研究室紹介 卒業研究テーマ紹介 木村拓馬 佐賀大学理工学部知能情報システム学科第 2 研究グループ 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 1/15
木村の専門分野 応用数学 ( 数値解析 最適化 ) 内容 : 数学 + 計算機 数学の理論に裏付けされた 良い 計算方法 良さ を計算機で検証する方法について研究 目標は でかい 速い 正確 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 2/15
卒業研究のテーマ ( 例 ) 精度保証付き数値計算 計算機で計算したときの精度を保証 ( どれくらい正しいのか?) テーマによっては, 皆本研究室と協力 最適化法 条件の下で, 目的に最も適したモノをみつける モデリング, 近似解法の改良 開発, 応用 ( 実際のデータに適用 ) その他の数値解析 ( 応相談 ) 例 : 今年指導したテーマ 球面座標系で FEM Surface Fitting 熱方程式に対する精度保証付き数値計算法の改良 ( 線形相補性問題の精度保証付き数値解法の開発 ) ( 二次計画問題の数値解に対する誤差評価法の開発 ) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 3/15
例 : 最適化 回帰曲面 与えられたデータとの差が最も小さい滑らかな曲面を求める テーマの例 : 大量のデータ FEM Surface Fitting (Chen and Kimura, 2006) 計算量が大きいので近似 計算方法を工夫 データの性質に合わせて座標系を変更してみる ノルム ( 距離の測り方 ) を変更してみる [1] X. Chen and T. Kimura: Finite element surface fitting for bridge management, International Journal of Information Technology & Decision Making, Vol. 5, pp. 671 681, 2006. [2] 川﨑典子 : 球面座標系でのSurface Fitting, 佐賀大学卒業論文, 2016. 第 2 研究グループ-- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 4/15
例 : 最適化 産学連携 : 土木コンサルのため観測データから周辺の様子を推定 アメダス観測地点 環境データが欲しい地点 2005 年の年間積雪量 (cm) 2005 年の年間最高最低気温の差 ( ) 2005 年の年間降水量 (mm) [1] X. Chen and T. Kimura: Finite element surface fitting for bridge management, International Journal of Information Technology & Decision Making, Vol. 5, pp. 671 681, 2006. 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 5/15
精度保証付き数値計算とは 与えられた問題 ( 数学モデル ) の解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を丸め誤差の厳密評価を含めて特定する算法 [3,4] [3] 広中平祐 ( 編 ): 現代数理科学事典 ( 第 2 版 ), 丸善, 2009. [4] 中尾充宏 渡部善隆 : 実例で学ぶ精度保証付き数値計算 --- 理論と実装 ---, サイエンス社, 2011. 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 6/15
精度保証付き数値計算とは 与えられた問題 ( 数学モデル ) の解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を丸め誤差の厳密評価を含めて特定する算法 [3,4] 誤差を厳密に評価 [3] 広中平祐 ( 編 ): 現代数理科学事典 ( 第 2 版 ), 丸善, 2009. [4] 中尾充宏 渡部善隆 : 実例で学ぶ精度保証付き数値計算 --- 理論と実装 ---, サイエンス社, 2011. 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 6/15
例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 1 3 3 1? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 7/15
例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 1 3 3 1? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 8/15
例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 1 3 3 1? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 9/15
例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 1 3 3 1? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 10/15
例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 1 3 3 1? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 11/15
例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 1 3 3 1? 誤差が混入して 1 3 3 1 10 ( 電卓によって計算結果が違う ) ( 電卓によっては丸めて表示 ) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 7/15
例 : 丸め誤差の厳密評価 計算機 : ( ふつう ) 決まった形式の, 有限桁の数値を扱う 全ての実数は表現できない 表現できない数は丸める ( ズレる ) 丸め誤差 丸め誤差を把握 誤差 誤差 計算機で表現可能な値 0.333333 計算機で表現できない数 1/3 計算機で表現可能な値 0.333333 CPU のモード変更 : どちらを計算するか制御できる 1/3 の上限 下限を計算できる 誤差が把握できる 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 8/15
研究テーマ : 精度保証付き数値計算 ふつう数値計算では誤差が生じるが 工夫すれば誤差は把握できる CPU の丸め方向を制御 ( 最近点丸めの事前誤差評価 ) 機械区間演算 計算機でも数学的に正しく計算できる うまく応用すれば 高信頼 数学的に厳密な数値シミュレーション 計算機で数学の証明 研究テーマ ( 例 ) 誤差評価の方法を開発 既存の計算方法を改良 実装 最適化問題 連立方程式 微分方程式 など 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 9/15
誤差評価法の開発 : 微分方程式 線形熱方程式 : 有界多面体領域 : 有界区間 : 真の解 ある数値解に対する誤差評価式を導出 0.00050359380 応用して, 非線形放物型問題に対する解の存在を計算機で証明 : 数値解 と は刻み幅 [5] M.T. Nakao, T. Kimura and T. Kinoshita: Constructive a priori error estimates for a full discrete approximation of the heat equation, SIAM Journal on Numerical Analysis, 51, pp.1525 1541, 2013. [6] 末廣勇八 : 放物型方程式に対する精度保証付き数値計算法の改良, 佐賀大学卒業論文, 2016. 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 10/15
計算機による解の存在証明 : 微分方程式 非線形放物型偏微分方程式 : 有界多面体領域 : 有界区間 非線形方程式 : 数値解を中心とした集合の内部に解が存在することを計算機で証明 [12] T Residual α 2.0 2.63E 02 1.53E 02 4.0 5.26E 02 3.26E 02 6.0 7.89E 02 5.88E 02 [7] T. Kinoshita, T. Kimura and M.T. Nakao: On the a posteriori estimates for inverse operators of linear parabolic equations with applications to the numerical enclosure of solutions for nonlinear problem, Numerische Mathematik, 126, pp. 679 701, 2014. 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 11/15
誤差評価法の開発 : 連立方程式 誤差と残差の関係式を見つけて精度保証付き数値計算 例 ) 線形連立方程式 真の解 0 数値解 は残差 ( 誤差によるズレ ) このとき 誤差 と残差 の関係 よって 誤差評価式 精度保証されていない方程式にチャレンジ 良い 計算方法を開発する 速い 正確 大きい ( 例 : 記憶領域量が小さい計算方法 ) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 12/15
誤差評価法の開発 : 連立方程式 線形鞍点問題 min.. 0 定理 [8] :, 0, : とおく. 対称半正定値 列, 列, と はフルランク, が対称正定値 列となる 列とする.,, に対し, max, 対称正定値 : 簡単 速く精度保証付き数値計算できる [8] T. Kimura & X. Chen: Validated solutions of saddle point linear systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 30, pp. 1697 1708, 2009. [9] R. Kobayashi, T. Kimura, S. Oishi: Validated Solutions for Symmetric Saddle Point Linear Systems, JSST Annual Conference, 2014. 第 2 研究グループ-- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 13/15
誤差評価 : Stokes 方程式の有限要素近似解 ( Example 4.3 in [8]) 速い 大きい 正確 [8] T. Kimura & X. Chen: Validated solutions of saddle point linear systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 30, pp. 1697 1708, 2009. IBM PC (3.0 GHz Pentium 4 processor, 1GB of memory) with the use of MATLAB 7.0 and INTLAB (Version 5.4) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 14/15
誤差評価法の開発 : 連立方程式 線形鞍点問題 min.. 定理 [9] 2 max, 陳 橋本 [10] 以外の計算は共通両方計算して, 精度の良い方をとる ここで : [9] R. Kobayashi, T. Kimura, S. Oishi: Validated Solutions for Symmetric Saddle Point Linear Systems, JSST Annual Conference, 2014. [10] X. Chen, K. Hashimoto: Numerical Validation of Solutions of Saddle Point Matrix Equations, Numer. Linear Algebra Appl.,10:661 672, 2003. 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 15/15