2-1 情報デバイス工学特論 第 2 回 MOT の基本特性
最初に半導体の電子状態について復習 2-2 i 結晶
エネルギー 分子の形成 2-3 原子 エネルギー 反結合状態結合状態反結合状態 分子 結合状態 波動関数.4 電子のエネルギー.3.2.1 -.1 -.2 結合エネルギー 反結合状態 2 4 6 8 結合状態 原子間の距離 ボンド長
結晶における電子のエネルギー 2-4 原子間距離大 小 原子 分子 結晶 電子は動き回ることができる 電子のエネルギー 反結合状態 運動エネルギー エネルギー禁制帯 結合状態 運動エネルギー
周期律表と原子の外殻電子配置 2-5 +e +2e +3e +5e +6e +7e +8e I II III I I II III H He Li e N O Ne Na Mg Al i P l Ar K a 遷移金属 Ga Ge As e r Kr Rb r In n b Te I Xe s a 希土類 Tl Pb i Po At Rn 半導体
原子 結晶 2-6
結晶における電子のエネルギー 2-7 伝導帯 伝導電子 正孔 運動エネルギー 価電子帯 基底状態では電子は価電子帯をすべて埋め 身動きできない 電子が励起されると伝導電子と正孔が形成される 伝導電子と正孔は結晶中を動くことができる
電子と正孔の熱的な形成 2-8 ermi Dirac 分布関数 f ( ) = e 1 k T + 1 T = T > k T : 電子のエネルギー : フェルミ準位 : oltzmann 定数 : 絶対温度 伝導帯 (conduction band) 伝導電子 価電子帯 (valence band) 正孔 f() k f() 価電子帯を電子が完全に満たしている 伝導電子濃度 正孔濃度 価電子帯の電子が伝導帯に熱的に遷移 ( ) ( ) n= D f d ( ) 1 ( ) p = D f d ( ) * ( 2m ) 32 e D = 2 3 2π ( ) 状態密度 * ( 2m ) 32 h D = 2 3 2π m e * : 電子の有効質量 m h * : 正孔の有効質量
有効状態密度 2-9 n p * ( ) 32 * 32 2 2 3 d + 2 me mkt e = 2 exp 2π 2π kt kt e + 1 * ( ) 32 * 32 2 2 3 d + 2 mh mkt h = 2 exp 2π 2π kt kt e + 1 >> kt >> kt ax 1 e xdx = 2a π a G = n = N exp kt 伝導帯の有効状態密度 N * mkt e = 2 2 2 π 32 1.1e (i) p = N exp kt 価電子帯の有効状態密度 N * mkt h = 2 2 2 π 32 k T ~.26e G =
真性キャリヤ密度 2-1 n = N exp kt p = N exp kt 2 np = n i i 3K N = 2.8 x 1 19 cm -3 n = N N exp i G 2kT N = 1.4 x 1 19 cm -3 n i = 1.45 x 1 1 cm -3 G = 1.8 e 真性半導体 ( 不純物を含まない半導体 ) では 伝導電子 正孔は熱的に励起される n= p= n i 真性フェルミ準位 i + kt N = + ln 2 2 N n i [cm -3 ] 1.+1 1.+5 1.+ 1.45 x 1 1 cm -3 ( 室温 ) i 1 2 3 4 T [K]
+e +2e +3e +5e +6e +7e +8e 2-11 不純物の添加により結晶の中を自由に動き回れる伝導電子と正孔を作りだすことができる I H Li Na K II He e Mg a 遷移金属 III Al Ga I i Ge N P As I O e II l r III Ne Ar Kr Rb r In n b Te I Xe s a 希土類 Tl Pb i Po At Rn III 族の原子 ( アクセプタ ) を入れる p 型半導体 族の原子 ( ドナー ) を入れる n 型半導体 +3e +5e
不純物の添加はフェルミ準位で表される 2-12 エネルギー 伝導帯 伝導帯 ~.5e 伝導帯 ドナー 1.1e 価電子帯 ~.5e アクセプタ 価電子帯 価電子帯 1 f () 1 f () 1 f () 真性半導体 p 型半導体 n 型半導体
アクセプタ準位 ドナー準位 2-13 伝導帯 電子 -q 伝導帯 ~.5e ドナー準位 +q +q ドナー 価電子帯 n 型半導体 電子がドナーに束縛されている状態 ( 原子軌道に似た状態 ) 4 mq = 8ε h 2 2 電子がドナーに束縛されていない状態 ( 真空準位に似た状態 ) 価電子帯 原子 :Rydberg =13.6 e i:ε = 11.9 ε 13.6 2 11.9.1 e
熱平衡でのキャリヤ濃度 2-14 i n= N e p = N e k T k T n= ne i p = ne i kt i kt i i =qφ n= ne i p = ne i qφ kt qφ k T 電気的中性条件 ND NA = n p φ : フェルミポテンシャル N D : ドナー濃度 N A : アクセプタ濃度 1..8 N A φ kt N N 1 D A = sinh q 2ni φ [].6.4.2. エネルギー禁制帯 ( ) sinh 1 ( x) = ln x+ x 2 + 1 ln(2 x) ln( 2 x) x >>1 x << 1 -.2 -.4 -.6 -.8-1. N D, N A [cm -3 ] N D 1 16 1 17 1 18 1 19 1 2 1 21 1 22 1 23
バンド図 2-15 バンド図 エネルギー 真空 伝導帯 伝導電子 価電子帯 正孔 は電子のエネルギー分布を, は電子の状態密度を代表 f().5 1 電子のエネルギー分布 D() 電子の状態密度 ( 量子準位の数 ) バンド図を見たらこのような図がすぐ思い浮かぶようにしよう
電界がある場合のバンド図 2-16 結晶内電子状態のエネルギー 静電エネルギー トータル エネルギー 伝導帯 + qφ = 伝導帯 伝導電子の運動エネルギー 価電子帯 位置 正孔の運動エネルギー 価電子帯 位置
電界がある場合 ( 静電ポテンシャルが変化している場合 ) のフェルミポテンシャル 2-17 真空 真空 = 真空 qφ i 伝導帯 i = qφ = qφ = qφ i 上添え字 は φ = のときの値を表す 価電子帯 フェルミポテンシャル i = qφ 静電ポテンシャル φ には直接依存しない 平衡状態では場所に依らない一定値 位置 i = q ( φ φ) n= ne i p = ne i kt i kt i n= ne i p = ne i q kt q kt ( φ φ ) ( φ φ )
矢印による物理量の表し方について 2-18 ここでは 物理量を矢印で表したとき 矢印の先の座標値から 矢印の元の座標値を差し引いた値で定義することにする A X X = A 座標軸の方向に矢印が向いている場合には物理量は正 ( X > ) 座標軸と反対に矢印が向いている場合には物理量は負 ( X < ) また A を A で表す
p 型半導体と n 型半導体をつなげると 2-19 エネルギー 伝導帯 平衡状態ではフェルミ準位 ( フェルミポテンシャル ) はどこでも同じ値でなければならない アクセプター q bi フェルミ準位 伝導帯 ドナー フェルミ準位 : 電子を 1 個付け加えるのに必要なエネルギー フェルミ準位が場所に依って異なるとフェルミ準位の低いところに電子が移動 価電子帯 p 型半導体 価電子帯 pn 接合部で静電ポテンシャルが空間的に変化 ( 電気 2 重層による電界の発生 ) n 型半導体 ビルトインポテンシャル N A φ = φ p = ne i q kt ( φ φp ) N D = φ = φ n ne i q k T ( φ φ ) n kt NAN D = φ φ = ln 2 q ni bi n p
q 1 q 2 外部印可電圧は静電ポテンシャルでは無く フェルミポテンシャルを与える 2-2 孤立して置いた場合 真空レベル qφ M qχ 電極 p n 電極 接続した場合 ( 1 = 2 ) 電位差 q 1 q 2 電極での接触電位 接続した場合 ( 1 2 )
非平衡状態への拡張 2-21 熱平衡状態電子の流れが無い状態 n= ne i p = ne i q kt q kt ( φ φ ) ( φ φ ) φ : フェルミポテンシャル n p 非平衡状態電流 = ne i = ne i q kt q kt ( φ φ ) n ( φp φ ) φ n : 電子擬フェルミポテンシャル φ p : 正孔擬フェルミポテンシャル 擬フェルミポテンシャルは imref とも呼ばれる imref は ermi を逆に書いたもの j n = qμ n+ qd n j = qμ pqd p 電流密度 n n p p p jn = qμnn φ n j = qμ p φ p p p 平衡状態 ( 電流 = ) は擬フェルミポテンシャルが場所に依らず一定ということで表される 外部の電源 ( 電圧 ) とオーミック コンタクトで接続している場合 接続点で外部電源と熱平衡にあるとして φ n = φ p =
MO キャパシタ 2-22 ゲート ( G ) エネルギー 金属 絶縁体 ( 酸化膜 ) -qg -qφ -qφ i i p 型 i x ゲートのフェルミ準位 基板 () x コンタクトでのフェルミ準位 = 外部印加電圧
lat-band 電圧 真空レベル qφ M = q + qχ 2-23 -qφ M M -q -qχ =Φ χ φ M 数値例 (3K) Φ M Al n + -polyi q 4.1 e 4. e i p + -polyi 5.2 e χ 4.5 e ( - i )/q.55 e 酸化膜中のイオン 酸化膜中の電荷や界面電荷が存在すると それによる電位も補わなければならない M + 界面電荷 Q i Q 1 = t ox i ox ox tox ρ( x) xdx ox ε = t ox ox 酸化膜中の電荷密度
エネルギー 半導体領域 ( x > ) において 2-24 -qg -qφ -qφ i i 伝導電子濃度正孔濃度 Poisson 方程式 n= ne i p = ne i q k T q k T ( φ φ ) ( φ φ ) ゲートのフェルミ準位 d dx 2 2 ρ φ = ε ρ = qn ( N n+ p) D A x x で ρ =, φ = kt N N = ne ne D A i i q φ q φ kt 2 q q q q d qn φ φ φ φ i k T kt kt kt φ = e e 1 e e 1 2 dx ε
電界 x dφ = dx 2qφ 2kT qφ kt x =, e ql D kt (, ) ( ) x x = + 1+ ( 1) x y sign x e x y e x L ktε D = : extrinsic Debye length 2 qna 2-25 半導体基板中の電荷量 ( 単位面積あたり ) 2qφ 2εkT qφ kt Q = ρdx= ε ( ), x x= = e ql D kt accumulation depletion.1 weak inversion strong inversion Q [/cm 2 ].1 φ φ 1. 1 6 Q > Q < 1. 1 8 i -.5.5 1 1.5 φ [] N A = 2x1 17 cm -3
Q [/cm 2 ] accumulation depletion.1.1 1. 1 6 1. 1 8 Q > weak inversion φ φ i strong inversion Q < 1.5 1.5 -.5 L D ~ 9.2nm L D φ s = 1.4 5 1-6.1.15.2 c 1.5 1.5 -.5 2-26 x = 付近 ( 青鎖点領域 ) を拡大 ~1nm 1 1-7 2 1-7 3 1-7 4 1-7 5 1-7 -.5.5 1 1.5 φ [] -1-1.5 1.5 空乏層 φ s =.5 x -1-1.5 反転層 伝導電子が界面に誘起 空乏層の幅は L D の 5~1 倍 反転層 蓄積層の厚さは L D よりもはるか に小さい 1.5 -.5 5 1-6.1.15.2-1 -1.5 1.5 φ s =.5 1.5 正孔が界面に誘起 蓄積層 1 1.5.5 -.5 5 1-6.1.15.2 -.5 1 1-7 2 1-7 3 1-7 4 1-7 5 1-7 -1-1 -1.5-1.5
ゲート電圧との関係 2-27 ゲート ( G ) 金属絶縁体 ( 酸化膜 ) p 型 i 基板 () エネルギー -qg ゲートのフェルミ準位 t ox -qφ -q ox -qφ i i x G = ox + φ ゲート絶縁膜での電圧降下 ox ox Q = ε = t ox ox ox t ox = 1 nm N A = 2x1 17 cm -3 1.75 φ 2φ Q = +φ G ox.5.25-15 -1-5 5 1 15 -.25 G
MO キャパシタ 2-28 ゲート ( G ) 金属絶縁体 ( 酸化膜 ) p 型 i 基板 () ox : 絶縁膜のキャパシタンス s : 半導体のキャパシタンス / ox 1 キャパシタンス ( 単位面積あたり ) 1 1 1 = + = ox dq dφ t ox = 1nm.8.6.4.2 at φ =2φ ε s s( φ s = ) L N A = 2x1 17 cm -3 1 = tox ε ox D LD + ε -3-2 -1 1 2 3 4 5 G
MO キャパシタ - 高周波 2-29 ゲート ( G ) 金属絶縁体 ( 酸化膜 ) p 型 i 反転層 空乏層 反転層の電子は端子に接続されてなく 孤立している 反転層の電子密度が変わるには電子 正孔対の形成が必要 電子 正孔対形成のレートは小さく 反転層の電子が平衡に達するには時間が必要 高周波でのキャパシタンス 2εkT qφ Q =, y qld kt dq = dφ 計算式低周波高周波強反転 Q = +φ 基板 () G fb ox y = e y = e 電子密度の項 2qφ k T y = 高周波 : 直流ゲート電圧 + 高周波小信号強反転 : ゲート電圧を高速に変化 2qφ k T y = e 2qφ k T y = y = 反転層の電子は追従できず電子密度は凍結される / ox 1.8.6.4.2-3 -2-1 1 2 3 4 5 低周波高周波強反転 G
強反転領域でのキャリヤ分布 2-3 φ s = 1 1.5 1.5 電荷密度 -.5-1 -1.5 5 1-6.1.15.2 Q x 2 1 17 hole concentration N A Q n 不純物電荷 ( 空乏層 ) p [cm -3 ] 1.5 1 17 1 1 17 5 1 16 反転層の電子電荷 n [cm -3 ] 7 1 15 5 1-6.1.15.2 electron concentration 6 1 15 5 1 15 4 1 15 3 1 15 2 1 15 1 1 15 5 1-6.1.15.2 Q = ρdx= Q + Q n ( ) Q =q N N p dx A D Qn =q ndx
空乏層近似で Q を評価 2-31 p 2 1 17 hole concentration N A N A p [cm -3 ] 1.5 1 17 1 1 17 5 1 16 5 1-6.1.15.2 W x d qn 2 A 2 dx φ = ( < x < W ) ε 2 d 2 dx φ = ( W < x ) dφ φ = = ( x = W ) dx Q qn φ A = ( W x ) 2ε φ = qn W A Q qn A = W 2ε = 2 W [cm] 8 1-6 6 1-6 2 4 1-6 2 1-6 2qN ε φ A W ε φ qn max 2 A 最大空乏層幅 ( φ = 2φ ) 空乏層近似計算式 (p = N A /2となる点で評価).5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 G
閾値反転層が形成されるゲート電圧 2-32 Q = +φ G ox Q = Qn + Q 反転層の電荷 閾値 Q Qn =ox G φ + φ 2φ ( 反転層の伝導電子濃度 = 基板濃度 ) ( ) = ox G T Q T = + φ + 2φ + ox ox 2qN ε 2 ( φ ) A ox T T ( ) φ = 3 [] ( φ ) = + φ + T T 2qN ε 2 ( φ ) A ox 2.5 2 1.5 基板濃度により閾値の調整が可能 1.5 15 16 17 18 1 1 1 1 N A [cm -3 ]
ソース n ゲート G L チャネル p x 基板 MOT の特性解析 ドレイン D n 空乏層 y MOT ではソース ドレインが加わり 電位関係が複雑 gradual channel 近似 y 方向の電界は x 方向の電界に比べ小いと 仮定 チャネルが形成されているとする チャネルの電位 ( 電子の擬フェルミポテンシャ ル ) はソース ドレインの電圧で決められる 2-33 Q [ φ ] n = ox G 2 + + ox Q q( +2φ ) q qφ i q [ φ ] Q = 2qN ε 2 + A qφ n ox G T ( ( )) Q = y チャネルは強反転しており 電子の擬フェルミポテンシャルは i の qφ 上にある x () = ( L) = D + 2φ + T 2qN ε 2 ( φ ) A ox
G T > D > 2-34 ソース n L x ゲート G チャネル p (y) 基板 ドレイン D n 空乏層 y ゲート直下 ソースからドレインまで反転層が形成される n ox G T () = ( L) = D ( ( )) Q = y I = Wμ Q n n n y y d = dy ( ) d In = Wμnox G T dy 1 L Wμ D nox ID = Idy ( ) n G T d L = L Wμnox 1 2 ID = ( G T) D D L 2
ソース n L x ゲート G p L p チャネル (y) pinch-off 基板 D > G T > ドレイン D n 空乏層 y Dsat D Dsat n ox G T ( ( )) Q = y Q n < 反転 Q n > 空乏 pinch-off 点 (Q n = ) が存在 電流は反転層での伝導で決まる 2-35 D の残りは空乏領域にかかり pinch-off 点の電位はほとんど変わらない Dsat = G T L p L 実行チャンネル長 L が減少 1 1 1 ΔL 1 = 1+ 1+ D L LΔL L L L p ( λ ) Wμnox I = +λ 2L 2 ( ) ( 1 ) D G T D