量子流体力学および量子乱流 の理論的研究とその発展 大阪市立大理 小林未知数 坪田誠 ９月１２日 １５日 研究集会 オイラー方程式２５０ 年
発表内容 1. 2. 3. 4. 5. 量子流体 量子乱流のイントロダクション 理論研究の背景 量子流体を記述するGross-Pitaevskii方程式 数値計算結果 まとめ
量子流体 量子乱流 量子流体の舞台 超流動He バルクの液体4Heはラムダ温度T = 2.17 [K]においてボース凝縮を引き 起こして超流動状態となり 粘性を持っていないかのように振る舞う 超流動薄膜 現象
超流動のダイナミクス ２流体モデル 全流体は粘性のある成分 常流体 とな い成分 超流体 とに分けられる 二流体モデルを用いて超流動現象の多く を説明することができる 1 K以下では常流体がほとんどない 流体のダイナミクスが純粋な量 子力学的効果によって記述される 量子流体
量子流体中の渦 量子渦 すべての量子渦はいたるところで同 じ循環 = v s ds = n h / m を 持つ 実際には n 2 の渦は不安 定で n = 1 の渦へと分裂する 渦の粘性拡散がなく 安定に存在 する 渦芯のサイズは数Å 液体4He 非 常に微視的な渦 古典流体の渦 では最も粗雑な近似である渦糸近 似が 量子渦ではRealisticとなる 量子渦格子の 観測 (Packard 1982)
量子渦から量子乱流へ 量子渦のタングル状態として量子乱流が実現される 渦糸近似による量子乱流の シミュレーション T. Araki, M. Tsubota and S. K. Nemirovskii, Phys. Rev. Lett. 89, 145301 (2002)
量子渦から量子乱流へ 量子渦のタングル状態として量子乱流が実現される J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998) 量子乱流と古典乱流には 類似性がある
極低温原子気体ボース凝縮における 量子乱流 磁場によってトラップされたアルカリ原子気体をnK~pKまで冷却する 1995年に実現 ボース凝縮の出現 量子渦格子 歳差回転を 用いて量子 乱流を実現 する
量子乱流研究のモチベーション 量子渦は循環が量子化されて おり その存在がはっきりし ているので乱流と渦との関係 を調べやすい 乱流研究のプロトタイプ
理論研究の背景 量子流体を研究する理論的モデルー１ 渦糸近似 渦の運動は他の渦要素に よって駆動される速度場 Biot-Savart則 と外部から の渦なし流 Laplace方程 式 に従って運動する
理論研究の背景 量子流体を研究する理論的モデルー２ Gross-Pitaevskii方程式 超流動のダイナミクスはボース凝縮体の巨視的波動関数 によって記述される 非線形Schrödinger方程式 (x,t) ボース凝縮の巨視的波動関数 化学ポテンシャル a 粒子間相互作用に対するs波散乱長
理論研究の背景 Gross-Pitaevskii方程式の導出 第二量子化によって記述されるボース場のハミルトニア ン 剛体反発芯相互作用 ボース凝縮している系において非凝縮体の寄与を無視する
量子流体 量子乱流を記述する Gross-Pitaevskii方程式 流れは非粘性のポテンシャル流 量子渦が波動関数 の位相欠陥として定 義される
Euler方程式とGross-Pitaevskii方程式 量子圧力項 Gross-Pitaevskii方程式は 位相の量子化を除い て Euler方程式とほとんど同じ形となる
Euler方程式とGross-Pitaevskii方程式 渦の再結合 Navier-Stokes方程式 O. N. Boratav, R. B. Pelz and N. J. Zabusky, Phys. Fluids. A 4, 581 (1992) 粘性によってKelvinの循 環定理が破れ 渦の再 結合が起こりうる
Euler方程式とGross-Pitaevskii方程式 渦の再結合 Gross-Pitaevskii方程式 粘性とは関係なく 再結合が起こる 再結合は密度の零点のみで起こる のでKelvinの循環定理を抵触しない 再結合を通して量子渦のカスケー ドが起こる Euler方程式よりエネ ルギーのカスケードが明らか
量子乱流のシナリオ エネルギー注入 量子乱流中で量子渦の小さいスケー スケール ルへのカスケードが期待される Richardson カスケード K41 再結合を通したRichardsonカスケー ドの他にKelvin波カスケードと呼ば れる別の乱流状態が期待されている 渦は渦芯スケールにおいて素励起 非ボース凝縮体 へと転化する 平均渦間 この効果はGP方程式には直接含 距離 まれていない ３次元GP方程式は有限時間にお いて波数無限大での解の爆発が起 こりうる 渦の再結合 音波放出 Kelvin波 カスケード 量子乱流 固有 素励起放出 渦芯 回復 長 W. F. Vinen and R. Donnelly, Physics Today 60, 43 (2007)
研究目的 Gross-Pitaevskii方程式を用いて量子乱流の数 値シミュレーションを行う Richardsonカスケードが起こる領域におい て量子乱流の古典乱流との対応を調べる
Euler乱流のシミュレーション C. Cichowlas, P. Bonaïti, F. Debbasch and M. Brachet, Phys. Rev. Lett 95, 264502 (2005) k 5/3 k 2 低波数側でKolmogorov則が 高波数側でエネルギー等分 配則が現れている 渦のカスケードはあるのか Euler方程式に比べ 渦の存在が明確である 再結合を通し たカスケードが分かりやすい 自由度が少なくて扱いやすい 解の爆発が分かっているGross-Pitaevskii方程式は 乱流研究 に適しているのではないか
Gross-Pitaevskii方程式の数値シミュレー ション 扱う乱流 周期境界条件における一様等方定常乱流 GP方程式のフーリエ変換 渦芯スケールで働く素励起放出に対する現象論的 散逸項
エネルギー注入 量子渦の注入 一定時間毎に量子渦輪の解 波動関数 を重ね合わせる ランダムな位置 方向に向かい合った同じ 大きさの２つの渦輪を注入する
数値計算のパラメーター 長さは回復長で規格化 = 1 空間 周期境界条件における擬スペクトル法 時間 4次のRunge-Kutta法
量子乱流のエネルギー 運動エネルギーを渦の部分と圧縮性素励起の部分に分ける
量子乱流のエネルギー 量子渦のプロット 渦を注入するので 渦のエ ネルギーが運動エネルギー を占めている
エネルギースペクトル R 注入渦輪のサイズ E(k) k -5/3 Kolmogorov則 が確認された l = (V/L)1/2 平均渦間距離 E(k) k -2 Kolmogorov則と は別のスケーリングが見 えた Kelvin波乱流 量子 乱流固有の現象 回復長 渦芯
量子渦の自己相似的構造 量子渦の繰り返し構造
量子渦のフラクタル次元 = フラクタル次元 d ~ 2 ペアノ曲線のような構造
まとめ Gross-Pitaevskii方程式の数値シミュレー ションを用いて量子乱流のダイナミク スを調べた 慣性領域において量子乱流と古典乱流 には明らかに類似性が存在し さらに 量子渦に関して自己相似的な構造が現 れることを明らかにした M. Kobayashi and M. Tsubota, Phys. Rev. Lett. 94, 065302 (2005) M. Kobayashi and M. Tsubota, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 3248 (2005)
量子乱流の今後の展望 量子乱流と古典乱流 今まで量子乱流と古典乱流は全く別の分野であった 量子乱流が古典乱流との対応を持つのなら 存在 が明確な量子渦という要素還元的な見方でもって 乱流の理解に貢献することができるかも知れな い
散逸無しのGross-Pitaevskii方程式 t=2 t=4 t=6 t=8 t = 10 t = 12 高波数側で渦のエネルギーは どんどん圧縮性のエネルギー へと転化し 最終的に圧縮性 のエネルギーが波数のほとん どの領域を占め Kolmogorov則 との一致はあまり明確ではな い C. Nore, M. Abid, and M. E. Brachet, Phys. Rev. Lett. 78, 3896 (1997)
１次揺らぎまで残した平均場近似 GP方程式とBdG方程式
超流動乱流中でのシミュレーション 低温では 散逸が高波数領域のみ で効いている 短波長の素励起のみ が散逸されている 渦は散逸されない t > 1での平均