回帰分析 ( その 3) 経済情報処理 価格弾力性の推定ある商品について その購入量を w 単価を p とし それぞれの変化量を w p で表 w w すことにする この時 この商品の価格弾力性 は により定義される これ p p は p が 1 パーセント変化した場合に w が何パーセント変化するかを示したものである ここで p を 0 に近づけていった極限を考えると d ln w 1 dw dw d w ln w また w これより dw w d ln w dp p d ln p である w w dw w lim p 0 p p d ln p 1 dp d ln p dp p p となるが dp p 一方 ln w a b ln p において W ln w P ln p とすると この式は W a bp と表される この式を P で微分すると dw d a bp b dp dp dw d ln w ところで W ln w P ln p であるから dp d ln p よって b はこの商品の価格弾力性となっている チョウ検定 年次データなどの時系列データに関して Yt a bx t ut t 1,,, T ( ここでは時系列データなので添字をt にした ) の回帰分析を行うということは この期間 ( 第 1 期から第 T 期 ) を通じて Y は X の変化 に対して同じ割合 ( 具体的には b ) で変化しているということを意味する しかしながら 期間の途中で この割合が変化しているかもしれないと考えられる場合 それを以下のよ うにして検定することができる 今 その変化がT 1 期とT 1 1期の間で起こった すなわち t 1,,, T1 とt T1 1, T1,, T とではb が異なっているかどうかを調べてみる これには t 1,,, T についてY t a bx t u t の回帰分析を行い その残差の二乗和を求め (Excel では 残差のところの変動の項目の値が残差の二乗和となっている ) これを S 0 とする 次にY t a bx t u t の回帰分析を t 1,,, T1 と t T1 1, T1,, T のそれぞれ について行い 各々の残差の二乗和を求め その和を S 1 とする この時 そうした変化は 1
S ないとする帰無仮説のもとで F S 1 S 0 1 T 4 は自由度, T 4 の F 分布に従う 従っ て 適当な有意水準 に対応する自由度, T 4 意水準, 自由度 1, 自由度 ) により求める ) と F を比較し F 無仮説を棄却し こうした変化が存在したと言える の F 分布の値 F (Excel では =FINV( 有 F となっていれば 帰 重回帰分析 Y a b X b X b X u i 1 1i i p pi i というように説明変数が複数となっても係数の推定は可能 Y ˆi Y i が最小となる係数を求める 最小二乗法で望ましい結果が出る条件 ( 重回帰分析の場合 ) 単回帰分析の条件に加えて 説明変数の間に相関関係がない 自由度修正済み決定係数 R データの適合の度合いを示す決定係数 R については 既に説明したが 重回帰分析の 場合 説明変数の数を増やすと たとえそれがどんなものであっても決定係数を増加して しまう そのため 説明変数の数の違いを考慮した自由度修正済み決定係数 のが用いられている R 1 ei n p Yi Y n 1 この値の最大値は 1 であるが 最小値は 0 とはならず 負の値も取りうる 自由度修正済み決定係数は Excel では補正 R として表示される R というも Excel による重回帰分析 説明変数は隣り合った列になくてはならない
回帰分析 ( その 3) 上記より 鰯の価格弾力性はほぼ 1 で あると推定される ( 価格が 1% 上昇する と購入量は 1% 減少する ) 左図は 1975~004 年における牛肉の価格と購入量をプロットしたものである この場合 一貫した関係があるとは言えそうに無いことから 1975~1990 年と 1991~004 年について構造変化が存在したかどうか ( 日本国内において BSE の発生が確認されたのが 001 年 ) についてチョウ検定を行った ( 次ページ ) その結果 有意水準 1% で F 値 = 61.14>5.53 となっており 構造変化が起こったと言える 3
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回帰分析 ( その 3) 確率分布統計学について学んだ際 その中の重要な手法として区間推定や検定がある こうした手法では正規分布や t- 分布などを利用するが 従来はこうした連続確率分布に関する確率などを求める際には 該当する確率分布表を用いるのが一般的であった しかし Excel を用いれば 確率分布表を利用せずに直接求めることが可能である NORMSDIST 標準正規累積分布関数の値を求める この分布は 平均が 0( ゼロ ) で標準偏差が 1 であ る正規分布に対応する 書式 NORMSDIST(z) 解説 z 関数に代入する値を指定する z に数値以外の値を指定すると エラー値 #VALUE! となる 使用例 標準正規分布で 1.33 となる確率 NORMSDIST(1.333333) 標準正規分布で 1. 0.5となる確率 NORMSDIST(0.5)-NORMSDIST(-1.) NORMDIST 指定した平均と標準偏差に対する正規分布関数の値を求める この関数を用いれば 標 準正規分布に変換しなくても直接確率を求めることができる 書式 NORMDIST(x, 平均, 標準偏差, 関数形式 ) 解説 x 平均 標準偏差 関数形式 関数に代入する数値を指定する 分布の平均を指定する 分布の標準偏差を指定する ここを TRUE とすると累積分布関数の値が計算され FALSE を指定 すると確率密度関数の値が計算される 平均 標準偏差に数値以外の値を指定すると エラー値 #VALUE! となる 標準偏差 0 の場合 エラー値 #NUM! となる 使用例 平均 40 標準偏差 1.5 の正規分布で 4 となる確率 NORMDIST(4,40,1.5,TRUE) 平均-3 分散 1 の正規分布で 4 0となる確率 NORMDIST(0,-3,SQRT(1),TRUE)-NORMDIST(-4,-3,SQRT(1),TRUE) 注.SQRT は正の平方根を求める関数 5
NORMSINV 標準正規累積分布関数の逆関数の値を求める 書式 NORMSINV( 確率 ) 確率標準正規分布における確率を指定する 解説 確率に数値以外の値 あるいは負や 1 より大きい値を指定すると エラーとなる NORMSINV 関数では 関数値の計算に反復計算の手法が利用され 確率の値が指定されると 計算結果の精度が ±3 10-7 以内になるまで反復計算が行われる 100 回反復計算を繰り返しても計算結果が収束しない場合 エラー値 #N/A が返される 使用例 標準正規分布において からの確率が 0.908789 となる点 NORMSINV(0.908789) 標準正規分布において 0 からの確率が 0.5 となる点 NORMSINV(0.5)-0.5 NORMINV 指定した平均と標準偏差に対する正規累積分布関数の逆関数の値を求める 書式 NORMINV( 確率, 平均, 標準偏差 ) 確率正規分布における確率を指定する 平均分布の平均を指定する 標準偏差分布の標準偏差値を指定する 解説 確率に数値以外の値 あるいは負や 1 より大きい値を指定すると エラーとなる 標準偏差 0 の場合 エラー値 #NUM! となる NORMSINV と同様 反復計算が行われ 収束しない場合 エラー値 #N/A が返される 使用例 平均 40 標準偏差 1.5 の正規分布において からの確率が 0.908789 となる点 NORMINV(0.908789,40,1.5) TDIST スチューデントの t 分布の確率を求める 書式 TDIST(x, 自由度, 尾部 ) x t 分布を計算する数値を指定する 自由度分布の自由度を整数で指定する 尾部 1 ならば片側分布の値が計算され ならば両側分布の値が計算される 6
回帰分析 ( その 3) 解説 引数に数値以外の値を指定すると エラー値 #VALUE! となる 自由度 < 1 の場合 エラー値 #NUM! となる 自由度 尾部に小数点以下の値を指定しても切り捨てられる 尾部に 1 または 以外の数値を指定すると エラー値 #NUM! となる 使用例 TDIST(1.96,60,) = 0.054645 または 5.46% 自由度 10 の t 分布において 1( または1 ) の確率 TDIST(1,10,1) 自由度 15 の t 分布において 1.3 及び1.3 の確率 TDIST(1.3,15,) TINV スチューデントの t 分布の t 値を 確率と自由度から求める 書式 TINV( 確率, 自由度 ) 確率スチューデントの両側 t 分布に従う確率を指定する 自由度分布の自由度を指定する 解説 確率に数値以外の値 あるいは負や 1 より大きい値を指定すると エラーとなる 自由度に小数点以下の値を指定しても切り捨てられる 自由度 < 1 の場合 エラー値 #NUM! となる NORMSINV と同様 反復計算が行われ 収束しない場合 エラー値 #N/A が返される 使用例 自由度 10 の t 分布において両側確率が 0.05 となる正の点 TINV(0.05,10) 自由度 15 の t 分布において片側確率が 0.01 となる正の点 TINV(*0.01,15) CHIDIST 片側カイ 乗 (χ ) 分布の確率を求める 書式 CHIDIST(x, 自由度 ) x 分布を評価する値を指定する 自由度自由度を指定する 使用例 自由度 10 のχ 分布において 18.3 の確率 CHIDIST(18.3,10) CHIINV カイ 乗 (χ ) 分布の逆関数を求める 7
書式 CHIINV( 確率自由度 ) 確率 χ 分布に従う確率を指定する 自由度自由度を指定する 使用例 自由度 10 のχ 分布において 上側確率が 0.05 となる点 CHIINV(0.05,10) FDIST F 確率分布を求める 書式 FDIST(x, 自由度 1, 自由度 ) x F 分布を計算する数値を指定する 自由度 1 自由度の分子を指定する 自由度 自由度の分母を指定する 使用例 自由度(6,4) の F 分布において 5.4 より上側の確率 FDIST(5.4,6,4) FINV F 確率分布の逆関数を求める 書式 FINV( 確率, 自由度 1, 自由度 ) 確率 F 分布に従う確率を指定する 自由度 1 自由度の分子を指定する 自由度 自由度の分母を指定する 使用例 自由度(6,4) の F 分布において上側確率が 0.01 となる点 FINV(0.01,6,4) 8