座標変換におけるテンソル成分の変換行列

座標変換におけるテンソル成分の変換行列 座標変換におけるテンソル成分の変換関係は 次元数によらず階数によって定義される変換行列で整理することができる 位置ベクトルの変換行列を D としてそれを示そう D の行列式を ( = D ) とするとき 鏡映や回映といった pseudo rotation に対しては = -1 である が問題になる基底は 対称操作に含まれる pseudo rotation に依存する ( 別ファイル テンソルの基底 で * 印を付けてある ) T = T (0) + T (1) + T () + T (3) + T (4) + と表し 変換後のテンソル成分を T' とする 点群 ( 原点は移動しない対称操作から作られる群 ) では すべての対称操作は座標回転または座標回転と反転の積として定義することができる 座標系の回 転と鏡映操作にについて xy 面での鏡映は x 軸まわりの 180 回転 (R ( ) と表す ) に続けて反転を行うことで表され この 180 回転とオイラー角の間には下の ような対応関係がある ( 回目の回転を y 軸まわりに行うとして ) R x ( ): = 0 = = 同様にして xy 面に垂直で x 軸と の角をなす面での鏡映は xy 面上の x 軸との角が の軸のまわりでの 180 回転 (R ( )) と反転の積に対応する この とき R ( ): = 0 = = - である このように 鏡映及び回映操作は回転と反転の積である 反転はすべての座標の符号を逆転する 例えば xy 面での鏡映には R z ( ) xz 面での鏡映には R y ( ) に yz 面での鏡映には R x ( ) がそれぞれ対応する C v 対称の C,b ab bc は それぞれ R b ( ) R c ( ) R a ( ) に対応付けられる C 3v の C 3 と 3 v は それぞれ R z ( /3) と R y ( ) である このようにして すべての点群及びより一般化した置換反転群の対称操作は回転操作と対応付けることが出来る 従って 以下に示す変換行列は使いでのあるものである 本稿で示す変換行列はユニタリー行列になっている よって転置行列が逆行列に等しいので 逆変換に利用できる 変換行列 ( 基底 ) - 1

座標ベクトル ( テンソルとして扱うときには 1 次元テンソルの 1 階成分である ) の変換に対する変換行列を上で示したように D とするときに 座標の 乗積 が作る 次元テンソルの 1 階成分 ( 角運動量ベクトル ) に対する変換行列 D は下のようになる D = D Yy D Zz - D Yz D Zy D Yz D Zx - D Yx D Zz D Yx D Zy - D Yy D Zx D Zy D Xz - D Zz D Xy D Zz D Xx - D Zx D Xz D Zx D Xy - D Zy D Xx D Xy D Yz - D Xz D Yy D Xz D Yx - D Xx D Yz D Xx D Yy - D Xy D Yx この行列要素は行列 D の行列要素を 倍したものであることが 次のようにしてわかる (1)D の転置行列と D の積を作ってみると 対角要素が 非対角要 素がゼロとなることがわかるであろう 即ち D の転置行列は D の逆行列に定数倍したものである () 行列の教科書で言えば D i,j は D の余因子行列の (j,i) 成分になっているが 余因子行列は D の逆行列に行列式を掛けたものである よって行列 D は D の逆行列の転置行列になっている 変換行列 D はユニタリー行列で 転置行列は逆行列に等しい したがって D は D を 倍したものである ゼロ階テンソルの変換係数は 偶数次元のときには 1 になり 成分はスカラー量である しかし 奇数次元の場合には (D による変換と D の D による変換の 重ね合わせになるので ) 倍になり 対称操作によっては 1 倍となる擬スカラーになる ( 全対称ではなくなる ) 次元テンソル以上での変換については これらを 1 次元テンソルの積み上げとして作る操作から変換性を導くことが出来る 以下に示す変換行列は この様な考察によって整理したものである 変換行列 ( 基底 ) -

(0 階テンソル ) T' (0) 0 = T (0) 0. (3 次元 5 次元 7 次元 テンソルでは 倍になる 但し = D ) (1 階テンソル ) T (1) 1b T (1) 1a T (1) 0 T' (1) 1b D Xx D Xy D Xz T' (1) 1a D Yx D Yy D Yz T' (1) 0 D Zx D Zy D Zz ( 次元 4 次元 6 次元 テンソルでは 倍になる ) ( 階テンソル ) T () b T () a T () 1b T () 1a T () 0 T' () b ( /)(D Xx + D Yy - D Xy - D Yx ) (D Xx D Xy - D Yx D Yy ) (D Xz D Xx - D Yz D Yx ) (D Xy D Xz - D Yy D Yz ) ( 3/)(D Xz - D Yz ) T' () a (D Xx D Yx - D Xy D Yy ) (D Xx D Yy + D Xy D Yx ) (D Xz D Yx + D Xx D Yz ) (D Xy D Yz + D Xz D Yy ) 3D Xz D Yz T' () 1b (D Zx D Xx - D Zy D Xy ) (D Zx D Xy + D Zy D Xx ) (D Zz D Xx + D Zx D Xz ) (D Zy D Xz + D Zz D Xy ) 3D Xz D Zz T' () 1a (D Yx D Zx - D Yy D Zy ) (D Yx D Zy + D Yy D Zx ) (D Yz D Zx + D Yx D Zz ) (D Yy D Zz + D Yz D Zy ) 3D Yz D Zz T' () 0 ( 3 /)(D Zx - D Zy ) 3D Zx D Zy 3D Zx D Zz 3D Zy D Zz ( /)(3D Zz - 1) (3 次元 5 次元 7 次元 テンソルでは 倍になる ) 変換行列 ( 基底 ) - 3

3 4 階テンソルの変換行列を簡略化する都合上 上で示した T () に対する変換行列を次のように略記する T () b T () a T () 1b T () 1a T () 0 T' () b (XX/xx) (XX/xy) (XX/zx) (XX/yz) (XX/zz) T' () a (XY/xx) (XY/xy) (XY/zx) (XY/yz) (XY/zz) T' () 1b (ZX/xx) (ZX/xy) (ZX/zx) (ZX/yz) (ZX/zz) T' () 1a (YZ/xx) (YZ/xy) (YZ/zx) (YZ/yz) (YZ/zz) T' () 0 (ZZ/xx) (ZZ/xy) (ZZ/zx) (ZZ/yz) (ZZ/zz) (3 階テンソル -1)(4 次元 6 次元 テンソルでは 倍になる ) T (3) 3b T (3) 3a T (3) b T (3) a T' (3) 3b ( /4){D Xx [1-5D Zz + 8(XX/xx)+(D Xz - D Yz ) ( /4){D Xy [1-5D Zz - 8(XX/xx) + (D Xz - D Yz ) ( 6/)[D Xz (XX/xx) - D Yz (XY/xx)] -( 6/)[D Xz (XX/xy) - D Yz (XY/xy)] + (D Zx - D Zy )] +6D Xz D Zx D Zz } - (D Zx D Zy )] + 6D Xz D Zy D Zz } T' (3) 3a ( /4){D Yx [1-5D Zz - 8(XX/xx) - (D Xz - D Yz ) ( /4){D Yy [1-5D Zz + 8(XX/xx) - (D Xz - D Yz ) -( 6/)[D Xz (XY/xx) + D Yz (XX/xx)] ( 6/)[D Xz (XY/xy) + D Yz (XX/xy)] + (D Zx -D Zy )] + 6D Yz D Zx D Zz } - (D Zx -D Zy )] + 6D Yz D Zy D Zz } T' (3) b ( 6/) [D Zx (XX/xx) - D Zy (XX/xxy)] -( 6/)[D Zx (XX/xy) + D Zy (XX/xx)] D Zz [(XX/xx) - (D Xz -D Yz )] - D Zy (XX/yz) T' (3) a ( 6/)[-D Zx (XY/xx) + D Zy (XY/xy)] ( 6/)D Zx (XY/xy) + D Zy (XY/xx)] Zz(XY/xx) + D Zx (XY/zx) + D Xz D Yz D Zz ] [D Zz (XX/xy) + D Xz (Zx/xy) + D Zx D Zy D Zz ] [D Xz (YZ/xy) + D Yz (ZX/xy) + D Zz (XY/xy)] T' (3) 1b -( 15/4){D Xx [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] ( 15/4){D Xy [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 10/4)[D Xz (D Zx - D Zy ) ( 10/)[D Xz D Zy D Zx + D Zz (ZX/xy)] + D Xz D Zx D Zz } - D Xz D Zy D Zz } + D Zz (ZX/xx)] T' (3) 1a -( 15/4){D Yx [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 15/4){D Yy [1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 10/4)[D Yz (D Zx - D Zy ) ( 10/)[D Yz D Zx D Zy + D Zz (YZ/xy)} +D Yz D Zx D Zz } + D Yz D Zy D Zz } + D Zz (YZ/xx)] T' (3) 0 -( 10/4)[D Zx [1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 10/4){D Zy [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] ( 15/)[D Zz (D Zx - D Zy )] -( 15)D Zx D Zy D Zz 変換行列 ( 基底 ) - 4

(3 階テンソル -)(4 次元 6 次元 テンソルでは 倍になる ) T (3) 1b T (3) 1a T (3) 0 T' (3) 3b -( 15/4){D Xx [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] + D Xz D Zx D Zz } T' (3) 3a -( 15/4){D Yx [1 - D Zz - (D Xz - D Yz )] + D Yz D Zx D Zz } -( 15/4){D Xy [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] + D Xz D Zy D Zz } -( 15/4){D Yy [1 - D Zz - (D Xz - D Yz )] + D Yz D Zy D Zz } -( 10/4) D Xz [1 - D Zz - (D Xz - D Yz )] -( 10/4) D Yz [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] T' (3) b -( 10/4)[D Zx (D Xz - D Yz ) + D Zz (XX/zx)] -( 10/4)[D Zy (D Xz - D Yz ) + D Zz (XX/yz)] ( 15/)D Zz (D Xz - D Yz ) T' (3) a ( 10/)[D Xz D Yz D Zx + D Zz (XY/zx)} ( 10/)[D Xz D Yz D Zy + D Zz (XY/yz)] -( 15)D Xz D Yz D Zz T' (3) 1b -( /4)[D Xx (1-5D Zz ) - 10D Xz D Zx D Zz } -( /4)[D Xy (1-5D Zz ) - 10D Xz D Zy D Zz }] ( 6/4)D Xz (1-5D Zz ) T' (3) 1a -( /4)[D Yx (1-5D Zz ) - 10D Yz D Zx D Zz } -( /4)[D Yy (1-5D Zz ) - 10D Yz D Zy D Zz ] ( 6/4) D Yz (1-5D Zz ) T' (3) 0 ( 6/4)D Zx (1-5D Zz ) ( 6/4)D Zy (1-5D Zz ) -( /)D Zz (3-5D Zz ) 変換行列 ( 基底 ) - 5

(4 階テンソル -1)(5 次元 7 次元 9 次元 テンソルでは 倍になる ) T (4) 4b T (4) 4a T (4) 3b T (4) 3a T' (4) 4b (1/8){1 + 6D Zz + D Zz 4-8(XX/xy) (1/){D Zx D Zy (D Zx - D Zy ) ( /4){(XX/zx)[(D Xz - D Yz ) + 4(XX/xx)] ( /4){(XX/yz)[(D Xz - D Yz ) - 4(XX/xx)] - 8(XY/xx) } - 4(XX/xy)(XX/xx)} + D Zx D Zz [5 - D Zz - (D Zx - D Zy )]} + D Zy D Zz [5 - D Zz + (D Zx - D Zy )]} T' (4) 4a (1/){D Xz D Yz (D Xz - D Yz ) -(1/){D Zz (1 + D Zz ) ( /4){(XY/zx)[(D Xz - D Yz ) - 8(XX/xx)] ( /4){(XY/yz)[(D Xz - D Yz ) - 4(XX/xx)(XY/xx)} - 4(XY/xy)(XX/xx)} - 6D Xz D Yz (XX/zx) + 8(XX/xx)]-6D Xz D Yz (XX/yz) - D Zy [1 + D Zz - (D Zx - D Zy )]} + D Zx [1 + D Zz + (D Zx - D Zy )]} T' (4) 3b ( /4){(XZ/xx)[ (D Zx - D Zy ) ( /4){(ZX/xy)[(D Zx - D Zy ) (1/4){(ZX/zx)[11 + D Zz + 16(XX/xx) (1/4){(ZX/yz)[11 + D Zz - 16(XX/xx) + 4(XX/xx)] - 8(XX/xx)] - 6D Zx D Zy (ZX/xx) + 4(D Xz - D Yz ) + 4(D Zx - D Zy )] + 4(D Xz - D Yz ) - 4(D Zx - D Zy )] + D Xz D Zz [5 - D Zz - (D Xz - D Yz )]} - D Yz [1 + D Zz - (D Xz - D Yz )]} + D Yy [8-5D Zz - 8(XX/xx) - D Yx [8-5D Zz + 8(XX/xx) + 10(D Xz - D Yz ) + 10(D Zx - D Zy )]} + 10(D Xz - D Yz ) - 10(D Zx - D Zy )]} T' (4) 3a ( /4){(Yz/xx)[(D Zx - D Zy ) ( /4){(YZ/xy)[(D Zx - D Zy ) (1/4){(YZ/zx)[11 + D Zz - 16(XX/xx) (1/4){(YZ/yz)[11 + D Zz + 16(XX/xx) - 4(XX/xx)] + 8(XX/xx)] - 6D Zx D Zy (YZ/xx) - 4(D Xz - D Yz ) + 4(D Zx - D Zy )] -4(D Xz - D Yz ) - 4(D Zx - D Zy )] + D Yz D Zz [5 - D Zz + (D Xz - D Yz )]} + D Xz [1 + D Zz + (D Xz - D Yz )]} - D Xy [8-5D Zz + 8(XX/xx) + D Xx [8-5D Zz - 8(XX/xx) - 10(D Xz - D Yz ) + 10(D Zx - D Zy )]} - 10(D Xz - D Yz ) - 10(D Zx - D Zy )]} T' (4) b ( 7/){D Zx D Zy (XX/xy) ( 7/){D Zx D Zy (XX/xx) -( 14/4){(XX/zx)[1 + D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 14/4){(XX/yz)[1 + D Zz - (D Zx - D Zy )] - (D Zx - D Zy )(XX/xx)} + (D Zx - D Zy )(XX/xy)} + D Zx D Zy [4(XX/xx) + (D Xz - D Yz )]} - D Zy D Zz [4(XX/xx) - (D Xz - D Yz )]} T' (4) a ( 7/){D Xz D Yz (1 + D Zz ) ( 7/){D Zx D Zy (XY/xx) -( 14/4){(XY/zx)[1 + D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 14/4){(XY/yz)[1 + D Zz - (D Zx - D Zy )] - (D Zx - D Zy )(XY/xx)} + (D Zx - D Zy )(XY/xy)} + D Zx D Zz [4(XY/xx) + D Xz D Yz ]} - D Zy D Zz [4(XY/xx) - D Xz D Yz ]} T' (4) 1b ( 14/4){D Xz D Zz (1 - D Zz ) -( 14/4){(ZX/xy)(D Zx - D Zy ) -( 7/4){(ZX/zx)[1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 7/4){(ZX/yz)[1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] + (D Zx - D Zy )(ZX/xx)} + (D ZX D Zy (ZX/xx)} - D Zx D Zz [4(ZX/xx) + D Xz D Zz ]} + D Zy D Zz [4(ZX/xx) - D Xz D Zz ]} T' (4) 1a ( 14/4){D Yz D Zz (1 - D Zz ) -( 14/4){(YZ/xy)(D Zx - D Zy ) -( 7/4){(YZ/zx)[1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 7/4){(YZ/yz)[1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] + (D Zx - D Zy )(YZ/xx)} + (D ZX D Zy (YZ/xx)} - D Zx D Zz [4(YZ/xx) + D Yz D Zz ]} + D Zy D Zz [4(YZ/xx) - D Yz D Zz ]} T' (4) 0 - ( 35/8)[(1 - D Zz ) - 8D Zx D Zy ] ( 35/)D Zx D Zy (D Zx - D Zy ) ( 70/4)D Zx D Zz [1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] ( 70/4)D Zy D Zz [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] 変換行列 ( 基底 ) - 6

(4 階テンソル -)(5 次元 7 次元 9 次元 テンソルでは 倍になる ) T (4) b T (4) a T (4) 1b T (4) 1a T (4) 0 T' (4) 4b ( 7/){D Xz D Yz (XY/xx) ( 7/){D Zx D Zy (1 + D Zz ) ( 14/4){(XX/zx)(D Xz - D Yz ) ( 14/4){((XX/yz)(D Xz - D Yz ) -( 35/8)[(1 - D Zz ) - (D Xz -D Yz )(XX/xx)} - (D Xz - D Yz )(XX/xy)} - D Xz D Yz (XY/zx)} - D Xz D Yz (XY/yz)} - 8D Xz D Yz ] T' (4) 4a ( 7/){D Xz D Yz (XX/xx) ( 7/){D Xz D Yz (XX/xy) ( 14/4){(XY/zx)(D Xz - D Yz ) -( 14/4){((XY/yz)(D Xz - D Yz ) ( 35/)D Xz D Yz (D Xz - D Yz ) + (D Xz - D Yz )(XY/xx)} + (D Xz - D Yz )(XY/xy)} + D Xz D Yz (XX/zx)} + D Xz D Yz (XX/yz)} T' (4) 3b -( 14/4){(XZ/xx)[1 + D Zz -( 14/4){(ZX/xy)[1 + D Zz -( 7/4){(ZX/zx)[1 - D Zz -( 7/4){(ZX/yz)[1 - D Zz ( 70/4)D Xz D Zz [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] + (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] + D Xz D Zz [4(XX/xx) + (D Zx - D Zy )]} + D Xz D Zz [4(XX/xy) + (D Zx - D Zy )]} - D Xz D Zz [4(XX/zx) + D Zx D Zz ]} - D Xz D Zz [4(XX/yz) + D Zy D Zz ]} T' (4) 3a -( 14/4){(Yz/xx)[1 + D Zz -( 14/4){(YZ/xy)[1 + D Zz -( 7/4){(YZ/zx)[1 - D Zz -( 7/4){(YZ/yz)[1 - D Zz ( 70/4)D Yz D Zz [1-D Zz - (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] + (D Xz - D Yz )] + (D Xz - D Yz )] +(D Xz -D Yz )] - D Yz D Zz [4(XX/xx) - (D Zx - D Zy )]} - D Yz D Zz [4(XX/xy) - D Zx D Zy ]} + D Yz D Zz [4(XX/zx) - D Zx D Zz ]} + D Yz D Zz [4(XX/yz) - D Zy D Zz ]} T' (4) b (1/4){7(D Zx - D Zy )(D Xz - D Yz ) (1/){7D Zx D Zy (D Xz - D Yz ) ( /4){(1-7D Zz )(XX/zx) ( /4){(1-7D Zz )(XX/yz) -( 5/4)(1-7D Zz )(D Xz - D Yz ) + (7D Zz - 5)(XX/xx)} - (5-7D Zz )(XX/xy)} - 7D Zx D Zz (D Xz D Yz )} - 7D Zy D Zz (D Xz - D Yz )} T' (4) a (1/){7D Xz D Yz (D Zx - D Zy ) (1/){14D Xz D Yz D Zx D Zy ( /4){(1-7D Zz )(XY/zx) ( /4){(1-7D Zz )(XY/yz) -( 5/)(1-7D Zz )D Xz D Yz - (5-7D Zz )(XY/xx)} - (5-7D Zz )(XY/xy)} - 14D Xz D Yz D Zx D Zz } - 14D Xz D Yz D Zy D Zz } T' (4) 1b ( /4){(1-7D Zz )(ZX/xx) ( /4){(1-7D Zz )(ZX/xy) -(1/4){(3-7D Zz )(ZX/zx) -(1/4){(3-7D Zz )(ZX/yz) ( 10/4)(3-7D Zz )D Xz D Zz - 7D Xz D Zz (D Zx - D Zy )} - 14D Xz D Zx D Zy D Zz } - 14D Xz D Zx D Zz } - 14D Xz D Zy D Zz } T' (4) 1a ( /4){(1-7D Zz )(YZ/xx) ( /4){(1-7D Zz )(YZ/xy) (1/4){(3-7D Zz )(YZ/zx) -(1/4){(3-7D Zz )(YZ/yz) ( 10/4)(3-7D Zz )D Yz D Zz - 7D Yz D Zz (D Zx - D Zy )} - 14D Yz D Zx D Zy D Zz } - 14D Yz D Zx D Zz } - 14D Yz D Zy D Zz } T' (4) 0 -( 5/4)(1-7D Zz )(D Zx - D Zy ) -( 5/)(1-7D Zz )D Zx D Zy ( 10/4)(3-7D Zz )D Zx D Zz ( 10/4)(3-7D Zz )D Zy D Zz (1/8)(3-30 D Zz + 35 D Zz 4 ) (AB/cd) = D Ac D Bd + D Ad D Bc, (AB/xx) = D Ax D Bx - D Ay D By, (XX/ab) = D Xa D Xb - D Ya D Yb, (XX/xx) = (1/)(D Xx + D Yy - D Xy - D Yx ) 変換行列 ( 基底 ) - 7

座標回転 ( オイラー角で表したとき ) における変換行列 : D = R Z ( ) R y ( ) R z ( ) (1 階テンソル ) T (1) 1b T (1) 1a T (1) 0 T' (1) 1b cos cos cos - sin sin cos sin cos + sin cos -cos sin T' (1) 1a -sin cos cos - cos sin -sin sin cos + cos cos sin sin T' (1) 0 cos sin sin sin cos ( 階テンソル ) T () b T () a T () 1b T () 1a T () 0 T' () b (1/4){cos cos (cos + 3) (1/4){cos sin (cos + 3) -(1/){cos cos sin -(1/){cos sin sin -( 3/4){cos (cos - 1)} - 4sin sin cos +4sin cos cos - sin sin sin + sin cos sin T' () a -(1/4){sin cos (cos + 3) -(1/4){sin sin (cos + 3) (1/){sin cos sin (1/){sin sin sin +( 3/4){sin (cos - 1)} +4cos sin cos - 4cos cos cos + cos sin sin - cos cos sin T' () 1b (1/){cos cos sin (1/){cos sin sin cos cos cos cos sin cos -( 3/) cos sin - sin sin sin + sin cos sin - sin sin cos + sin cos cos T' () 1a -(1/){sin cos sin -(1/){sin sin sin -sin cos cos -sin sin cos ( 3/) sin sin + cos sin sin - cos cos sin - cos sin cos + cos cos cos T' () 0 -( 3/4){cos (cos - 1)} -( 3/4){sin (cos - 1)} ( 3/) cos sin ( 3/) sin sin (1/4)(3 cos + 1) 変換行列 ( 基底 ) - 8

(3 階テンソル -1/) T (3) 3b T (3) 3a T (3) b T (3) a T' (3) 3b (1/16){cos3 cos3 (cos3 + 15cos ) -(1/16){cos3 sin3 (cos3 + 15cos ) -( 6/16){cos3 cos (sin3 + 5sin ) ( 6/16){cos3 sin (sin3 + 5sin ) - sin3 sin3 (6cos + 10)} + sin3 cos3 (6cos + 10)} - sin3 sin (4sin )} + sin3 cos (4sin )} T' (3) 3a (1/16){sin3 cos3 (cos3 + 15cos ) -(1/16){sin3 sin3 (cos3 + 15cos ) -( 6/16){sin3 cos (sin3 + 5sin ) ( 6/16){sin3 sin (sin3 + 5sin ) + cos3 sin3 (6cos + 10)} -cos3 cos3 (6cos + 10)} + cos3 sin (4sin )} - cos3 cos (4sin )} T' (3) b ( 6/16){cos cos3 (sin3 + 5sin ) -( 6/16){cos sin3 (sin3 + 5sin ) (1/8){cos cos (3cos3 + 5cos ) -(1/8){cos sin (3cos3 + 5cos ) - sin sin3 (4sin )} + sin cos3 (4sin )} - sin sin (8cos )} + sin cos (8cos )} T' (3) a ( 6/16){sin cos3 (sin3 + 5sin ) -( 6/16){sin sin3 (sin3 + 5sin ) (1/8){sin cos (3cos3 + 5cos ) -(1/8){sin sin (3cos3 + 5cos ) + cos sin3 (4sin )} - cos cos3 (4sin )} + cos sin (8cos )} - cos cos (8cos )} T' (3) 1b ( 15/16){cos cos3 (cos3 - cos ) -( 15/16){cos sin3 (cos3 - cos ) -( 10/16){cos cos (3sin3 -sin ) ( 10/16){cos sin (3sin3 - sin ) - sin sin3 (cos - )} + sin cos3 (cos - )} - sin sin (4sin )} + sin cos (4sin )} T' (3) 1a -( 15/16){sin cos3 (cos3 - cos ) ( 15/16){sin sin3 (cos3 - cos ) ( 10/16){sin cos (3sin3 -sin ) -( 10/16){sin sin (3sin3 - sin ) + cos sin3 (cos - )} - cos cos3 (cos - )} + cos sin (4sin )} - cos cos (4sin )} T' (3) 0 -( 10/16)cos3 (sin3-3sin ) ( 10/16)sin3 (sin3-3sin ) -( 15/8)cos (cos3 - cos ) ( 15/8)sin (cos3 - cos ) 変換行列 ( 基底 ) - 9

(3 階テンソル -/) T (3) 1b T (3) 1a T (3) 0 T' (3) 3b ( 15/16){cos3 cos (cos3 - cos ) - sin3 sin (cos - )} T' (3) 3a ( 15/16){sin3 cos (cos3 - cos ) + cos3 sin (cos - )} T' (3) b ( 10/16){cos cos (3sin3 - sin ) - sin sin (4sin )} T' (3) a ( 10/16){sin cos (3sin3 - sin ) + cos sin (4sin )} T' (3) 1b (1/16){cos cos (15cos3 + cos ) - sin sin (10cos + 6)} T' (3) 1a -(1/16){sin cos (15cos3 + cos ) + cos sin (10cos + 6)} ( 15/16){cos3 sin (cos3 - cos ) + sin3 cos (cos - )} ( 15/16){sin3 sin (cos3 - cos ) - cos3 cos (cos - )} ( 10/16){cos sin (3sin3 -sin ) + sin cos (4sin )} +( 10/16){sin sin (3sin3 - sin ) - cos cos (4sin )} (1/16){cos sin (15cos3 + cos ) + sin cos (10cos + 6)} -(1/16){sin sin (15cos3 + cos ) - cos cos (10cos + 6)} ( 10/16)cos3 (sin3-3sin ) ( 10/16)sin3 (sin3-3sin ) -( 15/8){cos (cos3 - cos )} -( 15/8){sin (cos3 - cos )} ( 6/16)cos (5sin3 + sin ) -( 6/16)sin (5sin3 + sin ) T' (3) 0 -( 6/16)cos (5sin3 + sin ) -( 6/16)sin (5sin3 + sin ) (1/8)(5cos3 + 3cos ) 変換行列 ( 基底 ) - 10

(4 階テンソル -1/3) T (4) 4b T (4) 4a T (4) 3b T (4) 3a T' (4) 4b (1/64){cos4 cos4 (cos4 + 8cos + 35) -(1/64){cos4 sin4 (cos4 + 8cos -( /3){cos4 cos3 (sin4 + 14sin ) ( /3){cos4 sin3 (sin4 + 14sin ) - sin4 sin4 (8cos3 + 56cos + 35) + sin4 cos4 (8cos3 + 56cos - sin4 sin3 (6sin3 + 14sin )} + sin4 cos3 (6sin3 + 14sin )} T' (4) 4a (1/64){sin4 cos4 (cos4 + 8cos + 35) -(1/64){sin4 sin4 (cos4 + 8cos -( /3){sin4 cos3 (sin4 + 14sin ) ( /3){sin4 sin3 (sin4 + 14sin ) + cos4 sin4 (8cos3 + 56cos + 35) - cos4 cos4 (8cos3 + 56cos + cos4 sin3 (6sin3 + 14sin )} - cos4 cos3 (6sin3 + 14sin )} T' (4) 3b ( /3){cos3 cos4 (sin4 + 14sin ) -( /3){cos3 sin4 (sin4 + 14sin ) (1/16){cos3 cos3 (cos4 + 14cos ) -(1/16){cos3 sin3 (cos4 + 14cos ) - sin3 sin4 (6sin3 + 14sin )} + sin3 cos4 (6sin3 + 14sin )} - sin3 sin3 (9cos3 + 7cos )} + sin3 cos3 (9cos3 + 7cos )} T' (4) 3a ( /3){sin3 cos4 (sin4 + 14sin ) -( /3){sin3 sin4 (sin4 + 14sin ) (1/16){sin3 cos3 (cos4 + 14cos ) -(1/16){sin3 sin3 (cos4 + 14cos ) + cos3 sin4 (6sin3 + 14sin )} - cos3 cos4 (6sin3 + 14sin )} + cos3 sin3 (9cos3 + 7cos )} - cos3 cos3 (9cos3 + 7cos )} T' (4) b ( 7/3){cos cos4 (cos4 + 4cos - ) -( 7/3){cos sin4 (cos4 + 4cos -( 14/16){cos cos3 (sin4 + sin ) ( 14/16){cos sin3 (sin4 + sin ) - sin sin4 (4cos3-4cos )} - ) + sin cos4 (4cos3-4cos )} - sin sin3 (3sin3 - sin )} + sin cos3 (3sin3 - sin )} T' (4) a -( 7/3){sin cos4 (cos4 + 4cos - ) ( 7/3){sin sin4 (cos4 + 4cos ( 14/16){sin cos3 (sin4 + sin ) -( 14/16){sin sin3 (sin4 + sin ) + cos sin4 (4cos3-4cos )} - ) - cos cos4 (4cos3-4cos )} + cos sin3 (3sin3 - sin )} - cos cos3 (3sin3 - sin )} T' (4) 1b -( 14/3){cos cos4 (sin4 - sin ) ( 14/3){cos sin4 (sin4 - sin ) -( 7/16){ cos cos3 (cos4 - cos ) ( 7/16){ cos sin3 (cos4 - cos ) - sin sin4 (sin3-6sin )} + sin cos4 (sin3-6sin )} - sin sin3 (3cos3-3cos )} + sin cos3 (3cos3-3cos )} T' (4) 1a ( 14/3){sin cos4 (sin4 - sin ) -( 14/3){sin sin4 (sin4 - sin ) ( 7/16){ sin cos3 (cos4 - cos ) -( 7/16){ sin sin3 (cos4 - cos ) + cos sin4 (sin3-6sin )} - cos cos4 (sin3-6sin )} + cos sin3 (3cos3-3cos )} +cos cos3 (3cos3-3cos )} T' (4) 0 ( 35/64)cos4 (cos4-4cos + 3) ( 35/64)sin4 (cos4-4cos + 3) ( 70/3)cos3 (sin4 - sin ) -( 70/3)sin3 (sin4 - sin ) 変換行列 ( 基底 ) - 11

(4 階テンソル -/3) T (4) b T (4) a T (4) 1b T (4) 1a T' (4) 4b ( 7/3){cos4 cos (cos4 + 4cos - ) - sin4 sin (4cos3-4cos )} ( 7/3){cos4 sin (cos4 + 4cos - ) + sin4 cos (4cos3-4cos )} ( 14/3){cos4 cos (sin4 - sin ) - sin4 sin (sin3-6sin )} ( 14/3){cos4 sin (sin4 - sin ) + sin4 cos (sin3-6sin )} T' (4) 4a ( 7/3){sin4 cos (cos4 + 4cos - ) + cos4 sin (4cos3-4cos )} ( 7/3){sin4 sin (cos4 + 4cos - ) - cos4 cos (4cos3-4cos )} -( 14/3){sin4 cos (sin4 - sin ) + cos4 sin (sin3-6sin )} ( 14/3){sin4 sin (sin4 - sin ) - cos4 cos (sin3-6sin )} T' (4) 3b ( 14/16){cos3 cos (sin4 + sin ) - sin3 sin (3sin3 - sin )} ( 14/16){cos3 sin (sin4 + sin ) + sin3 cos (3sin3 - sin )} -( 7/16){cos3 cos (cos4 - cos ) - sin3 sin (3cos3-3cos )} -( 7/16){cos3 sin (cos4 - cos ) + sin3 cos (3cos3-3cos )} T' (4) 3a ( 14/16){sin3 cos (sin4 + sin ) + cos3 sin (3sin3 - sin )} ( 14/16){sin3 sin (sin4 + sin ) - cos3 cos (3sin3 - sin )} -( 7/16){sin3 cos (cos4 - cos ) + cos3 sin (3cos3-3cos )} -( 7/16){sin3 sin (cos4 - cos ) + cos3 cos (3cos3-3cos )} T' (4) b (1/16){cos cos (7cos4 + 4cos ) - sin sin (14cos3 + cos )} (1/16){cos sin (7cos4 + 4cos ) + sin cos (14cos3 + cos )} ( /16){cos cos (7sin4 - sin ) - sin sin (7sin3 + 3sin )} ( /16){cos sin (7sin4 - sin ) + sin cos (7sin3 + 3sin )} T' (4) a -(1/16){sin cos (7cos4 + 4cos ) + cos sin (14cos3 + cos )} -(1/16){sin sin (7cos4 + 4cos ) cos cos (14cos3 + cos )} -( /16){sin cos (7sin4 - sin ) + cos sin (7sin3 + 3sin )} -( /16){sin sin (7sin4 - sin ) - cos cos (7sin3 + 3sin )} T' (4) 1b -( /16){cos cos (7sin4 - sin ) - sin sin (7sin3 + 3sin )} -( /16){cos sin (7sin4 - sin ) + sin cos (7sin3 + 3sin )} (1/16){cos cos (14cos4 + cos ) - sin sin (7cos3 + 9cos )} (1/16){cos sin (14cos4 + cos ) + sin cos (7cos3 + 9cos )} T' (4) 1a ( /16){sin cos (7sin4 - sin ) + cos sin (7sin3 + 3sin )} ( /16){sin sin (7sin4 - sin ) - cos cos (7sin3 + 3sin )} -(1/16){sin cos (14cos4 + cos ) + cos sin (7cos3 + 9cos )} -(1/16){sin sin (14cos4 + cos ) - cos cos (7cos3 + 9cos )} T' (4) 0 -( 5/3)cos (7cos4-4cos - 3) -( 5/3)sin (7cos4-4cos - 3) - ( 10/3)cos (7sin4 + sin ) -( 10/3)sin (7sin4 + sin ) 変換行列 ( 基底 ) - 1

(4 階テンソル -3/3) T (4) 0 T' (4) 4b ( 35/64)cos4 (cos4-4cos + 3) T' (4) 4a -( 35/64)sin4 (cos4-4cos + 3) T' (4) 3b -( 70/3)cos3 (sin4 - sin ) T' (4) 3a -( 70/3)sin3 (sin4 - sin ) T' (4) b -( 5/3)cos (7cos4-4cos - 3) T' (4) a ( 5/3)sin (7cos4-4cos - 3) T' (4) 1b ( 10/3)cos (7sin4 + sin ) T' (4) 1a -( 10/3)sin (7sin4 + sin ) T' (4) 0 (1/64)(35cos4 + 0 cos + 9) 変換行列 ( 基底 ) - 13