AN-1057: 加速度センサーによる傾きの検出

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こうごおとじま
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1 AN-157 アプリケーションノート加速度センサーによる傾きの検出著者 : Christopher J. Fisher はじめにシステムの傾斜または傾きを判定するためによく用いられる方法の 1 つはジャイロスコープの出力を積分することですこの方法は単純明快ですが積分時間が長くなるとヌルバイアス安定性による積分誤差によりたとえデバイスが静止状態であっても傾きが生じているような出力が得られることがありますアプリケーションによってはシステムに加わる主な加速度が重力である場合に加速度センサーを用いて傾きまたは傾斜角度を測定できますこのようなアプリケーションとしてはゲーム機器カメラの水平検出産業用 / 医用アプリケーションでのデバイスの傾きの検出などがあります加速度センサーによる傾きの検出では印加される加速度は重力のみであるということが前提になります実際には信号処理によって出力信号の高周波数成分を除去できるため若干の AC 加速度入力がある場合でも傾きを計測することが可能です傾きの検出では重力ベクトルと加速度センサーの軸上のその投影を利用し傾斜角を求めます重力は DC 加速度であるためほかの DC 加速度を増加させる力が存在すると誤差の原因となりますたとえば DC 加速度の原因としては車両が一定の割合で加速する加速度センサー上に向心加速度を発生させる回転装置などがありますさらに加速度センサーを回転させると対象となる軸上の重力の投影が変化するため AC 加速度が生じます傾きを計算する前に加速度信号をフィルタリングすることが一般的ですこのアプリケーションノートでは加速度センサーの出力を傾き角度に変換するための基本原理を解説しますこの解説では 1 軸軸 3 軸計測での理想的な傾き角の計算方法も示しますさらにオフセットや感度のミスマッチに起因する誤差を減らすためのキャリブレーションについても基本的な事柄を説明します Rev. アナログデバイセズ社は提供する情報が正確で信頼できるものであることを期していますがその情報の利用に関してあるいは利用によって生じる第三者の特許やその他の権利の侵害に関して一切の責任を負いませんまたアナログデバイセズ社の特許または特許の権利の使用を明示的または暗示的に許諾するものでもありません仕様は予告なく変更される場合があります本紙記載の商標および登録商標は各社の所有に属します日本語資料は REVISION が古い場合があります最新の内容については英語版をご参照ください 1 Analog Devices, Inc. All rights reserved. 本社 / 東京都港区海岸ニューピア竹芝サウスタワービル電話 3(54)8 大阪営業所 / 53-3 大阪府大阪市淀川区宮原新大阪トラストタワー電話 6(635)6868

2 AN-157 目次はじめに... 1 傾き / 傾斜の計算軸の傾斜の計算... 3 軸の傾斜の計算軸の傾斜の計算... 6 Application Note オフセットと感度のミスマッチ誤差のキャリブレーション... 7 オフセット誤差の影響... 7 感度ミスマッチ誤差の影響... 7 基本的なキャリブレーション技術... 8 Rev. Page of 8

3 Application Note AN-157 傾き / 傾斜の計算 1 軸の傾斜の計算度を中心として限られた角度の傾きを検出し分解能がやや粗くても構わないアプリケーションでは 1 軸デバイス ( または多軸デバイスの 1 軸 ) を使用できますたとえば図 1 では 1 軸 ( この例では x 軸 ) が重力ベクトルの方向に沿って回転しますこの方式では 1 軸だけを使用し重力ベクトルを必要とするため x 軸が必ず重力ベクトルの平面内に来るようにデバイスを向けるようにしておかなければ計算された傾き角度が正確になりませんほかの軸を中心とする回転があると x 軸上の加速度の大きさが減少し傾き角度の計算に誤差が生じます図 1. 1 軸による傾斜の検出基本的な三角関数を用いて計算すれば x 軸の出力は重力ベクトルの x 軸上の投影によって加速度センサーの x 軸と水平線がなす角度のサイン ( 正弦 ) に等しい出力加速度となることが解ります水平線は一般的に重力ベクトルと直交する平面と見なされます重力が理想値である 1 g であった場合出力加速度は次式で表すことができます A X, [g] = 1 g sin() (1) 1 軸ソリューションを使用する場合傾きの計算の感度 ( つまり入力の変化に対する出力の変化 ) は水平線と x 軸がなす角度が大きくなるにつれて減少し角度が ±9 に近づくと感度はに近づきますこれを図に示します図は傾き角度に対する出力加速度 ( 単位 :g) を表しています ±9 の近辺では傾き角が大きく変化しても出力加速度の変化は小さくなります PUT ACCELERATION, A X, (g) 図. 傾き角度対出力加速度 (1 軸の傾きの検出の場合 ) 傾きの計算はデジタルで行われます A/D コンバータ (ADC) またはデジタル出力製品から得られる最下位ビットの重みは加速度換算で一定なので傾き角換算での分解能は加速度センサーの傾きに応じて変化します近くで最高の分解能が得られ ±9 で分解能が最低になります図 3 と図 4 に 1 と.5 の傾き角ステップに対する傾き換算での感度を示します傾き換算での感度は傾き角ステップ当たりの出力変化 ( 単位 :mg) であり次式のようになります S [ g] = 1 g sin N + P sin N () ( ( ) ( )) ここで N は現在の角度です P はステップサイズです INCREMENTAL SENSITIVITY, S (mg/1 ) INCREMENTAL SENSITIVITY, S (mg/.5 ) X: 4 Y: 16.1 X: 63 Y: 8.59 X: 77 Y: 図 3. 傾き感度 ( ステップ : 1 ) X: 3.5 Y: 4.5 X: 6.75 Y:.6 X: Y: 図 4. 傾き感度 ( ステップ :.5 ) これらの曲線を使用すればアプリケーションの全範囲で所望の傾き分解能を満たすために出力加速度の測定に必要な最小分解能を決定することができますたとえば 1 の分解能をアプリケーションで必要な場合は ±63 を計測範囲とした場合は少なくとも 8 mg/lsb の分解能が必要です同様に ±63 の範囲に対して.5 の分解能を確保するには少なくとも mg/lsb の分解能が必要ですなお感度が固定されているデジタル出力タイプの加速度センサーの場合でもオーバーサンプリングによってさらに優れた分解能を達成することができる可能性があります Rev. Page 3 of 8

4 AN-157 Application Note 重力加速度の軸に沿って加速度センサーを回転させた場合の出力はサイン波の関係に従いますしたがって加速度から角度への変換は次の逆サイン関数を使用して行われます A X, [ g] = sin 1 (3) 1 g ここで傾き角 () の単位はラジアンです水平線を基準として狭い範囲の傾きが要求される場合は逆サイン関数の代わりに線形近似を使用できます線形近似は小さな角度のサインの近似に関係します sin( ), << 1 (4) ここで傾き角 () の単位はラジアンです傾き角の線形近似にはさらにスケーリング係数 (k) を組み込むことができますこれによって許容できる誤差が増大した場合に近似の有効範囲を拡大することができます A k [ g] 1 g X, ここで傾き角 () の単位はラジアンです角度に変換するには式 5 の結果に (18/π) を掛けます図 5 に逆サイン関数を使用した場合と k を 1 とした線形近似の場合の比較を示します傾き角が大きくなるとともに線形近似は機能しなくなり計算した角度と実際の角度とのずれが大きくなります CALCULATED ANGLE, CALC (Degrees) INVERSE SINE LINEAR APPROXIMATION 図 5. 逆サイン関数と線形近似の比較 : 傾き角の計算実際の傾き角度を基準に計算した角度が描かれているため線形近似は両端付近で曲がっているように見えますその理由は線形近似は実際の傾き角と出力加速度を線形であると近似しているのでその場合には実際の傾き角と計算された傾き角の関係は線形とならないためですしかし逆サイン関数では実際の傾き角度と計算される角度が 1 対 1 の結果を出すため実際の傾き角度を基準にして描くと計算した角度が直線になります (5) 線形近似の例として傾きの検出の所望の分解能が 1 であり ±.5 の誤差であれば許容することができるアプリケーションを想定します図 6 に示すように k を 1 として実際の傾き角度と計算した傾き角度との誤差を描いた場合線形近似の有効範囲はわずか ± です所望の誤差要求を達成できる範囲内でスケーリング係数を調整した場合線形近似の有効範囲は ±3 を上回る値まで増加します CALCULATED ANGLE ERROR, ERROR (Degrees) k = 1. k = 図 6. さまざまなスケーリング係数に対する角度の計算誤差軸の傾斜の計算 1 軸の傾きの検出の 1 つの制約は図 3 と図 4 に示すように有効な傾き角の範囲を大きくするために高分解能の ADC またはデジタル出力が必要になることですもう 1 つの制約は 1 軸測定では 36 の測定ができないことですこれは N の傾きで生成される加速度が 18 N の傾きで生成される加速度と同一になるためですアプリケーションによってはこれでも構いませんしかし高い分解能を必要とするアプリケーションや 36 の全範囲で傾き角度を識別する必要のあるアプリケーションの場合図 7 に示すように第の軸か番目のセンサーが必要です番目のセンサーを使用する場合番目のセンサーの検出軸が最初のセンサーの検出軸に直交するような向きになっている必要があります図 7. 軸による傾斜の検出第の軸を組み込んで傾き角度を求める場合 3 つの大きな利点が得られます次にこれらの利点について説明します Rev. Page 4 of 8

5 Application Note AN-157 一定の感度第の軸の使用による最初の大きな利点は軸の直交性によるものです 1 軸ソリューションと同様に x 軸によって検出される加速度は傾きの角度のサインに比例します y 軸の加速度は直交性のために傾きの角度のコサインに比例します ( 図 8 を参照 ) 1 つの軸で加速度が +1 g または g に近づくことなどにより傾き感度が弱くなるともう 1 つの軸の傾き感度が増大します PUT ACCELERATION, A (g) X-AXIS Y-AXIS 図 8. 傾き角度対出力加速度 ( 軸の傾きの検出 ) 測定した加速度を傾き角に変換する 1 つの方法は 1 軸ソリューションの場合と同様に x 軸の逆サインと y 軸の逆コサインを計算しますしかしもっと簡単で効率のよい方法は次に示すようにつの値の比を使用することです A A X, Y, 1 g sin( ) = = tan( ) (6) 1 g cos( ) A X, = tan (7) AY, ここで傾き角 () の単位はラジアンです 1 軸による例とは異なりつの軸の比を使用して傾き角度を求める方法では傾き感度が 1 つの軸で増加しもう 1 つの軸で減少するので最終的な傾き感度の実効値はほぼ一定になりますつまりある角度において所望の傾きステップサイズを達成するために十分な分解能をもつ加速度センサーを選択すればあらゆる角度に対して十分ということになります加速度センサーに必要な最小分解能は式 6 から求められます各軸の出力は傾き角度のサインまたはコサインに依存し各関数の傾き角度は同じであるため分解可能な最小角度は分解可能な最小加速度に対応します図 3 と図 4 に示すようにサイン関数はの近辺で最も大きな変化を示しコサイン関数はこのポイントで変化が最も小さくなりますこのため傾きの変化に起因する x 軸の加速度の変化が認識されてから y 軸の加速度の変化が認識されますしたがって近辺のシステムの分解能は主に x 軸の分解能に依存することになります P の傾き変化を検出するには加速度センサーはおよそ次の変化を検出しなければなりません A [ g] 1 g sin( P) (8) 図 9 を使用すれば所望の傾きステップサイズに対して加速度センサーに必要な最小分解能がわかりますなお加速度センサーの分解能が増大するほど加速度換算での最下位ビットの重みは小さくなり小さな加速度の変化を検出できるようになりますしたがって適切な分解能をもつ加速度センサーを選択する場合意図する傾きステップサイズに対して最下位ビットの重みは図 9 に示す限度より小さい値にします MINIMUM ACCELEROMETER RESOLUTION, ΔA (mg) X:.1 Y: X: 1 Y: X:.5 Y: X: Y: ANGLE OF INCLINATION STEP SIZE, P (Degrees) 図 9. 所望の傾き角度分解能を実現する加速度センサーの最小分解能重力平面との位置関係に対する依存性の低減複数の軸の使用によって得られる番目の大きな利点は x 軸以外の軸での傾斜が大きな誤差を引き起こすことのある 1 軸ソリューションとは異なり第の軸を使用することでたとえ第 3 の軸に傾きが存在しても正確な値を測定できることですこれは傾き感度の実効値が対象となる軸における重力の乗和の平方根 (RSS) 値に比例するためです重力が xy 平面に完全に含まれる場合両軸で検出される加速度の RSS 値は理想的には 1 g になります xz 平面または yz 平面に傾斜が存在する場合は重力に起因する合計加速度が減少するため傾き感度の実効値も減少しますこれにより今度は所定の加速度センサーの分解能に対し傾き角度換算での分解能は減少しますが xz 平面もしくは yz 平面への傾き角が大きくない場合はある程度正確な測定値が得られます傾きの計算から得られる角度は xy 平面の回転に対応しますシステムが相当傾斜していて xy 平面の重力加速度がごくわずかしかない場合は傾き角の正確な測定は困難となりますしたがってできる限り xz 平面または yz 平面の傾斜を抑えるようなシステムの設計を推奨します Rev. Page 5 of 8

6 AN-157 Application Note 36 の傾斜の検出第の軸の使用による 3 番目の大きな利点は各象限を識別できることと 36 の全範囲で角度の測定ができることです図 1 に示すように各象限で x 軸と y 軸の加速度の符号の組み合わせが異なります II +9 I 測定した加速度がすべて重力に起因するものであるとするとすべての軸の出力値の RSS 値は定数となるため式 1 のオペランドの分母を定数 ( 理想的には 1) に置き換えることができますこれらの角度を図 11 に示しますここで図 11c は xy 平面のみでの図 11d は z 軸と重力ベクトルの間の角度である φ を示します (a) (b) X-AXIS + X-AXIS + Y-AXIS Y-AXIS + ±18 X-AXIS X-AXIS Y-AXIS Y-AXIS + (c) (d) III 9 図 1. 傾き角度と加速度の符号による象限の検出オペランド (A X, /A Y, ) が正の値の場合逆タンジェント関数が象限 I の値を示しますオペランドが負の値の場合逆タンジェント関数は象限 IV の値を示します象限 II のオペランドは負の値であるため角度がその象限にある場合は計算結果に 18 を足す必要があります象限 III のオペランドは正の値であるため角度がその象限にある場合は計算結果から 18 を引かなければなりません計算した角度の正しい象限を判定するには各軸で測定した加速度の符号を調べます 3 軸の傾斜の計算 3 番目の軸を導入することでセンサーの向きを完全な球体で判定することができます以下のような直交座標 (x, y, z) から球面座標 (ρ,, φ) への古典的な変換方法を使用することで xy 平面での傾斜角度 () と重力ベクトルを基準とした傾き角度 (φ) を各軸で測定した加速度に関連付けることができます A X, = tan (9) AY, IV 図 11. 球面座標系の角度 3 軸方式の式と 1 軸および軸方式の式は類似しており 3 軸ソリューションの解析は 1 軸および軸方式を組み合わせたものと同じですの測定にはつの直交軸の比を利用することができ所望の傾き分解能には式 8 に示す加速度センサーの最小分解能が必要になります φの測定は 1 軸ソリューションでの傾き角の測定に対応し必要な加速度センサーの最小分解能は 1 軸ソリューションと同様の方法で求められます違いは逆コサイン関数を使ってφを決定するため φが 9 のときに最大の傾き感度になりと 18 において最小の傾き感度になることです式のサインをコサインに置き換えることによって図 3 と図 4 のようなプロットを描くことができますなおの範囲は 8 から +18 ですが φ の範囲はから 18 までになることに注意してください φ が負の角度の場合の角度は負の値になります A Z, φ = cos (1) X A, + A Y, + A Z, Rev. Page 6 of 8

7 Application Note AN 軸による傾きを検出する別の方法として基準となる軸と加速度センサーの各軸との傾き角度を個別に決定する方法があります基準となる軸とは x 軸と y 軸は水平線 z 軸は重力ベクトルとなりますこれを図 1 に示しますここでは水平線と加速度センサーの x 軸との角度 ψ は水平線と加速度センサーの y 軸との角度 φ は重力ベクトルと z 軸との角度です x 軸と y 軸で g z 軸で 1 g の最初の位置では計算した角度はすべてになります (a) (c) 図 1. 各軸の傾きを検出するための角度基本的な三角法を使用すれば式 11 式 1 式 13 を使用して傾き角度を計算できることがわかります A X, = tan (11) Y A, + A Z, A Y, ψ = tan (1) X A, + A Z, A X, + A Y, φ = tan (13) A Z, 式 13 でのオペランドの見かけの反転は最初の位置が 1 g フィールドであることに起因しています z 軸の基準を水平にしたい場合はオペランドを反転することができます正の角度は加速度センサーの対応する検出軸の正極性方向が水平線より上向いていることを意味し負の角度は検出軸の正極性方向が水平線より下に向いていることを意味します逆タンジェント関数と加速度の比を使用するため軸の例で説明したのと同じ利点があてはまりますつまり傾き感度の実効値は定数となり単位球面を中心とするあらゆる位置で角度を正確に測定できます (b) (d) オフセットと感度のミスマッチ誤差のキャリブレーションこのアプリケーションノートの解析は理想的な加速度センサーを使用することが前提となっていましたつまり g オフセット誤差がなく感度 ( アナログセンサーでは mv/g デジタルセンサーでは LSB/g の単位 ) 誤差もないデバイスですセンサーはトリミング済みで納品されますがそもそも機械部分を持っているデバイスであるためシステムの組立て時に PCB 等から製品に加わる応力によってオフセットと感度が影響を受けることがありますさらに出荷時のトリミングの精度も限界があるのでアプリケーションで誤差が生じることがありますオフセット誤差の影響どのくらいの大きさの誤差が生じるかを示すためにまず感度は理想的ですが x 軸に 5 mg のオフセットがある軸ソリューションを考えてみましょうにおいて x 軸の測定値は 5 mg y 軸の測定値は 1 g ですこれによって計算した角度は.9 となり.9 の誤差となります ±18 においては x 軸は 5 mg y 軸は g になりますこの場合計算した角度と誤差は.9 になります図 13 にこの例で計算した角度と実際の角度との誤差を示します複数の軸のオフセットが関係する場合はさらに複雑になります CALCULATED ANGLE ERROR, ERROR (Degrees) 図 13. 加速度センサーのオフセットに起因する角度の計算誤差感度ミスマッチ誤差の影響軸の傾きの検出アプリケーションにおいて加速度センサーの感度に起因する主な誤差成分が生じるのは対象となる軸間に感度の差が存在するときです (1 軸ソリューションの場合はこれとは異なり実際の感度と予想される感度の間にずれがあれば誤差が生じます ) x 軸と y 軸の比を使用するため感度が同じであれば大部分の誤差が打ち消されます Rev. Page 7 of 8

8 AN-157 Application Note 加速度センサーの感度のミスマッチによる影響の一例としてオフセット誤差がなく y 軸で感度誤差がなく x 軸に +5% の感度をもつ軸ソリューションを使用する場合を考えてみましょうつまり 1 g 入力時には y 軸は 1 g を示しますが x 軸は 1.5 g を示すことになります図 14 はこの感度ミスマッチに起因する計算角度の誤差ですオフセット誤差と同様に加速度センサーの感度のミスマッチに起因する誤差は回転の全範囲にわたって変動するため傾き角の計算後に誤差を補償することは困難です y 軸の感度が変動しミスマッチがさらに大きくなると誤差がさらに大きくなります CALCULATED ANGLE ERROR, ERROR (Degrees) 図 14. 加速度センサーの感度のミスマッチに起因する角度の計算誤差基本的なキャリブレーション技術オフセットと感度のミスマッチに起因する誤差が組み合わさると誤差が非常に大きくなり傾きの検出アプリケーションの許容できる誤差を大幅に上回ることがありますこの誤差を抑制するにはオフセットと感度のキャリブレーションを行いキャリブレーション済みの出力加速度を使って傾き角度を計算する必要がありますオフセットと感度の影響を組み込むと加速度センサー出力は次のようになります A [g] = A OFF + (Gain A ACTUAL ) (14) ここで A OFF はオフセット誤差であり単位は g です Gain は加速度センサーのゲインであり理想的な値は 1 です A ACTUAL は加速度センサーと所望の値に作用する実際の加速度であり単位は g です簡単なキャリブレーションの方法はゲインを 1 としてオフセットを測定しますこのキャリブレーションによってシステムの精度をキャリブレーションなしの感度の誤差のみになるように制限できますこの簡単なキャリブレーションを実行するには対象となる軸を g フィールドに配置して出力を測定しますこの出力がオフセットになりますアプリケーション上では加速度センサーの出力値からその値を引いてから角度の計算を行いますこの方法は x 軸と y 軸のみを補正する場合は補正中に加速度センサーの方向を変える必要がないため一般にノーターンまたはシングルポイントキャリブレーションと呼ばれます 3 軸デバイスを使用する場合は z 軸を g フィールドに配置するために少なくとも 1 回は方向転換を行う必要がありますもっと正確にキャリブレーションを行う場合は対象となる軸ごとにつのポイントを使用します (3 軸設計で最大 6 ポイント ) +1 g と g の入力がある軸に加わっているとすると測定される出力は次のようになります A + [g] = A OFF + (1 g Gain) (15) A [g] = A OFF (1 g Gain) (16) ここでオフセット A OFF の単位は g ですこのつのポイントを用いてオフセットとゲインを次のように求めることができます A OFF [g] =.5 (A + + A ) (17) A Gain =.5 + A 1 g (18) ここで +1 g と g の測定値である A + と A の単位は g ですこのキャリブレーション方法は対象となる軸の測定時にその他の軸が g フィールドにあるため他軸感度の影響を最小限に抑えることができますこの方法でキャリブレーションを行った場合にはまず加速度センサーの測定値からオフセットを引きその結果をゲインで割ったものを使用して角度を計算します A AOFF AACTUAL [ g] = (19) Gain ここで A と A OFF の単位は g です式 15~ 式 19 における A OFF とゲインの計算では加速度値 A + と A の単位を g としています mg 単位の加速度を使用する場合は式 17 の A OFF の計算は同じですが式 18 のゲインの計算では単位が変わるため 1 で割る必要があります AN8767--/1()-J 1 Analog Devices, Inc. All rights reserved. 商標および登録商標は各社の所有に属します Rev. Page 8 of 8

AN-1077: ADXL345 Quick Start Guide

AN-1077: ADXL345 Quick Start Guide 09119-002 TOP 09119-001 ADXL345 Quick Start Guide by Tomoaki Tsuzuki APPLICATION NOTE PHYSICAL MOUNTING ADXL345 は 3 軸の加速度センサーです検出軸方向を Figure1 に示します ADXL345 は検出軸の正方向に加速されると正極性の出力になります重力は検出軸方向の逆方向の極性が出力されるので注意が必要です