１．民営化

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1 8. 生産関数と潜在 GDP 経済統計分析 (014 年度秋学期 ) 生産関数と潜在 GDP ( 経済理論との関係 ) 生産関数とは何か? 労働 資本の限界生産力 技術水準と生産性 コブ ダグラス型生産関数 競争的賃金設定の検証 労働市場は競争的か 規模の収穫 ( 一定 / 逓増 / 逓減 ) の検証 成長会計 潜在 GDP 潜在成長率 GDP ギャップ 1

2 生産関数と潜在 GDP ( 計量分析手法 ) 関数形の選択 : 両対数モデルと弾力性 トレンド変数 ダミー変数 仮説検定 予測シミュレーション 推定結果に基づく要因分解 3 生産関数 生産関数とは何か : 投入 ( 労働 資本 ) 産出 ( 生産 ) の関係を表す 生産関数 ( 一般的な形 ) Y = F(A, L, K) Y: 生産, A: 生産技術水準, L: 労働投入, K: 資本投入 関数 F の形として何を選ぶか? ( 例 ) 線型 コブ ダグラス型 CES 型 限界生産力 労働の限界生産力 ( 労働力を 1 人追加したら生産がどれだけ増えるか ) Y/L 資本の限界生産力 ( 資本を 1 単位追加したら生産がどれだけ増えるか ) Y/K 競争的環境での利潤最大化条件 賃金 = 労働の限界生産力 (w = Y/L ) 資本コスト = 資本の限界生産力 (r = Y/K ) 4

3 労働投入 ( 就業者数 ) と生産 (GDP) ( 兆円 000 年価格 ) ( 万人 ) 7,000 6,800 6,600 6,400 6,00 6,000 5,800 5,600 5, ,00 生産 GDP 労働投入 就業者数 ( データ ) 内閣府 国民経済計算 総務省 労働力調査 5 資本投入と生産 600 ( 兆円 000 年価格 ) ( 兆円 000 年価格 ) 1, ,00 1, 生産 GDP 資本投入 資本ストック 稼働率 ( データ ) 内閣府 国民経済計算 経済産業省 鉱工業指数 6 3

4 生産関数の形状 1 線型 線型の生産関数 Y F( A, L, K) A b L b K 1 ( 特性 ) 労働の係数 (b 1 ) は労働の限界生産力を表す (b 1 =Y/L) 労働力を1 人増やしたら生産がb 1 増える 資本の係数 (b ) は資本の限界生産力を表す (b =Y/K) 資本を1 単位増やしたら生産がb 増える 労働の限界生産力一定 (= 労働に関する収穫一定 ) 資本の限界生産力一定 (= 資本に関する収穫一定 ) 7 線型の生産関数の推定 線型の生産関数 Y = A + b 1 L + b K 技術水準 A をどう測るか? (1) 技術水準一定 (A =a) と仮定 定数項 a として推定 推定式 : Y = a + b 1 L + b K () 毎年一定 (g) の技術進歩を仮定 定数項 + トレンド変数 ( 後述 ):A =a +g T として推定 推定式 : Y = a + gt + b 1 L + b K 8 4

5 生産関数の推定結果 ( 線型 技術進歩なし ) Dependen Variable: Y Mehod: Leas Squares Sample: Included observaions: 7 技術水準 労働 資本の係数の Variable Coefficien Sd. Error 推定値 -Saisic Prob. C L K R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression 5.55 Akaike info 生産 crierion Yの動きの Sum squared resid Schwarz 99% crierion 以上を説明 Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) 推定結果の分析 解釈 労働 L の係数 b 1 = 労働の限界生産力 : 1 万人労働力を増やすと 兆円生産が増加 (=1 人労働力を増やすと 665 万円生産が増加 ) 日本の平均所得 ( 平成 17 年税務統計 ) 民間給与所得 437 万円 申告納税者 57 万円 企業は生産力に応じた賃金を支払っているか? 資本 K の係数 b = 0.34 資本の限界生産力 : 資本に 1 兆円投資すると 0.34 兆円生産が増加 資本コスト = 金利 + 減価償却率金利 3~5% として 投資の回収期間 5~6 年程度に相当 10 5

6 生産関数の推定結果 ( 線型 技術進歩なし ) Residual Acual Fied 残差実績値推定値 11 技術進歩とトレンド変数 トレンド変数 時間とともに一定的に増える変数 ( 例 ) Trend Trend トレンド変数を活用する場合 時間とともに趨勢的に増える / 減るが 直接観察できない変数 ( 例 : 技術進歩 社会情勢の変化等 ) の代理変数として用いる トレンド変数による技術進歩の定式化 推定式 : Y = a + gt + b 1 L + b K T が 1 増えると (=1 年経つと ) 生産が g だけ増加 = 毎年一定 (g ) の技術進歩を想定 1 6

7 生産関数の推定結果 ( 線型 毎年一定トレンドの技術進歩 ) Dependen Variable: Y ただし 値が低い Mehod: Leas Squares ( 有意でない ) Sample: = 技術進歩なしと考 Included observaions: 7 えてもおかしくない毎年 0.51 兆円 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. 生産が増加 C T L K R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info 自由度修正済決定係数も crierion Sum squared resid Schwarz crierion 低下 =トレンド変数を加え Log likelihood F-saisic ても説明力は向上しない Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) 線型の生産関数の問題点 労働に関する収穫一定 = 資本投入が同量のままで 労働投入だけ増やした場合でも 生産が一定割合で増え続ける 資本に関する収穫一定 = 労働投入が同量のままで 資本投入だけ増やした場合でも 生産が一定割合で増え続ける 現実的か? 14 7

8 生産関数の形状 コブ ダグラス型 コブ ダグラス型生産関数 ( 特性 ) 1 b Y AL b K 労働に関する収穫 労働投入だけ増やした場合 : 逓減 (b 1 <1 のとき ) 資本に関する収穫 資本投入だけ増やした場合 : 逓減 (b <1 のとき ) 規模に関する収穫 労働 資本を同じ割合で増やした場合 : 逓増 (b 1 +b > 1のとき ) 一定 (b 1 +b = 1のとき ) 逓減 (b 1 +b < 1のとき ) 労働 資本を 倍 (n 倍 ) したときに生産が何倍に増えるか確かめよ 労働だけ増やした場合 資本だけ増やした場合 労働 資本ともに増やした場合 15 コブ ダグラス型生産関数の特性 ( 続 ) b 1 は労働に対する生産の弾力性を表す = 労働投入を 1% 増やすと生産が b 1 % 増える b1 Y b AL K 11 b b1al K b1 L L Y L Y Y b1 L Y L L Y b1 L b は資本に対する生産の弾力性を表す = 資本投入を 1% 増やすと生産が b % 増える b Y Y K K b 生産の弾力性 と 限界生産力 の違いは? 16 8

9 コブ ダグラス型生産関数の特性 ( 続 ) 成長率の要因分解 ( 成長会計 ) パラメター b 1, b を用いて以下のように要因分解できる Y Y A L K b 1 b A L K 生産の成長率 技術進歩要因 労働増加要因 資本増加要因 賃金設定と労働分配率 賃金 wが競争的に設定されているとき (= 労働市場が競争的なとき ) b 1 は労働分配率に等しくなる wl b 1 Y 17 ( 証明 ) 成長率の要因分解 コブ ダグラス型生産関数 1 b Y AL b K 全微分して Y Y Y dy da dl dk A L K b1 b b11 b b1 b 1 ( L K ) da ( b1 AL K ) dl ( bal K ) dk Y Y Y da b1 dl b dk A L K 両辺を Y で割れば dy Y da dl b A L 1 b dk K 18 9

10 ( 証明 ) 賃金設定と労働分配率 コブ ダグラス型生産関数 1 b Y AL b K 競争的賃金設定 賃金が労働の限界生産力に等しい Y b Y 11 b w b1al K b1 L L このとき労働分配率は wl Y b 1 19 コブ ダグラス型生産関数の推定 コブ ダグラス型生産関数 Y AL b K 両辺対数をとれば ln Y ln( AL ln A ln L 推定式 ( 両対数型 ) 技術水準一定 (lna = a ) b 1 1 b K ln K ln A b ln L b ln K lny a b1 ln L b 1 b b 1 ) ln K b 技術進歩率一定 (lna = a + g T ) lny a gt b1 ln L b ln K 0 10

11 コブ ダグラス型生産関数の推定結果 1 ( 技術水準一定 ) Dependen Variable: LOG(Y) Mehod: Leas Squares Sample: Included observaions: 7 労働 資本に対する生産の弾力性 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C LOG(L) LOG(K) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike ( info 注 ) crierion 決定係数で先の線型モ デルと直接に説明力の比較 Sum squared resid Schwarz crierion することはできない ( 被説明 Log likelihood F-saisic 変数が違うため ) Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) コブ ダグラス型生産関数の推定結果 ( 技術進歩率一定 ) Dependen Variable: LOG(Y) Mehod: Leas Squares Sample: Included observaions: 7 毎年の技術進歩率 = (=0.04%) Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) ただし 値は低い R-squared Mean dependen ( 有意でない var ) Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion 技術進歩率が で Log likelihood 自由度修正済 F-saisic ある確率は % Durbin-Wason 決定係数も低下 sa Prob(F-saisic) ( ゼロであっても おかしくない ) 11

12 コブ ダグラス型生産関数の推定結果 ( グラフ ) Residual Acual Fied 残差実績値推定値 3 推定結果の分析 解釈 労働に対する生産の弾力性 (b 1 )=0.66 労働投入を 1% 増やすと生産が 0.66% 増加 資本に対する生産の弾力性 (b )=0.43 資本投入を 1% 増やすと生産が 0.43% 増加 技術進歩率 (g)=0.04% 80 年代以降 日本経済の技術進歩は停滞 技術進歩はゼロ (g = 0) と考えてもおかしくない推定結果 日本の労働分配率 ( 標本期間平均 実績値 ) 70% > b 1 日本企業の賃金設定は非競争的?( 限界生産力以下しか支払っていない?) 仮説検定 b 1 + b = 1.09 > 1 日本経済は収穫逓増? or 得られた標本からのたまたまの結果? ( 本当は収穫一定で結果は誤差の範囲? ) 仮説検定 4 1

13 両対数モデルと弾力性 両対数モデル ln y = a + b ln x の係数 b は弾力性を表す (x が1% 増えたときに y が何 % 増えるか ) 両辺対数をとって x で微分すれば ln y lna b ln x ln y y ln x b y x x b y / y x / x y の増加率 x の増加率 1 y 1 x 5 両対数モデルの係数の値とグラフの形状 両対数モデル ln y = a + b ln x 係数 b の値によってさまざまな形状を取りうる 応用範囲が広い関数形 関数の形状が不明のときには とりあえず両対数型で推定するのも 1 つの方法 lny=blnx b>1 逓増関数 ( 例 )b= lny=blnx 0<b1 逓減関数 ( 例 )b= lny=blnx b 双曲線 ( 例 )b=

14 成長会計 : 推定結果に基づく要因分解 成長率の要因分解 Y Y 1 A A 1 L b1 L L g b1 L 1 1 K b K K b K 1 1 g, b 1, b の推定結果を用いて Y Y 1 L L 1 K K 1 GDP 成長率 技術進歩要因 労働増加要因 資本増加要因 7 成長会計 : 成長率の要因分解 ( グラフ ) 8% 6% 4% その他 ( 残差 ) 要因技術進歩資本寄与労働寄与 GDP 成長率 % 0% -% -4%

15 成長会計 ( 長期 ) 4.5% 4.0% 3.5% 3.0%.5%.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% ( 年平均 ) その他 ( 残差 ) 要因技術進歩資本寄与労働寄与 GDP 成長率 -0.5% 80 年代 90 年代 年 9 構造変化とダミー変数 技術進歩率 ゼロとの結果 80 年代と 90 年代で技術進歩率が異なるのではないか? ( 参考 )Hayashi and Presco (00) 90 年代の成長鈍化は生産性上昇率の低下で説明できる 全期間を通じて技術進歩率一定という仮定が誤りでは? ( 対処方法 ) 方法 1: 標本期間を分けて推定する 80 年代と 90 年代を分けて推定する ただし標本数が少ない 方法 : ダミー変数 を用いて推定する ダミー変数 = ある条件が満たされない場合には 0 満たされる場合には 1 の値をとる変数 80 年代には 0 90 年代には 1 の値をとるダミー変数を用いる 30 15

16 ダミー変数を用いた定式化 定式化 1 lny a g1t g T D90 b1 ln L b 80 年代の技術進歩率 =g 1 ( 上式にD90 = 0 を代入して確認せよ ) 90 年代の技術進歩率 =g 1 g ( D90 = 1 を代入して確認せよ ) 定式化 lny a g1t D80 g T D90 b1 ln L b ln K 80 年代の技術進歩率 =g 1 ( D80=1, D90 = 0 を代入して確認せよ ) 90 年代の技術進歩率 =g ( D80=0, D90 = 1 を代入して確認せよ ) 定式化 3 lny a g1t g T D80 g 3T D90 b1 ln L b ln K 推定不能 ( ダミー変数の罠 後述 ) ln K 31 ダミー変数による推定結果 ( 定式化 1) Dependen Variable: LOG(Y) Mehod: Leas Squares Sample: Included observaions: 7 技術進歩率はマイナス? 90 年代にむしろ技術進歩率上昇? Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T T*D LOG(L) LOG(K) R-squared Mean dependen ただしいずれも var 値が低い Adjused R-squared S.D. dependen ( 有意ではない var ) S.E. of regression Akaike info crierion 年代の技術進歩率 Sum squared resid = Schwarz crierion 年代の技術進歩率 Log likelihood = F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic)

17 ダミー変数による推定結果 ( 定式化 ) Dependen Variable: LOG(Y) Mehod: Leas Squares Sample: Included observaions: 7 80 年代 90 年代とも技術進歩率はマイナス? いずれも 値が低い ( 有意ではない ) Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T*D T*D LOG(L) LOG(K) R-squared Mean dependen var 定式化 1の推定結果と比較せよ Adjused R-squared S.D. dependen var 年代 90 年代の技術進歩率の値は? S.E. of regression Akaike info crierion その他の係数の値は? 80 年代の技術進歩率 Sum squared resid = Schwarz crierion 決定係数は? 90 年代の技術進歩率 Log likelihood = F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) ダミー変数の罠 定式化 3 lny a g1t g T D80 g 3T D90 b1 ln L b 推定不能 : ダミー変数の罠 説明変数の間に完全な線型の関係 ( 共線性 ) が存在 ln K T = T D80 + T D90 T の動きと (T D80 + T D90 ) の動きを区別して推定できない ( 別の説明 ) 80 年代の技術進歩率 =g 1 + g 90 年代の技術進歩率 =g 1 + g 3 方程式が 本 未知数は 3 つ (g 1, g, g 3 ) 推定できない ダミー変数の罠 : 全ての期間区分に対応するダミー変数と ダミー変数を付さない変数を 同時に入れると 推定不能 34 17

18 潜在 GDP と潜在成長率 潜在 GDP= 労働力 資本が フル稼働 したとき ( 過剰な失業や遊休資本がないとき ) に達成できる GDP の水準 フル稼働 の水準をどう定義するか (1) 失業 0% 稼働率 100% 加熱状態? 非現実的? () 過去の失業率の最低水準 稼働率の最高水準 (3) 過去の失業率の平均水準 稼働率の平均水準 (4) 高インフレを招かない失業率の水準 ( フィリップス曲線や UV 曲線の推定結果から求める ) 講義では (3) と (4)( フィリップス曲線方式 ) とを使用 GDP ギャップ = 潜在 GDP( フル稼働したときの供給能力 ) と現実の GDP( 需要 ) の差 (= 需給ギャップ ) 潜在成長率 = 潜在 GDP の成長率 = 失業や稼働率といった景気変動要因を除いた成長率 (= 経済の実力 ) 35 潜在 GDP 潜在 GDP ln Y or * Y * a gt exp(ln Y Y * * A L b ln L * * b ) 1 K 1 * b * b ln K * 潜在的労働投入 潜在的資本投入 ( 潜在的 ) 技術水準 ln A * * * 100 U L L 100 U K K * 100 * * S S K 0 S a gt A exp( a gt ) * L : 現実の就業者数 U * : フル稼働 の失業率 cf. 自然失業率 U : 現実の失業率 K : 現実の資本投入量 S * : フル稼働 の稼働率 S : 現実の稼働率 K 0 : 稼働率調整前の資本ストック 36 18

19 潜在 GDP( グラフ ) ( 兆円 000 年価格 ) (%) 潜在 GDP(Y * ) 現実の GDP(Y) GDP ギャップ ( 右軸 ) (Y-Y * )/Y * 現実の成長率と潜在成長率 8.0% 7.0% 6.0% 5.0% 4.0% 現実の成長率 潜在成長率 3.0%.0% 1.0% 0.0% -1.0% % -3.0% 38 19

20 将来の潜在成長率予測 : 改革ケースと非改革ケース 潜在成長率の要因分解 * * Y A L b * * 1 * Y A L 想定 潜在的技術進歩率 改革なし : 推定された技術進歩率 (g = 0.04%) のまま 改革あり : 米国なみの生産性上昇率 (1.30%) を達成 潜在的労働力投入量 改革なし : 将来人口推計の労働力人口の伸び率 改革あり : 0 歳以上の女性の労働力率が米国なみに改善 潜在的資本投入量 改革なし : 90 年代の資本伸び率 (3.0%) 程度 改革あり : 80 年代の資本伸び率 (7.0%) の半分程度まで回復 * K b * K * 39 M 字カーブ ( 女性の労働力率 ) アメリカ日本 歳 0-4 歳 5-9 歳 歳 歳 歳 歳 歳 歳 歳 歳 40 0

21 将来の潜在成長力予測 ( 結果 ) 006 年 016 年 年平均伸び率 生産年齢人口 8,373 7,60-1.0% 労働力人口 ( 改革なし ) 6,648 6,41-0.6% ( 改革あり ) - 6, % 生産性上昇率資本伸び率 改革なし 0.04% 3.0% 改革あり 1.30% 3.5% 潜在成長率 生産性寄与 労働寄与 資本寄与 改革なし 0.9% 0.04% -0.4% 1.7% 改革あり.6% 1.30% -0.% 1.49% 41 競争的賃金設定の検証 競争的に賃金が設定 b 1 = 労働分配率 b 1 の推定値 0.66 過去の労働分配率の平均 賃金設定が非競争的 ( 企業は賃金を払いすぎ ) か? 推定の誤差 ( ブレ ) の範囲か? 統計学的に検証 仮説検定 推定値の誤差 ( ブレ ) はどの程度なのか? 推定値はどの程度 幅 をもって見れば良いか? 区間推定 ( 参考 ) 最小二乗法の統計学的性質 統計学的推定 の意味を理解せよ 4 1

22 日本の労働分配率 76% 74% 7% 70% 68% 66% 64% 6% 年平均 69.8% 60% 点推定と区間推定 Dependen Variable: LOG(Y) Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) 労働に関する生産の弾力性の推定値 点推定 ˆ1 b 0.66 しかし 弾力性の真の値 (b 1 ) がこの推定値とぴったり一致しているとは限らない ( 推定誤差があり得る ) 推定値は幅を持ってみる必要 どの程度幅をとって見れば良いか?: 真の値 b 1 を正確に知ることはできないが 推定結果から b 1 が確率的にとり得る範囲を求めることはできる 区間推定 上記の推定結果の場合 弾力性の真の値 b 1 は 95% の確率で ~ の範囲にある ということができる (b 1 の 95% 信頼区間 ) 44

23 区間推定の求め方 一般的に 係数 b の推定値 ( 点推定 )= bˆ bˆ の標準誤差 = ˆ ˆ b 自由度 = 標本数 (T)- 推定する係数の数 (k) のとき b の 95% 信頼区間は ˆ b T k,.5% ˆ ˆ b ただし T-k,.5% は自由度 T-k のときの 分布の.5% 分位点 したがって 信頼区間は 推定精度が高い ( bˆ の標準誤差 ˆ ˆ b が小さい ) ほど 標本数が多い= 自由度 T-k が大きい ( T-k,.5% が小さい ) ほど狭く求めることができる 分布表が利用できないときは 簡略化して ˆ b ˆ ˆ b を信頼区間とすることもある 45 区間推定の求め方 ( 例 1) Dependen Variable: LOG(Y) Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) 労働に関する生産の弾力性 b 1 の推定値 ( 点推定 ) ˆ1 b 0.66 推定値 ˆ b の標準誤差 ˆ b ˆ 1 自由度 (Tk)= 標本数 ( 7 )- 推定した係数の数 ( 4 )= 3 自由度 3 の 分布の.5% 分位点 =.069 b 1 の95% 信頼区間 ˆ b ˆ T k,.5% ˆ b ~

24 区間推定の求め方 ( 例 ) Dependen Variable: LOG(Y) Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) 資本に関する生産の弾力性 b の推定値 ( 点推定 ) ˆ b 推定値 ˆ b の標準誤差 ˆ b ˆ 自由度 (Tk)= 標本数 ( 7 )- 推定した係数の数 ( 4 )= 3 自由度 3 の 分布の.5% 分位点 =.069 b の95% 信頼区間 ˆ b ˆ T k,.5% ˆ b ~ 区間推定の求め方 ( 例 3) Dependen Variable: LOG(Y) Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) 技術進歩率 g の推定値 ( 点推定 ) gˆ 推定値 gˆ の標準誤差 ˆ ˆ 自由度 (Tk)= 標本数 ( 7 )- 推定した係数の数 ( 4 )= 3 自由度 3 の 分布の.5% 分位点 =.069 g の 95% 信頼区間 ˆ g g ˆ T k,.5% ˆ1 g ~

25 区間推定からわかること ( 例 3) において 技術進歩率 g の 95% 信頼区間の中に 0 が入っている 技術進歩率 g の真の値が 0 であった可能性は十分にある = 技術進歩はなかった と考えてもおかしくはない 逆に 確実に技術進歩があった と言うことはできない ( 例 1) において b 1 の 95% 信頼区間に ( 日本の労働分配率の値 ) が入っている b 1 の真の値が労働分配率に等しかった可能性は十分にある = 賃金は競争的に決定されていた と考えてもおかしくはない 逆に 賃金決定は競争的でなかった と言うことはできない より直接的に検証する方法 仮説検定 区間推定 と 仮説検定 は表裏の関係にある 49 区間推定の考え方 1( が既知の場合 ) bˆ は期待値 b, 分散 の正規分布 ˆ b ~ N ( b, bˆ ) に従う ( 統計学的性質 ) bˆ s x は95% の確率で b 1.96 ˆ b に入る b は95% の確率で ˆ b 1.96 に入る ˆ b ~ N( b, ) ˆ b ˆ b b ~ N(0,1) ˆ b b Prob( ) 95% ˆ b Prob( ˆ b 1.96 b ˆ b 1.96 ) 95% ˆ b ˆ b ˆ b ˆ b.5% ˆ b 1.96 ˆ b 95% b E( ˆ) b 1.96 ˆ b 1.96 ˆ b bˆ 推定量 bˆ の分布 ˆ b ~ N b, s x.5% 95% 信頼区間 1.96 ˆ b 推定値 bˆ 50 5

26 区間推定の考え方 ( が未知の場合 ) 通常は は未知 正規分布を用いて信頼区間を求めることはできない ˆ ˆ b b ˆ b b の不偏推定量 ˆ を用いると T k ˆ ˆ ˆ / b が自由度 T-k の 分布に従うことを利用 ( 統計学的性質 3) s x ˆ b b ~ ( T k) ˆ ˆ b b ~ ˆ b ( T k) ˆ ˆ b ˆ b.5% 95%.5%.5%.5% ˆ ˆ b 95%.5% ˆ ˆ b.5%.5% 0.5% ˆ b ˆ.5% ˆ b bˆ ˆ b ˆ.5% ˆ b 51 仮説検定 ( 例 1) Dependen Variable: LOG(Y) Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) ˆ1 b 0.66 と推定されたが b 1 の真の値は労働分配率 (0.7) に等しい との仮説を検証したい ˆ b1 b1 ˆ が自由度 T kの 分布に従う ( 統計的性質 3) ことを利用 ˆ b 1 ˆ b1 b1 ˆ b 0.66, 0.7, ˆ を代入して 1 b1 ˆ b1 ˆ ˆ b 1 自由度 T k = 3の 分布表と比較して10% 水準で棄却されない ( b 1 =0.7である確率は10% 以上ある ) 5 6

27 仮説検定 ( 例 ) Dependen Variable: LOG(Y) Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(L) LOG(K) 技術進歩率は gˆ と推定されたが g の真の値は0( 技術進歩なし ) との仮説を検証したい ˆ g g ˆ が自由度 T kの 分布に従う ( 統計的性質 3) ことを利用 ˆ g ˆ g g ˆ g , g 0, ˆ ˆ を代入して g ˆ ˆ g 自由度 T k = 3 の 分布表と比較して10% 水準で棄却されない ( g=0である確率は10% 以上ある ) 53 仮説検定と区間推定の関係 仮説検定と区間推定は表裏の関係 b 1 の 95% 信頼区間 (0.368~0.9864) に 0.7 が含まれる b 1 = 0.7 の帰無仮説は 5% の有意水準で棄却されない (b 1 = 0.7 である確率は 5% 以上ある ) b 1 の 95% 信頼区間 (0.368~0.9864) に 1 が含まれない b 1 = 1 の帰無仮説は 5% の有意水準で棄却される (b 1 = 1 である確率は 5% 以下しかない ) g の 95% 信頼区間 (-0.009~0.0036) に 0 が含まれる g = 0 の帰無仮説は 5% の有意水準で棄却されない (g = 0 である確率は 5% 以上ある ) 54 7

28 仮説検定の一般的な手順 (1) 仮説を立てる 1 帰無仮説 H 0 (Null Hypohesis): 通常は 棄却されることが想定されている ( 例 :b = 0) 対立仮説 H 1 (Alernaive Hypohesis): 帰無仮説と対立する仮説 ( 例 :b 0) 通常は 帰無仮説を棄却することによって これを間接的に証明する () 帰無仮説の下での検定統計量 (Tes Saisic) を計算する (3) 検定統計量から 推定された結果が帰無仮説の下で生じる確率を求める 確率が低ければ (1%, 5%,10% 以下など ) 帰無仮説を棄却 (1 帰無仮説は誤り = 対立仮説が正しいと判断 ) 確率が高ければ帰無仮説を受容 (1 帰無も誤りとは言えないと判断 ) 55 Eviews による仮説検定の仕方 (1) 仮説を立てる 1 帰無仮説 H 0 : b 1 = 0.7 v.s. 対立仮説 H 0 : b () 検定等計量を計算する 推定結果 Window から View Coefficien ess Wald - Coefficien resricions を選択 帰無仮説による係数への制約 ( この場合は c(3)=0.7) を入力 (3) 計算された検定等計量から帰無仮説を棄却するか判断 Tes Saisic Value df Probabiliy F-saisic (1, 3) Chi-square 手計算で行った 検定の結果と比較せよ ( 値と F 値の関係は?) 56 8

29 規模の収穫一定の検証 b 1 b 1 と言えるかどうかの検定 係数間の関係の仮説検定 Eviews による検定手順 (1) 仮説を立てる H 0 : b 1 +b =1 vs H 1 : b 1 +b 1 () 検定等計量を計算 推定結果 Window から View Coefficien ess Wald - Coefficien resricions を選択 帰無仮説 H 0 による係数への制約 (c(3) + c(4) = 1) を入力 Tes Saisic Value df Probabiliy F-saisic (1, 3) Chi-square (3) 仮説を棄却するか判断 p 値が 仮説 H 0 は棄却しない ( 制約付モデルを受容 ) 日本経済は規模の収穫一定と考えておかしくない 57 係数間の関係の仮説検定の考え方 係数間に特定の関係を想定しないモデル ( 制約なしモデル ) と特定の関係 (b 1 b 1) を制約として課したモデル ( 制約モデル ) を考える 制約なしモデル ( 一般モデル ) ln y a gt b 1 ln L b ln K 制約モデル (b 1 b 1b 1 1b を代入 ) ln y a gt (1 b )ln L b ln K ln y ln L a gt b (ln K ln L) 仮説 (b 1 b 1) が正しければ両モデルの推定結果に大きな違いは生じないはず 仮説が正しくなければ 推定結果は大きく違うはず 検定等計量は 両モデルの推定結果が統計的に 同じ と言える確率を示す 58 9

30 制約付きモデルの推定結果 Dependen Variable: LOG(Y)-LOG(L) Mehod: Leas Squares Sample: Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T LOG(K)-LOG(L) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) 生産関数の推定 : まとめ 1 日本経済の労働投入に対する生産の弾力性は 0.66( 労働投入を 1% 増やすと生産は 0.66% 増加 ) 資本投入に対する生産の弾力性は 0.43( 労働投入を 1% 増やすと生産は 0.43% 増加 ) 推定結果は 日本の賃金決定が競争的 (b 1 が労働分配率 0.7 に等しい ) との仮説と矛盾しない ( 賃金が競争的に決定されているとしておかしくない ) 推定結果は 日本経済は規模の収穫一定 (b 1 +b =1) との仮説と矛盾しない ( 規模の収穫は一定と考えておかしくない ) 80 年代以降の日本経済には ( トレンド的な ) 技術進歩はなかったと考えておかしくない 技術進歩なしとの結果は 80 年代と 90 年代以降で技術進歩率に変化があったと想定して推定した場合も変わらない 60 30

31 生産関数の推定 : まとめ 推定結果に基づく成長会計の分析によると 80 年代に 3.9% であった年平均成長率が 90 年代に 1.3% まで低下したのは 1 企業が生産設備の拡大に慎重になり資本投入が減少したこと (1.7% 分の成長率低下要因 ) 少子高齢化の影響やリストラにより労働投入が減少したこと (0.6% 分の成長率低下要因 ) 3( トレンド的な技術進歩以外の ) その他の要因 ( 残差要因 ) による生産性の低下 (0.4% 分の成長率低下要因 ) による 000 年代には その他の生産性要因は 90 年代の -0.3% 寄与からプラス 0.4% の寄与へと回復したが 労働投入の寄与はさらに低下 61 生産関数の推定 : まとめ 3 推定結果から潜在 GDP を求め 需給ギャップを計測すると 90 年代後半は需要が供給能力を大きく下回っていたが 006 年には需給ギャップは解消 潜在 GDP をもとに 80 年代以降の潜在成長率 ( 失業や遊休設備の問題がなかった場合に実現できた成長率 ) を求めると 80 年代の 4% 前後から 90 年代以降は 1% 程度に低下 今後 10 年間の日本の潜在成長率は 労働力人口の減少を放置し 技術進歩もない状態が続いた場合には 潜在成長率は 0.9% 程度にとどまる 改革によって 1 女性の労働力率が米国並みに改善 技術進歩率が米国並みまで上昇 3 企業の生産設備拡大意欲が 80 年代の半分程度まで回復すれば 潜在成長率は.6% 程度まで高めることができる 6 31

32 ダミー変数の種類 定数項ダミーと係数ダミー 定数項ダミー ( 切片ダミー ) 水準のシフト 係数ダミー ( 傾きダミー ) 説明変数の影響の大きさ ( 傾き ) の変化 構造変化ダミー 季節ダミー 外れ値ダミー 構造変化ダミー 80 年代と 90 年代の変化等 季節ダミー 季節変動の処理 外れ値ダミー ( 異常値ダミー ) 特定の時点の特異な動き (ex. 消費税導入の年等 ) の処理 定数項ダミー 係数ダミー 外れ値ダミー 傾きが不変で上下にシフトする場合 80 年代 傾きのみ変化する場合 80 年代 90 年代 90 年代 定数項ダミー ( シフトダミー ) で処理 係数ダミー ( 傾きダミー ) で処理 傾きが変化し上下にシフトもする場合 80 年代 特殊要因による異常値がある場合 90 年代 定数項ダミー + 係数ダミーで処理 ( 例 ) 消費税引上による駆け込み需要金融危機の影響等 外れ値ダミー ( 特殊要因期間のみ 1 となるダミー ) で処理 3

33 季節変動と季節ダミー 月次 四半期などのデータを用いて推定する場合 季節変動の影響を除いて推定するにはどうするか 方法 1: 季節調整済データを用いて推定する ただし 季節調整済データが利用可能でない統計もある 方法 : 季節ダミーを用いて推定する ( 例 ) 四半期データの場合 D 1 : 第 1 四半期に 1 その他は 0 の値をとるダミー変数 D : 第 四半期に 1 その他は 0 の値をとるダミー変数 D 3 : 第 3 四半期に 1 その他は 0 の値をとるダミー変数 D 4 : 第 4 四半期に 1 その他は 0 の値をとるダミー変数 所得と消費の季節変動 80 家計最終消費支出 ( 兆円 ) 第 1 四半期第 四半期第 3 四半期第 4 四半期 家計可処分所得 ( 兆円 ) 33