区分求積法. 面積 ( )/ f () > n + n, S 長方形の和集合で近似 n f (n ) リーマン和 f (n ) 区分求積法 リーマン和 S S n n / n n f ()d リーマン積分 ( + ) + S (, f ( )) 微分の心 Zoom In して局所的な性質を調べる 積分の心 Zoom Ou して大域的な性質を調べる 曲線の長さ 領域の面積や体積 ある領域に含まれる物質の質量 電荷の総量 ec... 求積 そんなこんなを求めたい 微分と積分 E. - 区分求積法を用いて 軸と直線 および直線 で囲まれる領域の面積 S を求めよ E. - の解答 S 基本方針 曲線の長さ 細かく分解して 数え上げる 曲線の長さ E. - の解答 平面上の曲線のパラメータ表示 r() r() ((), ()) r() [, ] に対応する部分を曲線 () r() (, ) [, ] と名付け その長さ を求めたい E. - 区間 [, ] に対応する曲線を描き その長さ を求めよ () r() (, ) () r() (cos, sin ) [, ] () r() (cos, sin ) これらの例は直線や円なので簡単に長さが求まるが 一般の曲線では計算するための方法が必要
n + n (n,,, ) 区間 [, ] を 等分 r( ), r( ),, r( ) を 順に線分で結ぶ 折れ線近似 n ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) 分割をどんどん細かくすれば が求められる lim lim n ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) (n+ ) (n ) (n + ) (n ) (n ) + O( ) (n+ ) (n ) (n + ) (n ) (n ) + O( ) E. - 上の式を用いて以下を示せ ただし [, ] に対して () + () であるとする ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) ((n+ ) (n )) (n ) + O( ) (n ) + O( ) ((n+ ) (n )) (n ) + O( ) (n ) + O( ) ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) ( (n ) + (n ) ) + O( ) ( (n ) + (n ) ) + O( ) (n ) + (n ) ( + O( )) E. - の解答 ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) # $ (n ) + (n ) + O( ) n lim + h + h + O( h ) (n ) + (n ) + O( ) r () ( (), ()) なので r () r () d () + () E. -5 のグラフの に対応する部分の 長さ を求めよ E. -5 の解答 r() (, ) とパラメータ表示すると r () (, ) + d ( + ) ( ) (n ) + (n ) + O( ) n ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) () + () d のとき 微小区間 微小変位 f () f ( + ) f () n n ことを示せ ( (n ) + (n ) ) + O( ) (n ) + (n ) + O( ) E. - () + () d である E. - の結果を用いて E. - の解答 f () d f () d d d d f ()d 微小区間 [, + d] での の変位 微小変位 d f () + O( )
微小区間 微小長方形 線素 微小線分長 f (n ) f () f (n ) 微小長方形 の面積 f () d から まで足し合わせる 限りなく短い区間 [, + d] それを１辺とする長方形 には 微小線分に 分割しておいて それを足しあわせる 微小線分の長さを線素といい d 長方形の 面積 拡大 ρ 金属線の全質量 M を求める 金属線を微小線分に分解 E. -6 金属線が r() (, ) の の部分で与え られているとする また線密度が ρ + であると する このとき金属線の長さ と全質量 M を求めよ E. -6 の解答 r () (, ) なので r () 5 ρ が r() ( ) で与えられていると r () d M ρ ρ r () d 曲線の表示に関する注意 曲線 のパラメータ表示は一意的には 決まらない 例えば r () (, ) ( ) r () (log, log ) (e e) r () ( sin, sin ) ( ) 曲線 の長さはどの表示を採用するかに関係なく 決まるはず E. -7 上の３通りの表示が表す曲線を描き それぞれのパラ メータ表示を用いて曲線の長さ を求めよ r () (, ) ( ) ではどうか M r () d 5 d 5 ρ r () d 金属線の質量 微小線分の質量 線密度 線素 ρ 線素 を に沿って 足しあわせる r () d d 正の増分 r () d は の長さ 金属線 の線密度を ρ とするとき で表す r( + d) r() r ()d 微小区間 微小長方形 これを に沿って足しあわせると M 金属線の質量 # 5( + )d 5 + 曲線の表示に関する注意 E. -7 の解答 いずれも左図の曲線 線分 となる r (), r (), r () に対しては いずれも 8 r () に対しては + となり一致しない なぜ 戻り道を多重カウント 曲線のパラメータ表示はUターン禁止
定義 曲線 の上で定義された関数 f があるとき f E. -8 の解答 r() (, ) より f の形の積分を曲線 に沿っての という 曲線 が r() ( ) で与えられるとき f f r () d r () d r () E. -8 曲線 が r() (, ) ( ) f で与えられるとき f 関数 f が f を求めよ () () ( + ) d cos d [sin ] cos sin sin d d 内積の 関数のときと同様 ベクトル場 V は曲線 上でのみ定義 されていることもあるし 平面上で定義されている場合 もある E. - ２通りの曲線と２通りのベクトル場が以下のように 与えられているとする 曲線 r () (, ) ( ) ベクトル場 V (, ), V (, ) V j (i, j, ) を求めよ ４通りの i 曲線 r () (, ) ( ) (5 5 ) V の接線方向の成分 V の r() V V f を求めよ r () + d 曲線 上にベクトル場 V が与えられている () f (, ) E. -9 の解答 r () ( sin, cos ) 曲線 が r() ( ) で与えられ, E. -9 曲線 r() (cos, sin ) ( /) () f (, ) 内積の 関数 f は前問のように曲線 上でのみ定義されている こともあるし 平面上で定義されている場合もある + となるので 次の f (, ) に対し r () (, ) であり r() r () d 単位接線ベクトル E. - の解答 r () r () i V j V r ()d V r ()d 内積の V j r i ()d を計算する 上では V (, ), V (, ) 上では V (, ), V (, ) r () (, ), r () (, ) V r () (, ) (, ) V r () (, ) (, ) + V r () (, ) (, ) V r () (, ) (, ) V V V V
内積の 内積のの表現の仕方いろいろ d r ()d d V V r ()d r() V r() V g (, g) 重力 mg が物体になしたの総和 L V (V, V ) (d, d) (V d + V d) 重力の移動方向成分 移動距離 mg L h mg θ mg L mgl sin θ mgh (cos θ, sin θ) 物体が曲線 に沿って移動したとき 重力 mg が物体になしたの総和 mg r ()d mg mg ()d mg(() ()) このタイプのでは曲線の向きが 逆転するとの符号も逆転する や が反転するから 注 f は曲線の向きによらない E. - 質点が力 F (, ) を受けながら曲線 cos に 沿って (, ) から (, ) まで移動したとき この質点 に力 F がなした W を求めよ E. - 曲線 を r() (e cos, e sin ) ( ) で与える () 曲線 の概形を描け () 曲線 の長さ を求めよ () 質点が力 F (, ) を受けながら曲線 に沿って 始点から終点まで動いたとき この力 F が質点に なしたの総量 W を求めよ 単位接線ベクトル mg E. - の解答 曲線 を r() (, cos ) ( ) で与えると W F E. - の解答 F r ()d ( + sin )d + () 右図 テキスト () r () e ( cos sin, sin + cos ) r () + + e d + ( e ). e..5.5 () F e ( sin, cos ) W F r ()d F r () e.5 e d ( e ).5..