( 表紙 )
1 次の各問いに答えなさい. 解答用紙には答えのみ記入すること. ( 48 点 ) (1) U108 -U8 %5U6 + 7 U を計算しなさい. () 15a 7 b 8 &0-5a b 1& - 8 9 ab を計算しなさい. () + y - -5y 6 を計算しなさい. (4) 1 4 5 の 5 枚のカードから 枚を選び, 横に並べて 桁の数を作 るとき, それが の倍数になる確率を求めなさい. (5) y は の 乗に比例し, の値が から 5 まで増加するとき,y の値は 14 増 加する. このとき,y を の式で表しなさい. -1-
(6) 1 辺の長さが cm の立方体の対角線の長さを求めなさい. 4 (7) - y+y -y 4 を因数分解しなさい. (8) 下の図において, 四角形 がひし形であるとき, の長さを求めな さい. 4 6 8 --
次の連立方程式の解となる整数 m, n を求めなさい. ただし,m>n とする. ( 8 点 ) > m+ n= 0 m + n = 018 --
下の図のように, つの放物線 y= a,y=- 1 があり, 6 放物線 上に点 0, 1 を, 放物線 上に 点, を, 軸上に点 0 d, 0 1 を, 四角形 が平行四辺形となるようにとる. 次の問いに答えなさい. ただし, 線分 と y 軸は平行であるとする. ( 18 点 ) (1) a の値と点 の座標を求めなさい ( 答えのみ記入 ). () d の値を求めなさい. ただし,d>0 とする. () 平行四辺形 を 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めなさ い. ただし, 円周率は とする. y O -4-
4 節子さんと史郎さんは, の内角の二等分線に関する性質について, コ ンピュータソフトを使いながら, 下のように話している. 二人の会話を読んで, 次の問いに答えなさい. ( 6 点 ) 節子 : 本の二等分線は必ず 1 点で交わるみたいね. 証明できるかな. 史郎 : 本が 1 点,I とでもしようか, で交わるのは当たり前だから, 残りの 1 本が I を通ることを示せばいいわけだね. 任せて. 史郎さんの証明 の内角である4 と4 の二等分線は の内部の 1 点で交わる. その交点を I とする. I から の つの辺,, へ垂線 I, I, I をそれぞれ下ろす. (a)i は4 の二等分線上にあるから,I=I である.I は4 の二等分線上にあるから, 同様に,I=I である. したがって,I=I であるから,I は4 の二等分線上にある. すなわち,4の二等分線は I を通る.( 証明終 ) -5-
史郎 : こんな感じかな. 節子 : ちょっと待って.I=I のあたりはもう少し説明がいるんじゃない? 史郎 : 確かに. じゃあ, 三角形の合同を利用して I=I を示してみよう. I (1) 下線部 (a) について,I=I が成り立つことを証明しなさい. -6-
() 節子さんと史郎さんは, ここまでにわかったことを踏まえて, 別の図を描 いた. G I H 節子 : さっきの証明から,I=I=I だから, 中心が I で半径が I に等しい円を O とすれば, 点,, は O の上にあるのね. 史郎 : そうだね. もっというと,O は の内側で に接していて 点,, がその接点になっているね. 節子 : 直線 I と O の交点を G, H としたこの図だと, I と HG が相似のように見えるけど, いつでもそうなるのかしら. 史郎 : いや, 頂点を動かしてみたらわかるけれど, いつでも相似とは限らな いよ. ちなみに I と HG が相似になるのは 4I= ときだね. 節子 : えっ,(b)4I= になるんじゃないの. 史郎 : ほんとだ. 節子さんよく気がついたね. ( ア ) ( ア ) のときって I と HG はそもそも合同 の (ⅰ) ( ア ) に入る角の大きさを求めなさい. (ⅱ) 下線部 (b) について,4I= ( ア ) のとき, I6 HG を示しな さい. -7-
以下, 節子さんと史郎さんは,4I= ( ア ) が成り立つ場合を考えている. G I H 節子 : 図の影をつけた部分の面積は四角形 I の面積の半分くらいに見えるわね. 史郎 : そうだね. 実際に四角形 I の面積が影をつけた部分の面積の何倍くらいになるか計算してみようか. 節子 : 面積比は の大きさや円 O の大きさによらないから,O の半径を 1 として考えましょう. (ⅲ) 円 O の半径を 1 とするとき, 四角形 I の面積を求めなさい. (ⅳ) 四角形 I の面積は, 上の図の影をつけた部分の面積の何倍か求めな さい. ただし,=.14, U =1.7 とし, 答えは小数点以下第 位を四 捨五入し第 1 位まで求めること. -8-
平成 0 年度入学試験解答用紙 数学 ( その 1 ) 京都共栄学園高等学校バタビア特進コース受験番号氏名採点 v 解答はすべて途中の式や考え方も含めて解答用紙に記入しなさい. ただし,1, (1) については答えのみでよろしい. 1 (1) () () () (4) (5) (6) cm (7) (8) (1) () a の値, の座標
平成 0 年度入学試験解答用紙 数学 ( その ) 受験番号氏名 京都共栄学園高等学校バタビア特進コース 4 (1) () (ⅲ) () (ⅰ) () (ⅳ) 4I= ()(ⅱ) 倍
平成 0 年度入学試験解答用紙 数学 ( その 1 ) 京都共栄学園高等学校バタビア特進コース 受験番号氏名採点 v 解答はすべて途中の式や考え方も含めて解答用紙に記入しなさい. ただし,1, (1) については答えのみでよろしい. 1 (1) - 5 U () - 100 a b 9 () -7+ 18y 6 (4) 5 () 4 - - 4 (5) y= (7) 0+y10-y 1 (8) U (6) cm m+n=0 より m=0-n これを m + n =018 に代入して 0 1 0-n + n = 018 900-60n+ n = 018 n -60n-1118= 0 n -0n-559= 0 0n-410n+ 11= 0 よって, n=4, -1 m=0-n より n=4 のとき m=-1, n=-1 のとき m=4 であるが,m, n は m>n を満たす整数であるから m=4, n=-1 が条件を満たす. 9 平行四辺形 の 軸より下の部分を, 上に折り返し て考える このとき,, の移り先を -, - とすると -, 8 9, - 8 4, 8 9 これより, 直線 -- の式を求めると y=- 4 1 よって, 直線 -- と 軸との交点を とすると 4 8, 0 9 また, 直線 の式を求めると y=-+4 1, を連立して解いて, 交点 の座標を求めると さらに,G 0 1 8 8, 4 9 8, 0, H 8 9, 0 とおけば, 体積は - G H (1) () 1 m=4, n=-1 8, - 9 a の値, の座標 0, 1, 8, - 9 より =- - 8 9 = 8 だから, + - - という方針で求まるが, これら 4 つの回転体は相似であり その相似比は H = 8 であり, の y 座標は - 8 とわかる. G : H : : H = : 4 : 8 : 4 の 座標を求めるために =1 : : 4 : - 1 =- 8 6 を解くと,=$4 d>0 より, の 座標は正だから =4, の 座標は等しいから d=4 d=4 1 つめの回転体の体積を V とおくと, 求めるべき体積は V- 8 9 = 5 9 V V+ 4 8 9 V- 8 9 5 1 = % % % % 9 = 00 7 V 00 7
平成 0 年度入学試験解答用紙 数学 ( その ) 京都共栄学園高等学校バタビア特進コース 受験番号氏名 4 (1) I と I において 4I = 4I= 90, I= I 0共通な辺 1 4I= 4I 0I は4 の二等分線 1 よって, 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角が等しいので I 6 I 対応する辺の長さは等しいので I=I () (ⅲ) I および I は, 内角が 0,, 60,, 90, の直角三角形であるから ==U よって, 四角形 I の面積は % 8 1 %U =U 9 () (ⅰ) I と HG において 4I=4HG=90, であるから 4I=4HG 1 のとき, 組の角が等しくなって相似となる. IG に着目すると I=IG ( 半径 ) の二等辺三角形であるので 4IG=4IG よって,1, より つの三角形が相似になるのは IG が正三角形になる ときであり, このとき 4I=60, である. () (ⅳ) 影のついた部分の面積 U = 四角形 I の面積 -扇形 IG の面積 10 = U -% 1 % 60 = U - = 1.7 -.14& = 1.7-1.0466 = 0.68 = 0.68 これの何倍が (ⅲ) になるのかを調べると 1.7&0.68 =.54 =.5( 倍 ) 4I= ()(ⅱ) I と HG において I= G 0 IG は正三角形 1 4I= 4HG ( ) 4I = 4HG= 90, 60, よって,1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので I 6 HG t 4I=60, のとき,(ⅰ) より I Q HG ここで,I=G より, I と HG は相似比が 1 : 1 であり, これは, 両者が合同であることを示している.5 倍