第 3 回
(Q) 各自 eelを用いて 次の漸化式 + = の解の初期値依存性を調べよ.は50まで () 0 =.0 () 0 =.5 (3) 0 =.0 締切 04 年 月 6 日 ( 月 ) 夕方まで 提出先 347 室 オーバーフロー失敗ゴメンなさい
(Q) 各自 eelを用いて 次の漸化式 + = の解の初期値依存性を調べよ.は50まで () 0 =.330 () 0 =.33 (3) 0 =.33 (4) 0 =.333 締切 04 年 月 4 日 ( 火 ) 第 時限まで 提出先 347 室
今回と次回にわたって 次の式を 計算してもらう 0 を差分式にしてみる 時間項 = 移流項 + 拡散項
0 0.005 0. 0. 0., どうしてこのような数値を選ぶのか理解する時間項 : リープフロッグ空間差分 : 中央差分
次元線形移流拡散式 _ プログラム作成 ()
() () (3) (4) (5) (6).0, 0., 0., 0., 0., 0., 0.,.0, 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.8,.5,, 0.0 0.0 ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) 宿題 : () から (6) までの ( 振幅 ) の図を描け 04 年 月 0 日 ( 月 ) 午後 5 時まで 347 室
時間発展 - + + Δ Δ Δ 時間微分を含む次の方程式 g( ) について差分化する 時間間隔を Δ とし ステップ目の値を と書き表すと 以下のような差分式で表せる ( ) / g( ) () ( ( ) / ) /() g( g( ) ) () (3)
- + + 時間発展 Δ Δ Δ ( ) / g( ) () ( ) / g( ) () ( ) /() g( ) (3) () 陽解法 (eplii sheme) ステップの値から + ステップの値が直ちに求まる 解は必ずしも安定ではない () 陰解法 (implii sheme) + ステップの計算は複雑 解は安定 (3) リープ フロッグ法 (lep-rog sheme) - ステップの値が必要 解は中立
線形移流方程式 についての移流方程式 u 0 移流項 u( / ) は非線形のため複雑なので ここでは簡単のため 移流速度は ( 0) で一定であるとする 0 移流項は線形化され 解析解が求まる
線形移流方程式の解において変数 X, T をのように置くと これを利用して線形移流方程式を書き直すと = 0 における の分布を維持したまま速さ で移動 0 T X X X X T T X T X X T T 0 T
線形移流方程式の解 = 0 0 0 30
() 拡散方程式 拡散方程式 ( 0) は拡散係数で定数とする 拡散方程式の解は 上に凸 ( / < 0) のところで減少 ( / < 0) し 下に凸 ( / > 0) のところで増加 ( / > 0) するので 分布を平滑化させる解となる
拡散方程式の厳密解 (, ) H(0) H Ae (, ) H( )si k e ( 0) は拡散係数で定数とする 問題 : 方向には周期的と仮定する 解 : d H d k b b H si k H e 0 b k b
線形移流拡散方程式の厳密解において変数 X, T をのように置くと これを利用して線形移流拡散方程式を書き直すと 速さ で移動しながら拡散するような解 0 T X X X X T T X T X X T T X T
線形移流拡散方程式の解 = 0 0 0 30
線形移流方程式の差分近似 ( 復習 ) 時間微分については 陽解法を採用 空間微分に中心差分を用いると ±/ の補間をとすると
線形移流方程式の差分近似 線形移流方程式を中心差分で差分近似すると 整理すると 0 0 + +
差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 0
差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 0
差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 0
差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 30
差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 40
差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 50
拡散方程式の差分近似 ( 復習 ) 拡散方程式を陽解法と中心差分で差分近似すると 整理すると + +
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 0
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 0
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 0
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 30
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 40
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 50
拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3
安定性 - ノイマン法 ( 復習 ) 変数 (, ) を 空間方向についてフーリエ変換すると (, ) Ak ( )ep( ik) k ノイマン (vo Neum) の安定条件 : 時間発展とともにあらゆる波数 k の振幅 A k () が増幅しないこと
安定性 - ノイマン法 差分点 ( = Δ, = Δ) における の値 を A ep( i k ) とおき λ = A + / A の大きさを求めて以下のように判別する 安定 不安定 全ての k について安定なら 無条件安定
λ = λ r + i λ i ( λ r,λ i は実数 ) λ : r i これまで講義したことを復習する : 移流スキーム : 陽解法 + 中央差分 拡散スキーム : 陽解法 + 中央差分
() 移流方程式の安定性 陽解法 中心差分での移流方程式の差分形式についての波数 k の振幅の式は A k i A A ) si( ) si( k i A A
() 移流方程式の安定性 振幅の大きさ λ は si ( k) となり 従って 陽解法 中心差分による移流方程式の差分解法は 無条件不安定である = 0.3 m/s Δ = s Δ = m
() 拡散方程式の安定性 拡散方程式の差分形式 : 陽解法 現在値の拡散についてフーリエ変換を適用し 安定性を調べる 波数 k の振幅の式は A k A A ) os( si 4 k A A os si
() 拡散方程式の安定性 安定条件は λ であるから 結局 あらゆる波数 k について安定となる条件は 条件付き安定 4 k si = 0.3 = 0.5 = 0.7 Δ = (Δ) / =.67 Δ = (Δ) / =.00 Δ = (Δ) / = 0.7
どうしてマイナス マイナスはプラスなのか 最初に負の数を習ったときに 負の数同士を掛け合わせると正の数になると教わった 例えば (-) (-3) = 6 不思議に思う人がずいぶん多い
(3) 移流方程式の安定性 リープフロッグ法 中心差分での移流方程式の差分形式についての波数 k の振幅の式は A k i A A ) si( 0 ) si( k i
(3) 移流方程式の安定性 振幅の大きさ λ はとなり 従って リープフロッグ法 中心差分による移流方程式の差分解法は 条件付安定である usble eurl eurl k k k i ) si ( ) ( si ) si(
(3) 移流方程式の安定性 リープフロッグ法 中心差分による移流方程式の差分解法の安定条件 : クーラン数 : C = Δ / Δ 情報伝達距離 (Δ) と格子幅 (Δ) の比 一般に C は計算安定性の必要条件 これは Δ / Δ であり 情報が伝播する速さ が 実際の現象の進む速さ 以上でなければならないことを示す この条件を CFL (Cour-Friedrihs-Lewy) 条件という
(4) 拡散方程式の安定性 拡散方程式の差分形式 : リープフロッグ法 現在値の拡散についてフーリエ変換を適用し 安定性を調べる 波数 k の振幅の式は A k A A ) os( 0 si 8 k os si
(4) 拡散方程式の安定性 λ > であるので いつも不安定である リープフロッグ法で 拡散項に現在値を用いるのは無条件不安定である 拡散項には過去値をもちいるべき ) os( A k A A si 8 0 si 8 k k
8 8 0., si k 0. 0. 0.05 8 0.0 の値であれば拡散項に関しては安定である
0 0 時間 : リープフロッグ法がよい ( 次の精度 移流スキームは CFL 条件を満たせばよい ) 移流スキーム : 中央差分 拡散項 : 過去値を使う
0.0 0. 0. 0., 次元線形移流拡散式 _ プログラム作成 () のエクセル参照
() () (3) (4) (5) (6).0, 0., 0., 0., 0., 0., 0.,.0, 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.8,.5,, 0.0 0.0 ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) 宿題 : () から (6) までの ( 振幅 ) の図を描け 04 年 月 0 日 ( 月 ) 午後 5 時まで 347 室