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よりとしくぬぎ
7 years ago
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1 人工知能学会研究会資料 SIG-FI イジングモデルによる複数時系列の株価変動シミュレーション Multple tme seres smulatons of stock prce dynamcs by Isng model 高石哲弥 Tetsuya Takash 広島経済大学 Hroshma Unversty of Economcs Abstract: これまでの実証分析によって株価の変動は単純なランダムウォークではなくいくつかの特徴があることが知られている例えば (1) 収益率の自己相関は小さいが絶対値収益率の自己相関は長期にわたっている (2) 収益率分布は正規分布とは違い裾野の広がった分布をしている (3) ボラティリティクラスタリングが現れる等の特徴があるこれらの特徴を捉えた非常に簡単なモデルとして Bornholdt のイジングモデルがある本研究ではこのモデルを相互作用のある複数の株価時系列モデルに拡張しシミュレーションを行ったその結果元のモデル同様の株価の変動の性質を持ちつつ且つ株価のボラティリティ間に相関のあるモデルとなることが分かった 1. はじめに株価の変動は性質は実証分析によってよく調べられておりそれらの性質は Stylzed facts[1] として知られている例えば (1) 収益率の自己相関は小さい (2) 絶対値収益率の自己相関は長期にわたる (3) 収益率分布は正規分布とは違い裾野の厚い分布である (4) ボラティリティクラスタリングという変動の大きい時期が続いたり変動の小さい時期が続くなどの性質がある株価変動のシミュレーションを行う場合実証的に知られているこれらの性質を再現できるモデルを使うのが望ましい本研究ではシミュレーションに Bornholdt のイジングモデル [2] を利用するがこのモデルは非常にシンプルでありながらこれらの性質を反映することができるこのモデルでは 2 つの相反する作用のみを導入する 1 つは周りに同調するマジョリティ効果に対応し例えば周りに買う人が多ければ自分も買おうとし逆に売る人が多ければ自分も売ろうとすることに対応するもう 1 つは全体の動きと反対の行動をとるマイノリティ効果であるこれは市場全体に買う人が多ければ自分は売ろうとし売る人が多ければ買おうとすることに対応するこれら 2 つの作用によってこのモデルは複雑な非定常な動きを見せる Bornholdt によるこのモデルの提唱後このモデルを使った研究がなされているがそれらは株価の 1 時系列を扱ったものである実際の市場では多数の株価が取り引きされそれらの株価間には相関がある場合が多い従って現実的な市場のシミュレーションには多数の株価の変動をシミュレーションできるモデルが必要となる本研究では Bornholdt のモデルを拡張し複数の株価のシミュレーションを行うモデルを構築しそのモデルによるシミュレーションの結果を報告する 2.Bornholdt モデル D 次元の L D 格子を考えるエージェントはこの格子点にいるとするこの時全体で D L のエージェントが存在することになるエージェントはスピン S を持ち S は +1 または -1 の値をとるとするここでは +1 の場合をエージェントの買う状態 -1 の場合を売る状態と考えるエージェントは周りのエージェントの状態によって確率的に自分の状態を決めるまずマジョリティ効果に対応する部分は通常のイジングモデルと同じで最個

2 近接エージェントの取る状態によって決まるイジングモデルと違うのはマイノリティ効果に対応する部分である市場全体の状態を測る量として磁化を導入する磁化はスピン S をすべて足し合わせたものとして定義される磁化が正の値であれば買う状態が多く逆に負の値であれば売る状態が多いことになるまた磁化の絶対値が大きいときは市場が過熱してバブル的になっていると考えられるこのようなバブル的な状態はいずれ弾けると考えると将来のロスを避けるためには過熱した状態 ( マジョリティ ) とは逆の状態 ( マイノリティ ) に移っていた方がよいことになるそこでマイノリティ効果では磁化の絶対値が大きいときは自分の状態を変える確率が高くなるようにする以上のことをまとめると Bornholdt モデルでは以下の確率 p でスピンの状態をアップデイトしていく [2] S ( t 1) 1, p 1/(1 exp( 2h ( t)) (1) には変動の大きい時期や小さい時期が続くボラティリティクラスタリングが現れている図 1 磁化 M (t) の変動 S ( t 1) 1, p n 1 1 (2) h ( t) J S ( t) S ( t) M ( t) (3) ここで M (t) は磁化を表し 1 M ( t) S ( t) で定義される J は周りのスピンとの相互作用の強さを表し普通最近接のスピンのみ J 1としその他はゼロとするはオリジナルなイジングモデルでは温度の逆数に対応する図 2 収益率 R( t) ( M( t) M( t 1))/ 2 の変動の値を相転移温度以下に設定しることによってスピンは揃おうとするが (3) 式の第 2 項があるためにシミュレーションを行うと order 相になったり dsorder 相に変化したりと複雑な動きを見せる図 1 は L 100の 2 次元格子上でパラメータを 2, 20 としてシミュレーションした時の磁化 M (t) の時系列であるアップデイトは周期的境界条件のもとで行った収益率は [3] に従って R ( t) ( M( t) M( t 1))/ 2 (4) で定義する図 2 は収益率の時系列である収益率図 3 収益率分布

3 で定義される, は番目のスピンの周りのスピンについての和を表す Z は全確率の和が 1 になるように規格化するもので k1, 1,0 P ( S k) 1 (8) を満たすように決定される K は以下で定義される nactvty rate で 0 になっているスピンの数を全格子数で割ったものである K 1 1 (9) S,0 図 4 収益率累積分布図 3 はパラメータを変えてシミュレーションを行いその収益率分布を表示したものである正規分布とは違い裾野の厚い分布となっている図 4 は収益率の累積分布を表している裾野に冪的な振る舞いが見られることが分かる 3.Potts-lke モデル Bornholdt モデルではスピンの状態は買うか売るかの 2 つの状態を取るが複数の状態を考えることも可能である例えば [4,5] では買う売る何もしないの 3 つの状態を考えたモデルを提唱している例えば買う状態を +1 売る状態を -1 何もしない状態を 0 とするとこのモデルでは以下の確率でスピンをアップデイトする図 5 Inactvty rate. スピンが S =+1または-1になる確率 : P( S S) exp( ( h(, S) S S M )) / Z (5) スピンが S =0になる確率 : P( S S) exp( ( h(, S) ( M 2K ))/ Z ここで h(, S ) は周りと同じ状態のスピンがいくつあるかをカウントするものに対応し (6) h(, S) (7), S S 図 6 収益率分布図 5 はの値を変えたときの K の値を表すここでは 2 次元格子 L 100 2, 10 でシミ

4 ュレーションを行っている値が小さいときはスピンが 0 を取る確率が高く逆に大きいときは 0 を取る確率が小さくなっている図 6 は収益率分布を表している値が大きいときは 0 をとるスピンの数が少なくなっているので Bornholdt モデルに近づくことになり図 3 と同様の収益率分布になっている一方値が小さいときは指数関数的な収益率分布になっている冪的ではなく指数関数的な収益率分布も実際の市場特に発展途上国の市場で見られることがある [6 ] 3. 複数時系列イジングモデルこれまでのシミュレーションでは 1 時系列のシミュレーションが行われているが現実の市場はたくさんの株価が取り引きされそれらの株価は相関を持って変動しているここでは複数の株価が相関を持って変動するモデルを Bornholdt モデルの拡張によって構築する [7,8] 今 K 個の株価があるとする l 番目の株価に対して (3) 式を以下のように変更する格子サイズは L 120 2, 35, J 1 タはとしパラメータはとした相互作用のパラメー (13) としここでは対称な相互作用を仮定した相互作用はとなっておりこれは株 1 と株 2 の間の相互作用が一番小さく株 2 と株 3 の相互作用が一番大きくなるように設定されているシミュレーションは逐次ランダムにスピンをアップデイトして行き始めの 10,000 サンプルは thermalzaton として捨ててその後の 500,000 サンプルを解析に利用した図 7 は磁化の変化を表しているここではデータの一部 (150,001 番目のデータから 180,000 番目のデータ ) のみを表示しある株 1 と他のデータとの間には似た変動はあまり見られないが株 2 と株 3 の間には似た変動が見られる h 1 ( t) J S ( t) S ( t) M ( t) M K 1 l ( ) ( t) (10) ここで (10) 式の右辺 3 項目が他の株価との相関を磁化 M (t) の値に応じて取り入れる項であり l が相関の強さを表すパラメータである l 番目のスピ ( ) S l ン ( t) は Bornholdt モデルと同様に以下の確率でアップデイトしてゆく ( ) S l ( t 1) 1, p 1/(1 exp( 2h ( t)) ( ) S l (11) ( t 1) 1, 1 p (12) 3. シミュレーションここでは 3 個の株価 (K=3) が相関を持って変動する場合の結果を紹介する 2 次元の格子を用い図 7 複数時系列イジングモデルにおける磁化の変動図 8 は収益率の変動を表している収益率の定義は (4) と同じであるここでも株価 2 と株価 3 の間には同時期に似た変動が多くみられる

5 っていることが分かるこれは (13) のように相互作用のパラメータを設定したことと整合している図 8 複数時系列イジングモデルにおける収益率の変動図 10 収益率の自己相関関数図 9 複数時系列イジングモデルにおける収益率分布図 9 は収益率分布を表しており Bornholdt モデルと同様に裾野の厚い分布となっている表 1 ボラティリティ ( 株価収益率の絶対値 ) 間の相関係数 Stock1 Stock2 Stock3 Stock Stock Stock 表 1 は株価のボラティリティ間の相関を求めたものであるここではボラティリティとして株価収益率の絶対値を利用している表 1 から株 1 と 2 の間の相関は小さいが株 2 と 3 の相関は大きくな図 11 絶対値収益率の自己相関関数図 10 は収益率の自己相関関数を表しており自己相関は非常に短期でほぼゼロとなっている一方図 11 は絶対値収益率の自己相関関数であるが長期の相関が見られるこれらの性質は実際の市場の株価収益率で見られる性質と一致している 4. まとめ本研究では 1 時系列のモデルである Bornholdt モデルを拡張し複数の相関のある時系列のモデルに拡張を行いシミュレーションを行った株価収益率の性質は元の Bornholdt モデルと同様に実際の市場の収益率の性質を反映したものとなったまた絶対値収益率で代用したボラティリティ間に相関が現れるモデルとなった

6 参考文献 [1] R.Cont, Emprcal propertes of asset returns: stylzedfacts and statstcal ssues, Quanttatve Fnance, Vol. 1, (2001) pp [2] S.Bornholdt, Expectaton Bubbles n a Spn Model of Markets: Intermttency from Frustraton across Scales, Int. J. Mod. Phys. C 12 (2001) pp [3] T.Kazo, S.Bornholdt and Y.Fuwara, Dynamcs of Prce and Tradng Volume n a Spn Model of Stock Markets wth Heterogeneous Agents, Physca A 316 (2002) pp [4] T.Takash, Smulatons of Fnancal Markets n a Potts-lke Model, Int. J. Mod. Phys. C 16 (2005) pp [5] T.Takash, Analyss of Spn Fnancal Market by GARCH Model, Journal of Physcs: Conference Seres 454 (2013) [6] K.Mata, M.Pal, H.Salunkay and H.E.Stanley Scale-dependent prce fluctuatons for the Indan stock market, Europhys. Lett. 66 (2004) [7] T.Takash, Multple Tme Seres Isng Model for Fnancal Market Smulatons, Journal of Physcs: Conference Seres 574 (2015) [8] T.Takash, Some propertes of multple tme seres Isng model n fnancal market smulatons, 2015 IEEE Internatonal Conference on Cyber Technology n Automaton, Control, and Intellgent Systems (CYBER), pp , DOI: /CYBER

　　　　　　　　　　　　　論文の内容の要旨

論文の内容の要旨論文題目 Superposition of macroscopically distinct states in quantum many-body systems ( 量子多体系におけるマクロに異なる状態の重ね合わせ ) 氏名森前智行本論文では量子多体系におけるマクロに異なる状態の重ねあわせを研究する状態の重ね合わせというのは古典論には無い量子論独特の概念であり数学的には