. 正規線形モデルのベイズ推定翠川 大竹距離減衰式 (PGA(Midorikawa, S., and Ohtake, Y. (, Attenuation relationships of peak ground acceleration and velocity considering attenuation characteristics for shallow and deeper earthquakes, Proceedings of the th Earthquake Engineering Symposium, Vol., pp. 9-. (in Japanese f ˆ( M, R, H / ln = b log (. M w. ( R+ R H km b= 9M +.H + d s. w i i 係数 k=. は粘性減衰を表す係数 : 理想的には地域ごとに適切な k の値を設定することが望ましいが 回帰分析から各地での k の値を求めるには データ数が不十分である (Si, H. and Midorikawa, S. (999, New attenuation relationships for peak ground acceleration and velocity considering effects of fault type and site condition, Journal of structural and construction engineering, AIJ, No., pp. -7 c 項は震源要素を表す項 の係数 a=. の決めるのは a を変化させながら与えて 他の係数と標準偏差を求め同一の a に対してえられたる断層最短距離の場合の標準偏差と等価震源距離の場合の標準偏差の和が最小となる時の係数 a を採用する ( 司 翠川 999 不確定性は : モデル不確定性 計測不確定性 統計的不確定性 地震動の予測式 ( 距離減衰式 : 対数領域に議論する y = f ˆ( M, R + ε 誤差項 ε は N(,σ 正規分布と仮定する 地震動の特性は : 地震の震源特性 地震波の伝播特性 サイト特性の つの特性によって決まる 既往の距離減衰式は全部の要素を つの式に反映させられないため ε として残る モデル不確定性に属する σ は式の精度を反映する epistemic + intrinsic 回帰係数は確定値で 統計的不確定性考慮しない epistemic 観測値は真値とする 計測不確定性考慮しない epistemic 補正項 c を導入する 線形説明関数 (explanatory function とする (Gardoni, P., Der Kiureghian, A., and Mosalam, K.M. (, Probabilistic capacity models and fragility estimates for reinforced concrete columns based experimental observations, Journal of Engineering Mechanics, ASE, Vol., No., pp.- cx ( = y fˆ ( MR, = Xθ + ε X は変数ベクトル θ はパラメータベクトル 例えば : c = x + x + + x + u θ u θ u... θk ku εu ε ~ N(, σ ( ( 式のθ σ をベイズ推定する (Box, G.E.P., and Tiao, G.. (99, Bayesian inference statistical analysis, Addision-Wesley, Reading, Mass. pp. 7, 7. u p(σ はν s χ 分布に従う ν = n k, v vs = εε '
p(θ は t 分布に従う [ ˆ t θ, s ( XX ', v] / k Γ[ n/] XX ' s ( θ θˆ' XXθ ' ( θˆ + p( θ = k k/ + [ Γ(/] Γ( v/ v vs ( v k/ よって θ i はt[ ˆ θ, s a, v], i ii A = ( X' X ( ( ˆ' ' ( ˆ Q( θ Q θ θ θ XXθ θ, ks = Fkv (,, α するとコンターが書ける Matlab で Q( θ / s = finv([.7,.9,.9,.99],, v それぞれ 7%, 9%, 9%, 99% の HPD(Highest posterior density コンターを描く 予測分布 p(c も t 分布になる : z は新しい X のベクトル z = (, M, R (Press, S.J. (9, Applied multivariate analysis: Using Bayesian and frequentist methods of inference, Melborne, FL: Krieger. pp.,, 7,., (Press, S.J. (99, Bayesian statistics: principles, models, and applications, John Wiley & Sons, New York. pp.9. ˆ ~ t[ zθ, s ( + z'( X' X z, v] EKO.ERI: 地震研究所 n = R (km.... 7 7. 7 N.... 7 7. R (km PGA(gal c = θ x + θ x + θ x + ε u=,, n 通のモデルを考える 今回 u u u u c = θ + ε, x u =, u=,, n ( u
c = θ + M θ + ε, x u =, x u =M u, u=,, n ( u u c = θ + R θ + ε, x u =, x u =R u, u=,, n ( u u c = M θ + R θ + ε, x u = M u, x u =R u, u=,, n ( u u u c = θ + M θ + R θ + ε, x u =, x u = M u, x u =R u, u=,, n ( u u u. (x =.9... (x =. -. M.. - - ( c=. EKO.ERI Station - -... 7 c =. -.M.. (x = -. +. R (x = -.M +. R.... - - - R (Xkm - R (Xkm c = -. +.R c = -.M +.R 対数残差 対数残差 - - - R (km 7 - - - R M 7 c =..M +.R
モデル θ σ θ σ θ θm σ θm θr σ θr 不偏量 平均値 モード.9....97..77 -.....99 -.....7.77. -........ -......9. ( f (θ.. θ =.9 σ θ =. f (σ 不偏推定,. 平均値,. モード,.97 - θ. σ ( f (θ..... θ =. σ θ =.77 f (θ. θ = -. σ θ =. - - θ - - θ f (σ 不偏推定,. 平均値,. モード,.99 -. σ - - θ
(. θ = -. θ =. f (θ σ θ =. f (θ σ θ =. - θ - - θ f (σ 不偏推定,.7 平均値,.77 モード,...... σ. -. - - θ ( f (θ θ = -. σ θ =. f (θ θ =. σ θ =. - - - - θ θ f (σ 不偏推定,. 平均値,. モード,..... σ. -. -. -. -.
(. f (θ.. θ =. σ θ =. f (θ. θ = -. σ θ =.. - θ - - θ f (θ θ =. σ θ =. f (σ 不偏推定,. 平均値,.9 モード,. - - - - -. θ - θ...... σ. θ...... - -. - -
予測分布の例 = θ + ε =. = θ + θ + ε =. = θ + θ R + ε =.. = - =.7. = - =.7. = - =. (.. σ Bayes =. (.. σ Bayes =.7 (.. σ Bayes =.9... - - - - - - (... = θ + θ R + ε =. = - =. σ Bayes =. (... = θ + θ + θ R + ε =. = - = - σ Bayes =.79 f PGA (pga....... Observed:. Midorikawa:.9, σ y =.7 Bayes:.9, σ y =. Station ode : EKO.ERI (.7N, 9.7E SOUTHERN IBARAKI PREF -- ::..... - - - - PGA (gal f( c θ, σ ~ N[ θ, σ ] f ( c sample~ t ν 自由度 v> の時 正規分布に近似できる の予測分布と正規分布の仮定が違いか? ここに注意する点は条件が違うから