/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (.8 より ˆ ( ( ( q -, ( ( c ( H c c ë é ù û - Ü + c ( ( - に限る (. である 一方 フェルミ型は 成分をもち その成分を,,,, で示し { (, ( } { (, ( } { (, ( } ( ( - k Üフェルミ統計を満たす である ( 問題 そのとき フェルミ量子場のエネルギーは ˆ H q ( ( - c c ( ( ( c になり 粒子数は ˆ N q ( ( - c ( ( である 正しくは Norl Prouct が必要 : (. (. (. Hˆ ì ì ï c ( ( N N ï ï, Nˆ ï í あるいは í あるいは ï ï ï c ( : : ï : : ïî ïî ( (.5 である フェルミ型の生成 消滅演算子は Aenix : ディラック方程式の解 の (,,, i i i i, i i u を用いて u u (.6 u で表せる ここに ( i は Aenix : ディラック方程式の解 の (.9 と (.5 の や ( が好まれる
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ì 直交条件 u u u u ï í ï ( i 完全性条件 u ( u ( ïî i j ( i ( ( j ( ( ij より ( i u ( の直交条件と完全性条件を満たす ( i u たる つまり 任意の 列ベクトル ( は 固有ベクトル ( i u が ( i ( になる (.6 はこれを表している 新たな演算子 : ( i ( (.7 が (.7 のように 固有ベクトルに当 で展開でき その展開係数, は (. を用と同 様な反交換関係を満たしていて { (, ( } ( ( - ì i i i i ü ì i i j ( j ü í u u ý í u u ( ( ý ( ( (,, î i i þ î i j þ i j ( i ( j ( i ( j u { (, ( } u (.8 より { } ( i ( j ( u i, j u ( - (.9 i j が要請される 従って 任意の係数を X ( として (.7 を考慮すると {, ( } ( - i j ij X (. と類推できる これを (.9 に代入して i j ( i ( j ij ( ( ( - ( ( - u u X Ü - より ( ( i j ( ij i ( i u u X Þ u u ( i j i X (. がわかる X ( を求めるには (.7: ( j ( i ij u u ( i, j,,, を用いる (. より ( i ( ( i u u i X i と (.7 よりの i を比較して ( ( u u Þ 8 X ii u u ( i ( i (. (.
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( ( 8 Þ X ( ( X (. である 従って (. は { i, j ( } ( - ij ( i, j,,, (.5 { } { ( } とわかる,, を考慮して 反交換関係として { (, ( } ( ( - ( i ( j { ( j ( } ( ( が導かれる i j ij { },, ( i, j,,, (.6 さて ( i, u より は負のエネルギーを持つことを考慮すると ( 同じ添え字 は和をとる ( i ( i u u ( i i i j ( j ( j ( j ij u u u u u u ( i, j Ü ij i j i i i, j i (.7 ˆ q - c ( ( ( H c i i ( q - c c i であるが 負のエネルギー解の ( i, u c ( を考慮して ( ( ( i i ˆ i i H q - c - ( i ( i - c c q + q - i i (.8 ( ( i ( i c - i i (.9 である 従って ˆ ( i ( i H c - i i (. である ここで Aenix : ディラック方程式の解 に従って (.5 のように
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( i (,, u - Þ v ( i ( ある そこで ( i u ( に転換し 正のエネルギーを持つ生成 消滅演算子で読み替える必要が,, ( i Þ u - を考慮して ˆ ( i ( i H c - i i ( は任意の関数, Ü f f - f - ( i ( i c - - - i i とする ここで i (- - i (. (. の項が負のエネルギーを与えるので 常に正のエネルギーを持つ素粒子としては相応しくない そこで ( i ( i+ ( i+ (-, (- (, i (. の読み替えをする このとき 以下で見るように ( i ( i (, が正のエネルギーを持つ反粒子の生成 消滅演算子 になる また (.6 より { } { } ( { } ( { } { } { } i j ij i j i j, -,,, i j ij i j i j, -,,, (. を得る ( 問題 生成 消滅演算子の基本式である 実際には Norl Prouct なので より ( i i i i - + (.5 ( i - i : : : : (.6 に注意して ( ( i i ( i ( i ( ( i ( ˆ H c ( : - : ( i ( ( i ( c ( : + : (.7 を得る すなわち
5/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( i ( i ( ( i ( ˆ H c + (.8 になるので ( i ( i は正のエネルギーを与えることがわかる 同様に ( ( i ( i ( ( i ( ˆ ˆ ( + ˆ (- N º N - N - ˆ ( + ( i, ˆ - i i N N ( i i (.9 である ボーズ量子場と同様に ˆ + i i ˆ ( + én, k ù - k, én, k ù k, ë û ë û (i, (. ˆ (- ( i ( i,, ˆ - i i én k ù - k én, ( k ù ë û ë û ( k を導くことができる 例えば ˆ ( + ( i, ( k én ù ë û - ( i k (i, を要請して ˆ ( + ( i é i i ( i N,, ù é ù ë k û ê ( k ë û Ü AB C A B C - A C B ( ( i [, ] {, } {, } ij -k ( j ( j ( i { ( j ( i } { ( j,, } k - k j ij ( j - ( - k ( ( j ij ( j ij ( j ( i - - k - k - k j j (. より énˆ, ù ë k û - k (i, (. ( + ( i が導ける ( 問題 ( i 量子場の導入 フーリエ変換を使用して 座標空間での演算子を量子場 ± ( x とし ( ( A ix A ix x - ( x ex, ex (. のフーリエ変換とする ここに A は運動量に依存する係数 である ボーズ量子場と違い はスピノルの添え字 (,,, をもつ ( x,,, x で
6/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり - ( の解の (, u ( を する そのため ( の解 v ( A ix A (,, ( u - に接続 ( i ( i ex x - u ex - i ( ( ( ( ix A ( i ( i ix ( i ( i ex ix u u ex - + - i i ( i ( i i x - ix u ( ex - i A( ( ( A ( i ( i i x - ix + u ( ex - i - ( ( i ( i i x - ix u ( ex - i ( i ( i i ( x - i + u ex - - x i に 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 - Aenix : 空間反転と積分 の f f (- ( f は任意の関数 を使って (. (.5 A ( ( A ( ( ( ( ( i ( i i x - ix u ( ex - i ( - - - x ( i ( i + u - (- ex - i x i - x - i ( ( ( i ( i i x - ix u ( ex - i ( i ( i+ i ( x - ix + v (- ex i A ix ix - + - ここで ( i ( i ( i ( i ( i+ u ex v ( ex i i ( i+ (, - i より ( ( A ( i ( i ix ( i ( i ix x u ex - + ( ex i ( (.6 v (.7
7/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり である 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (. 交換関係に対応する反交換関係は ì ( i ( i ix u ex A - ï, í, ï i ( i ( i ix + v ( ex ï î { ( x ( x } A i x ü u ( ( ex ï ý i ( i i x + v ( ex - ï ïþ ( ( ì ( i ( i ix i x ü u ex u ex A A - ï ï, í ý ( ï i ( i ( i ix i ex ( i i x + + ( ex - ï ï v v î ïþ (.8 ( ( A A ì ( i ( i ü ix i x íu (, u ( ( ýex - ex î i i þ ì i i, ( i ü ix i x + ív v ( ýex ex - î i i þ になる 反交換関係は ( { (, ( } ( ( ( i j ij i i i, j i i i i i ( i ( j ( i ( j { (, ( } ì ( i ( i ü íu (, u ( ( ý u u î i i þ i, j i j ij Ü - ( u u - u u - ( + c Ü u u ( u ( i + c Ü u ( u ( i + c ( ( ( - ( ( ( u ( ( + c - ( ( ( + c ( - (.9
8/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり を得る そして ì í î v { } ( i ( i ( i ( i ( j ( j, v v ( v ( (, ( i i ( { (, ( } ( ( i, j i j ij Ü - ( i ( j ij ( i ( j ( ( ( ( i, j i ü ý þ v v - v v - ( i ( i ( i - Ü v v v v i i ( (. - なので (.8 より { ( x, ( x } ( ( - ( - ( - ( A A ì ( i ( i ü ix i x u, u ( í ( ýex - ex î i i þ ì i i, ( i ü ix i x + ív v ( ýex ex - î i i þ ix i x ex ex A A + c - - ( ( ix i x + ( - c ( - ex ex - A ( ( ix i x ( + ex - ex ix i x + ( - ex ex - ( ( A i x - x i x - x ( + c ex - + ( - c ex (. なので 両辺に を乗じて { ( x, ( x } A ( ( i x ( + c ex - i ( x x - + ( - c ex を得る ( 問題 5 また 同時刻 ( x x の交換関係を評価すると (.
9/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり { ( x, ( x } になる 第 項は ( ( x x A ( i x ( + c ex i ( x - x + ( - c ex - ( - x x ( - c ex - Ü - A i (( ( c ( ( ( ( (- ( A ( ( ( ( なので ( は任意の関数 ( c ( - A i x x - - ex - Ü f f - f (- ( - A i x x - - - - ex - - { ( x, ( x } ( c i x + - ex ( ( ( ( A x x - ( A + + (( ( + c (( ( - c ( i x ex i x ex A i x - x A i x - x ( ( ex ex であるが この反交換関係は 要請する { ( x, ( x } c ( - x x (. (. (.5 x x (.6 を満たす ((.95 参照 従って { ( x ( x } A ( ( ( x x i - 要請する i x - x (, ex c ex x x なので A c ( ( ( ( A ( c ( (, A - A Ü - Ü (.7 (.8 を得る 従って { } c i x - x i x - x x, x ( + c ex - + ( - c ex ( ( (.9
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり である 更に { } i x x, x c e ( ( c ( c ex - + - ( と整理することができる また c i x i + e ( ( - c ex - ( i x e ( ( - c ( + c ex - ( (.5 (.5 に気がつくと { } x x c e ( ( c ( c がわかる 以上から c e ( i x, - + ex - ( c i + c i + éf ( x, f ( x ùû ë ( j { ( } ij i ( j ( { } i x - ex - { } ij, k - k,, k - k (.5 A ( i ( i ix ( i ( i ix c x u ex - + v ( ex Þ A( i i x x, x c e ( ( c ( c ex - + - ( ( ( { ( x, ( x } c ( x - x c i x i + c e ( ( - c ex - ( c i + éë f ( x, f ( x ùû x x (.5 j j i i u + c ( ( - c u, v v i i ( j ( i ij ( j, ( i ij c u u u u ( ( j ( i ij j i c v v (, v v,, ij ( i j (.5 がわかった
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 生成 消滅演算子と量子場 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 に習って x を調べると ( i ( i ix u ex ( x A - c ( Ü A i i i ix ( + v ex x A( i ( ( i ( i ix ( i ( i ix -u ex - + ex v i なので ( ( ( ex i ( ( A i i ix ( i ( i ix x u - + v ( ex x A i i ix ( i ( i ix i -u ex - + ex v i (.55 (.56 である ( x がディラック方程式を満たすことを示す ( x c A ( ( c に -iñ + を掛け é c ( i ù ( i ix ê + u ( ex - ë û i ( x - Ñ + i é c i ù i ix ( ( ex + ê - + v ë û を得る また (.7: (, を用いると (.57 は ( (.57,,, u + c u v -c v, é + c ( i ù ( i ix u ex A ê - ë û i é - + c ( i ù ix + ê v ( ( ex ë û A( ( i ( i ix ( i ( i ix x u ex - - ex i v i を得る ( 問題 6 即ち c ( x c -iñ + ( x i Þ -iñ + ( x i c c Þ i + iñ - ( x Þ i - ( x より ディラック方程式 : ( x (.58 (.59
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( x c c i - ( x i i - Ñ + ( x (.6 が成り立つ さて 生成 消滅演算子を ( x ( と ( x ( i ( i ix u ( ex - ix ex ( x A i i i ix v ( ex i + x ex - ( i ( i ix u ( ex - ix - ex ( x - i A i i i ix v ( ex ix + ex - ( は任意の関数 なので f f (- f ーリエ変換 より であらわすために (.56 を更に書き換えてゆく (.6 ix より ex - の項に - を施し フ ix ix f ( x f ( ex Þ f ( f x ( x ex - (.6 ( ( ( ( ( i i ix i i ix A u ex - A - v - (- ex i i + ( (- ix x ( x ex - ( ( ( i i ix i i ix A u ex - A - v - (- ex i i - + ( x ix -i ex - ( x (.6 を得る ( 問題 7 これから (.8 より A( A( - なので
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ix ix ix + ( x ex - x ( ( i i i i u ex - v - (- ex i i ( ( i i i x i i i x u ex - v - (- ex i i - + ( ( A( ( x i i x ex - - ( A x (.6 として 両辺を引き算すれば i ( i ( i ( ( A( ix ix - ex - u ex x x ( x ix - i ex - - ( A x ( x ix ( x + i ex - ( A x ( i ( i x i x - ix Þ u ( ( x + i ex i ( A x 同様に 両辺を足し算すれば i i v v ( i ( i ( ( A( ix ix ex - - ex x x - ( i ( i ( x ix + i ex - - ( A x ( x ix ( x - i ex - ( A x x ix + ix - - ( x - i ex - ( A x (.65 (.66 である また - にし + c (- に注意すれば ( i ( i v ( ( x i i ( A x を得る 以上から i i ( i ( i x i x - ix - ex - x i x i ( i ( i - x u ( ( x + i ex ( A x v x i x i - x ( x - i ex - ( A x (.67 (.68 である ( j ( ij, j i ij u u v v ( より 両辺に ( j ( j u, v を乗じて
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( A( xv x i - ( x ( i ix ( u ( x + i ex ( A x がわかる ( 問題 8 ( x 量子場のエネルギー 量子場のエネルギー : ˆ ( i i i H c - に (.69 を用いると Hˆ ( i ( ( c c ( Ü A ( ix ex - ì ï ï( A( ( A( ï é ( i ( x ix - ix ù í ê u ( x i ex x - ï ê ï ê i ( x ix i ï ê - x u ( x + i ex - ê ï x ë î û ü - ( A( ( A( ï ï é ( i ( x ix ù ê x i ex ï xv + x ý ê ( ï ê i ( x ix ï ê ( x - i ex - ï ê x v ë ( ï ûþ 時間については 制限無いので x x に設定すると Hˆ ( c c ( ( ( é ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê- ê ê êë i ( ( x ( ( x ( x i i u u ( xx ( ( x - i ( x i( x - x + i ex x x x ( x ( i v ( v ( xx ( ( x + i ( x i( x - x i - i ex - x x ù û ( k ( k (.69 (.7 (.7 (.7
5/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ここで (. の j i u v ( j ( ( i ( u v ( j ( ( i ( + c + c ( ( - c - c ( ( (.7 を用いて ( j Hˆ ( x ( x I ( j u u を考慮して + c ( x i x x - x ( x i ( x - x ( ( x + i ex ( ( - c ( x - ( x + i x x ( x i( x - x ( ( x - i ex - ( ( ( ( ( x ( x xx ( ( x - i + c ( x i ( x - x ( ( x + i ex ( x - xx ( ( x + i - c ( x i( x - x ( x - i ex - ( x xx ( ( x - i + c ( x i ( x - x ( x i ex + x ( x - ( x + i x x - c ( x i( x - x ( ( x - i ex - x x x x x x
6/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( ( ( x xx ( ( x - i x - + c ( x i ( x - x ( x + i ex ( x - xx ( ( x + i - - c x i x - x x - i ex - ( を得る 第 項で - Hˆ ( ( にし + c (- に注意すれば x - + c xx ( ( x - i x ( x i ( x - x ( ( x + i ex ( x - (- - c - xx ( ( x + i ( x i (- ( x - x ( ( x - i ex - ( ( ( x xx ex i x x x ( x - + c ( ( x - i ( ( x + i ( x - (- - c ( x - ( ( x + i ( x - i x ( ( ( x xx ex i x ( x - + c ( ( x - i ( x + i x ( x + - c ( x - ( ( x + i ( x - i x x x x x (.7 x x
7/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり i x ex ( x x ( ( x - + c + - c - ( ( x ( ( ( x - + c + - c ( x + - ( ( ( x - + c + i - + - - c ( ( x ( ( - + c + - c ( x + ( ( x + i ( ( ( ( i x xx ex ( ( ( x - + c x ( x (- + c ( ( x + ( x ( x + i - x + x i x x x x (.75 になる ここで より Hˆ ( ( ( i x xx ex ( ( ( x - + c x ( x (- + c ( x + ( x ( x - i ( x + i ( x x x (.76 なので ( Hˆ - より i x ( xx ex 第 項 第 項 ( x ( + c ( x ( x( + c ( x + x x 第 項第 項 ( x ( x - i ( x + i ( x x x (.77 を得る 更に ( x c ( x c i i Ñ + ( x, - i ( x i Ñ + ( - - - (.78
8/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり を用い 第 項 ~ 第 項を書き換える ( ( x ( x ( i x - x + c x 第 項 ex ( x x ( - ( x ( + c -i ( i x x ex ( x x i x xx ex x部分積分 x 部分積分 ( ÑをÑにする ( c -iñ + ( ( x( c - + ( + c ( ( x - x ( + ( ( x i x x i ( x( i Ñ + c ex i i Ñ + c x ( xx xx i x ex ( + c ( ( xx c -iñ + ( + ( c i ( c ( x x ( x (- ( (- i Ñ + c ( x ( x - x i x - + c ( i Ñ + c ex x ( - + c x c ( c ( ( x x x x x x ( + i x - x x - + c ( + c ex x ( x x - xx + x x i ( x - x ( - + c xx ex x c c x ( ( c( c c ( i ( x - x ( ex ( x( c ( x ( x x ( + + Ü - + + + + i x + ex i x ex ( x( c ( x x x + (.79 x x であるが これは 第 項と同じである 次に 第 項と第 項は x x x x x x ( x x x
9/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( x i x 第 項 ex i - ( x ( x x i x ex x x + ( x x ( x ( x x ( x i x - 第 項 ex i ( x ( x x i x ex x x + ( x x になり第 項と同じである ( 問題 9 ( x x x x x x (.8 (.8 以上から Hˆ ( xx ex i x 第 項 第 項 ( x ( c ( x 第 項第 項 + ( x ( x ( x( + c ( x + - i ( x + i ( x ( 第 項 i x ex x + c x ( x x ( i x ex ( x( c ( x x x + (.8 x x x x x x を得る この表式は部分積分と関数の 定義を用いてさらに整理でき Hˆ xx ( ( x - x ( x( -i Ñ + c ( x c x x -i Ñ + x になる ( 問題 従って x x ˆ c H x x -i Ñ + x がわかる 以上から ( ( i ( x i ( x ( i ( ( i ( ˆ H c ( + c x - Ñ + (.8 (.8 (.85 を得る 量子場のラグランジアン
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり さて エネルギーがもとまったので そのエネルギー密度を H で表すと ˆ c H x : H ( x : x : ( x -i Ñ + ( x : (.86 とわかる つまり H c ( x ( x -iñ + ( x になる このエネルギー密度は ラグランジアン密度 ( L とする から ( x L ( x (.87 L H ( x + - L ( x (.88 と与えられることが分かっている ( 付録 : ラグランジアン密度とエネルギー密度 ファイル これから L として c L ( x ( x i - ( x ( + Ñ (.89 をとればよいことが分かる つまり ( x L ( x L x x x x ( x i, なので これを代入すれば H ( x が求まり (.9 H x c c ( x ( x i - ( x i + i Ñ - ( x ( x -i Ñ + ( x (.9 を導く 以上から L H c c x + - L x x -i Ñ + x ( x ( x i - ( x ( + Ñ L ( L ( (.9 が量子場のラグランジアン密度とエネルギー密度になる ( 問題 このラグランジアンを用いると 同時刻交換関係 (.6 を導くことができる 一般化された運動 量 ( x (,,, として ( x ( x L L ( x t であるので (.9 より i c ( x ( x ( x ( x を得る ( 問題 同時刻反交換関係は 一般化された座標 ( x と ( x の間で (.9 (.9
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり {, }, { } f x x f x x i x - x (.95 s x x x x を要請する これより (.9 を用いて (.6 を得る 反粒子の量子場は ( x の複素共役 ( x 役 " は ( x ( x であり ( x 反粒子の量子場 とは で表されるが 特殊相対性理論に合致した " 複素共 ( x ( x é ù ë û (.96 で結びついている まず 量子場 ( x の満たす方程式は (.6 つまり ( x c c i - ( x i i - Ñ + ( x (.97 であるので ( x ( x に対して - é c ù c c ê i - ( x ( x - i - ( x - i - ë û c c ( x - i - Þ ( x - i - (.98 を得る 従って ( x c - i x -i Ñ + である 以上から を得る ( x (.99 c c ( x - i - - i ( x -i Ñ + (. 反粒子の量子場を C ( x をで表すと この (. を元にして反粒子を作るのであるが 反粒子 は 列ベクトルで表せるので ( x の転置を取る事になる つまり (.96 のように Þ ë û ( x é ( x ù (.
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり である この é ( x ù ë û から C ( x 荷電共役 (chre conjution を担う (. を C で表すと é ù C x C x ë û への変換演算子を C と表し (. である 粒子場と同じタイプの方程式 (.97: c i ( x C - を満たす場が 反粒子場と定義される そこで (. と (. を用いて - c C ic C + ( x を得る ( 問題 -A (. と比較して -C - C が要請される 更に (.5 の転置を取ると C ( h hc ± (. (. (.5 (.6 がわかる ( 問題 -B さて h の符号を決めるために 行列の転置に対する対称性を見る 行列には 全部で 6 個の行列があるが それを ( A,,,6 A (.7 と表すと A A ( 個 ( H A A : ( 6個 ( C ì ï対称行列 : í ï î 反対称行列 - (.8 とまとめられる 6 個の行列は I,, 5 で表すことができ ìi sclr:個 ï ï vector:個 ï n n ís é, tensor:6 i ë ù û 個 ï ï 5xilvector:個 ï ïî 5seuosclr:個である 転置に対する対称性を調べるので (.5 より得られる ( C -h ( C を用いる ( 問題 -C そこで (.9 (.
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり I sclr:個 ( IC h ( IC vector:個 ( C -h ( C i ë û 個 C s n é, n ù tensor:6 ( n n ( s C -h ( s C 5 seuosclr:個 ( C h ( C 5 5 xilvector:個 ( 5C h ( 5 C 5 と勘定できる ( 問題 -D 従って (.8 の個数に一致するのは h -の場合であり n C, s C が 個の対称行列になる 以上から C C である ( x C é ( x -C -C ù ë û - C (.
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり (,,, u ( は Aenix : ディラック方程式の解 ( c u ( for (, - c u ( for - ( ì c u c i ï - + - í ïî, (. を満たす ( 問題 これより - ( の解を ( の解に直すためには -,,, ( - c u - - c u - - - c u (. なので を - にすると ( c u とすると ( c u,, - - - - - - - + - - u ( (. Þ - + - - - - - Þ + - (, (, (, c u c u c u ( ( i+ ( ( i ( ( i, - v (.5 は (, エネルギーが正の解 : + c v ( ( ( であるとわかる つまり ( ( - c u, (, ( + c, ( for ( あるいは 変形して を得る, v (.6,,, u + c u v -c v, (.7 さて ( i - c u ( ( i,,, を利用して { } i j i - c u u - c u Þ j j i u - c u - c u ( ( j i j i Þ - + - u c u u c u j i j i Þ - u, u u c u Þ j i j i u u cu u ここで 固有ベクトルの条件の一つである 直交性を満たすために (.8
5/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( ( u u º j i ij (.9 とすると u c ( u ( j i ij を得る 同様にして ( i+ u ( ( ( i ( ( i, - v に対しては j i j i ij - v v cv v c (. を得るので ( 問題 ì ij c ( j i ij j i ij c ï for i, u u, u u ( í ij c - for i, ï- (. ï î ( j ( i ij ( j ( i ij c v v, v v ( - ( である そこで L ( + ( i ( i i ( i u u u u c i c i L - ( - ( i ( i i ( i u u u u c i c i を考えると (. (, ( j i ij u u (, ( L u u u u ( i ( j i ij u u ( ( i + i j j i c i c u u c ( i L u - u u u - i j j i c i c - u u - c ( i (. なので i i i i + - L u u i,, L u u i, (. を得る ここで ( i ( i u i,, u ( i, L L (.5 + - は明らかである ( 問題 -A 従って ( ( j + ( j + c L u u ( i c i c ( for,
6/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ( ( j - ( j + c L - u u ( ( for i, c - i c (.6 - とすればよい ( 問題 -B ( L を (.5 を用いて ( i v ( ( i, で表すと ( ( i ( v ( ( i v - c L,- - v - for ( i ( i ( i - c i c - L,- v, (.7 を得る ( 問題 -C 以上から + ( j + c L u ( u c i c ( j - ( j + c L u ( u c - i ( j + i i - i i L u u i,, L u u i, ( i ( i u i,, u ( ( i, L L + - (.8 (.9 - - 或いは L ( L (, - と見なすと ( ( j + + c L ( u u c i c ( ( i v ( j - - c L ( - v - c i c ( i + i i - i i L u u, L v v i, ( i ( i, ( (, + - L v L u i である ( 問題 -D (. より ( ( L + L + - (. (. (. を満たすことがわかる また ( i ( i + - u u ( L ( + L ( i c c - c c + - + c + c ( L - L - - ( c c - c ( ( c - + - - + c c - ( c c c (.
7/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり より ( i i u ( u i ( (. を得る 或いは ( i ( ( i u u (.5 である これは 完全性を表している (.5 と (.9 より j ( ij, i i u u u u (.6 を満たすので 正規完全直交系 ( i ( (.7 ij j i, i i I for i u i をなしていることになる ( 問題 5
8/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり Aenix : ディラックの γ 行列 s (,,, (, s I s Þ, s I -s (,,, (,- s (, s (,,,, (, s (,,, (, s (,,,, (, s (,,, - - - - s s s s s s s s s s s s - - - - s s s s s s s s s s s s -i s, s, s, s i - { }, n n I -I i n r s 5 i - e nrs 5 e e - I! ( I; ; { A, B } AB I ith AB i. (, -, -, -, ( A, B,,,,5 (.8
9/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 第 章問題 (. において フェルミ統計を満たす ことを証明せよ Aenix : ディラック方程式の解の (. で (,, つまり (,,, きに ( i - c u を (.8 を用いて解き ± ± + c とを示し それぞれの固有ベクトルを求めよ そのとき (, ( は ( ( + 固有ベクトルu c 固有ベクトルu (, ( は - ( のと の値を持つこ とする ここに である Aenix : ディラック方程式の解の (. を導け (.6 を元にして (. を用いて (, ( と (, ( { (, ( } ( ( - i j i ( j { ( } i j ij (i,j,,, ( { } を示せ エラー! 参照元が見つかりません に倣って を導け ˆ + i én ( k ù ( k A ë, ( ˆ - i ( i én ( k ù - ( k B ë, ˆ - i én ( k ù ( k C ë, û û û (i, 5A(. から (. を導け B(.9 に ( - é - + + ë 6(.58 を示せ 7(.6 から (.6 を用いて (.6 を導出せよ 8(.68 から (.69 を導出せよ 9(.8 と (.8 を示せ (.8 を示せ (.9 の L ( x から H ( x を求めよ (.9 の L ( x から (.9 を求めよ - C A(.: ic C ( x の満たす反交換関係 : ( ( c + を導け ù û を用いて (.5 を導け
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり B(.6: C hc ( h ± を導け C(.: ( C h ( C n n D ( s C h ( s C - を導け - ( C h ( C A(.5 を確認せよ B(.6 が (. を満たすことを示せ C(.7 を導け D(. の L ( - ( 5 c c - - 5(.7 を用いて (.6 を説明せよ 5 ( 5C h ( 5 C を導け を導け