例えば, 一元一次方程式と二元一次方程式の解を比較して解の意味の理解を深めることが考えられる 二元一次方程式の解を求める活動の中で, 一元一次方程式を満たす x の値は1つに決まるが, 二元一次方程式を満たす x,y の値の組は1 組に限らないことを, 実際に数値を代入して確かめる活動を取り入れることが考えられる 二元一次方程式の解を座標とする点の集合が, 直線になることを理解することが大切である 例えば, 二元一次方程式のグラフをかくときに, 格子点だけでなく, 小数や分数を座標としてもつ点もとり, それらが一直線上に並ぶことや, 多数の点をとっていくと直線上に点が埋まっていくことを観察することを通して, 直線上のすべての点の集合であることを確認する活動を取り入れることが考えられる 方程式による表現とそのグラフによる表現を相互に関連付けて捉えることが大切である 例えば, 連立二元一次方程式の解が特別な場合を除いて1つに決まることについて, それぞれの二元一次方程式の解を座標とする点の集合が2 本の直線で表されることに結び付け,2 直線の交点が1つに決まることに関連付けて解釈できるようにすることなど, 式の表現とグラフの表現の意味を結び付ける活動を取り入れることが考えられる 143

30 記述式問題における課題その 2 問題解決の方法を数学的な表現を用いて説明すること ( 方法の説明 ) 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 21 年度 B3(3) 事象の数学的な解釈と問題解決の方法 ( 電球形蛍光灯のよさ ) (1) 出題の趣旨 事象を数学的に解釈し, 問題解決の方法を数学的に説明することができるかどうかをみる 正答率 19.9% 無解答率 48.5% 3 美咲さんは, 家の白熱電球が切れたので, 環境にやさしいといわれ ている電球形蛍光灯 ( 以下, 蛍光灯 とします ) にかえようと考えています そこで, 蛍光灯について調べたところ, 次のことが分かりました 値段が高い 電気代が安い 寿命が長い 蛍光灯について分かったこと 美咲さんは, 蛍光灯と白熱電球について, 電気代は使用時間にとも なって一定の割合で増えるとして,1 個の値段と電気代を合計した 総費用を比べてみようと思いました 蛍光灯と白熱電球の比較 ( ほぼ同じ明るさのもの ) 蛍光灯 (10 W) 白熱電球 (54 W) 1 個の値段 1000 円 150 円 電気代 (1000 時間 ) 220 円 1190 円 1 個の寿命 時間 1000 時間 (3) 美咲さんとお兄さんは, 蛍光灯と白熱電球を同じ時間使用したときの総費用 (1 個の値段と電気代の合計 ) を比べています お兄さん 1 個の値段は蛍光灯の方が高いので, 最初のうちは蛍光灯の方が総費用も多いね 美咲さん でも,1000 時間だと蛍光灯の方が総費用が少ないよ お兄さん それなら,2つの総費用が等しくなる時間があるね 蛍光灯と白熱電球の総費用が等しくなるおよその時間を求める方法を説明しなさい ただし, 実際にその時間を求める必要はありません 電球形蛍光灯 ( 左 ) と白熱電球 次の (1) から (3) までの各問いに答えなさい 解答類型と反応率 反応率 問題番号 解 答 類 型 (%) 正答 3 (3) ( 正答の条件 ) 蛍光灯と白熱電球について, 総費用は一定の割合で増えることを前提として, 次のことについて記述しているもの <グラフを用いることについて記述している場合 > 次の (a),(b) について記述している (a) 使用時間と総費用の関係をグラフで表すこと (b) グラフの交点の座標から, 使用時間の値をよむこと < 式を用いることについて記述している場合 > 次の (c),(d) について記述している (c) 使用時間と総費用の関係を式で表すこと (d) 総費用が等しいことから方程式を解いて使用時間の値を求めること < 表や数値を用いることについて記述している場合 > 次の (e),(f) について記述している (e) 使用時間と総費用の関係を表や数値で調べること (f) その表や数値を用いて, 総費用の値が一致するときの使用時間の値を求めること ( 正答例 ) 例 1 蛍光灯と白熱電球について, 使用時間と総費用の関係を直線のグラフに表して, その交点の座標から, 使用時間の値をよむ 例 2 蛍光灯と白熱電球について, 時間使用したときの総費用を 円として, を の一次関数の式で表し, 連立方程式を解いて, その の値を求める

31 例 3 蛍光灯と白熱電球について, 使用時間と総費用の関係を表す表をつく り, 変化の割合が一定であることを用いて, 総費用が等しくなるときの 使用時間を求める (a),(b) について文で記述しているもの 1 または, 実際にグラフをかき, その交点のうち, 使用時間の値をよむこ とについて記述しているもの 上記 1 で,(b) について, よみとる値が使用時間であることを記述して いないもの 上記 1 で,(b) について, 交点の座標について記述していないもの または,(a) のみを記述しているもの 例 グラフの使用時間をよむ (c),(d) について文で記述しているもの または, 実際に方程式をつくって, 使用時間の値を求めようとしてい 4.2 るもの 上記 4 で, 次のようなもの 5 (c) で, 変数が何を表すかを記述してないもの 2.7 (d) で, 使用時間の値を求めることを記述していないもの (e),(f) について記述しているもの 6 または, 実際に表や数値をかいており, 総費用の値が一致するときの 0.6 使用時間の値を求めようとしているもの 上記 6 で, 次のようなもの 7 (e) で, 用いる数量が何であるかを記述していないもの 0.2 (f) で, 使用時間の値を求めることを記述していないもの 式や表や数値を用いることについて記述しているもののうち, 上記 4~7 以外のもの 例 1 使用時間を 時間として, 総費用についての方程式をつくる 4.1 例 2 使用時間に対する総費用の表をつくる 9 上記以外の解答 無解答 48.5 正答率 19.9 (2) 調査結果についての解説 本問題では, 与えられたグラフや表を用いて, 蛍光灯と白熱電球の総費用が等しくなるおよその時間を求める方法を説明することが求められる 蛍光灯と白熱電球の総費用のそれぞれが使用時間の一次関数であるとみなして,2つの総費用が等しくなるときの使用時間を求める方法を説明できるかどうかをみるものである 正答率は,19.9% であり, 事象を数学的に解釈し, 問題解決の方法を数学的に説明することに課題がある グラフを用いることが有効であることに気付き, グラフを用いることについて記述している解答類型 1,2,3の反応率を合わせると,16.3% である 誤答については, 用いるもの は示しているが, その 用い方 を示していない解答類型 3,8の反応率を合わせると,24.3% である これらの中には, 式をつくって求めればよい のように式を用いることについては記述しているが, その 用い方 についての記述が十分ではない解答がある 無解答率は,48.5% である 本問題で無解答であった生徒の50.2% は, 平成 21 年度 B3(2) を正答している 本問題が無解答であっても, 問題場面を理解できた生徒がいると考えられる 平成 19 年度調査 B5(3), 平成 20 年度調査 B5(3) においても, 事象を数学的に解釈し, 問題解決の方法を数学的に説明する問題を出題した 正答率は, それぞれ40. 2%,13.3% であり, 問題解決の方法を数学的に説明することに課題があった 無解答率 145

32 は, それぞれ 37.3%,58.5% であった (3) 学習指導に当たって 事象を数学的に解釈し, 問題解決に数学を活用することが大切である 本問題を使って授業を行う際には, 例えば, 蛍光灯や白熱電球の使用時間と総費用の関係が一次関数とみなせることの理由を言葉で説明したり, それぞれの関係をグラフで表し, グラフの傾きや切片の意味を事象に戻して考えたりする活動を取り入れることが考えられる 問題解決のために数学を活用する方法を考え, グラフや式などの 用いるもの とその 用い方 を明らかにして説明することが大切である 本問題を使って授業を行う際には, 総費用が等しくなるおよその時間を求めるために, 用いるもの として表, 式, グラフを示し, いずれかを選択させた上で, その 用い方 について口述したり記述したりして説明し合う活動を取り入れることが考えられる 例えば, 式を選択した説明を取り上げ, 何についての式なのか, 何を求めればよいのかを指摘し合う中で説明を洗練していく活動を取り入れることが考えられる グラフを用いることのよさを感得することが大切である 本問題を使って授業を行う際には, 蛍光灯と白熱電球の総費用を比較する方法を考えさせ, グラフを用いれば総費用が等しくなるおよその使用時間が一目で分かることに気付かせることが考えられる その際,2つの総費用を比較するために, それぞれの総費用のグラフを同じ座標平面上にかくことの意味を考えたり, グラフの交点の意味を事象に戻して考えたりする活動を取り入れることが大切である 146

33 記述式問題における課題その 3 事柄が成り立つ理由を説明すること ( 理由の説明 ) 該当する調査問題 調査結果 調査問題 : 平成 19 年度 B6(3) 事象の数学的な解釈と判断 ( 図書館への往復 ) (1) 出題の趣旨 必要な情報をグラフから読み取り, 家から公園まで の区間と 公園から図書館まで の区間の速さを比較し, どちらが速いかを指摘して, その判断の理由を数学的な表現を用いて説明することができるかどうかをみる 正答率 62.1% 無解答率 3.5% 解答類型と反応率 反応率 問題番号 解 答 類 型 (%) 正答 6 ( 3 ) ( 正答の条件 ) イを選択し 次の ( a) ( c) または ( b) ( c) について記述しているもの ( a) 次の方法で速さを比較すること 速さを計算して比較する 傾きや変化の割合を計算して比較する グラフの傾きを比較する ( b) 次の方法で速さを比較すること 時間をそろえて 距離を比較する 距離をそろえて 時間を比較する ( c) 比較する区間を明示すること ( 正答例 ) 例 1 家から公園までの速さは =60 毎分 60m 公園から図書館までの速さは ( ) 5=120 毎分 120m だから 公園から図書館までの方が速かった 例 2 家から公園まで公園から図書館まで時間 0 5 時間 距離 距離 分間に進んだ距離で比較すると 家から公園までは 300m 公園から図書館までは 600m だから 公園から図書館までの方が速かった 1 イ ( a) ( c) について記述しているもの を ( 結論がなくてもよい 以下同様 ) 2 選 (a) について記述しているもの 択例 =60 ( ) 5= だから 公園から図書館までの方が速かった 3 (b) (c) について記述しているもの

34 1 イ ( a) ( c) について記述しているもの を ( 結論がなくてもよい 以下同様 ) 2 選 (a) について記述しているもの 択例 =60 ( ) 5=120 だから 公園から図書館までの方が速かった 3 (b) (c) について記述しているもの 4 (b) について記述しているもの 例 5 分間に進んだ距離で比較すると 300m 600m だから 公園から図書館までの方が速かった 5 上記 1 から 4 で 数値や計算式に誤りがあるもの 例家から公園まで =60 毎分 60m 公園から図書館まで =240 毎分 240m だから 公園から図書館までの方が速かった 6 上記以外の解答 または 理由を書いていないもの 7 アを選択したもの 9 上記以外の解答 0 無解答 正答率 (2) 調査結果についての解説 本問題は, 時間や距離, 傾きなどをグラフから読み取り,2つの区間の速さのどちらが速いかを判断し, その理由を説明できるかどうかをみるものである 正答率は, 62.1% であり, 一次関数の知識 技能などを用いて,2つの区間での速さを比較してどちらが速かったのかを判断し, その理由を説明することに課題がある 誤答については, イ公園から図書館まで を選択したが理由が不十分である, または, 理由を書いていない解答類型 5と6の反応率を合わせると,20.4% である ア家から公園まで を選択した解答類型 7の反応率は,13.8% である この解答をした生徒は, グラフからどちらが速いかの判断ができていないと思われる また, 家から図書館までの行きと帰りを比較するといったように比較する区間を間違えている解答もある イ公園から図書館まで を選択した解答類型 1,2,3,4,5,6の反応率を合わせると,82.5% である 説明すべき事柄を正しく選択し判断することは, 相当数の生徒ができている (3) 学習指導に当たって 速さを比較する方法として,1 距離をそろえて時間を比較する,2 時間をそろえて距離を比較する,3 速さを計算して比較する,4 傾きを比較するという方法があることを理解し, 場面や目的に応じて適切に用いることができるようにすることが大切である 説明するために必要な数量を見通しをもって, グラフから読み取ることができるようにすることが大切である グラフから速さの違いを読み取り説明する際には, どの数量を読み取ればよいのかを考えた上で, グラフをみることが必要である 本問題では, 家から公園まで と 公園から図書館まで はグラフ上ではどの線分に当たるのか, また, 速さを比較するために必要な時間と距離はグラフ上のどの数量に当たるのかを考えて, グラフをみることが必要である 148

35 中学校数学課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例A数と式中学校数学 課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例 A 数と式 149

36 1 数と式 授業アイディア例 1 方程式をつくって問題を解決するために, 問題場面の数量の関係を捉え,2 通りの式に表せる数量に着目できるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導のねらい 方程式をつくって問題を解決するために, 問題場面の数量の関係をとらえ,2 通りの式に表せる数量に着目できるようにする 授業アイディア例 問題折り紙を何人かの生徒に配るのに,1 人に 3 枚ずつ配ると 20 枚余りました そこで, 1 人に 5 枚ずつ配ったら 2 枚たりなくなりました 生徒の人数は何人ですか 生徒の人数を 人として, 方程式をつくって求めなさい 1. 方程式をつくるために, 着目する数量を問題場面から取り出す どんな数量に着目すればいいかな? 折り紙の枚数 生徒の人数 1 人に配る折り紙の枚数 2. 言葉の式や線分図などをつくって, 等しい関係にある数量を見付ける 折り紙の枚数は,3 +20 と 5-2 の 2 通りに表すことができます 3. 方程式をつくる も5-2も折り紙の枚数を表していて等しいので, 3 +20=5-2になります 4. 方程式をつくる手順を話し合うとともに, まとめる 方程式をつくる手順を例示しながら, 着目する数量を 2 通りの式に表せばよいことを確認する 留意点 一元一次方程式の利用の問題をいくつか扱った後に, 方程式をつくる手順をまとめることが考えられる 問題解決のためにつくられた方程式が, どのような数量に着目してつくられているのかを振り返ることが大切である

37 151

38 授業アイディア例 2 方程式をつくって問題を解決する際に, 問題場面から数量を取り出し, 数量やそれらの関係に着目して表に整理し, 立式できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 方 をつくって を する際に, から数量を取り出し, 数量やそれらの関係に して表に整理し, できるようにする 授業アイディア例 1 個 120 円のりんごと 1 個 70 円のオレンジを合わせて 15 個買ったら, 代金の合計は 1600 円になりました 買ったりんごとオレンジの個数をそれぞれ求めなさい 1. 分かっている数量 りんご1 個の値段オレンジ1 個の値段個数の合計 代金の合計 分かっていない数量 120 円りんごの個数 70 円オレンジの個数 15 個りんごの代金 1600 円オレンジの代金. 1. で取り出した数量をみて, 気付いたことはありませんか 個数, 値段, 代金も繰り返し 出ています りんごとオレンジが繰り返し出ています りんごとオレンジに分けて整理してみよう りんご オレンジ 1 個の値段 や 1600 はりんごとオレンジの両方に関係するね 個数, 値段, 代金の間には, (1 個の値段 ) ( 個数 )=( 代金 ) という関係があります 小学校で学習した 2 つの観点の表が利用できそうです そうですね どのような表ができますか 留意点 二次元表 ( 小学校第 4 学年 ) に整理して表す際に, 教師から生徒に与えるのではなく, 数量や関係を整理しながら, 既習の整理の仕方に気付き, それを用いて表すことができるように導くことが必要である このような活動は, 学び直しの機会として大切である

39 りんご オレンジ 合計 1 個の値段 ( 円 ) 個数 ( 個 ) 15 代金 ( 円 ) 1600 りんごを 個, オレンジを 個買ったとすると,( 値段 ) ( 個数 )=( 代金 ) の関係から, 代金も文字式で表すことができます りんご オレンジ 合計 1 個の値段 ( 円 ) 個数 ( 個 ) 15 代金 ( 円 ) 表を横に見て合計に着目すると, 個数の合計と代金の合計がそれぞれ 2 通りに表されています 個数の合計は + =15, 代金の合計は =1600 と表されます 個数の合計に着目すると, + =15 + =15 1 代金の合計に着目すると, = = 1600 表を横に見て, りんごの個数と代金に着目しても, それぞれ 2 通りに表されます りんごの個数に着目すると, と 15- の 2 通りに表されます りんごの代金に着目すると,120 と の 2 通りに表されます りんごの個数に着目すると, =15- =15-1 りんごの代金に着目すると, 120 = = 移項すると, 最初につくった方程式 (1,2) と同じになるね 方程式を解くと, =11, =4 です 方程式を解いてりんごの個数 (11 個 ), オレンジの個数 (4 個 ) を求めた後で, 作成した表に分かった数量を埋め, 改めていずれかの数量を未知数にして新たな問題づくりに取り組むことで, 表の仕組みや数量の関係などについての理解を一層深められるようにすることが大切である

40 154

41 中学校数学課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例B図形中学校数学 課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例 B 図形 155

42 2 図形 授業アイディア例 3 実験による測定を通して, 球の体積を実感を伴って理解できるようにする 円錐, 球, 円柱の体積の関係を調べ, それらの体積について理解を深めることができるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導の狙い 実験による測定を通して, 球の体積を実感を伴って理解できるようにする えんすい 円錐, 球, 円柱の体積の関係を調べ, それらの体積について理解を深めることができるようにする 授業アイディア例 球の体積を実験から求めてみよう 1 r 図 1 のような半径が r の球の体積を求めてみましょう どのように調べればいいでしょうか 図 1 1 杯 2 杯 3 杯 実験 1 円錐から円柱に水を移す 以前, 円錐と円柱の体積を比べる実験をしました 同じように実験してみるといいと思います 実験 1 のように円錐に水を入れて円柱に移すとちょうど 3 杯でいっぱいになりました 円錐の体積 円柱の体積 1 3 円錐の体積を求めるとき, 円柱の体積と比べましたね 球の体積を求めるために図 2 のように球がぴったりと入る円柱の体積と比べてみましょう r 2r 2 図 2 実験 2 のように半球の容器に水をいっぱいまで入れて, 円柱の容器に移すと何杯でいっぱいになるか実験してみましょう

43 問題の概要 A5(4) 球と円柱の体積を比較し, 正しい図を選ぶ 学習指導要領における領域 内容 [ 第 1 学年 ]B 図形 (2) ウ ( 平成 20 年告示 ) 1 杯 2 杯 3 杯 半 半球ちょうど 3 杯で円柱がいっぱいになりました はであることが分かるね 2半球の体積の 2 倍が球の体積だね 半球の体積 円柱の体積 =1 3 球の体積 円柱の体積 =2 3 円柱の体積を基にすると, 球の体積3実験から, 球の体積は円柱の体積の3である 23 図 2 の球の体積を求める式を考えてみましょう 円柱の底面の半径は r, 高さは球の直径と等しいから 2r です 実験から, 球の体積 V は, ( 円柱の体積 ) で求めることができる 23 まり,V= πr 3 となる 4円錐のときと同じだね 半球の体積を 1 とすると, 円柱の体積は 3 ということだね 円柱の体積は ( 底面積 ) ( 高さ ) で求めることができました 円柱の体積は,2πr 3 です 3球の体積の求め 球の半径を r, 体積を V とすると,V= πr 3 43実験 2 半球から円柱に水を移す

44 円錐, 球, 円柱の 3 つの立体の体積の関係について調べてみましょう 図 3 は, 円柱の中に円錐と球がぴったり入った状態を表しています このとき, 円柱と円錐の高さは 2r で等しく, 球の直径も 2r です 2r r 2r r r 図 3 円錐と円柱, 球と円柱の体積を比べたけれど, それじゃ, 円錐と球の体積を比べるとどうなっているんだろう 円錐と円柱の体積を比べると 1:3, 半球と円柱の体積を比べても 1:3 だったから, 円錐の容器に水をいっぱいまで入れて半球の容器に移すと, ちょうどいっぱいになるはずだね こんなに形が違うのに本当かな 実験して調べてみよう 実験 3 円錐から半球に水を移す 円錐の体積 : 半球の体積 1:1 円錐と球の体積を比べると,1:2 になるね 円錐と円柱の体積を比べると 1:3 だから, 球の体積と円柱の体積は 2:3 ということが分かります 円錐と球と円柱の体積の関係は, 簡単な比で表すことができましたね

45 3 倍 2 倍 2 杯分 3 杯分 図 3 のような関係の円錐, 球, 円柱のそれぞれの体積について比べると, 円錐の体積 : 球の体積 =1:2 円錐の体積 : 円柱の体積 =1:3 球の体積 : 円柱の体積 =2:3 になっている 留意点 実験に際しては, 教師が一方的に演示するだけではなく, 生徒が自ら実験する機会を設定することで実感を伴った理解を促すように配慮することが大切である 実験の結果に基づいて, 円錐 球 円柱の体積の関係について考察し, それらの体積についての理解を深めることが大切である なお, 公式を用いて円錐 球 円柱の体積の関係を考察することも考えられる 平成 19 年度調査 A5(4) では, 円錐と円柱の体積の関係について, 円柱の水を円錐に移した場合に円錐いくつ分になるかについての理解を問う問題を出題した 正答率は 38.1% であった また, 平成 20 年度調査 A5(2) では, 円錐と円柱の体積の関係について, 円錐の水を円柱に移したときに円柱の体積のになることの理解を問う問題を出題し152.4% であった この結果からも, 円錐 球 円柱の体積について実験を通3た 正答率は して実感を伴って理解できるようにすることが大切であるといえる 平成 20 年告示の学習指導要領で新規に示され, 平成 23 年度については移行措置によって指導することになった内容である

46 授業アイディア例 4 帰納的な方法による説明と演繹的な推論による証明を比較, 対照し, その違いに着目して, 帰納的な方法は個々の図形の性質や関係の一般性を保証するものではないことを理解 し, 演繹的な推論のよさに気付くことができるようにする 対象学年 : 第 2 学年以上 指導のねらい 帰納的な方法による説明と演繹的な推論による証明を比較, 対照し, その違いに着目して, 帰納的な方法は個々の図形の性質や関係の一般性を保証するものではないことを理解し, 演繹的な推論のよさに気付くことができるようにする 授業アイディア例 三角形の内角の和は 180 である ことの説明を比べよう 1 2 下の図の ABC で, 下の図の ABC で, 辺 BC を延長した直線上の点をDとし, 3つの角度をそれぞれ測ると, 点 Cを通り辺 BA に平行な直線 CE をひく A=72 B=64 C=44 平行線の錯角は等しいから, a = e 平行線の同位角は等しいから, b = d したがって, したがって, a + b + c = e + d + c A+ B+ C= = 180 = 180 よって, 三角形の内角の和は180 である よって, 三角形の内角の和は180 である 3 下の図の ABC, DEF, GHI で,3つの角度をそれぞれ測ると, A G D B C E F H I A=72 D=100 G=60 B=64 E=30 H=60 C=44 F=50 I=60 したがって, したがって, したがって, A+ B+ C D+ E+ F G+ H+ I = = = =180 =180 =180 よって, 三角形の内角の和は 180 である

47 1. 提示された 3 つの説明について, どの説明がよいかを選ぶ 2. その説明がよいと考えた理由を説明する 3. どんな三角形でも内角の和は 180 であることを証明しているのはどれかを話し合う 2 や 3 は, 証明したことになるのかな? それとも, 証明したことにならないのかな? 4. 連続する 2 つの奇数の和が 4 の倍数になることの説明 (4,5,6) と 1,2,3 を比べる 4 5 を自然数とすると, 2つの連続する奇数として,5と7の 2つの連続する奇数は, 和を計算すると, 2 +1,2 +3と表される (2 +1)+(2 +3)= =12 =4( +1) =4 3 +1は自然数なので,4( +1) は 4の倍数である よって, 連続する2つの奇数の和は, よって, 連続する2つの奇数の和は, 4の倍数である 4の倍数である 6 2つの連続する奇数の和をいくつか計算すると, 5+7= = =48 =4 3 =4 6 =4 12 よって, 連続する2つの奇数の和は,4の倍数である 留意点 帰納的な方法には, 事柄を見いだしたり, その事柄が成り立つかどうかを確かめたりできるといったよさがあることも理解できるようにする 平行線の性質や三角形の角, あるいは図形の合同の学習の様々な場面で, このような授業を行うことを通して, 証明の意義についての理解を深めることが大切である

48 授業アイディア例 5 一般的な命題が証明されていれば, その仮定を満たすように条件を加えた特殊な場合でも, 同じ結論が成り立つことが保証されるという証明の意義を理解できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 一般的な が証明されていれば, その仮定を すように を 特 な 合でも, 同じ 論が成り立つことが 証されるという証明の を理解できるようにする 授業アイディア例 正三角形の 3 つの角が等しいことを証明してみよう 正三角形の 3 つの角が等しいことはどのように証明しますか まず,2 つの角が等しいことを証明すればいいです では, 証明してみましょう 証明 Aの二等分線をひき, 底辺 BC との交点をDとする ABD と ACD において, 仮定から, AB=AC 1 AD は Aの二等分線だから, BAD= CAD 2 共通な辺だから, AD=AD 3 1,2,3より, 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから, ABD ACD B 合同な図形の対応する角は等しいから, B= C A D C 二等辺三角形の底角が等しいことの証明と同じです なぜ二等辺三角形の底角が等しいことの証明と同じになるでしょうか 正三角形も 2 辺の長さが等しいから, 二等辺三角形だね 使っている仮定が同じだからです 二等辺三角形の底角が等しいことは もう証明されているから, 正三角形では改めて証明しなくてもいいね 留意点 正方形, ひし形, 長方形が平行四辺形の特別な形であることから, それらで平行四辺形の性質が成り立つことを取り扱う中でも, 同様の展開が可能である 三角形や四角形の性質を証明する際には, 一般的な図形で成り立つことは特別な図形でも成り立つことを理解することが大切である その際には, 図形間の関係を論理的に理解することが大切である

49 中学校数学課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例C数量関係中学校数学 課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例 C 数量関係 163

50 3 数量関係 授業アイディア例 6 身の回りの事象の考察を通して, 関数の意味を理解できるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導の狙い 身の回りの事象の考察を通して, 関数の意味を理解できるようにする 授業アイディア例 郵便料金を求めよう 問題 A 君は240gの郵便物を送ろうとしています A 君はBさんが120g の郵便物を200 円で送ったということを聞きました A 君が送ろうとしている240gの郵便物はいくらかかるでしょうか 郵便 料金 料金 をよ 重さが 2 倍だから, 料金も 2 倍の 400 円になるんじゃないかな お母さんが 100g で 120 円のコーヒー豆を,300g で 3 倍の 360 円で買っているのを見たことがあるよ 一方の値が 2 倍,3 倍 になると, もう一方の値も 2 倍,3 倍 になるのは比例だったね 小学校で勉強したね C さんは郵便料金について調べ, 下のような定型外郵便物の料金表を見つけました 重量 料金 50g 100g 150g 250g 500g 1kg 2kg 4kg までまでまでまでまでまでまでまで 円 円 円 円 円 円 円 円 定形外郵便物で扱っている重量は 4kg までです 郵便物の料金は, サイズと重さによって決まります 縦, 横, 厚さによって定型か定形外かが決まり, それぞれの重さによって料金が決められています 2 人の郵便物は定形外ですね あれ,A 君の料金は 400 円だと思ったら 240g の料金は 240 円だね 料金はどうやって決まっているんだろう 比例じゃないんだね 重さが 2 倍になれば料金も 2 倍になると思ったのに 留意点 一方の数量が決まればもう一方の数量が決まるという関数の見方を意識させ, は の関数である という表現を口述したり記述したりする活動を充実させる 本学習内容を中学校第 3 学年で扱う場合には, 定形外郵便物の料金をグラフに表現して考察することが考えられる 164

51 問題の概要 A9 定形外郵便物の料金表から, 重量と料金の関係について, 正しい記述を選ぶ 学習指導要領における領域 内容 [ 第 1 学年 ]C 関数 (1) ア ( 平成 20 年告示 ) 重さが違っても料金が同じことがあるけど, 重さが決まったら料金は決まるということだね 郵便物の重さが決まると料金がただ 1 つ決まりますね このように,2 つの数量の関係について, 一方の値が決まるとそれに対応してもう一方の値がただ 1 つ決まるとき, 関数の関係にあるといいます 今の場合, 重さを決めると料金がただ 1 つ決まるので, 料金は重さの関数である といいます 関数 ともなって る 2 つの 数, があって, の値を決めると, それに対応する の値がただ 1 つ決まるとき, は の関数であるという これまでに学んできたいろいろな関係も, 関数になっているか調べてみよう 次の各問いに答えなさい 図 1 1 1m の値段が 240 円のリボンを買うとき, 値段は長さの関数ですか 2 図 1 のように面積が一定の長方形の, 横の長さは縦の長さの関数ですか 3 図 2 のように周の長さが一定の長方形の, 横の長さは縦の長さの関数ですか 図 2 24cm 12cm 8cm 6cm 1cm 2cm 3cm 4cm 1cm 7cm 2cm 4 定形外郵便物の重さは料金の関数ですか 6cm 生徒が, 比例 反比例だけが関数であると誤解しないよう, 上記 3のような様々な関数を取り上げて指導する必要がある 平成 20 年告示の学習指導要領で新規に示され, 平成 23 年度については移行措置によって指導することになった内容である 165

52 授業アイディア例 7 表, 式, グラフを関連付けて考えることを通して, 反比例の関係を理解し, 具体的な事象で2つの数量の関係が反比例であることを見いだすことができるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導のねらい 表, 式, グラフを関連付けて考えることを通して, 反比例の関係を理解し, 具体的な事象で 2 つの数量の関係が反比例であることを見いだすことができるようにする 授業アイディア例 1. 具体的な事象を取り上げ, 反比例の関係について表, 式, グラフを関連付けて理解を深める 問題 面積が 12cm 2 の長方形の横の長さを cm, 縦の長さを cm とします と の関係を表, 式, グラフに表しなさい 1 3,, (1) 横 2cm, 縦 6cm の長方形は, 表, 式, グラフではどのように表現されるかを確 認し, 関連付ける 1 (2) 表, 式, グラフでは, が2 倍,3 倍,4 倍, になると, は2, 1 4になることを確認する 表 事象 6 グラフ 2 式 2 6=12 ( =12) 6 O 2 166

53 2. 具体的な事象で,2 つの数量の関係が反比例の関係かどうかを判断する 例 1 12mのリボンを 人で同じ長さに分けたとき,1 人分の長さは, mである 例 2 12m の針金で長方形をつくったとき, 横の長さを m, 縦の長さを mとする (1) 2 つの数量の関係を調べるために, どのような方法を用いるか ( 表, 式, グラフ ) を考える (2) 例えば, として適切な数値を自分で決め, 対応する の値を調べる活動を取り入れて, 表につなげる 例 1 =2(2 人 ) のとき, =6(1 人分 6m) 例 2 =2( 横が 2m) のとき, =4( 縦は 4m) (3) 表, 式, グラフなどの表現を利用して, それぞれの特徴から反比例かどうかを判断する 表 表 事象 6 6 6m のリボン 2 本 事象 4 2 横 2 m, 縦 4mの針金 式 12 2=6 ( 12 = ) 2 6=12 ( =12 ) 6 グラフ 式 =12 (2 +2 =12) 2+4=6 ( + =6) 4 グラフ O 2 O 2 留意点 数量の関係を調べるときに, 具体的な場合について数値を用いて調べていこうとする方法を自ら選択できるようにすることが必要である 指導では, この活動を表, 式, グラフによる表現につなげ, これらを関連付けて考えることができるようにする このことは, 反比例に限らず, 比例 一次関数の学習などいろいろな場面で取り上げることが大切である 167

54 授業アイディア例 8 反比例の関係について, 比例定数の意味を理解できるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導のねらい 反比例の関係について, 比例定数の意味を理解できるようにする 授業アイディア例 12 = の, の関係についてどのようなことがいえますか 言葉で説明してみよう の値を の値でわると,12 かな 12 が です の値に の値をかけた値が 12 になると思います 12 は12 のことですね だから 12, = は =12 のことです の値を の値でわった商が 12 ですか それとも, の値と の値の積が 12 ですか どちらが正しいか表をつくって調べてみましょう の値を計算すると, 12 =1のとき =12 1= =2のとき =12 2= , 表から, と の値の積は, いつも 12 です の値を の値でわると, 12 1=12,6 2=3 のようにいろいろな値になり, いつも 12 になるとは限らないことが分かりました 留意点 a 反比例の式 = を の値は比例定数を の値でわった商である と言葉で表現 したり, 反比例の式 =a を の値と の値の積が比例定数である と言葉で表現し たりして, 比例定数と式の意味を理解できるようにすることが大切である

55 授業アイディア例 9 二元一次方程式 ax+by=c のグラフは, この式を満たす ( x, y ) を座標とする点の集合であることの理解を深めるために, 二元一次方程式のグラフが直線になることを確かめることができるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 二元一次方程式 a + b = c のグラフは, この式を満たす (, ) を座標とする点の集合であることの理解を深めるために, 二元一次方程式のグラフが直線になることを確かめることができるようにする 授業アイディア例 問題二元一次方程式 2 - =3 を満たす 2 通りの (, ) をどのように選んでも, 2 点を結ぶ直線の傾きがいつも 2 であることを確かめなさい 1. 二元一次方程式 2 - =3のグラフ上で 座標が次の点をとり,2 点を結ぶ直線の傾きを求める 1 1 座標が0と 座標が 座標が0と 座標が 座標が-1.1 と 座標が グラフの傾き= 1= O 4.2 グラフの傾き = = グラフの傾き = =2 2. 他に適当な 2 点をいくつか選んで, 傾きを求め, 次のことを確認する 傾きが 2 で一定であること どの点も直線上に並んでいること 留意点 グラフの傾きがいつも一定であり, また, 求めた点がすべて同一の直線上にあることから, 二元一次方程式の解を座標とする点の集合は, 直線となることを実感できるようにする

56 170

57 中学校数学課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例記述式問題中学校数学 課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例 記述式問題 171

58 4 記述式問題 授業アイディア例 10 観察, 操作や実験などの活動を通して図形の特徴を的確に捉え, 把握した事柄を記述したり発表したりして数学的な表現に洗練し, 数学の用語を使って説明できるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導のねらい 観察, 操作や実験などの活動を通して図形の特徴を的確にとらえ, 把握した事柄を記述したり発表したりして数学的な表現に洗練し, 数学の用語を使って説明できるようにする 授業アイディア例 紋切り遊び でできる模様にみられる図形の性質を見付けよう 1. 紋切り遊び と呼ばれる紙切りを知る 2.1 回折り,2 回折り,3 回折りを実際に行い, できた模様を観察する 3. 下のような模様について, 実際に折ってみるなどの観察, 操作, 実験を通して, 紋切り遊びでできる模様とできない模様を比較し, 分類する 4. 紋切り遊びでできる模様にみられる図形の性質を記述したり発表したりし, 数学的な表現に洗練していく 5. 折る回数とできあがった模様の関係について考え, 見いだした関係を対称軸という数学の用語を使って説明する 留意点 紋切り遊びでできる模様にみられる図形の性質を説明する際に, 主部や述部を明確に述べたり, 数学の用語を適切に用いたりできるようにする 発展課題として, 右の図のような3 回折りの紙を切った形について, 開いた形を予想し, 予想した形を対称軸を用いて説明することが考えられる 図形の学習では, 紙を折ってできる線の作図を考える活動 ( 平成 21 年度調査 A4(2)) などでも, 観察, 操作や実験などを通して図形の特徴をとらえ, 数学的な表現を用いて説明することができる 172

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60 授業アイディア例 11 日常的な事象を図形に着目して観察し, その事象の特徴を図形の性質として把握するとともに, 把握した事柄を明確に説明できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 日常的な事象を図形に着目して観察し, その事象の特徴を図形の性質として把握するとともに, 把握した事柄を明確に説明できるようにする 授業アイディア例 1. 道具箱の上の段を動かしたときの様子を観察する この道具箱の上の段はどのように動きますか 下の段に対して平行に動きます 2. アームの取り付け方を読んで, どのようにアームを取り付ければ平行になるか, 模型を作り, 確認する どうして, 上の段と下の段は平行になるのでしょうか 実際に模型を使って確認してみましょう アームの取り付け方に特徴があるかもしれません 留意点 アームを取り付けた部分を平行四辺形ととらえる過程と平行四辺形になるための条件をアームの取り付け方から見いだす過程を大切にする (2,3) 174

61 3. アームを取り付けた部分を平行四辺形とみなして, 平行四辺形になるための条件を調べる 模型のアームの取り付けた部分を見てどんな ことに気が付きましたか 平行四辺形になりそうです 四角形 EFGH は, どうしていつも平行四辺形になるのかな 2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行だからかな? 取り付け方では, 平行になることは使っていなかったけど? アームの取り付け方を 見直してみましょう で 2 本のアームの長さは等しいので, 長さの等しい辺とみることができます で穴の間隔が等しくなるように取り付けたので, 長さの等しい辺はもう 1 組あります 4. 平行四辺形になるための条件を用いて説明する 四角形 EFGH がどうして平行四辺形といえるかを説明してみましょう 2 組の向かい合う辺がそれぞれ等しいからだと思います 平行四辺形になるための条件を使って説明できますね ノートに書いてみましょう 道具箱の上の段と下の段が平行に保たれている仕組みには, 平行四辺形になるための条件が使われていますね 5. 他の例をあげ, 水平がつくりだされている仕組みを確認する 遊園地の乗り物 道具箱 ファイルの金具 アイロン台 平行四辺形になるための条件を使って説明する際には, 主部と述部を明確にする 平行四辺形の性質を記述した生徒に対しては, 平行四辺形になるための条件との違いを 確認する 175

62 授業アイディア例 12 事象を図形に着目して数学的に解釈し, 成り立つ事柄の特徴を説明するとともに, 問題解決の方法を振り返って発展的に考えることができるようにする 対象学年 : 第 2 学年以上 指導の狙い 事象を図形に着目して数学的に解釈し, 成り立つ事柄の特徴を説明するとともに, 問題解決の方法を振り返って発展的に考えることができるようにする 授業アイディア例 陸上のある地点から船までの距離を測る タレスの方法 について考えてみよう タレスは陸上から直接測ることができない船までの距離を右図のように求めたといわれています タレスは, 陸上の地点から船までの距離 をどのように求めましたか 自分のノートに再現して考えてみましょう AB の距離とDE の距離が等しいので,DE の距離を測ってAB の距離を求めています AB とDE の距離が等しいといえるのはなぜですか ABC と DEC が合同で,AB と DE が対応する辺だからです どうして合同といえるのでしょうか AC と DC の長さを等しく とっています ACB と DCE は対頂角なので, 2つの角の大きさは等しくなります BAC と EDC は直角で, 大きさは等しいといえます タレスの方法で用いられていることをまとめてみましょう AC=DC ACB= DCE BAC= EDC=90 ABC DEC ABC と DEC が合同であることを証明するための根拠となることがら をノートに書いてみましょう 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 主部と述部を明確に書く 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 2 つの三角形は, 合同である タレスは, 三角形の合同を利用して, 直接測ることができない距離 を別の距離に置き換えて求めていたんですね 176

63 問題の概要 B3(1) タレスの方法をよみ, 点 Aから船 Bまでの距離を何に置き換えて測ればよいか を答える B3(2) 2つの三角形が合同になることを証明するための根拠となる事柄を説明する B3(3) タレスの方法を発展するための考えとして, 正しい記述を選ぶ 学習指導要領における領域 内容 [ 第 2 学年 ]B 図形 (2) ア, イ タレスの方法を, に える タレスの方法の仕組みは分かりましたね ところで, 右の図のように, 点 Aが90 の向きに歩けない場所だったら, どうしたらよいでしょう 点 Aの位置は変えられないね A B 90 の向きに歩かなくてもできるのかな タレスの方法では 90 だったよ タレスの方法の2で, BAC を90 にしないといけないかどうか考えてみましょう 対頂角は等しいから, ACB= DCE はいつも それなら BAC と EDC が等しければ, いえるね BAC は90 でなくても大丈夫だよ タレスの方法では, 合同な2つの三角形をつくって直接測ることができない距離を別の距離に置き換えて測るアイディアが用いられている タレスの方法では, 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は, 合同である という合同条件さえ満たせばよいから, BAC は90 にしなくてもよい BAC=120 にしたときの図をかいて確かめてみましょう B A C D E B A C 120 D BAC=90 のときの図 E BAC=120 のときの図 留意点 直接測ることができない距離を置き換えて測るために合同な三角形に着目していることに気づかせることが大切である その際, 体育館や校庭などで実際にタレスの方法を試してみる活動を取り入れることも考えられる ABC と DEC の合同条件で BAC と EDC に着目することによって, BAC= EDC であれば十分であり,90 にする必要がないことを理解できるようにする

64 授業アイディア例 13 事象を数学的に解釈し, 問題解決に数学を活用できるようにするために, グラフを用い, 事象と関連付けて考えられるようにするとともに, 問題解決の方法を数学的に説明できる ようにする 対象学年 : 第 2 学年以上 指導のねらい 事象を数学的に解釈し, 問題解決に数学を活用できるようにするために, グラフを用い, 事象と関連付けて考えられるようにするとともに, 問題解決の方法を数学的に説明できるようにする 授業アイディア例 問題 家の白熱電球が切れたので, 電球形蛍光灯 ( 以下, 蛍光灯とします ) に取りかえ ようと考えました 蛍光灯と白熱電球のどちらの費用が安いでしょうか? 1. 総費用の意味を理解し, 総費用 ( 円 ) を使用時間 ( 時間 ) の一次関数とみなして考える 白熱電球と蛍光灯について 何に着目すればいいですか? 1 個の値段 電気代の違い(1 日分,1か月分など) 1 個の値段と電気代の合計 ( 総費用 ) 蛍光灯と白熱電球を同じ時間使用したときの 総費用 をいろいろな使用時間について調べる 1 電気代のみと総費用について, それぞれの時間あたりの費用を比較する表をつくる 蛍光灯 白熱電球 使用時間 使用時間 電気代 電気代 総費用 総費用 2 表に示されていない時間 ( 例えば,100 時間や 2000 時間 ) の総費用を求めて比較する 100 時間のとき, 蛍光灯の場合の総費用は =1022 円 は時間に対する電気代の 増え方が一定だとみなしていますね 2000 時間だと白熱電球は交換が必要です

65 2. グラフの有効性について考える 最初のうちは白熱電球の方が 安いのに,1000 時間だと蛍光 灯の方が安くなったね 0 時間と1000 時間のときの総費用は, 表から分かる 一次関数とみると2 点が分かればグラフがかける 問題解決にグラフを利用する 3. 問題解決の過程を振り返り, 問題解決の方法を整理する 蛍光灯と白熱電球について, 使用時間と総費用の関係を直線のグラフに表して, ある時間についてどちらの直線が下にあるかを調べました 留意点 およその費用を知るために, 電気代は使用時間に比例するとみなすことができるようにすることが大切である その上で, 使用時間を 時間, 総費用を 円とすれば, は の一次関数であるとみなしていることを意識させることが考えられる 例えば, 平成 19 年度調査 B5 水温の変化の問題や, 平成 20 年度調査 B5 富士山の気温の問題を用いて指導をすることもできる 生徒が自ら使用時間を決めて総費用にどのくらいの差が出るかを計算する活動を取り入れ,2つの変数, やその対応をとらえることができるようにする 複数の事象を比較しやすくするために, グラフに表現したり, グラフから情報をよみとったりする活動や, グラフを活用し, グラフの特徴を事象に戻して考える活動を充実させることが大切である 数学を活用して日常的な事象の問題を解決する方法について, グラフや式など 用いるもの とその 用い方 を口述したり記述したりして説明する活動を充実させることが大切である

66 授業アイディア例 14 具体的な事象の中には一次関数を用いて捉えられるものがあることを理解するとともに, 日常的な事象の問題解決のために数学を活用する方法を見いだし, それを用いて問題を解決できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導の狙い 具体的な事象の中には一次関数を用いてとらえられるものがあることを理解するとともに, 日常的な事象の問題解決のために数学を活用する方法を見いだし, それを用いて問題を解決できるようにする 授業アイディア例 ペットボトルのキャップの個数を工夫して求めよう 生徒会では, 次のような生徒会だよりを発行しました このグラフから読み取れることにはどんなことがありますか 22 年度の方が回収した個数の合計が多いように見えます 22 年度の12 月は少なかったんですね 23 年度もこのようなグラフに表すのなら, キャップの個数を1 個ずつ数えるのは大変な作業だね ペットボトルのキャップ生徒会ではキャップを1 個ずつ数えていたそ 800 個で1 人の子どもの命をうです この作業はとても大変だったので, 救うことができるワクチンをキャップの個数を工夫して求める方法を考えてもらえるそうだよ 生徒会に提案しましょう 小学校で釘の本数を重さから求めたことがあるね キャップ全体の重さから個数を調べることができると思います キャップの重さをどのように使えば, 個数を求めることができますか 個数を求める方法 キャップの入った回収箱の重さから空の回収箱の重さを いた重さを求めて, それをキャップ 1 個の重さでわる 空の回収箱の重さは 1943g で, キャップの入った回収箱の重さは 8755gだったよ キャップだけの重さを量って, その重さをキャップ1 個の重さでわっても個数が分かりそうだね 留意点 ある数量を求めるためには何を調べればよいかを話し合い, 数量やその関係などの 用いるもの とその 用い方 を視点として, 問題解決の方法を説明し伝え合う活動を取り入れることが考えられる 日常的な事象を考察して問題解決した際には, その過程を振り返り, 事象を数学的に解 180

67 問題の概要 B1(1) 1 月のキャップの回収量を比べて, 平成 22 年度は平成 21 年度より何個増えたかを選ぶ B1(2) キャップの入った回収箱の重さが分かっているとき, キャップの個数を求めるために調べるものを選び, それを求める方法を説明する B1(3) キャップの個数とキャップの入った回収箱の重さの関係について, 正しい記述を選ぶ 学習指導要領における領域 内容 [ 第 1 学年 ]C 数量関係 (1) エ [ 第 2 学年 ]C 数量関係 (1) ア ところで, キャップ 1 個の重さは 2g のものや 3g のものが あるようですが, どうしたらよいでしょうか キャップの重さが全て等しいと考えるのがいいと思います 20 個取って重さを量ったら 46g だったので, その平均の 2.3g をキャップ 1 個分の重さと考えればいいと思います キャップ1 個の重さを2.3 g とする = = 回収箱の中にはおよそ2962 個のキャップが入っている キャップの入った回収箱全体の重さと, キャップ 1 個の重さ, 空の回収箱の重さの関係を式に表してみましょう キャップの入った回収箱の重さ = キャップ 1 個の重さ キャップ + の個数 空の回収箱の重さ キャップの個数を 個とし, 個のキャップの入った回収箱の重さを g とすると, = a + b(a,b は定数 ) と表すことができ, は の一次関数である キャップ 1 個の重さは 2.3g で, 空の回収箱の重さは 1943g だったので, = と表すことができるね 実際に何個入っているか数えて確かめてみよう 回収箱の中のキャップの個数を数えて みると,2986 個ありました 計算で求めた個数と大体合っているね この方法で個数を求めてもよさそうだね この式をつくっておけば, 来月からキャップの回収箱の重さを量れば計算でキャップのおよその個数が分かります 釈することが大切である 容器に入った釘の本数を重さで求める事例など, 日常的な事象の問題解決に一次関数を活用する他の事例を扱うことも考えられる 本学習内容で取り上げている 生徒会だより は, 中学校国語 A3と共通の素材であるので, 国語科と学習指導の連携を図ることが考えられる

68 授業アイディア例 15 日常的な事象の考察のためにグラフを活用し, グラフを用いた問題解決の方法を数学的に説明できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 的な の のためにグラフを し, グラフを いた の を数 的に で るようにする 授業アイディア例 康平さんの所属するテニス部ではオリジナルTシャツを作ることにしました そこで, 無地のTシャツを持ち寄って, 店にプリントを頼もうとしています 次の表は3つの店の料金をまとめたものです 一番お得な料金設定はどの店ですか く るか る によ て ることを る どの店に頼むと安いですか 何枚申し込むかなあ? もし,53 枚頼んだら, 私たちの部員は53 人だけど どこが安くなるかな 10 枚なら, カラー工房が安いです プリントする枚数によってどのお店に頼むか変わります る と 関係を大まかにとらえる を える 1 表に表して, 関係を大まかにとらえる 枚数 カラー工房 パレット印刷 染め屋 枚と 53 枚では, 安いお店が変わるね 何枚までだと, どのお店が安いのかな 2 グラフに表せばよいことに気付く 表を全部埋めるのは大変ですね グラフに表してみたらどうかな 留意点 枚数は自然数だが, 全体的な様子を把握するためにグラフは点を直線で結ぶ

69 T シャツを 枚プリントしたときの 料金を 円としたグラフ グラフからどのようなことが分かりますか パレット印刷と染め屋のどちらに頼んでも料金が同じになるときがあります カラー工房は, 最初は安いけど, 途中から一番高くなります パレット印刷が一番安いときがあります 35 枚のときは, どのお店に頼むと一番安いですか そのことを判断する方法を説明してみましょう パレット印刷です グラフの 35 枚のところを見れば分かります 数学的な表現を使って説明してみましょう 方法を的確に説明するときには, 何をどのように使うかを明確にすることが大切です 3 つのグラフの中で, の値が 35 のときの の値が最も小さいグラフで表された店を選ぶ グラフの特徴から, 枚数と値段の関係についてどのようなことが分かりますか カラー工房とパレット印刷の傾きを比べると, カラー工房の方が傾きが大きいので, 一枚当たりの単価が高いことが分かります 点 C から, カラー工房とパレット印刷の料金が同じになる枚数が分かります カラー工房では, 値段は枚数に比例します パレット印刷では, 値段は枚数の一次関数です ある枚数のときの T シャツのプリント料金を視覚的に比較できることを確認するなど, グラフで表すことのよさについて実感できるようにする

70 授業アイディア例⑯ 目的に応じて資料を整理し 必要な情報を適切に選択したり 資料の傾向を読み取った りして 資料に基づいて的確に判断できるようにする 対象学年 第１学年以上 指導の狙い 目的に応じて資料を整理し 必要な情報を適切に選択したり 資料の傾向を読み取った りして 資料に基づいて的確に判断できるようにする 授業アイディア例 二人の投手の投球の記録から傾向を調べて球速の的をしぼろう ᘙǍȒǹȈǰȩȠƷऴ إ ǛᛠLjӕǔŵ 達也さんたちは 昨年の夏の高校野球甲子園大会の決勝戦で 投げ合った島袋洋奨投手と一二三慎太投手と対戦しヒットを打 ってみたいと思いました しまぶくろようすけ ひ ふ み し ん た 甲子園大会での二人の投球の記録は次の通りです 投球の記録 最高球速 最低球速 球速の平均 ｋｍ 時 ｋｍ 時 ｋｍ 時 島袋投手 １４７ 一二三投手 １４７ 総投球数 球 １０９ １３２ ７６６ １０５ １３１ ６２８ 球速は 投げた球の速さを表しています 二人とも 最高 平均 最低の 球速がほとんど同じだね 的をしぼるのにはもう少し 情報がほしいね 球速の平均値のあたりの投球数 が多いんだろうね 二人の投球をヒストグラムに表すと次のようになります 図１ 一二三投手の投球 球 １５０ １２５ １００ ７５ ５０ ２５ ０ 図２ １０４ １０６ １０８ １１０ １１２ １１４ １１６ １１８ １２０ １２２ １２４ １２６ １２８ １３０ １３２１３４ １３６ １３８ １４０ １４２ １４４ １４６ １４８ ｋｍ 時 島袋投手の投球 球 １５０ １２５ １００ ７５ ５０ ２５ ０ １０４ １０６ １０８ １１０ １１２ １１４ １１６ １１８ １２０ １２２ １２４ １２６ １２８ １３０ １３２１３４ １３６ １３８ １４０ １４２ １４４ １４６ １４８ ｋｍ 時 どちらも ２つ山があるね 記録を見ると似ていたけどヒストグラム に表すと違って見えるね でも谷の場所は少しずれているね

71 問題の概要 B5(1) 2 人の球速の範囲をそれぞれ求める B5(2) ヒストグラムの特徴を基に, 時速 131km の球速に的をしぼって練習すること が適切でない理由を説明する B5(3) 二人の投手の直球だけのヒストグラムを比べてよみとれることを選ぶ 学習指導要領における領域 内容 [ 第 1 学年 ]D 資料の活用 (1) イ ( 平成 20 年告示 ) まず一二三投手について考えてみましょう 一二三投手の球速の平均は時速 131km だから時速 131km に 的をしぼればいいかな でも, ヒストグラムの時速 131km の度数を見ると, この球速のボールを ほとんど投げていないことが分かります この球速の球がくる見込みは 少なそうだね ほんとうだ ヒストグラムの谷の近くになっているね 時速 131km の球速はヒストグラムの 谷だから, この球速に的をしぼるのは適切ではないね 島袋投手についてはどうですか ヒストグラムの形からみると, 島袋投手の場合も球速の平均時速 132km に的をしぼるのは適切ではないと思います 二人の投手の投球についてのヒストグラムには 2 つの山があり, 球速の平均値は分 の谷にあたるため, この球速の球が る見込みが いので, 球速の平均値に的をしぼることは適切ではない 球速の平均値が適切でないとしたら, どんな球速に的をしぼればいいんだろう 2 つ山があるのはどうしてだろう 直球と変化球を投げているからじゃない かな 直球と変化球に分けたヒストグラムがあるといいな 試合では, 投手は直球とそれよりも球速の遅い変化球を投げ分けているので,2 つの山 をもつヒストグラムになることが多いです 図 3~ 図 6 のヒストグラムは, 二人の投球を直球と変化球に分けて表したものです

72 図 3 一二三投手の直球 (457 球 ) ( 球 ) (km/ 時 ) 図 4 島袋投手の直球 (454 球 ) ( 球 ) 図 5 一二三投手の変化球 (171 球 ) (km/ 時 ) ( 球 ) (km/ 時 ) 図 6 島袋投手の変化球 (312 球 ) ( 球 ) (km/ 時 ) 的のしぼり方について, あなたならこれらのヒストグラムからどのように考えますか 一二三投手の直球は, 時速 136km 島袋投手の直球は, 時速 136km~ ~138km,138km~140km の 146km までの5つの階級の度数がいず 2つの階級の度数が大きいので, こ れも大きくなっています だから, 的を の球速にしぼって練習すればいいと しぼるのは難しいと思います 思います 一二三投手は変化球の割合が小さいから, 直球に的をしぼるのがいいと思います 島袋投手の変化球のヒストグラムは, 線対称のように見えます だから, 山の頂上に当たる時速 121km に的をしぼることが適切であると思います 直球と変化球に分けてヒストグラムに表すと, 資料の傾向をより的確に捉える ことができましたね

73 留意点 目的に応じて生徒自ら資料を収集し, ヒストグラムなどに整理する活動を授業で取り入れることが大切である 本学習内容では, 例えば 時速 131km の球速は分布の谷に当たるから時速 131km に的をしぼることは適切でない のように判断の理由を説明している このように, 説明すべき事柄 (B) とその根拠 (A) を明確に区別し, (A) だから (B) である のように的確に説明できるようにすることが大切である 本学習内容では, 分布が双峰型である要因として球種には直球と変化球があることに着目し, それぞれの球種に分けてヒストグラムを作成し比較できるようにしている このように, 必要に応じて資料を分類整理し直したり, 新たな目的に応じて資料の傾向を捉え直したりすることによって問題を解決することが大切である 平成 20 年告示の学習指導要領で新規に示され, 平成 23 年度については移行措置によって指導することになった内容である 187

74 授業アイディア例 17 日常的な事象について言葉で表された式の数学的な意味を理解し, その式に基づいて結果を予想したり構想を立てたりできるようにする 対象学年: 第 1 学年以上 指導のねらい 日 的な事 について で表された の数学的な を理 し, の に いて を したり を立てたりできるようにする 授業アイディア例 真由さんのお父さんは, 日曜日に卓球をしています しかし, なかなか時間がとれないので, 実施時間を半分にして同じ身体活動量になる別の運動にしたいと考えています パンフレットを読んで, どの運動にしたらよいかを選びなさい を を する 真由さんのお父さんは,3 時間卓球を しました 身体活動量を求めましょう 卓球は強度が 4 で, 実施時間は 3 時間なので,4 3=12 エクササイズです を る を一定と を る 1 実施時間を一定とする場合 実施時間が3 時間のままで, 身体活動量を増やすには, どの運動をすればいいですか 実施時間が一定のとき, 身体活動量は強度に比例します 強度が 8 のランニングだと,8 3 で 24 エクササイズになります 強度が 2 倍の運動を選べば, 身体活動 量も 2 倍になります 比例かな 身体活動量 = 実施時間 強度 ( 一定 ) 2 強度を一定とする場合 強度を変えずに実施時間を 2 倍,3 倍に すると, 身体活動量はどうなりますか 2 倍,3 倍になります 身体活動量 = 強度 実施時間 ( 一定 ) 強度が一定のとき, 身体活動量は 実施時間に比例します 留意点 事柄が成り立つ理由を, 数学的な表現を用いて的確に説明することが大切である

75 3 身体活動量を一定とする場合 身体活動量を一定とすると, 強度と実施時間の関係はどうなりますか 身体活動量を 12 エクササイズとして, 表をつくって考えてみたらどうかな 強度 実施時間 身体活動量 身体活動量が一定のとき, 強度は 実施時間に反比例します 身体活動量 = 強度 実施時間 ( 一定 ) a b = c a b = c a b = c 比例比例 ( 一定 ) ( 一定 ) ( 一定 ) 反比例 3 つの数量のうちの 1 つを一定とすると, 残りの 2 つの数量の関係が比例や反比例になる 身体活動量を を る 動 を る 卓球と同じ身体活動量で, 運動の実施時間を半分にするにはどの運動をすればいいですか ( 身体活動量 )=( 強度 ) ( 実施時間 ) で, 身体活動量を一定にしているので, 強度は実施時間に反比例しています 水泳を例にして, 身体活動量が変わらないことの理由を説明してみましょう 卓球の強度は4です 反比例なので実施時間を半分にするには, 強度が2 倍の8の運動をすればいいです ランニング, 水泳, 階段を上がるのいずれかを選べばいいね 身体活動量が一定のとき, 身体活動の強度と運動の実施時間は反比例の関係にある よって, 卓球の強度の 2 倍である水泳であれば, 運動の実施時間を半分にしても身体活動量は変わらない 日常的な問題を数学的に解決するために, 個人差や移動時間などの条件を考えず, 問題場面を理想化したり単純化したりして考えられるようにする

76 190

77 191 中学校数学課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例数学的に表現したり, 数学的に表現されたものの意味を読み取ったりすること中学校数学課題として考えられる内容の解決に向けた授業アイディア例数学的に表現したり 数学的に表現されたものの意味を読み取ったりすること

78 5 数学的に表現したり, 数学的に表現されたものの意味を読み取ったりすること 授業アイディア例 18 具体的な例を基に説明の見通しをもち, 文字式を活用し, 根拠を明らかにして, それに基づいて結論を導くことを通して, 事柄が成り立つ理由を一般的に説明できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 具体的な例を基に説明の見通しをもち, 文字式を活用し, 根拠を明らかにして, それに基づいて結論を導くことを通して, 事柄が成り立つ理由を一般的に説明できるようにする 授業アイディア例 問題右の図のように,3 段に並んでいる の1 段目に連続する3つの自然数を順に入れます そして, 隣り合う2つの数の和を2 段目の に入れ, 同じようにして3 段目の数を求めます (1) 1 段目にいろいろな自然数を入れて,3 段目がどのような数になるのかを調べなさい (2) (1) で発見した性質が成り立つ理由を説明しなさい 1 段目 2 段目 3 段目 10,11,12 のとき 1. 具体例を基に3 段目の数について調べ, 成り立つ性質を予想し文で表す (10+11)+(11+12)=21+23 別の数字でも考えてみよう =44 (1+2)+(2+3)=3+5 =8 (24+25)+(25+26)=49+51 大きい数でも4の倍数になるのかな? = 100 ( )+( )= = 428 偶数になる 4の倍数になる! = の倍数になるのかな? 3 段目の数について予想した性質を 3 段目の数は偶数になる 文で表してみましょう 3 段目の数は4の倍数になる 1 段目にどんな連続する自然数を順に入れても, 3 段目の数はいつも4の倍数になる 2.4 の倍数になることの理由を説明するための見通しをもつ 4 の倍数を表す式はどういう形に なるのかな? 44=4 11,100=4 25 だから, 式は4 の形になるね 文字式を使って説明する場合も, 式を 4 の形にすればよさそうだ 192

79 3. 1 段目にどんな連続する 3 つの自然数を順に入れても,3 段目の数はいつも 4 の倍数になる ことを, 文字式を使って説明する 連続する3つの自然数のうち, 最も小さい数を とすると, 連続する3つの自然数を1つの文字を 3つの自然数は,, +1, +2 使って表すと表される このとき2 段目の数は, それぞれ +( +1)=2 +1 ( +1)+( +2)=2 +3 であるから,3 段目の数は 4 の形にする (2 +1)+(2 +3)=4 +4 =4( +1) 4( +1) は4の倍数である の +1は自然数だから, 根拠 +1は自然数だから を 4( +1) は4の倍数である しっかり書くしたがって,3 段目の数は4の倍数である 結論をしっかり書く 見通しをもって, 文字式や言葉を使って説明することが大切だね 留意点 具体的な例を参照させながら,4の倍数になることを示すには,4 の形に式変形することが大切であることを確認する 文字式での説明では, 結論とその根拠の記述を省略しないようにする 文字式を使った説明を振り返り, 説明をよりよいものに改善したり, 新たに分かる性質を発見したりする活動を取り入れることも考えられる 193

80 授業アイディア例 19 数についての性質が成り立つことを文字を用いて一般的に説明できるようにするとともに, ある事柄が成り立たないことを示すには, 反例を1つあげればよいことを理解できるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 数についての が成り立つことを を いて に説明できるようにするとともに, ある事柄が成り立たないことを示すには, 反例を 1 つあげればよいことを できるようにする 授業アイディア例 1+3+5=9 いつでも9の倍数になるのかな 3+5+7=15 3,5,7 の和は,15 になります 15 は9の倍数ではありません 5+7+9=21 9 の倍数にならない場合があるので, 健太さんの予想は正しくないことが分かります この予想が正しくないことは, どのように説明すればいいでしょうか 9 の倍数にならない例をあげればいいのかな どうすれば, 説明したことになるのだろう 3,5,7 のとき, 和は 15, 5,7,9 のとき, 和は 21,, 例をいくつあげればいいのかな ある事柄が成り立たないことを示すには, 成り立たない例を 1 つあげれば十分です その例を 反例 といいます 健太さんの予想が正しくないことの説明を反例を使って書いてみましょう 留意点 成り立たないことの説明は, 三角形の合同条件を指導する際に,2 辺と ( その間の角ではない )1つの角が等しい場合を取り上げることも考えられる

81 事柄が成り立たないことの説明をする場合も, 結論とその根拠を明確にすることが大切です 9 の倍数ではないことが分かりましたが, これまで調べたことから他にどんなことがいえそうでしょうか 1+3+5= =15 3 の倍数になりそう その予想を ~ は, になる の形で表して, 正しいことの理由を説明してみましょう 予想 連続する 3 つの和は,3 の倍数になる 例 2 の倍数と 3 の倍数の和は,5 の倍数になる 成り立つことの説明, 成り立たないことの説明をする際には, 結論とその根拠を省略しないようにする 成り立つことの説明については, 平成 21 年度調査 中学校 報告書 (306,307 ページ ) 参照 195

82 授業アイディア例 20 図形についての証明を読み, 証明を振り返り, 発展的に考えることができるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導のねらい 図形についての証明をよ, 証明を り り, に考えることができるようにする 授業アイディア例 次の問題の証明をよんで, 発展的に考えてみよう A 問題右の図のように,AB=AC の二等辺三角形 ABC の辺 AB, 辺 AC 上に AD=AE となる点 D, 点 E をとるとき,BE=CD となることを証明しなさい D E 問題の証明をよ B C 問題の証明 ABE と ACD において, 仮定から, AB=AC 1 AE=AD 2 共通な角だから, BAE= CAD 3 1,2,3より, 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから, ABE ACD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいから, BE=CD B D A E C 証明をよみ て, 証明の みを え 結論の BE=CD を示すために, どの三角形に着目していますか それらに着目しているのは, なぜですか ABE と ACD に着目しています それらは,BE と CD を含む 2 つの三角形だからです この証明では,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいという合同条件を 用いていますが, それはどの辺や角のことですか また, それらが等しいことはどうして分かるのですか AB と AC,AE と AD, BAE と CAD です AB=AC と AE=AD は仮定から分かります BAE= CAD は共通の角だからです 留意点 図 1 の場合について考える際, 証明の意義について触れるようにする

83 点 D と点 E は辺 AB, 辺 AC 上ならどこにとっても, BE=CD は成り立ちますか 図 1 A D E 図 1 のような場合も BE=CD は証明されています B C では, 図 2 のように下に延長した直線上に AD=AE となる点 D と点 E をとっても BE=CD は成り立ちますか 図 2 A 図 2 の場合でも BE=CD はいえるよ 図 2 の場合について証明すると, 最初の証明と全く同じになるね B C D E 図 3 E A D 図 3 のように, 上に延長しても, BE=CD はいえるのかな BE=CD はいえそうだけど, 同じ証明のままでいいのかな B C 図 3 の場合について, BE=CD の証明を考えてみよう では, 証明をノートに 書いてみよう 最初の証明を参考にして考えてみようよ 仮定から AB=AC と AE=AD はいえるね BAE と CAD は等しそうだけど, 共通な角ではないね もとの証明の何が変わり何が変わらないかを確認することが大切である

84 授業アイディア例21 証明を振り返り, 類似の場面での証明を考えることを通して, ある図形について証明された性質は同じ条件を満たすすべての図形について例外なく成り立つことについての理解を深めるとともに, 新たな性質を見いだすことができるようにする 対象学年: 第 2 学年以上 指導の狙い 証明を振り返り, 類似の場面での証明を考えることを通して, ある図形について証明された性質は同じ条件を満たす全ての図形について例外なく成り立つことについての理解を深めるとともに, 新たな性質を見いだすことができるようにする 授業アイディア例 次の図で成り立つ性質について考えよう A ABC において ABC の二等分線と ACB の二等分線をひき, それらの交点を D とします また, 点 D を通り辺 BC に平行な直線 l をひきます の よ で いてい に l B D 図 1 C 次の問題とその証明を読んで, その仕組みについて考えてみよう 問題とその証明 問題 図 1 で直線 l と辺 AB との交点を E とします このとき,EB=ED となることを証明しなさい 証明 EBD において, 仮定から, DBC= EBD 1 ED//BC で, 平行線の錯角は等しいから, DBC= EDB 2 1,2より, EBD= EDB 2つの角が等しいから, EBD は二等辺三角形である二等辺三角形は2 辺が等しい三角形であるから, EB=ED E l B A D C この証明で用いられている条件は, この図のどの部分について成り立つ 事柄ですか また, 導いている結論は図のどの部分のことですか BD は ABC の二等分線です ED はBC に平行です の で図 の性質 図 2のように, 直線 l と辺 AC との交点をFとします このとき,FC=FD となることの証明を考えて, 書きましょう 結論のEB=ED は EBD の 2 辺のことです FDC に着目するとよさそうだよ 留意点 2つの証明を比較し, 同じ証明であることを確認する際には, 対応する図形の要素を明らかにし, 記号も対応させて用いることができるようにすることが大切である 本問題のような場面で, 証明を振り返り新たな性質を見いだす活動を取り入れることが大切である 198

85 問題の概要 B4(1) 証明をよみ, 証明の 仮定 に当たる事柄を選ぶ B4(2) 2つの線分の長さが等しいことを, 二等辺三角形を利用して証明する B4(3) 証明した2 組の線分の長さがそれぞれ等しいことを根拠として, 証明したこと 以外に新しく分かることを選ぶ 学習指導要領における領域 内容 [ 第 2 学年 ]B 図形 (2) ア, イ FCD において, 仮定から, DCB= FCD 1 DF//BC で, 平行線の錯角は等しいから, DCB = FDC 2 1,2より, FCD= FDC 2つの角が等しいから, FCD は二等辺三角形である 二等辺三角形は2 辺が等しい三角形であるから, FC=FD l B A E D 図 2 F C い り る 証明について, 気づいたことはありますか はじめによんだ証明と似ています F A D E l CD ははじめによんだ証明のBD と同じように角の二等分線です C B DF//BC もはじめによんだ証明 裏返してみると同じ の条件と同じだ ように見られるよ はじめの証明と記号が違うだけで, 用いている条件や結論は同じですね 同じ条件を満たしている図形については, 証明に用いる図が見かけ上異なっていても改めて証明する必要がないことが分かります E l B A D C り て い EB=ED,FC=FD であることが分かりました このことや, 問題の条件から, 最初の図について成り立つ新たな性質を見付けてみましょう AEF の周の長さは BDC の大きさは A と D を結ぶと 平成 20 年度調査 A8では, 証明をするためにかかれた図は, 全ての代表として示されている図であることを理解しているかどうかをみる問題を出題した 正答率は58.3% であり, 同じ条件を満たす図形であっても図の見かけが異なる場合に 改めて証明する必要がある と答えた生徒は29.2% であった このような課題に対して, 証明した後で, 条件に合う別の図でも証明が成り立つことを確認することを通して, 同じ条件を満たす他の図についてもう一度証明する必要がないことについての理解が深まると考えられる 199

86 中学校数学 過去 4 年間に課題が見られた調査問題の一覧表領域解答年度題形設正問答番設問の概要号率(%) 無率(%) 問式学習指導要領 (H20 告示 ) との対応数と式22 B2(2) 連続する3つの奇数の和が3の倍数になることを説明する 記 2A(1) イウ 20 A2(5) 3a+4b で表される事象を選ぶ 選 2A(1) イ 21 A3(3) 一元一次方程式をつくるために, 着目する数量を答える 短 1A(3) ウ 20 B2(2) 2 桁の自然数と, その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数との和が11の倍数になる説明を完成する 記 2A(1) イウ 形22 B1(2) 数量の関係を連立二元一次方程式で表し, これを解く 短 2A(1) イウ 21 B2(2) 1 段目に連続する3つの自然数を入れたとき,3 段目の数が4の 記 2A(1) イウ 倍数になることを説明する 19 B2(2) 連続する5つの自然数の和が5の倍数になることを説明する 記 2A(1) イウ 19 B3(3) 理由新たにつくった計算式が, 条件に合うことを説明する 記 2A(1) イ 21 A2(4) 1 等式 S= ah を,aについて解く 短 2A(1) ウ 20 B2(3) 2 桁の自然数と, その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた 記 2A(1) イウ 数との差について予想した事柄を表現する 19 B3(3) 式 条件に合った計算式を新たにつくる 短 2A(1) イ 21 A3(2) 3 1 x = x -7 を解く 短 1A(3) イ 19 B1(3) レストランのセットメニューの代金から, 条件に合う注文をした 記 2A(2) ア 人がいたかどうかを答え, その理由を説明する 22 B2(1) 予想が成り立たない連続する3つの奇数の例をあげ, その和を求 短 2A(1) イウ める 20 A2(4) 等式 x+2y =6 を, y について解く 短 2A(1) ウ 19 B2(1) 連続する3つの自然数の和の性質について, 式から読み取ること 選 2A(1) イウ を選ぶ 21 A2(3) 連続する3つの自然数において, 文字 nが表すものを選ぶ 選 2A(1) イ 19 A2(4) 2x +3y =9 を y について解く 短 2A(1) ウ 22 A3(1) 2x = x +3の解について正しい記述を選ぶ 選 1A(3) ア 21 B2(3) 2 段目の2つの数 2n+1,2n+3について, 式から読み取れる性 選 2A(1) イウ 質を選ぶ 22 B2(3) 連続する4つの奇数の和について成り立つ事柄を表現する 記 2A(1) イウ 20 A3(3) x - y =1 の解の個数を選ぶ 選 2A(2) ア 20 A3(2) 数量の関係を一元一次方程式で表す 短 1A(3) ウ 22 A3(2) (x+1) =2を解く 短 1A(3) イ 19 A3(1) 一次方程式を解くとき, 移項の意味を選ぶ 選 1A(3) イ 19 A2(3) 縦 a, 横 bの長方形において,2(a+b) が表す量を選ぶ 選 1A(2) アエ 21 A2(2) nが負の整数のとき, 最も大きな数を選ぶ 選 1A(2) アイウエ 22 A2(4) 2けたの自然数を表す式を選ぶ 選 2A(1) イ 21 イ図A3(1) 一元一次方程式を解くとき, 等式の性質を選ぶ 選 1A(3) 22 B5(2) 平行四辺形になることを証明するための根拠となる事柄を書く 記 2B(2) ウ 21 A8 三角形の内角の和が180 であることの証明について正しいもの を選ぶ 選 2B(1) ア 2B(2) イ 19 A5(4) 円柱と円錐の体積を比較し, 正しい図を選ぶ 選 1B(2) ウ 21 B4(1) 2つの線分が平行になることを, 三角形の合同を利用して証明す 記 2B(2) イウ る 21 A6(1) 同位角の位置にあるものを選ぶ 選 2B(1) ア 22 A5(4) 円柱の体積を求める式と答えを書く 短 小 6B(3) ア 20 B4(2) 2つの線分の長さが等しいことを, 三角形の合同を利用して証明 記 2B(2) イウ する 21 A4(2) 折り目の線について, 正しい作図を選ぶ 選 1B(1) ア 20 A6(2) n 角形の内角の和を求める式で,(n-2) が表すものを選ぶ 選 2B(1) イ 21 B1(2) 紋切り遊び でできる模様だけにみられる図形の性質を説明する 記 小 6C(1) イ 200

87 解答領域年度題形設正問答番設問の概要号率(%) 無率(%) 問式学習指導要領 (H20 告示 ) との対応図形22 B4(2) 2つの線分の長さが等しいことを, 三角形の合同を利用して証明する 22 B4(1) 証明を読み,2つの三角形の対応する2 辺の間の角が等しいこと を表している部分を書く 記 2B(2) イウ 短 2B(2) イウ 19 B4(2) 証明の中の誤りを正しく書き直す 記 2B(2) イウ 22 A8 証明された事柄に新たな条件を付け加えた事柄について, 正しい 選 2B(2) イウ 記述を選ぶ 20 A4(2) 垂線の作図で利用されている図形の性質を選ぶ 選 1B(1) ア 20 A5(2) 円錐と円柱の体積を比較し, 正しい図を選ぶ 選 1B(2) ウ 21 A4(1) 平行四辺形が線対称か点対称か選ぶ 選 小 6C(1) イ 21 B1(3) 紋切り遊び で3 回折りでできる模様として, 正しいものを選 選 小 6C(1) イ ぶ 22 A5(3) 立方体の見取図を読み取り,2つの線分の長さの関係について, 選 1B(2) イ 正しいものを選ぶ 21 B4(3) 2つの線分が平行になることを証明する際に, 平行四辺形に着目 短 2B(2) イウ し, 平行四辺形になるための条件を選ぶ 22 A7(2) 証明で用いられている合同条件を選ぶ 選 2B(2) ア 21 A5(4) 中心角 60 の扇形の面積について正しいものを選ぶ 選 1B(2) ウ 20 A7 平行四辺形になるための条件を, 記号を用いて表す 短 2B(2) イウ 22 A5(1) 立体の辺が底面に垂直であるかどうかを調べる方法として, 正し 選 1B(2) ア いものを選ぶ 20 A8 証明で用いられている図が考察対象の図形の代表であることにつ 選 2B(2) イウ いての正しい記述を選ぶ 20 A4(1) 点対称な図形を完成する 短 小 6C(1) イ 19 B4(1) 線分の垂直二等分線の証明で, 誤りを指摘する 短 2B(2) イウ 22 B5(1) パイプの構造を図形として捉え, パイプの端点をつないでできる 短 2B(2) ウ 図形の名前を書く 20 A6(4) 円周角の大きさを求める 短 3B(2) ア 22 A7(3) 平行四辺形になるための条件を, 記号を用いて表す 短 2B(2) イウ 20 B4(1) 辺の長さが等しいことを証明する際に, その辺を含む三角形の合 選 2B(2) イウ 同を示せばよい理由を選ぶ 21 B4(2) 証明で用いた三角形の合同を根拠として, 証明したことと仮定以 選 2B(2) イウ 外に分かることを選ぶ 20 A6(3) 与えられた三角形と合同な三角形を選ぶ 選 2B(2) ア 20 A5(1) 直方体において, 与えられた面に垂直な辺を書く 短 1B(2) ア 19 A5(1)1 直方体において, 与えられた面に垂直な辺を書く 短 1B(2) ア 21 A6(2) 多角形の外角の和について正しいものを選ぶ 選 2B(1) イ 20 B4(3) 証明で用いた三角形の合同を根拠として, 証明したこと以外に新 選 2B(2) イウ しく分かることを選ぶ 19 A6(3) 平行四辺形になるための条件を表した記号を基に, 正しく述べら 選 2B(2) イウ れた文を選ぶ 22 A4(1) 線対称な図形の対称軸を選ぶ 選 小 6C(1) イ 201

88 解答領域年度題形量関設正問答番設問の概要号率(%) 無率(%) 問式学習指導要領 (H20 告示 ) との対応数係20 B1(3) 男性の場合と女性の場合で, 上腕骨の長さの差が等しいとき, 身 20 B5(3) 表やグラフのデータを基に, 富士山の6 合目の気温を求める方法を説明する 長の差が大きくなる方を選び, その理由を説明する 記 2C(1) イエ 記 2C(1) イエ 21 B3(3) 蛍光灯と白熱電球の総費用について,2つの総費用が等しくなる 記 2C(1) イエ およその時間を求める方法を説明する 20 B5(2) 高さの増大に伴って, 気温が一定の割合で減少することから, 高 選 2C(1) イエ さと気温との関係を選ぶ 22 A11(3) 16cmの長さのひもで作る長方形の縦の長さと横の長さの関係を 短 2C(1) イエ 式で表す 22 B1(3) 卓球をした場合と同じ身体活動量で, 運動の実施時間を半分にで 記 1C(1) オ きる別の運動を選び, その理由を説明する 22 B3(2) Tシャツ35 枚のプリント料金が最も安い店をグラフから判断する 記 2C(1) イエ 方法を説明する 19 B5(2) 時間と水温の関係が一次関数であることが分かるグラフの特徴を 記 2C(1) イエ 説明する 21 A12 2x+y=6の解を座標とする点の集合がどのようになるか選ぶ 選 2C(1) ウ 20 A11(2) 反比例のグラフから式を求める 短 1C(1) エ 20 A12(2) 一次関数の表から式を求める 短 2C(1) イ 19 B5(3) 水温が80 になる時間を求める方法を説明する 記 2C(1) イエ 22 B6(1) L 字型の厚紙を引き出すとき, その長さと面積の関係を表すグラ 記 2C(1) イエ フの特徴を説明する 21 A10(1) 反比例を表した事象を選ぶ 選 1C(1) イ 21 A10(2) 反比例の表から式を求める 短 1C(1) エ 22 A9(2) y=-2x 上の点を選ぶ 選 1C(1) エ 20 A10 比例のグラフ上に,xの変域に対応する部分を図示する 短 2C(1) イ 19 B1(2) レストランのセットメニューで, 条件を満たすメニューを選択する 選 小 6D(5) 19 A10(1) 反比例の表を完成する 短 1C(1) エ 22 A9(3) 比例のグラフから,xの変域に対応するyの変域を求める 短 2C(1) イ 21 B5(3) 箱を変更する と決めてゲームを行う方が当たりやすいという 予想を確かめる実験方法として, 最も適切なものを選ぶ 選 2D(1) ア 20 B1(2) 上腕骨の長さの差が4cmのとき, 身長の差を式を用いて推定する 短 2C(1) イエ 19 A14(1) 確率を表した事象を選ぶ 選 2D(1) ア 22 A12 水槽に水を入れ始めてからの時間と水の量の関係について, 正し 選 2C(1) ア い記述を選ぶ 20 B3(3) 数量を求める際, 別の数量に置き換えて個数を求める方法に共通 選 1C(1) オ する考えを選ぶ 22 A10(1) 3 y = について, 正しい記述を選ぶ x 選 1C(1) イ 20 B3(2) 釘の全体の重さが分かっているとき, 釘の本数を求めるために調 記べるものを選び, 本数を求める方法を説明する 1C(1) オ 22 B6(2) 封筒から引き出した部分の長さと面積の関係を表したグラフから, 選 2C(1) イエ 厚紙の形として, 正しいものを選ぶ 21 A11(3) 一次関数を表すメモの一部から, それを表す式を選ぶ 選 2C(1) イ 202

89 解答領域年度題形量関設正問答番設問の概要号率(%) 無率(%) 問式学習指導要領 (H20 告示 ) との対応数係22 B3(1) グラフから,2 店のTシャツのプリント料金が同じになる座標を 選 2C(1) イエ 22 A11(1) 一次関数の式から変化の割合を求める 短 2C(1) イ 20 A12(1) 一次関数の式からグラフの傾きを求める 短 2C(1) イ 選ぶ 20 B5(1) 5つの湖から2つの湖を選ぶ組合せの総数を求める 短 小 6D(5) 21 A9(1) y=3xについて, 正しい記述を選ぶ 選 1C(1) イ 21 A11(2) 一次関数の事象を式で表す 短 2C(1) ア 22 A11(2) 一次関数のグラフから式を求める 短 2C(1) イ 21 B5(2) 箱を変更する と決めてゲームを行う場合, 最初に選んだ箱が 記 小 6D(5) はずれだとすると, 箱を変更すれば必ず当たる理由を説明する 20 A13 二元一次方程式が表すグラフを選ぶ 選 2C(1) ウ 21 A13(2) 大小 2つのさいころを同時に投げるとき, 和が7になる確率を求 短 2D(1) ア める 20 A9(1) 数量の関係が比例になるものを選ぶ 選 1C(1) イ 22 A13 連立二元一次方程式の解を, グラフ上の点から選ぶ 選 2C(1) ウ 19 A11(2) 一次関数のグラフを選ぶ 選 2C(1) イ 21 A11(1) 傾きと切片の値から, それを表すグラフを選ぶ 選 2C(1) イ 21 B3(1) 白熱電球を1000 時間使用したときの総費用を求める 短 2C(1) イエ 19 A12(2) 一次関数のグラフ ( 時間と道のりの関係を表したグラフ ) から速さを求める 短 2C(1) イエ 19 B6(3) 家から公園までの速さと, 公園から図書館までの速さのどちらが 速かったかを選び, その理由を説明する 記 2C(1) アイエ 21 B3(2) 蛍光灯の使用時間と総費用の関係を表すグラフ上にある点のy 座 選 2C(1) イエ 標が表すものとして正しいものを選ぶ 20 A9(2) 反比例の性質を表した記述を選ぶ 選 1C(1) イ 20 A14(1) 線香が燃えるときの時間と長さの関係を表したグラフを基に, 選 2C(1) イエ 2cm 燃えるときの時間を選ぶ 19 A11(1) 一次関数を表した事象を選ぶ 選 2C(1) ア 22 A10(2) 12 反比例 y = x のグラフを選ぶ 選 1C(1) エ 22 A14(2) 1 枚の硬貨を投げるときの確率について正しい記述を選ぶ 選 2D(1) ア 22 A14(1) 総当たり戦の試合数を求める 短 小 6D(5) 19 A9(2) 比例のグラフから式を求める 短 1C(1) エ 19 A14(2) 総当たり戦の試合数を求める 短 小 6D(5) 19 A10(2) 反比例のグラフを選ぶ 選 1C(1) エ 19 B1(1) レストランのセットメニューで, 条件を満たすメニューの選び方 短 小 6D(5) が何通りあるかを求める 19 A13 連立方程式の解をグラフ上の点から選ぶ 選 2C(1) ウ 203

90 平成 19 年度から 22 年度における出題内容と正答率過去における調査出題年度対象学年 中学校数学 国が実施した過去の調査等の正答率との比較 設正問答番設問の概要号率(%) 出題年度 調査名 正答率(%) 19 A3(2) 4( x +5) = 80 を解く 83.6 TIMSS A3(4) 連立方程式 5x + 7y =3,2x + 3y =1 を解く 72.7 S39 全国中学校学力調査 S57 教育課程実施状況調査 H6 教育課程実施状況調査 H13 教育課程実施状況調査 A8 証明で用いられた三角形の合同条件を選ぶ 73.9 H15 教育課程実施状況調査 A14(1) 確率を表した事象を選ぶ 49.9 H13 教育課程実施状況調査 H15 教育課程実施状況調査 A1(3) 2 (-3 2 ) を計算する 71.9 H13 教育課程実施状況調査 H15 教育課程実施状況調査 A2(2) a=4,b=-3 のときの式 ab の値を求める 71.7 S37 全国中学校学力調査 A3(1) -5x +7= -x +31 を解く 78.4 H15 教育課程実施状況調査 A3(4) 連立方程式 y = 3x -1,3x + 2y = 16 を解く 77.4 H15 教育課程実施状況調査 A6(1) 1 組の平行線に 1 つの直線が交わるとき, 和が 180 になる 2 つの角を選ぶ 79.9 TIMSS TIMSS A12(1) 一次関数の式からグラフの傾きを求める 54.2 H13 教育課程実施状況調査 H15 教育課程実施状況調査 A1(1) 15:9=5: を計算する 89.1 H15 教育課程実施状況調査 小 A2(1) 3x (-4xy) を計算する 91.3 H13 教育課程実施状況調査 A2(2) nが負の数のとき最も大きな数を選ぶ 67.2 TIMSS A3(2) 3 1 x = x -7 を解く S41 全国中学校学力調査 A5(2) 直角三角形の一辺を軸として回転させてできる 87.6 H13 教育課程実施状況調査 立体を選ぶ H15 教育課程実施状況調査 H16 特定の課題に関する調査 H16 特定の課題に関する調査 A11(3) 一次関数を表すメモの一部から, それを表す式を選ぶ 53.3 H13 教育課程実施状況調査 H13 教育課程実施状況調査小 A1(1) を計算する 4 5 H15 教育課程実施状況調査小 A1(2) -10より大きい負の整数を1つ書く 75.8 H16 特定の課題に関する調査 A4(1) 線対称な図形の対称軸を選ぶ 69.9 H13 教育課程実施状況調査 H15 教育課程実施状況調査 A14(1) 総当たり戦の試合数を求める 67.1 H19 全国学力 学習状況調査 教育課程実施状況に関する総合的調査研究 204

91 執筆及び編集者一覧 国立教育政策研究所教育課程研究センター 教育課程研究センター長 勝野頼彦 研究開発部長 宮内健二 研究開発部学力調査官 教育課程調査官 ( 小学校国語 ) 樺山敏郎 研究開発部学力調査官 教育課程調査官 ( 小学校算数 ) 礒部年晃 研究開発部学力調査官 教育課程調査官 ( 中学校国語 ) 杉本直美 研究開発部学力調査官 教育課程調査官 ( 中学校数学 ) 新井 仁 研究開発部学力調査課長 福澤光祐 研究開発部学力調査課 池田絵美 研究開発部学力調査課 鍋田泰延 研究開発部学力調査課 新井幸ニ 研究開発部学力調査課 冨樫哲一 研究開発部学力調査課 安島俊之 <これまでに作成に携わった者 ( 職名は当時 )> 教育課程研究センター長 神代 浩 研究開発部学力調査官 教育課程調査官 ( 中学校数学 ) 清水宏幸 研究開発部学力調査課 内田 淳

92 全国学力 学習状況調査の 4 年間の調査結果から今後の取組が期待される内容のまとめ 児童生徒への学習指導の改善 充実に向けて ( 中学校編 ) 平成 24 年 9 月 初版発行 著作権所有 発行者 印刷所 国立教育政策研究所教育課程研究センター 東京都千代田区神田神保町 2-10 教育出版株式会社代表者小林一光 東京都新宿区市谷加賀町 大日本印刷株式会社 発行所 東京都千代田区神田神保町 2-10 教育出版株式会社電話 定価本体 900 円 + 税

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