[ 振動の発生 ] 第 1 章 土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ 復元力復元力が存在すると振動が発生する つまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2)

[ 振動の発生 ] 第 1 章 土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ 復元力復元力が存在すると振動が発生する つまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2) 運動が発生する (3) 復元力があると 振動状態になる 自由度 (degree of freedom) 運動し得る ( 座標の ) 方向の数 u z θ z z θ 並進運動 :u: u u z 回転運動 :θ: θ θ z θ u 静的に安定 静的に中立 静的に不安定 u 振り子の自由度 : 1 自由度 O θ 1 l 1 1 = lsinθ 1 = lcosθ ( 1 2 + 1 2 = l 2 ) 自由度 (degree of freedom) 運動し得る座標の数 1 自由度系モデル (Single-degree( of freedom Model): 自由度が 1 の構造系モデル 2 自由度系モデル (Two-degree( of freedom Model): 自由度が 2 の構造系モデル 多自由度系モデル (Multi-degree( of freedom Model or Sstem): 多自由度の 構造系モデル

1 自由度系モデル 2 自由度系モデル 自由振動と強制振動 (Free Vibration & Forced Vibration ) 1 2 減衰力 (Damping( Force) 定常振動と非定常振動 線形振動と非線形振動 定常振動 (Stationar( 一定の回転数で回転する機械による振動 非定常振動 (Non-stationar( 地震による構造物の振動 線形振動 (Linear( 復元力および減衰力が 振動系の変位 あるいは速度 の 1 次式で表される場合の振動 ( 復元力 :k: 減衰力 :c: c) 非線形振動 (Non-linear( 1 次式で表されない場合の振動 ( 復元力 :f(): 減衰力 :d(): d()) 定常な振動状態を表す最も基本的な式 調和振動 (Harmonic Vibration ) 単弦振動 = cos( ωt = cos( ωt っ : 変位 : 振幅 ( 最大変位 ) t: 時間 - ω(rad/s) { } ( 1 2 ) ( t = cos ω( t1 + 2π ω) = cos ωt + π = cos ω 1 周期 T:T=2π/ω

周期 振動数 円振動数 位相角 周期 (period( period): T=2π/ω( 単位 :s): 振動数 (frequenc( frequenc): ):1 秒間に何回振動するかを表したもの f=1/ =1/T=ω/(2π) ω=2πf( 単位 : 1/s Hz(H (Hertz)) 円振動数 (circular( frequenc): 角振動数 角速度とも呼ばれ 1 周期を 2π(362 36 ) としたとき 1 秒間に角度がどれだけ進むかを radian で表したもの ω( 単位 :rad: rad/s) 位相角 (phase( angle): 角速度のずれ φ( 単位 : rad) 変位 速度 f =m 度速加 f= m 例題 :f: 1 =4Hz4Hz f 2 =1Hz1Hz 時刻 t 1 で同位相 次に同位相となるのは何秒後か? T 1 = 1/f 1 = 1/4 =.25s T 2 = 1/f 2 = 1/1 =.1s.5 秒後 変位 速度 加速度 変位 : 調和振動 : 変位 速度 加速度 変位 : = cosωt, = 1cm, ω = 2π 変位 速度 加速度 = cos( ωt d π = ωsin( ωt = ωcos( ωt+ ) dt 2 d 2 2 cos( t ) 2 cos( t ) dt 2 = ω ω = ω ω + π 速度 : = ωsinωt, = 1cm, ω = 2π 速度 : 2 加速度 : = ω cosωt, = 1cm, ω = 2π 加速度 : 調和振動において 速度の位相は変位の位相より 9 進み 加速度の位相は 18 進んでいる 解説 定常振動している 1 点 の変位 速度 加速度について考える ここでは その動きを体感的に理解する目的で 図にあるように ブランコに乗っている人の動きについて考える 速 変位 :ωt= の時刻では 人はブランコの漕ぎはじめで マイナス側の最大変位の位置にいて ωt=π/2 の時刻では変位が の位置, ωt=π ではプラス側の最大変位となる 速度 : ωt= および ωt=π の時刻では 変位の折り返し点に相当し 速度は でる 徐々に速度は増加し ωt=π/2 の時刻で最大の速度となる 加速度 : ωt= から ωt=π/2 までの時刻は その間で速度は増加していることから 加速度はプラスとなる 一方 ωt=π/2 から ωt=π までの時刻は 速度は減少していることから その間の加速度はマイナスとなる ωt= および ωt=π の時刻での加速度は 次の図に示すような車の急発進時と急停車時の状況を考え 慣性力と加速度の方向が反対になるということから 理解できよう なお 車の急発進と急停車の例は 定常振動の例ではないことに留意が必要である

ブィーン! mα -α v v 1 t t 1 α +α v v 1 t t 1 α キィー! mα 慣性力 mαは加速度 α に比例し 加速度の方 向と反対方向に作用す る 留意すべきことは 変位は いずれも増加しているが 加速度は上の場合は +( 慣 性力はー ) 下の場合はー ( 慣性力は +) である 変位 速度 加速度 変位 (displacement displacement): =( 単位 : :cm m) 速度 (velocit velocit): d/dt dt=-ω ( 単位 : :cm/s m/s kine=cm/s =cm/s) 加速度 (acceleration acceleration): d 2 /dt 2 =-ω 2 ( 単位 : :cm/s 2 m/s 2 gal=cm/s 2 ) 例題 : 振動数 f = 2Hz 加速度 ω 2 = 2gal のとき 変位 は? ω = 2πf = 2 314. 2 = 125. 6rad / s = 2 / ω = 2 /( 125. 6) =. 127cm 問題 1: 変位振幅 =5cm 振動数 f=1hz と.1Hz の場合の速度およびおよび加速度加速度の最大振幅は? 加速度 (gal) 加速度 (gal) 1 5-5 阪神大震災の加速度記録 NS 成分 ( 最大値 :818gal 818gal) -1 1 2 3 4 5 6 8 6 4 2-2 -4-6 時間 (sec) EW 成分 ( 最大値 :617gal 617gal) -8 1 2 3 4 5 6 時間 (sec) 問題 2 阪神大地震では 最大加速度が 81 8gal8 という記録が観測された ( 神戸海洋気象台 ) この地震記録の卓越周期は.35 秒であった この記録が.35 秒の調和波形であった場合 最大変位は何 cm となるか

問題 3 ポートアイランドの地表で観測された記録の最大加速度は 34gal であった この地震記録の卓越周期は 1.21 2 秒である この記録が 1.22 秒の調和波形であった場合 最大変位は何 cm となるか [ 追加問題 4 ] 最大加速度が 818g al で 卓越周期が 1.2 秒の調和波形であった場合 最大変位は何 cm となるか 地盤の 1 次固有周期 ( 卓越周期 ) 問題 5 自分の住んでいる家 あるいはマンションが建つ地盤の 1 次固有周期を推定せよ T H = 4 Vs T : 地盤の卓越周期 (s)( H : 地盤表層厚さ (m) H Vs: せん断波速度 (m/s( m/s) Vs T = 地盤の 1 次固有周期 ( 卓越周期 ) n 4 i= 1 Hi Vsi T : 地盤の卓越周期 (s)( Hi : 地盤表層の各地層の厚さ (m) H1 H2 Hn Vsi: 各地層のせん断波速度 (m/s( m/s) 成層地盤 Vs1 Vs2 Vsn 地盤のせん断波速度 :Vs s (m/s) 粘性土層 : Vs = 1N 1 / 3 砂質土層 : Vs = 8N 1 /3 (1 N 25) (1 N 5) N 値 : 重量 63.5kgf(SI 単位 :622.7N) の重錘 ( モンケン ) を75cm の高さから落下し, 3cm 打ち込むために必要な打撃回数

提出要領 4 サイズの用紙 を使用 学年 組 学籍番号 氏名 を記入 郵便番号 住所 を必ず記入 何のために 土木振動学 を学ぶのか? ( この部分は返却しません この頁にも学年 学籍番号 住所 名前を記入 ) 卒業に必要な単位を取るため 将来の仕事において 土木振動学 の知識が必要だから 土木振動学 の知識がないと 正しい耐震設計や耐風設計が行えないから 多くの専門学を学び 信頼される土木技術者になり 社会の平和と発展に貢献したいから この講義に期待するもの ωt-φ ωt φ 振動のベクトル表示 点 が左回りに角速度 ωで回転 t = のとき - 軸と角度 φをなす点 O からスタートすると ベクトル O の 軸への正射影は = cos( ωt となる 軸への正射影は = sin( ωt となる 実数軸 : = cos( ωt 虚数軸 : = sin( ωt 振動の複素数表示 + i = cos( ωt + isin( ωt { } = cos( ωt + isin( ωt i( ωt iωt i * iωt = e = e e = e O ωt e e オイラーの公式 iθ iθ = cosθ + isinθ = cosθ isinθ * i = e = (cos i sin 複素振幅 :

振動の複素数表示 複素数平面におけるベクトル 実数軸 : = cos( ωt + 虚数軸 : = sin( ωt + + i = cos( ωt + + isin( ωt + { } = cos( ωt + + isin( ωt + i( ωt+ iωt i * iωt = e = e e = e O ωt ωt + a = a + b cos b = a + b sin 1 b = tan ( ) a a + ib = a + b cos + i a + b sin = a + b (cos + isin a+ ib a + b b a 複素数平面 * i = e = (cos + i sin 複素振幅 : = a + b e i 問題 1: 変位振幅 =5cm 振動数 f=1hz と.1Hz の場合の速度速度および加速度加速度の最大振幅は? =5cm, f=1hz =5cm, f=1hz ω=2πf=2 3.14 1 5=314kine 2 =(2 f)=(2 2 3.14 1) 2 ω π 5=19719gal =5cm, f=.1hz =5cm, f=.1hz ω=2πf=2 3.14.1 5=3.14kin e 2 =(2 f)=(2 3.14.1) 5=1.97gal ω π