数学メモアール 第4巻, （2004）

Transcription

1 6 9 7

2

3 i , [TUY] Lie, P ŝl 2, 3 ) OPE) 2) 3) factorization property ), 2, 4 2) 4, 3) 7, 2, OPE 3, P n 3, 4, 5 6, 7 6, 7 factorization property,,, Lie Lie 2, [K] 5.2, , 7.9, 6.2, 6, 7,,, [KL]

4

5 iii. Heisenberg F λ OPE F λ ŝl ŝl Lie ŝl H j OPE P OPE Conformal Block Factorization Property Factorization Property

6

7 , OPE operator product expansion ). Heisenberg Heisenberg Lie.. Heisenberg B : B = Ca n Cc, n Z [a m, a n ] = mδ n+m,0 c, [B, c] = 0. B B = Ca Ca Cc B 3 Heisenberg, def [a, a ] = c C[x] x x d/dx a = d dx a = x c = id.), c = [ ] d dx, x = d dx x x d dx =.) B, B c = n x n C[x, x 2, ].2. C[x, x 2, ] B a n = n N) x n a n = nx n n N) a 0 = 0 c = id.2), a 0 x 0.2

8 2.3. Heisenberg B a n n 0).2) λ a 0 λ = 0 F λ = C[x, x 2, ] λ.3) λ = e λx0.4) a 0 = x 0.5) c = id.6) a 0 λ = λ λ F 0 C[x, x 2, ] x m xm2 2 0 x m xm2 2 B, C[x, x 2, ].2.4. Heisenberg B V 0 v 0 V, λ C λ ) v 0 a n n 0) a n v 0 = 0 n > 0) a 0 v 0 = λv 0 2) V a n n > 0) v 0 V = m,m 2,...) Ca m am2 2 v 0 m, m 2,...) m i, i 0, v 0.5. Heisenberg B F λ λ λ.6. F λ B. V F λ 0 0 v V, v = c m,m 2,...)x m xm2 2 λ m,m 2,...) c n,n 2,... ) 0 c n,n 2,...) 0 n, n 2,...) m, m 2,...) i m i n i c m,m 2,...) = 0 a n an2 2 xm xm2 2 λ = 0, i m i n i, a n an2 2 v = c n,n 2,...)n!n 2! λ, λ V,.5 V = F λ

9 .2. F λ OPE 3.7. Heisenberg B F λ : deg a n = n, deg c = 0, deg x m xm2 2 λ = j N jm j., m, m 2,...) m i 0 i m i = 0 F λ d F λ d) F λ = d 0 F λ d) F λ d) = {v F λ deg v = d} { } = span x m xm2 2 λ jmj = d.8. Heisenberg B a n n, a n F λ d) F λ d n).9. F λ d { dim F λ d) = # m, m 2, ) d = } jm j = pd), pd) dim F λ d) chf λ chf λ = dim F λ d)q d def d 0 = d 0 pd)q d = q n ) n.2 F λ OPE B F λ, OPE) az).0. z a n az) = a n z n def n Z az) : F λ F λ [[z, z ]], az), z az) ϕ az) u az) P

10 4 F λ F λ ϕ az) u. F λ restricted dual).. F λ = d 0 F λd) restricted dual) F λ. F λ d) = Hom C F λ d), C) F λ d) Hom C F λ, C) ϕ ϕ { ϕu) = def ϕu) u F λ d)) 0 u F λ d ) d d)), F λ d) F λ d) F λ F λ = d 0 F λd).2. F λ F λ, ϕ F λ, u F λ, pairing ϕ u.3. F λ a n n a n F λd) F λd + n).2 pairing.0.4. z,..., z k F z,..., z k ) : F λ F λ [[z, z, z 2, z 2,...]] z,..., z k P, u F λ ϕ Fλ ϕ F z,..., z k ) u C[[z, z,..., z k, z k ]] z,..., z k ) = 0,..., 0), z,..., z k ) P ) k z,..., z k ) = 0,..., 0) Laurent.5. az) z = 0, ϕ F λ u F λ. ϕ az) u z ϕ az) u C[z, z ] ϕ az) u = n Z ϕ a n u z n.7), ϕ F λ d ), u F λ d 2 ).8 ϕ a n u = 0 = d = d 2 n,.7) z d d2 P, z = 0,

11 .2. F λ OPE 5 az) 2 2 az)aw) ϕ F λ u F λ ϕ az)aw) u, Heisenberg B UB) UB) = T B)/ a m a n a n a m [a m, a n ] T B) B, T B) 2.20, 2.26 c = UB)/ c c c ) a n n Z) C[a n n Z)].6. Heisenberg B normal order), a n n Z) C[a n n Z)] B UB) : : C[a n n Z)] UB) :a m i a m2 i 2 a ms i s : = def a m i a m2 i 2 a ms i s i < i 2 < < i s, m j N) a n az).7. : az)aw):= m,n : a ma n : z m w n ϕ F λ u F λ ϕ :az)aw): u C[z, z, w, w ]..8,.3, n :a m a n :=:a n a m : ϕ :az)aw): u = a n u = 0 ϕ a n = 0 m,n Z ϕ :a m a n : u z m w n ϕ :az)aw): u C[z, z, w, w ] ϕ az)aw) u.8. ϕ F λ u F λ ϕ az)aw) u z > w > 0 : ϕ az)aw) u = ϕ u + ϕ :az)aw): u. z w) 2, az)aw) z, w) P P 2, z, w = 0, z = w, ϕ, u az)aw) = + :az)aw):.8) z w) 2 z = w singular part operator product expansion OPE)

12 6. [a m, a n ] = mδ m+n,0 c ϕ az)aw) u ϕ :az)aw): u = ϕ [a n, a n ] u z n w n n = z w ) n 2 n ϕ u z n = z w) 2 ϕ u, z > w > 0.9. z > w > 0 az)aw) w > z > 0 aw)az), z, w P : az)aw) = aw)az)..9), ϕ F λ u F λ ϕ az)aw) u ϕ aw)az) u 2.9) ϕ az)aw) u = ϕ aw)az) u..8.8) :az)aw):=:aw)az):.9).20. λ = 0, 0 F 0 0), 0 F 0 0) 0 0 = z,..., z k F z,..., z k ) vacuum expectation).2. az)aw) F z,..., z k ) = 0 F z,..., z k ) 0 :az)aw): = 0.0) az)aw) = z w) 2.)..0) :az)aw): = 0 :az)aw): 0 = 0 :a m a n : 0 z m w n = n,m Z 0 a m a n 0 z m w n + 0 a n a m 0 z m w n.2) m<0,n Z m 0,n Z.3 m < 0 0 a m = 0,.8 m > 0 a m 0 = 0,.3 a 0 0 = 0,.2) 0.).0).8) 0 0 =.22..8).2 az)aw) =: az)aw): + az)aw) F λ λ 0)

13 .2. F λ OPE 7 3 az) Wick.23 Wick). F λ z ),..., z) : :az ) ) az) i )::az 2) = az p) j p )az q) j q ) az2) i 2 ) az pn) j pn i, z 2),..., z2) i 2 ): :az k) ) azk) i k ): )az qn) j qn ) : ǎz p) j p,..., z k),..., zk) i k ) ǎz q) j q ) ǎz pn) j pn ) ǎz qn) j qn ) : n 0, p < q,..., p n < q n, : ǎz p) j p ) ǎz q) j q ) ǎz pn) j pn ) ǎz qn) j qn ) : az p) j p ), az q) j q ),..., az pn) j pn ), az qn) j qn ) Wick az )az 2 )az 3 ) =: az )az 2 )az 3 ) : + az )az 2 ) az 3 ) + az )az 3 ) az 2 ) + az 2 )az 3 ) az ) az )az 2 )az 3 )az 4 ) =:az )az 2 )az 3 )az 4 ): + i,i 2,j,j 2 az i )az i2 ) :az j )az j2 ): +.3) i,i 2,j,j 2 az i )az i2 ) az j )az j2 ).4) :az )az 2 ): az 3 ) = :az )az 2 )az 3 ): + az )az 3 ) az 2 ) + az 2 )az 3 ) az ).5) :az )az 2 )::az 3 )az 4 ): =:az )az 2 )az 3 )az 4 ): + az )az 3 ) :az 2 )az 4 ): + az )az 4 ) :az 2 )az 3 ): + az 2 )az 3 ) :az )az 4 ): + az 2 )az 4 ) :az )az 3 ): + az )az 3 ) az 2 )az 4 ) + az )az 4 ) az 2 )az 3 ).6) energy-momentum tensor) T z) Fourier mode L n : T z) = :az)az):,.7) 2 T z) = L n z n 2..8) n Z.8 az) 2,.7),.7 ϕ F λ u F λ ϕ T z) u C[z, z ] T z) aw) OPE.25. Laurent T z)aw) z > w > 0, aw)t z) w > z > 0, T z)t w) z > w > 0 z, w = 0, z = w z = w singular part T z)aw) aw)t z).9) z w) 2 aw) + z w waw) T z)t w) /2 2T w) id + z w) 4 z w) 2 + wt w) z w z = w regular part.20)

14 8..5) T z)aw) = 2 :az)2 : aw) = 2 :az)2 aw): + az)aw) az),, /2) :az) 2 aw): z = w, az) z = w az) = aw) + w aw)z w) waw)z w) az)aw) = /z w) 2,.9).5).6) T z)t w) = 4 :az)2 ::aw) 2 :.20) = 4 :az)2 aw) 2 : + az)aw) :az)aw): + 2 az)aw) az)aw) = :T z)t w): + z w) 2 :aw)aw) + waw)z w) + ): + 2z w) 4 /2 2T w) id + z w) 4 z w) 2 + wt w) z w.8),.9),.20) 3 z = w singular part, Fourier mode {a n }, {L n } F λ { [L m, aw)] = w m w d } + m + ) aw).2) dw { [L m, T w)] = w m w d } + 2m + ) T w) + m3 m w m 2.22) dw T z)aw) z > w > 0 T z)aw) = n Z L naw)z n 2 z = 2π T z)aw)z m+ dz = z= 2π = 2π L m aw) = 2π = 2π z=0 z= = L m aw) T z)aw)z m+ dz T z)aw)z m+ dz + z= n Z z =0 n Z L n aw)z m n dz L n aw)z ) n m dz ) 2π z=w T z)aw)z m+ dz.23)

15 .2. F λ OPE 9 z = 0 w > z > 0 aw)t z), z = w w > z w > 0 T z)aw) OPE.9).23) =.22).27. F λ 2π z=0 aw)t z)z m+ dz + 2π z=w { aw) z w) 2 + waw) z w = aw)l m + m + )w m aw) + w m+ w aw) = aw)l m + w m {w w + m + )} aw) } z m+ dz [L m, a n ] = na m+n.24) [L m, L n ] = m n)l m+n + m3 m δ m+n,0 id.25) 2..2) aw) = n Z a nw n w = 0 [L m, a n ] = = = = 2π 2π 2π 2π [L m, a p ] w n p dw w=0 p Z w=0 w=0 [L m, aw)] w n dw { w m+n w d } + m + ) aw)dw dw { p + )ap w m+n p + m + )a p w m+n p } dw w=0 p Z = m + n + )a m+n + m + )a m+n = na m+n.25) L n.25) Virasoro Lie.28. Virasoro Lie : V ir = n Z CL n Cc v m 3 m [L m, L n ] = m n)l m+n + δ m+n,0 2 [V ir, c v ] = 0. Lie Cξ)) d dξ l m = def ξ m+ d dξ c v [l m, l n ] = m n)l m+n Virasoro Cξ)) d dξ

16 ) F λ {L n } V ir c v =. Virasoro V ir V ir c v c v central charge) F λ.27 az)aw) OPE.8) [a m, a n ] = mδ m+n,0 id [a m, aw)] = mw m.26) OPE Fourier mode.3 F λ ŝl 2 Heisenberg B P OPE 2 Heisenberg Lie ŝl 2 B F λ ŝl 2 V λ z) µ C e µx0 : F λ F λ+µ v e µx0 v e µx0 e µx0, F λ λ e µx0 λ ) = e µx0 e λx0 = e λ+µ)x0 = λ + µ F λ+µ ϕz) = x 0 + a 0 log z n 0 a n n z n.27) ϕz), az) x 0, z ϕz) = az).29. a n exp λa n /n)z n ) { :exp λ a m m z m) exp µ a n n z n) exp λ am m : = z m) exp µ an n z n) m n) exp µ an n z n) exp λ am m z m) m > n) { :a m exp µ a n n z n) a m exp µ an n : = z n) m n) exp µ an n z n) a m m > n) 3 a n n.30. λ C V λ z) = :e λϕz) : def = exp λ n<0 ) a n n z n e λx0 exp λa 0 log z) exp λ ) a n n z n n>0 λ

17 .3. F λ ŝl 2.3. V µ z) F λ F λ+µ P z = 0,, ϕ F λ+µ u F λ ϕ V µ z) u z λµ C[z, z ]..30 V µ z) u F λ+µ ϕ V µ z) u = ϕ exp µ ) a n n z n e µx0 z µa0 exp µ ) a n n z n u.28) n<0 n>0 m,n > 0 a m, a n exp µ ) a n n z n u = exp µ a n n z n) u n>0 n>0 = µ) m an m! n z n) m u Fλ [z ].29) n>0 a n n,.29) 0 ϕ exp µ ) a n n z n Fλ+µ[z] n<0 m 0 z µa0 F λ z λµ ϕ V µ z) u, ϕ V µ z) u z λµ C[z, z ] λµ Z ϕ F λ+µ, u F λ ϕ V µ z) u z λµ V λ z) OPE.33. V λ z)v µ w), az)v λ w), T z)v λ w) z > w > 0 z = w : V λ z)v µ w) = z w) λµ :V λ z)v µ w):.30) az)v λ w) = λ z w V λw)+ :az)v λ w):.3) T z)v λ w). ϕ F λ+µ+ν, u F ν λ 2 2z w) 2 V λw) + z w wv λ w).32) ϕ V λ z)v µ w) u = ϕ exp λ ) a m m z m e λx0 z λa0 exp λ ) a m m z m m<0 m>0 exp µ ) a n n w n e µx0 w µa0 exp µ ) a n n w n u n<0 n>0 m + n 0 = [a m, a n ] = 0

18 2, exp λ ) a m m z m m>0 exp µ ) a n n w n n>0 = exp λ a m m>0 m z m = exp µ a ) n n w n n>0 ), m + n 0 exp λ a m m z m) exp µ a n, m exp λ am m z m) exp Campbell-Hausdorff µ a n n w n) exp λ a m m z m) ) µ a m m wm n w n) = exp e X e Y = e X+Y )+ 2 [X,Y ]+ 2 [[X,Y ],Y ] 2 [[X,Y ],X]+.33) X = λa m /m)z m, Y = µa m /m)w m, [X, Y ] [ λ a m m z m, µ a m m wm] = λµ w ) m c m z, B.33) [X, Y ] 3 0 exp λ a m m z m) exp µ a m m wm) [ = exp λ a m m z m, µ a m m wm]) exp = exp λµ w ) ) m exp m z µ a m µ a m m wm) exp m > 0, n < 0 exp λ ) a m m z m exp µ ) a n n w n m>0 n<0 = exp λ a m m z m) m>0 n<0 = exp λµ w ) ) m exp m z m>0 Taylor m>0 exp µ a n n w n) n<0 log + x) = exp λµ w ) ) m m z m wm) exp λ a m m z m) µ a n n w n) ) n= n xn n m>0 λ a m m z m) ) = exp λµ w ) m m z m>0 = exp λµ log w )) z = w ) λµ z exp λ a m m z m).34).34) = w ) λµ exp µ ) a n z n w n exp λ ) a m m z m n<0 m>0

19 .3. F λ ŝl ).30) z λa0 e µx0 = e µx0 z λa0 z λµ[a0,x0] = e µx0 z λa0 z λµ az)v λ w) m :a m z m V λ w): :a m z m V λ w):= exp λ ) a n n w n a m z m e λx0 w λa0 exp λ ) a n n w n m < 0) n<0 n>0 exp λ ) a n n w n e λx0 a 0 z w λa0 exp λ ) a n n w n m = 0) n<0 n>0 exp λ ) a n n w n e λx0 w λa0 exp λ ) a n n w n a m z m m > 0) n<0 n>0 m > 0 a m exp λ a m m wm), a 0 e λx0, e λx0 a 0 z e λx0 = e ad λx0) a 0 z ) = λ) n adx 0 ) n a 0 z ) n! n 0 = a 0 z + λz a 0 z e λx0 = e λx0 a 0 z + λz e λx0 m > 0 exp λ a m m wm) a m z m exp λ a m m wm) = exp ad λ a m m wm)) a m z m a m z m exp = λw m /m) n ada m ) n a m z m n! n 0 ) = a m z m + λwm [a m, a m ] z m m ) = a m z m + λwm m)z m m = a m z m + λz w ) m z λ a m m wm) = exp λ a m m wm) a m z m + λz w ) m exp λ a m z m wm) az)v λ w) = :az)v λ w): +λz m 0 w z ) m Vλ w) = :az)v λ w): + λ z w V λw) T z)v λ w) T z).7).8) az)az ) /z z ) 2 z = z, z z 2T z) T z) = 2 lim z z az)az ) ) z z ) 2

20 4 az)az )V λ w), V λ w) Wick.23) az)az )V λ w) = az) :az )V λ w): + λ ) z w V λw) = :az)az )V λ w): + z z ) 2 V λw) + λ z w :az )V λ w): λ 2 + z w)z w) V λw) + λ z w :az)v λw): 2 az) az ) OPE.8), 3 az) V λ w) OPE.3) T z)v λ w) = 2 lim z z az)az )V λ w) λ 2 ) z z ) 2 V λw) = :T z)v λ w): + 2z w) 2 V λw) + λ z w :az)v λw): az) z = w w V λ w) w V λ w) = w exp λ ) a n n w n e λx0 w λa0 exp λ ) ) a n n w n n<0 n>0 = λ ) a n w n exp λ ) a n n w n e λx0 w λa0 exp λ ) a n n w n n<0 n<0 n>0 + exp λ ) a n n w n e λx0 λa 0 w w λa0 exp λ ) a n n w n n<0 n>0 + exp λ ) a n n w n e λx0 w λa0 λ ) a n w n exp λ ) a n n w n n<0 n>0 n>0 = λ :aw)v λ w): T z)v λ w) = λ 2 2z w) 2 V λw) + λ z w :aw)v λw): λ 2 2z w) 2 V λw) + z w wv λ w) ŝl H 0, H Hz), Ez), F z) : H 0 = n Z F 2n H = F 2n+ 2) n Z Hz) = 2az) Ez) = V 2 z) F z) = V 2 z)

21 .3. F λ ŝl 2 5 Hz), Ez), F z) Fourier mode Hz) = Hn)z n n Z Ez) = En)z n n Z F z) = F n)z n n Z Hz), Ez), F z) OPE X, Y H, E, F Xz)Y w) T z)xw) X Y ) z w) 2 id + [X, Y ] w) z w.35) z w) 2 Xw) + z w wxw).36) [X, Y ] sl 2, X Y ) = trxy )..36).9).32),.35) X = H.3), X = E, Y = F.30), V 2 z) z = w,, Ez)F w) = z w) 2 :V 2 z)v 2 w): V 2 z) = V 2 w) + z w) wv 2 w) + = V 2 w) + z w) 2 :aw)v 2 w): + :V 2 w)v 2 w): = :e 2ϕw) e 2ϕw) : = :e 2ϕw)+ 2ϕw)) : =.37) Ez)F w) z w) 2 :V 2 w)v 2 w): +z w) 2 :aw)v 2 w)v 2 w):.38),.38).37) /z w) ,, :aw)v 2 w)v 2 w): = aw) :V 2 w)v 2 w): = aw).38) = = z w) 2 + 2aw) z w z w) 2 + z w Hw).35)

22 6 OPE.27 Hn), En), F n).36. H 0, H [Xm), Y n)] = [X, Y ] m + n) + mδ m+n,0 X Y ) id.39) [L m, Xn)] = nxm + n).40).39) H 0, H ŝl 2 ŝl 2 2, H0), L 0 H 0, H.37. H0), L 0 F λ d F λ d) H0) = 2a 0 = 2λid L 0 = 2 a2 0 + n a n a n = H 0, H : ) 2 λ2 + d id H0) = L 0 = { 2nid on F 2n ) 2n + )id on F 2n+ 2) ) { n 2 + d)id on F 2n d)) n ) ) d id on F 2n+ 2) d)). λ F λ n > 0 a n λ = 0, a 0 λ = λ λ L 0 λ = 2 λ2 λ.6,.8 F λ d) a m am2 2 λ j jm j = d).24) L 0 a m am2 2 λ = a L 0 a m a m2 2 λ + am am2 2 λ = a 2 L 0 a m 2 a m2 2 λ + 2am am2 2 λ = a m L 0a m2 2 λ + m a m am2 2 λ = a m a 2L 0 a m λ + m + 2)a m am2 2 λ. = a m am2 2 L 0 λ + m + 2m 2 )a m am2 2 λ = a m am2 2 L 0 λ + ) jmj a m am2 2 ) λ = 2 λ2 + d a m am2 2 λ L 0 = ) 2 λ2 + d id on F λ d))

23 7 2 ŝl 2 ŝl 2 2 ŝl 2 OPE 2. Lie ŝl 2 Lie [K] 2.. sl 2 Lie : g = sl 2 = CH CE CF, ) 0 H =, 0 ) 0 E =, 0 0 ) 0 0 F =. 0, X, Y g X Y ) = trxy ) ) g sl 2 [H, E] = 2E [H, F ] = 2F [E, F ] = H X Y ) 2.2. ) X, Y, Z g [X, Y ] Z) = X [Y, Z]) 2.3. g Lie ĝ f Lie : ĝ f = g C[ξ, ξ ] CK Cd. X, Y g, f, g C[ξ, ξ ] [X f, Y g] = [X, Y ] fg + Res gdf) X Y ) K [ĝf, K ] = 0 [d, X ξ n ] = nx ξ n ξ=0

24 8 2 ŝl 2 ĝ f Laurent C[ξ, ξ ] Laurent Cξ)) Lie ĝ : ĝ = g Cξ)) CK d, { } Cξ)) = a n ξ n a n C, a n = 0 n 0). n Z ĝ f ĝ Lie, g, ĝ f Kac-Moody Lie ĝ Kac-Moody ĝ f, ĝ X ξ n Xn) = def X ξ n Xm), Y n) ĝ f [Xm), Y n)] = [X, Y ] m + n) + Res mξ m+n dξ ) X Y ) K ξ=0 = [X, Y ] m + n) + mδ m+n,0 X Y ) K 2.).39) H 0, H K = ĝ f ) {E0), F 0), H0)} ĝ f g Lie, E = E0), F = F 0), H = H0) Kac-Moody g, ĝ f ĝ f g) ĝ f g) adjoint representation) ad : ĝ f End C ĝ f adx)y) = def [x, y] x, y ĝ f g 2.6. Kac-Moody Cartan ĥ = CH0) CK Cd, h = CH, ĥ ĝf Cartan, h g Cartan 2.7. V, s EndV Lie v V s, X s v X, αx) α : s C, Xv = αx)v X s) α s s α v V bg f f finite sum)

25 2.. Lie ŝl 2 9 Lie Cartan 2.8. En), F n), Hn) ad ĥ n = 0 [H0), En)] = 2En) [H0), F n)] = 2F n) [H0), Hn)] = 0 [d, Xn)] = nxn) 2.9. E, F, H ad h [H, E] = 2E [H, F ] = 2F [H, H] = 0 Lie ĝ f Cartan ĥ ĥ α ĥ. α root) ĝ f g, ĥ h g 2.0. Lie ĝ f α, δ ĥ α H0)) = 2, α K) = 0, α d) = 0 δh0)) = 0, δk) = 0, δd) = En) nδ + α F n) nδ α Hn) nδ, ĥ 0 Lie g E α F α H 0 h Lie ĝ f 0 root system) Lie ĝ f Π Π = {α, α 0 } α 0 α 0 = δ α α, α 0 simple root)

26 20 2 ŝl Lie ĝ f α α = k 0 α 0 + k α k 0, k Z 0 ) α = k 0 α 0 + k α ) k 0, k Z 0 ) + = {k 0 α 0 + k α k 0, k Z 0 } = { k 0 α 0 + k α ) k 0, k Z 0 } = + + positive root), negative root) 2.4. α root space) ĝ f α } ĝ f α = {x ĝ f [h, x] = αh)x h ĥ) = CEn) α = nδ + α ) CF n) α = nδ α ) CHn) α = nδ) ĝ f = ĥ α ĝ f α root space decomposition) ĝ f α 0 α root vector) Lie 2.5. α, β {0} [ ] ĝ f α, ĝ f β ĝ f α+β α+β 0 ĝ f α+β = 0, α+β = 0 ĝf α+β = ĥ. x ĝ f α, y ĝ f β h ĥ Jacobi, [x, y] = 0 [h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y]] 2.2) = α + β)h) [x, y] [x, y] ĝ f α+β α + β 0 2.2) 0 ĝ f

27 2.. Lie ŝl Lie ĝ f Lie n f +, n f : n f + = α + ĝ f α = g C[ξ]ξ CE0) n f = α ĝ f α = g C[ξ ]ξ CF 0) ĝ f Lie ĝ f = n f ĥ nf + 2.3) Lie ĝ f triangular decomposition) Kac-Moody, Lie 2.7. Lie ĝ f : Lie ĝ f = ĝ f <0 CF 0) ĥ CE0) ĝf >0 2.4) ĝ f >0 = def g C[ξ]ξ ĝ f <0 = def g C[ξ ]ξ 2.8. Lie ĝ f g = Ce Cf Ch, e = E0), f = F 0), h = H0), g 0 = Ce 0 Cf 0 Ch 0, e 0 = F ), f 0 = E ), h 0 = K H0) e i, f i i = 0, ) ĝ f Chevalley 2.9. e, e 0 α, α 0 Π f, f 0 α, α 0, g, g 0 sl 2 Lie, [ĝf, ĝ f ] = g C[ξ, ξ ] CK e i, f i i = 0, ) Lie Lie Lie g = ĝ f, g, B Ug ) / Ug ) = T g ) X Y Y X [X, Y ] X, Y g T g ) g, T g ) Ug )

28 22 2 ŝl 2 Ug ) XY Y X = [X, Y ], g XY Y X = [X, Y ] Ug ) Ug ) 2.2. Lie g = ĝ f, g, B Ug ) g Ug ), Ug ) g g Lie Ug ) T g ) Ug ) F Ug ) = {F p Ug ) p Z 0 } p ) F p Ug ) = Im T n g ) Ug ) n=0 T n g ) = def g ) n T g ) n, F Ug ) : ) F 0 Ug ), 2) F p Ug ) F p+ Ug ), 3) F p Ug ))F q Ug )) F p+q Ug ), 4) Ug ) = p Z 0 F p Ug ). F Ug ) Ug ) filter) Ug ) F Ug ), F Ug ) associated graded ring) gr Ug ) = F p Ug )/F p Ug ) p=0 F Ug ) = 0 gr Ug ) σ p a)σ q b) = σ p+q ab) a F p Ug ), b F q Ug )) σ p : F p Ug ) F p Ug )/F p Ug ) Lie g V, v V Ug )v = V V F V = {F p V p Z 0 } F V : ) F p V F p+ V, 2) F p Ug ))F q V ) F p+q V, 3) V = p Z 0 F p V. F p V = F p Ug )v

29 2.. Lie ŝl 2 23 F V V filter) V, F V ) Ug ) filtered Ug )- module) V, F V ) Ug ), F V associated graded module) gr V = F p V/F p V p 0 F V = 0 gr V σ p a)τ q v) = τ p+q av) a F p Ug ), v F q V ) gr Ug ) τ p : F p V F p V/F p V Ug ) F Ug ) Lie 2.26 Poincaré-Birkhoff-Witt ). Lie g = ĝ f, g, B Ug ) gr Ug ) Sg ) Sg ) g ) 2.26 Uĝ f ) Un f ) Uĥ) Unf +) 2.5) 2.4) Uĝ f ) Uĝ f <0 ) C[F 0)] Uĥ) C[E0)] Uĝf >0 ) 2.6) g Ug) CF i H j E k 2.7) i,j,k 0 Lie ĝ f Lie ĝ f, g V ) Cartan, V ĝ f H0), K, d, g H 2) Chevalley locally nilpotent) v V ĝ f Ug 0 )v, Ug )v, g Ug)v Lie ĝ f, g V, Cartan λ ĥ h ) weight), λ V λ) weight space), weight vector), V = λ bh V λ) weight space decomposition)

30 24 2 ŝl Lie ĝ f V λ ĥ V, α {0} λ V λ) α ĝ f α ĝ f αv λ) V λ+α) V λ+α) = 0 g V, λ h V, α {±α, 0} λ V λ) α g α. 2.5 g α V λ) V λ+α) 2.3. category O Lie ĝ f ĥ ) ) H,, P H) λ,..., λ n ĥ P H) n Dλ i ) object) } Dλ) = {µ ĥ λ µ Z 0 α 0 + Z 0 α i= g V category O,, λ,..., λ n h P V ) n Dλ i ), Dλ) = {µ h λ µ Z 0 α } def i= l Z, Lie ĝ f H l, H K = l id l Z 0 l category O H H ĥ H weight lattice) ĥ Z { } ĥ Z = λ ĥ λh0)), λk H0)) Z category O category O H, H., l 2.28 H l Lie ĝ f Lie g

31 2.. Lie ŝl Lie ĝ f H, V g = g) ĥ V = { u H ĝ f >0 u = 0}. u V, X0) g X0) u V Y n) ĝ f >0 Y n)x0) u ) = X0)Y n) u ) + [Y, X] n) u = 0 X0) u V V g ĥ V g. v V H H Ug )v g = g) v v V, V, V Lie ĝ f H, V g.. V 2.36 g V = V V 2 2 g 0 V, V 2 2.6) i =, 2 Uĝ f <0 )V i = Uĝ f )V i 0 H H Uĝ f <0 )V = Uĝ f <0 )V 2 = H 2.8) 2.0, 2.30 V i Uĝ f <0 )V i d d d i i =, 2) 2.8) V Uĝ f <0 )V 2 d d 2, V 2 Uĝ f <0 )V d d 2 d = d 2 V = V 2, V 2.37 Lie ĝ f l Lie g g Lie g V V, V dim C V = dim C V g V V, j + j 2 Z) g V j j V j.4 Heisenberg B Lie g Lie ĝ f

32 26 2 ŝl Lie g ) V, v V, v 0, ) Ev = 0. 2) v 3) V v, V = Ug)v v V, v 2.4. Lie ĝ f H 2.28 ) H u H, u = 0, ) n f + u = 0. 2) u 3) H u, H = Uĝ f ) u u H, u ĥ λ, µ ĥ λ µ λ µ {k 0 α 0 + k α k 0, k Z 0 } u H H = Uĝ f ) u = Un f ) u 2.0, 2.30 u H Lie g 2j + V j jα. V j {jα, j )α, j 2)α,..., j + )α, jα }, V j α r r : ĥ ) r λ) = λ 2 λ α ) α α ) α λ ĥ ). α 0 α 0 ) = α α ) = 2, α 0 α ) = α α 0 ) = g V V j, V r Lie ĝ f

33 2.. Lie ŝl Lie ĝ f Weyl W W = r 0, r r 0 r 0 λ) = λ 2 λ α 0) α 0 α 0 ) α 0 λ ĥ )., W r 0, r Lie ĝ f H W. H λ v H λ), 2.282) Ug i )v i = 0, ) g i i = 0, ) g 0 g, 2.43 Ug 0 )v r 0, r 0 λ) λ H r 0, H r, W r 0, r H W Lie g V j Lie ĝ f { j P l = j def 2 Z 0 j l } Lie g V j ĝ f 0 = def g + ĥ) ĝf >0 dv j ) = 0, KV j ) = l, ĝ f >0 V j) = 0 Lie ĝ f M j M j = Uĝ f ) Ubg f 0 ) V j 2.9) M j Weyl M j ĝ f, k f k 0 V j Weyl M j Lie ĝ f H j j M j, H j j P l H j = M j /Uĝ f )f l 2j+ 0 j ) n f +f l 2j+ 0 j ) = 0 Uĝ f )f l 2j+ 0 j ) = Un f )f l 2j+ 0 j ) M j, H j M j ĝ f H j j j P l H j category O l H j

34 28 2 ŝl [K], Chapter 9, 0 Lie ĝ f H j j P l ) H j d H j = H j d), H j d) = {v H j dv) = dv} def d C d Z 0 H j d) = 0, H j 0) = V j Xn) : H j d) H j d n) 2.0). 2.0, ) 2.46 V j d 0, H j = Uĝ f <0 )V j H j d H j F H j F p H j = H j d), p Z 0. 2.) d p Weyl M j, : M j = M j d), d 0 M j d) = {v M j dv) = dv}, 2.2) F p M j = M j d). d p 2.3) Lie ĝ, ĝ ĝ f, ĝ f, ĝ ĝ f Lie ĝ f category O l H ĝ.. H j u H j X f ĝ X f) u ) X f) u H j ĝ H j 2.5. H j Hj, H j Hj = H j d) 2.4) d 0 H j = H j d) d 0 2.5) = Hom C H j, C) 2.6) H j d) = Hom C H j d), C) 2.7) 2.4) restricted dual, 2.5) full dual

35 2.2. H j OPE 29 Uĝ f ) ν : Uĝ f ) Uĝ f ) ĝ f Uĝ f ) νxn)) = X n), νk) = K, νd) = d, Uĝ f ) ν : H j Hj 2.8) : νx n ) X k n k ) j ) = j E j νx k n k )) νx n ))., j H j 0) { j, F j,..., F j j } j ν H j 0) j H j 0) j E j ν H j ĝ f Hj ĝf, x Uĝ f ) u H j νx u ) = ν u )νx) Ĥ j = d 0 H j d) 2.9) ν Ĥj H j ν : Ĥj H j Lie g Ug ) S X g Ug ) SX) = X 2.20) S Ug ) Hopf H j Xn) n, Xn) : H j d) H j d + n) 2.2 H j OPE H j ĝ f P z X g Xz) Xz) : H j H j [[z, z ]] Xz) = Xn)z n n Z

36 30 2 ŝl Xz) z = 0, P ϕ Hj, u H j ϕ Xz) u C[z, z ] Xz) OPE Heisenberg, m + n 0 [Xm), Y n)] Xz) 0 = Xn)z n n 0 Xz) <0 = Xn)z n n< ϕ H j u H j ϕ [Xz) 0, Y w)] u = l X Y ) z w) 2 ϕ u + ϕ [X, Y ] w) u z w z > w > 0. ϕ u [Xz) 0, Y w)] = [Xm), Y n)] z m w n m 0,n Z = = z m 0,n Z m 0 [X, Y ] m + n) + mδm+n,0 X Y ) K ) z m w n w ) m [X, Y ] m + n)w m+n) + z z 2 X Y ) K w ) m m z m 0 n Z = X Y ) K [X, Y ] w) + z w z w) 2 z > w > X, Y g ϕ H j, u H j ϕ Xz)Y w) u l X Y ) z w) 2 ϕ u + ϕ [X, Y ] w) u 2.2) z w z > w > 0, z = 0,, w = 0, z = w Xz) 0, Xz) <0 ϕ Xz)Y w) u = ϕ Xz) <0 + Xz) 0 )Y w) u = ϕ Xz) <0 Y w) u + ϕ Y w)xz) 0 u + ϕ [Xz) 0, Y w)] u 2.0) 2.52 Xz) 0 u, ϕ Xz) <0 z, ϕ [Xz) 0, Y w)] u 2.56 ϕ [Xz) 0, Y w)] u = l X Y ) z w) 2 ϕ u + ϕ [X, Y ] w) u z w, 2.2)

37 2.2. H j OPE Lie ĝ f 3 Xz)Y w) = Xz) <0Y w) + Y w)xz) 0 Xz )Y z 2 )Zz 3 ) = Xz ) <0 Y z 2)Zz 3 ) + Y z 2)Zz 3 ) Xz ) 0 ϕ H j u H j X z ),..., X k z k ) ϕ X z ) X k z k ) u C[z, z,..., z k, z k ] Heisenberg B.24 T z). T z) az) az) Sugawara construction) Xz) T z) Casimir Casimir operator) Ug) {X, X 2, X 3 } g, { X, X 2, X 3} Casimir Ω = def 3 X i X i Ug) i= Casimir. {X i }, {Y i } g, { X i}, { Y i} Y i = j Y i = k α ij X j α ij C) β ik X k β ik C) Y i Y i = ) ) α ij X j β ik X k i i j k = α ij β ik X j X k 2.22) i,j,k, i Yi X j) Y i = X j Yi X j) Y i ) X k = X j ) X k = δj,k i α ij β ik = i 2.22) = j,k = j δ j,k X j X k X j X j

38 32 2 ŝl Casimir 3 X i X i = i= = 3 X i X i i= 3 [ Xi, X i] = ) i= {H, E, F } g, { 2 H, F, E}, Ω = 2 H2 + EF + F E = 2 H2 + H + 2F E Ω X g Xz) Ω = def 3 X i z)x i w) i= 2.57 Xz)Y w) z = w Ω z = w singular part z = w singular part 3 X i z)x i 3l w) z w) 2 i= ) X i z)x i w) i l Xi z w) 2 X i) + [ Xi, X i] w) z w 3l z w) 2 T z) well-defined T z) 3 ) T z) = 2l + 2) lim X i z)x i 3l w) w z z w) 2 = 2l + 2) 3 i= j H j L n i i= i X iz)x i z) 2.24) T z) = n Z L n z n 2

39 2.2. H j OPE T z) 2.24) l + 2 Lie ŝl 2 l + 2, Lie dual Coxeter number Lie ȟ l + ȟ [ Xi m), X i n) ] = 3mδ m+n,0 K 2.25) i= 2.24) L n = = 2l + 2) X in k)x i k) k Z i X i n k)x i k) + ) X i n k)x i k) 2l + 2) k>n i k 0 i 2.26) 2.0) n Z L n : H j d) H j d n), 2.27) L n : H j d) H j d + n) 2.28) T z) OPE OPE [ Xi, [ X i, X ]] = adω)x) = 4X 2.29) i, Casimir Ug) H = adf )E, F = adf ) 2 E/2 adω adf adω)e 2.23) Xi [ X i, X ]) = [ Xi, X i] X ) = ) i i, {X i }, { X i} X i X ) X i = X 2.3) i X i X) X i = i X g, n Z [L n, X0)] = ) [L, Xn)] = nxn ) 2.33). 2.32) g {H, E, F } [ ] X i j)x i k), X0) = 0 i

40 34 2 ŝl ) [L n, X0)] = = 0 2l + 2) [ ] X i n k)x i k), X0) + k>0 i 2l + 2) 2.32) 2.26), 2.29), 2.30), 2.3) 2.33) [ ] X i n k)x i k), X0) 2l + 2) [L, Xn)] = [ Xi k )X i k) + X i k )X i k), Xn) ] k 0 i = [X i k ), Xn)] X i k) + X i k ) [ X i k), Xn) ] k 0, i + k 0, i k 0,i [ X i k ), Xn) ] X i k) + k 0, i k 0 i X i k ) [X i k), Xn)] = [X i, X] n k )X i k) + n)δ n k,0 X i X) X i n )l) 2.34) k 0, i + k 0, i + k 0, i + k 0, i Xi k ) [ X i, X ] n + k) + n)δ n+k,0 X i X ) X i n )l ) [ X i, X ] n k )X i k) + n)δ n k,0 X i X ) X i n )l ) X i k ) [X i, X] n + k) + n)δ n+k,0 X i X) X i n )l ) 2.3), nl)δ n k,0 Xi X) X i n ) + X i X ) X i n ) ) k 0 i + nl)δ n+k,0 X i X ) X i n ) + X i X) X i n ) ) k 0 i = 2lnXn ) 2.34) 2, 4 k k n, 2.26) 2.34) = [X i, X] n k )X i k) + X i n k ) [ X i, X ] k) k 0 i k n i + [ X i, X ] n k )X i k) + X i n k ) [X i, X] k) 2lnXn ) k 0 i k n i = 2l + 2) [L n, X0)] 2lnXn ) 2.35) n Xi n k ) [ X i, X ] k) + X i n k ) [X i, X] k) ) k=0, 2.29), 2.30), 2.32) i n [ 2.35) = 2lnXn ) Xi n k )X i k), X0) ] k=0 i n [ X i, [X i, X] ] n ) + kδ n,0 X i [X i, X] ) l ) k=0 i = 2l + 2)nXn )

41 2.2. H j OPE ϕ H j, u H j ϕ T z)xw) u ϕ T z)t w) u z > w > 0, ϕ Xw)T z) u w > z > 0 P P z, w = 0, z = w, z = w singular part c v = T z)xw) Xw)T z) 2.36) z w) 2 Xw) + z w wxw) T z)t w) c v /2 2T w) + z w) 4 z w) 2 + wt w) z w 3l 2l+2) id, ϕ u. ϕ u l + 2)T z)xw) = i X iz)x i z) Xw) 2.37) = i = i l X i X ) X i z) <0 z w) 2 + [ X i, X ] ) w) + z w Xi z)xw) X i z)xw)x i z) 0 + X i z) [X i z) 0, Xw)] ) Xi z) <0 X i z) + X i z)x i z) 0 ) Xw) + i l z w) 2 = X i X ) X i z) <0 + [ X i z) <0 X i, X ] w) + z w i i i + l X i X ) z w) 2 + [ X i, X ] ) w) + z w Xi z)xw) X i z) 0 i + l X i Xi X) z) z w) 2 + ) z w [X i, X] w) i l = X i z w) 2 X ) X i z) + ) X i X) X i z) i i + X i z) [X i, X] w) + z w X iz) [ X i, X ] ) w) + i i i 2l = z w) 2 Xz) + l X i z w) 3 [X i, X] ) + = + z w Xi z) [X i, X] w) + z w i i z w) 2 [ X i, [X i, X] ] w) X iz) [ X i, X ] w) + i X i z) <0 Xi z)xw) X iz)x i z)xw) X iz)x i z)xw) 2l z w) 2 Xz) + 4 Xw) 2.38) z w) 2 Xi z) [X i, X] w) + X iz) [ X i, X ] w) ) + + z w i 2.29), 2.30), 2.3) l + 2) w Xw) = 2l + 2) n Z n )Xn)w n 2 i X iz)x i z)xw)

42 36 2 ŝl 2 = 2l + 2) [L, Xn + )] w n 2 n Z = [ Xi k )X i k) + X i k )X i k), Xn + ) ] w n 2 n Z k 0 i = [X i k ), Xn + )] X i k)w n 2 n Z k 0 i + X i k ) [ X i k), Xn + ) ] w n 2 n Z k 0 i [ X i k ), Xn + ) ] X i k)w n 2 = i + n Z k 0 i + X i k ) [X i k), Xn + )] w n 2 n Z i k 0 [X i, X] w)x i w) 0 + [ X i w) <0 X i, X ] w) i + i [ X i, X ] w)x i w) 0 + i X i w) <0 [X i, X] w) + 2l w Xw) i Xi w) [X i, X] w) + i X iw) [ X i, X ] w) = 4 wxw), 2.38) Xz), Xi z) [X i, X] w) X iz) [ X i, X ] w) z = w Taylor 2.36) Xw)T z) T z)t w) z = w singular part H j { [L m, Xw)] = w m w d } + m + ) Xw) 2.39) dw { [L m, T w)] = w m w d } + 2m + ) T w) 2.40) dw c v = 3l 2l+2) id + m3 m w m 2 c v 2..26, L m Xw) = 2π T z)xw)z m+ dz z= = 2π T z)xw)z m+ dz 2.4) z=0 + 2π T z)xw)z m+ dz z = 0 w > z > 0 Xw)T z), z = w w > z w > 0 T z)xw) z=w

43 2.2. H j OPE 37 OPE 2.36) 2.4) = 2.40) 2π z=0 Xw)T z)z m+ dz + 2π z=w { Xw) z w) 2 + wxw) z w = Xw)L m + m + )w m Xw) + w m+ w Xw) = Xw)L m + w m {w w + m + )} Xw) L n, Xn) } z m+ dz [L m, Xn)] = nxm + n) 2.42) [L m, L n ] = m n)l m+n + m3 m δ m+n,0 c v 2.43) 2 c v = 3l 2l+2) id, 2.43) n Z CL n Cid 3l/2l + 2) Virasoro [L m, Xn)] = 2π [L m, Xw)] w n dw w=0 { = 2π w m+n w d } + m + ) Xw) w=0 dw = m + n + )Xm + n) + m + )Xm + n) = nxm + n) L 0 H j 2.42) [L 0, Xn)] = nxn), L 0 d H j H j = d 0 H j d) L 0 H j d) L 0 = j + d)id, j = def j 2 + j 2 + l L 0 d j Heisenberg az), ĝ f Ez) = V 2 z) F z) = V 2 z) Hz) = 2az)

44 38 2 ŝl 2 T z) = 2 :az)2 :, T z) = 6 2 Hz)2 + Ez)F z) + F z)ez), T z)

45 39 3 P 2 z P Xz), T z), H j P P w a a A), H ja a A) H ja ĝ, P ĝ out Lie 3. P ), A Z 0 { }, A < a A w a P w a w b a b), w =, = w a ) a A a A j a P l J A = j a ) a A HJ A ) = H ja a A HJ A ) = Hom C HJ A ), C) V J A ) = V ja a A V J A ) = Hom C V J A ), C) MJ A ) = M ja a A MJ A ) = Hom C MJ A ), C) Lie ĝ A ) ĝ A = g Cξ a )) Cc a A [ X a f a, a b = a Y b g b ] [X a, Y a ] f a g a + a Res g adf a ) X a Y a ) c ξ a=0 3.) a A X f a g Cξ a )) HJ A ) ρ a ρ a X f a ) u a = X f a )u a )

46 40 3 P, X f a )u a ĝ ĝ A HJ A ) a X a f a ĝ A ) X a f a u = ρ a X a f a ) u a A a A, c c = lid ĝ A MJ A ) ĝ A ĝ out H 0 P, O )) = { f f w a a A) P } H 0 P, O )) 3.. H 0 P, O )) C : { z n n Z) ϕ n) a = z w a ) n def n > 0, a A\ {0, }). 3.2) t a : H 0 P, O )) Cξ a )) f H 0 P, O )) w a ξ a ξ a = def { z w a a ) z a = ) Laurent f a ξ a ) Cξ a )) t a f) = f a ξ a ) t = a A t a : H 0 P, O )) a A Cξ a )) f, g H 0 P, O )) Res ag)dt a f))) = Res gdf) = 0 ξ a=0 z=w a a A a A 3.3), t g H 0 P, O )) ĝ A 3.4) X f X t a f) a A, 3.3) X f, Y g g H 0 P, O )) [ ] Y t b g) a A X t a f), b A = a A = a A [X, Y ] t a f)t a g) + a A Res ξ a=0 t ag)dt a f))) X Y ) c [X, Y ] t a fg), Lie t, Lie 3.2. Lie 3.4) ĝ out bg out out S A

47 3.. 4 ĝ out HJ A ) ĝ A X f ĝ out u HJ A ) X f) u = a A ρ a X t a f)) u ρ a X t a f)) ρ a X f) 3.3. V wa J A ), V J A ) V wa J A ) = HJ A )/ĝ out HJ A ) V J A ) = Hom C V wa J A ), C) V J A ) space of vacua) conformal block), V wa J A ) space of covacua) Φ V w A J A ) HJ A ) ĝ out HJ A )) 0 V w A J A ) { Φ HJ A ) Φ X f) = 0 X f ĝ out ) } V J A ), V wa J A ),, V J A ) Lie ĝ A HJ A ) F p ĝ A = F p HJ A ) = { a A g C[[ξ a]]ξa p Cc p 0) a A g C[[ξ 3.5) a]]ξa p p < 0) H ja d a ) 3.6) P a da p a A ĝ A, HJ A ) F p ĝ A F q HJ A ) F p+q HJ A ) ĝ A Lie ĝ out HJ A ) ĝ out HJ A ) 3.5), 3.6) F p ĝ out F q ĝ out HJ A ) F p+q ĝ out HJ A ), V wa J A ) HJ A ) V wa J A ) 0, ) ), HJ A ) Weyl MJ A ) W wa J A ) W J A ) : W wa J A ) = MJ A )/ĝ out MJ A ), 3.7) W J A ) = Hom C W wa J A ), C). 3.8), Lie [KL]

48 42 3 P 3.4. Lie A, A, A 2 A = A + A 2 V A 2, Ṽ = UA) UA2) V, Ṽ A : V/A A 2 )V Ṽ /A Ṽ.. ι ι : V Ṽ v v ιa A 2 )V ) A Ṽ ι ι : V/A A 2 )V Ṽ /A Ṽ Poincaré-Birkhoff-Witt 2.26) UA) = UA ) UA A 2) UA 2 ) Ṽ Ṽ = UA) UA2) V = UA ) UA A 2) UA 2 ) ) UA2) V = UA ) UA A 2) V, Ṽ /A Ṽ C UA) Ṽ V/A A 2 )V C UA A 2) V Ṽ /A Ṽ C UA) Ṽ = C UA) UA ) UA A 2) V ) = C UA A 2) V = V/A A 2 )V ) 3 ) 3.5. V J A ) MJ A ) V J A )/ gv J A ) W wa J A ) 3.9)

49 3.. 43, V J A ) MJ A ) V J A ) Φ Φ V JA ) W J A ) Hom g V J A ), C) 3.0). 3.4 A = ĝ A A = ĝ out = g H 0 P, O )) A 2 = a A g C[[ξ a ]] Cc V = V J A ), A 2 V X a fξ a ) g C[[ξ a ]], f0)x a g V J A ) a, c = lid, 3., Weyl 2.9) A = A + A 2 A A 2 = g C = g Ṽ = UA) UA2) V = MJ A ) 3.4 V = V J A ) Ṽ = MJ A) : V J A )/ gv J A ) MJ A )/ ĝ out MJ A ) = W wa J A ) 3.9),, 3.0) W J A ) = Hom C W wa J A ), C) Hom C V J A )/ gv J A ), C) = { φ V J A ) φgv J A )) = 0 } = Hom g V J A ), C) 3.6. V wa J A ) V J A ). HJ A ) MJ A ) ĝ A, ĝ out ĝ A Lie, MJ A ) HJ A ) W wa J A ) V wa J A ) ) V J A )/ gv J A ) V wa J A )

50 44 3 P, V w A J A ) Hom g V J A ), C) V J A )/ gv J A ), Hom g V J A ), C), V wa J A ), V w A J A ). 3.2 ) A, 2, 3, 7 A = 3, 3 V wa J A ) A = P w w 0 P w = 0 J A = j a ) = j) = w a ) = 0) ĝ out = g H 0 P, O )) = g C[z ] ĝ A = g Cz)) Cc X g n X n) ĝ out H j d) ĝ out H j d 3.6 V j / gv j V wa J A ), H j, ĝ out = g C[z ] ĝ out H j V j = g C)V j, V j j 0 gv j ) = V j, j = 0 g V 0 = 0, V wa J A ) = { C j = 0) 0 j 0) A = 2 A = {0, } w 0 = 0, w = H 0 P, O )) = C[z, z ], X z n ĝ out n Z) ĝ out = g C[z, z ], ĝ A = g Cξ 0 )) g Cξ )) Cc tx z n ) = X ξ n 0 + X ξ n

51 , Φ V w A J A ) HomH j0 H j, C), u 0 u HJ A ) X g, n Z Φ Xn)u 0 ) u + Φ u 0 X n)u ) = 0 3.) H j H j, ) : H j H j C u H j, v H j Xn) ĝ Xn)u, v) + u, X n)v) = 0, : ) j j 0 2) j = j, u, v) = νu) v def ν 2.8) 3.) Φ V w A J A ) { V w C j 0 = j ) A J A ) = 0 j 0 j ), { C j 0 = j ) V wa J A ) = 0 j 0 j ) A = 3 A = {0,, } w 0 = 0, w = w, w = W wa J A ) V wa J A ) V J A )/ gv J A ) V wa J A ) V J A )/ gv J A ) g 3.7. V j0 V j V j0 V j = j 0 j j j 0+j,j+j 0+j Z dim V J A )/ gv J A ) V j0 V j V j, 3.7 ) V j0 V j V j = V j V j V j = j 0 j j j 0+j j+j 0+j Z j 0 j j j 0+j, j+j 0+j Z j j j j +j, j +j +j Z V j

52 46 3 P dim V J A )/ gv J A ) = { j 0 + j + j Z, j 0 j j j 0 + j ) 0 3.2) V wa J A ), j 0 + j + j Z, j 0 j j j 0 + j V wa J A ) V J A )/ gv J A )= C) j 0, j, j 3.8. j 0 + j + j Z, j 0 j j j 0 + j : ) j 0 + j + j l 2) u V j, u V j j 0 E l 2j0+ u ) u 0 mod gv J A ). V j V j V j V j = W j, W j V j j j j j +j 3.7 V j0 W j0 /gv J A ) = C V j0 W j /gv J A ) = 0 j j 0 ), w W j0 j 0 w 0, h > j 0 C j 0 W /gv J j0 hα) A) = 0 3.3) W hα j0 hα) W j0 w W, j0 j0α ) w = a h v,h v,h j h j j 0 a h C, v,h V, v j hα),h V j h j0)α ) F v,h = c h v,h, F v,h = d h v,h+, V j, V j j < h j c h 0, j 0 j h < j j 0 d h 0 a j j 0 0 F w = 0 0 = F w = {a h F v,h ) v,h + a h v,h F v,h )} j h j j 0 = {a j j 0 F v,j j 0 ) v,j j 0 + a j j 0 v,j j 0 F v,j j 0 )} + {a j j 0 F v,j j 0 ) v,j j 0 + a j j 0 2v,j j 0 2 F v,j j 0 2)} + = a j j 0 c j j 0 + a j j 0 d j j 0 )v,j j 0 v,j j 0 +a j j 0 c j j 0 + a j j 0 2d j j 0 2)v,j j 0 2 v,j j )

53 v,j j 0 v,j j 0, v,j j 0 2 v,j j 0,..., v, j v, j+ 3.4) a j j 0 = 0 a j j 0 = 0 2 a j j 0 2 = 0, a h = 0 w = 0, a j j 0 0 a j j 0 0 j 0 v,j j 0 v,j j 0 0 mod gv J A ) 3.5) j 0 v,j j 0 v,j j 0 0 w = w a j j 0 v,j j 0 v,j j 0 def j 0 w 0 w a j j 0 0, w 3.5) j 0 + j + j l u V, u j hα ) V j h α ) h + h + l 2j 0 + ) > j 0 3.3) j 0 E l 2j0+ u ) u 0 mod gv J A ), 2) j 0 + j + j > l j 0 + j + j Z j 0 + j + j l + j j 0 l 2j 0 + ) = j 0 + j l j u = F l 2j0+ v,j j 0 0) 0 k v,j j 0 = ke l 2j0+ u 3.5) j 0 E l 2j0+ u v,j j 0 0 mod gv J A ) 2) ) A = 3) V wa J A ) j 0 + j + j Z, j 0 j j j 0 + j C V wa J A ) = j 0 + j + j l 0 ) ). 3.5 V J A )/ gv J A ) W wa J A ) 3.2) V J A )/ gv J A ) j 0 + j + j Z, j 0 j j j 0 + j, 0., V J A )/ gv J A ) W wa J A ) V wa J A ) u 0 M j0, u M j, u M j x Uĝ f ), mod ĝ out MJ A ) xe ) l 2j0+ j 0 ) u u 0, 3.6) u 0 xe ) l 2j+ j ) u 0, 3.7) u 0 u xe ) l 2j + j ) )

54 48 3 P 3.6) x = X n )... X n n k ) X i n i ) ĝ f, i =,..., k), mod ĝ out MJ A ) xe ) l 2j0+ j 0 ) u u = X n )... X k n k )E ) l 2j0+ j 0 ) u u = ρ 0 X z n )... ρ 0 X k z n k )E ) l 2j0+ j 0 ) u u = ρ 0 X z n )... ρ 0 X k z n k )E ) l 2j0+ j 0 ) u u ρ a X z n ) a =, ) k ρ 0 X 2 z n2 )... ρ 0 X k z n k )E ) l 2j0+ j 0 ) u u a i=,. ρ ak X k z n k )... ρ a X z n ) E ) l 2j0+ j 0 ) u u u, u x = u V j, u V j 3.6), u M j, u M j 3.6) p + p u F p M j, u F p M j 3.6) X n) ĝ f n > 0) u F p M j, u F p M j, f = z w ) n w ) n, mod ĝ out MJ A ) E ) l 2j0+ j 0 ) X n)u ) u = ρ X ξ n a ) E ) l 2j0+ j 0 ) u u = ρ X f) E ) l 2j0+ j 0 ) u u 0 a=0, + w ) n ρ X) E ) l 2j0+ j 0 ) u u ρ a X f) E ) l 2j0+ j 0 ) u u + w ) n ρ X) E ) l 2j0+ j 0 ) u u f z = 0 ρ 0 X f) Un f +), ρ 0 X f)e ) l 2j0+ j 0 ) = 0, f z = w ρ X f)u F p M j E ) l 2j0+ j0 ) u X n)u ) 0 u V j, u V j 3.6) u M j, u M j 3.6) u V j, u V j, x = 3.6) E ) l 2j0+ j 0 ) u u = ρ 0 E z ) l 2j0+ j 0 u u mod ĝ out MJ A ) ) l 2j0+{ j 0 E l 2j0+ u ) u + l 2j 0 + ) j 0 E l 2j0 u ) E)u ) + } = ) l 2j0+ j 0 E l 2j0+ u ) u 3.9) 3.8 j 0 + j + j l 3.9) gv J A ) g ĝ out 3.9) mod ĝ out MJ A ) 0 3.6)

55 j 0 + j + j l Uĝ f )E ) l 2j0+ j 0 ) M j M j 3.7), 3.8) H j = M j /Uĝ f )E ) l 2j+ j ĝ out MJ A ), MJ A ) HJ A ) KJ A ), j 0 + j + j l KJ A ) ĝ out MJ A ) V wa J A ) = HJ A )/ĝ out HJ A ) = MJ A )/KJ A ) ĝ out MJ A ) + KJ A ))/KJ A ) MJ A )/ĝ out MJ A ) + KJ A )), j 0 + j + j l dim V wa J A ) = MJ A )/ĝ out MJ A ) = W wa J A ) V J A )/ gv J A ) V wa J A ) V J A )/ gv J A ) 3.20) dim V wa J A ) = dim V J A )/ gv J A ) =, j 0 +j +j Z, j 0 j j j 0 +j, 3.20) KJ A ) ĝ out MJ A ), v V j, v V j mod ĝ out MJ A ) : 0 E ) l 2j0+ j 0 ) v v ) l 2j0+ j 0 E l 2j0+ v ) v., V wa J A ) V J A )/ gv J A ) j 0 + j + j l

56

57 5 4 3 V J A ), 4. A = 3 V w A J A ) 2.2 Xz) T z) A HJ A ) = Hom C H ja, C ), a A Hom C H ja, C ) Hom C H ja, H ) j a A a Φ Φ Φ u))u ) = def Φ u u u a H j a, u H j 2.8) ν H j Ĥj Φ = ν Φ : a H ja Ĥj 4.) Φ HJ A ) Φ V J A ) Φ X g fξ a ) = n Z a nξ n a Cξ a )) ) Res Xξ a)fξ a )dξ a ) = Res Xm)a n ξa m+n dξ a ξ a=0 ξ a=0 m,n Z = n Z a n Xn) = n Z X a n ξ n a X f ĝ out a ρ a X f) = ρ a X t a f)) 4.2) ) = ρ a Res Xξ a)t a f)dξ a ) ξ a=0 ) = ρ a Res Xz w a )fz)dz) z=w a

58 52 4, νρ X f)) ρ X f) Xn) ν, νρ X f)) = ρ Res fz) )) νxn))z ) n dz z= n = ρ Res fz) )) νxn))z n+ z 2 dz) z= n = ρ Res fz) )) X n)z n dz z= n = ρ Res fz) )) Xn)z n dz z= n ) = ρ Res Xz)fz)dz) z= 4.3) ν ρ X f)u ) = νu )ν ρ X f)) 4.. Φ HJ A ) Hom a H j a, Ĥj ) Φ Φ V J A ) Φ a ) ) ρ a Res Xz w a )fz)dz) = ρ Res Xz)fz)dz) Φ z=w a z=. Φ V J A ) u a H j a, u H j X f ĝ out Φ a A ρ a X f) u u = 0 4.2), 4.3) ) ) Φ ρ a Res Xz w a )fz)dz) u νu )) z=w a a = Φ a ρ a Res z=w a Xz w a )fz)dz) = Φ a ρ a X f) u u = Φ ρ X f) u u = Φ u) ρ X f)u ) = Φu) νu )ν ρ X f))) = νρ X f))φu)) ν u )) ) ) = ρ Res Xz)fz)dz) Φu) ν u )) z= ) ) u u ) A = {0,, }

59 w 0 = 0, w = w, w = j 0 = j, j = 0, j = j 3.9 V J A ) C Φ V J A ) 0 v H 0 Φ : H 0 H j Ĥj Φ v; w) = def Φv ) : H j Ĥj, w Φ v; w) v H 0 ) Φ v; w) 4. f = z n n Z) f = z w) n n Z) îd ) [Xn), Φ v; w)] = Φ Res z=w w)zn dz) v; w 4.4) Φ Xn)v; w) = Φ v; w) Res z=0 w)n dz) 4.5) Res z= w)n dz) Φ v; w) îd : H j Ĥj u u Φ 0 ; w) îd. z n z = w, 4.4) v = 0, Res Xz z=w w)zn dz) 0 = 0 Xn)Φ 0 ; w) = Φ 0 ; w) Xn) 4.6), KerΦ 0 ; w) H j, H j 0 H j KerΦ 0 ; w) H j Φ 0 ; w) 0, îd KerΦ 0 ; w) 0, j H j 0 Φ 0 ; w) j Ĥj j Ĥj Φ 0 ; w) j = c j, H j 4.6) u = x j H j x Uĝ f )), Φ 0 ; w) u = Φ 0 ; w) x j = xφ 0 ; w) j = cx j = cu, Φ 0 ; w) îd 4.3. Φ V J A ) C 0, Φ j 0 j = 0 4.7), Φ 0,

60 ) 0, H j, H 0, u, u 0 H j = Uĝ f ) j, u H 0 = Uĝ f ) 0, Φ = 0 Φ u u u 0 = Φ 0 ; w) îd, 4.3 j Φ 0 ; w) j = Φ 0 j )ν j )) = Φ 0 j ) j ) = Φ j 0 j = 0 Φ 0 ; w) 0, Φ 0 ; w) = îd 4.4. X g Φ X ) 0 ; w) = Xw). 4.5) v = 0, n = Φ X ) 0 ; w) = Res Xz)z w) dz ) Res Xz)z w) dz ) z=0 z=, Res z=0 Xz)z w) dz ) = Res z=0 m Z = w Res z=0 = n 0 ) Xm)z m z w) dz m Z,n 0 Xn)w n ) Xm)w n z n m dz = Xw) 0, 2 Res Xz)z w) dz ) = Res z= ξ =0 = Res ξ =0 m Z ) Xm)ξ m+ ξ w) ξ 2 dξ ) m Z,n 0 = X n )w n n 0 = Xn)w n n = Xw) <0 ) Xm)w n ξ m+n dξ Φ X ) 0 ; w) = Xw)

61 X,, X p g n,, n p > 0 Φ X p n p ) X n ) 0 ; w) Φ X )Y ) 0 ; w) Φ X )Y ) 0 ; w) = Φ Y ) 0 ; w) Res Xz)z w) dz ) z=0 Res Xz)z w) dz ) Φ Y ) 0 ; w) z= = Y w)xw) 0 + Xw) <0 Y w), Φ X n) 0 ; w) = Xw)Y w) Res Xz) z fz)dz) = Res z Xz)fz)dz) Φ X n) 0 ; w) = Res Xz)z w) n dz ) Res Xz)z w) n dz ) z=0 z= ) = Res Xz) )n z=0 n )! n z z w) dz { = Res n )! z=0 = n )! n w Xw) n z Xz)z w) dz ) + Res z= 4.5. Virasoro ω H 0 2) ω = 2l + 2) Res Xz) )n z= 3 X i )X i ) 0 i= 4.6. Virasoro ω Φ ω; w). 4.8) Φ ω; w) = T w) n )! n z z w) dz n z Xz)z w) dz )} Φ X i )X i ) 0 ; w ) = X iw)x i w) i i = 2l + 2)T w) d Z 0 v H 0 d) Φ v; w) Φ v; w) = n Z Φ n v)w n d ) Φ n v) : H j d ) H j d n) 4.8)

62 56 4 d d = 0 Φ v; w) = îd 4.8), d, v H 0 d), X k) ĝ Φ X k)v; w) Φ X k)v; w) = = k )! k w Xw)Φ v; w) ) n + k ) k Φ m v)xn)w m n d k n m Z,n 0 + ) n + k ) k Xn)Φ m v)w m n d k n m Z,n Φ X k)v; w) 4.8) 4.2 OPE 4.4, 4.6 Φ v; w) Xw) T w) 2.2 Xw) T w) OPE OPE w,, w k C wi,,w ij w i,, w ij, OPE Xw)=Φ X ) 0 ; w) OPE 4.7. Φ v; w ) Xw 2 ) Φ v; w ) Xw 2 ) w > w 2 > 0) Xw 2 )Φ v; w ) w 2 > w > 0) Φ Xw 2 w )v; w ) w > w 2 w > 0) Laurent, P P w, w 2 = 0, w = w 2 3 Φ Xw 2 w )v; w ) Φ Xw 2 w )v; w ) = Φ Xn)v; w ) w 2 w ) n n Z, n Xn)v = 0, w w 2 w Laurent.., ϕ Hj, u H j v F p H 0, p p = 0 Φ 0 ; w ) = îd, Φ 0 ; w ) Xw 2 ) = Xw 2 )Φ 0 ; w ) = Xw 2 )

63 4.2. OPE 57 Φ Xw 2 w ) 0 ; w ) 4.5) Φ Xw 2 w ) 0 ; w ) = Φ X k) 0 ; w ) w 2 w ) k k = Φ 0 ; w ) Res Xz)z w ) k w 2 w ) k dz ) z=0 k Res Xz)z w ) k w 2 w ) k dz ) Φ 0 ; w ) z= k = Res Xz)z w ) k w 2 w ) k dz ) z=0 k = k = Res Xz)z w ) k w 2 w ) k dz ) z= k 2π Xz)z w ) k w 2 w ) k dz C w,w 2 2π = Xw 2 ) z w > w w 2 > 0 C w,w 2 Xz)z w 2 ) dz w2 w ) k w ) k z k w 2 w ) k = z w ) z w k = z w ) + w w 2 z w = z w 2 ) p = 0 D, D 2 D = {w, w 2 ) w > w 2 > 0, w > w 2 w > 0} D 2 = {w, w 2 ) w 2 > w > 0, w > w 2 w > 0} v F p H 0 D ) Φ v; w ) Xw 2 ) = Φ Xw 2 w )v; w ) 4.9), D 2 Xw 2 )Φ v; w ) = Φ Xw 2 w )v; w ) 4.0), Y n) ĝ n > 0) D Φ Y n)v; w ) Xw 2 ) = Φ Xw 2 w )Y n)v; w ) 4.), D 2 Xw 2 )Φ Y n)v; w ) = Φ Xw 2 w )Y n)v; w ) 4.2)

64 ), Φ Y n)v; w ) Xw 2 ) = 2π Y z)z w ) n dzφ v; w ) Xw 2 ) C Φ v; w ) 2π Y z)z w ) n dzxw 2 ) C w2,0 = 2π Y z)φ v; w ) Xw 2 )z w ) n dz C 2π Φ v; w ) Y z)xw 2 )z w ) n dz C w2,0 = 2π Y z)φ v; w ) Xw 2 )z w ) n dz 4.3) C 2π Φ v; w ) Y z)xw 2 )z w ) n dz C 0 2π Φ v; w ) Y z)xw 2 )z w ) n dz C w2, Y z)xw 2 ) z = 0 Xw 2 )Y z), 3 Y z)xw 2 ) z = w 2 l X Y ) /z w 2 ) 2 + /z w 2 ) [Y, X] w 2 ) 4.9) 4.3) = 2π Y z)φ v; w ) Xw 2 )z w ) n dz C 2π Φ v; w ) Xw 2 )Y z)z w ) n dz C 0 { l X Y ) 2π Φ v; w ) C w2 z w 2 ) 2 + } [Y, X] w 2 ) z w ) n dz z w 2 = 2π Y z)φ Xw 2 w )v; w ) z w ) n dz C 2π Φ Xw 2 w )v; w ) Y z)z w ) n dz C 0 Φ v; w ) { n)w 2 w ) n l X Y ) + w 2 w ) n [Y, X] w 2 )} = Φ Y n)xw 2 w )v; w ) 4.4) + Φ v; w ) {nl X Y ) w 2 w ) n w 2 w ) n [Y, X] w 2 )} 4.4) 4.5) [Y n), Xw 2 w )] = m Z = m Z [Y n), Xm)] w 2 w ) m 4.4), 4.9) ) [Y, X] m n)w 2 w ) n m w 2 w ) n + δ m,n l X Y ) n)w 2 w ) m m Z = w 2 w ) n [Y, X] w 2 w ) nl X Y ) w 2 w ) n 4.4) = Φ Xw 2 w )Y n)v; w ) + Φ [Y n), Xw 2 w )] v; w ) Φ v; w ) { n)w 2 w ) n l X Y ) + w 2 w ) n [Y, X] w 2 )} = Φ Xw 2 w )Y n)v; w )

65 4.2. OPE 59 4.) 4.2) 4.0) D Φ v ; w ), Φ v 2 ; w 2 ) Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) w > w 2 > 0) Φ v 2 ; w 2 ) Φ v ; w ) w 2 > w > 0) Φ Φ v 2 ; w 2 w ) v ; w ) w > w 2 w > 0) Φ Φ v ; w w 2 ) v 2 ; w 2 ) w 2 > w w 2 > 0) Laurent, P P w, w 2 = 0, w = w ϕ H j, u H j v i H 0 d i ) i =, 2), d + d 2 d + d 2 = 0 Φ v i ; w i ) = îd i =, 2) D, D 2 D = {w, w 2 ) w > w 2 > 0, w > w 2 w > 0} D 2 = {w, w 2 ) w 2 > w > 0, w > w 2 w > 0} v H 0 d ), v 2 H 0 d 2 ), d + d 2 d, D, D 2 Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) = Φ Φ v 2 ; w 2 w ) v ; w ) 4.5) Φ v 2 ; w 2 ) Φ v ; w ) = Φ Φ v 2 ; w 2 w ) v ; w ) 4.6), X n) ĝ n > 0) D, D 2 Φ X n)v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) = Φ Φ v 2 ; w 2 w ) X n)v ; w ) 4.7) Φ v 2 ; w 2 ) Φ X n)v ; w ) = Φ Φ v 2 ; w 2 w ) X n)v ; w ) 4.8) 4.7) D, Φ X n)v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) = 2π Xz)z w ) n dzφ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) C Φ v ; w ) 2π Xz)z w ) n dzφ v 2 ; w 2 ) C w2,0 = 2π Xz)Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C 2π Φ v ; w ) Xz)Φ v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C w2,0 = 2π Xz)Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) z w ) n dz 4.9) C 2π Φ v ; w ) Xz)Φ v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C 0 2π Φ v ; w ) Xz)Φ v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C w2

66 60 4, Xz)Φ v 2 ; w 2 ) z = 0 Φ v 2 ; w 2 ) Xz), 3 Xz)Φ v 2 ; w 2 ) z = w 2 Φ Xz w 2 )v 2 ; w 2 ) 4.5) 4.9) = 2π Xz)Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C 2π Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) Xz)z w ) n dz C 0 2π Φ v ; w ) Φ Xz w 2 )v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C w2 = 2π Xz)Φ Φ v 2 ; w 2 w ) v ; w ) z w ) n dz C 2π Φ Φ v 2 ; w 2 w ) v ; w ) Xz)z w ) n dz C 0 2π Φ v ; w ) Φ Xz w 2 )v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C w2 = Φ X n)φ v 2 ; w 2 w ) v ; w ) 4.20) 2π Φ v ; w ) Φ Xz w 2 )v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C w2 [X n), Φ v 2 ; w 2 w )] = Res z= = Φ, z n z = w 2 w Xz)z n dz ) Φ v 2 ; w 2 w ) Φ v 2 ; w 2 w ) Res Xz)z n dz ) z=0 Res z=w 2 w Xz w2 + w )z n dz ) v 2 ; w 2 w z n = k 0 a k z w 2 + w ) k 4.2) ) Res Xz w2 + w )z n dz ) = a k Xk) z=w 2 w k 0, 4.2) a k z w ) n z = w 2 z w ) n = k 0 a k z w 2 ) k, ) [X n), Φ v 2 ; w 2 w )] = Φ a k Xk)v 2 ; w 2 w = k 0 2π 4.20), 4.5) ) 4.4) = Φ Φ v 2 ; w 2 w ) X n)v ; w ) C w2 Φ Xz w 2 )v 2 ; w 2 w ) z w ) n dz + Φ [X n), Φ v 2 ; w 2 w )] v ; w ) 2π Φ v ; w ) Φ Xz w 2 )v 2 ; w 2 ) z w ) n dz C w2 = Φ Φ v 2 ; w 2 w ) X n)v ; w )

67 ) 4.8) Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) = Φ Φ v ; w w 2 ) v 2 ; w 2 ) 4.22) = Φ Φ n v )v 2 ; w 2 ) w w 2 ) n d n Z w = w 2 Laurent, OPE Φ n v )v 2 H 0 Xw )Y w 2 ) Xw )Y w 2 ) = Φ X ) 0 ; w ) Φ Y ) 0 ; w 2 ) = n Z Φ Xn)Y ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) n Φ X)Y ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) 2 + Φ X0)Y ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) = Φ {[X, Y ] 0) + l X Y )} 0 ; w 2 ) w w 2 ) 2 + Φ [X, Y ] ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) l X Y ) = w w 2 ) 2 + [X, Y ] w 2 ) w w 2, T w )Xw 2 ) T w )Xw 2 ) = Φ ω; w ) Φ X ) 0 ; w 2 ) = n Z Φ L n X ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) n 2 Φ L X ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) ) + Φ L 0 X ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) 2 + Φ L X ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) = Φ X0) 0 ; w 2 ) w w 2 ) 3 + Φ X ) 0 ; w 2 ) w w 2 ) ) = + Φ X 2) 0 ; w 2 ) w w 2 ) w w 2 ) 2 Xw 2) + w2 Xw 2 ) w w 2, OPE 4.8, 2.2 Xw) T w) OPE 4.23) L n 2.26) n 2 L n X ) 0 = ) L X ) 0, L 0 X ) 0, L X ) 0, L X ) 0 = i L 0 X ) 0 = i X i 0)X i )X ) 0 + i X i 0)X i 0)X ) 0 + i X i 0)X i )X ) 0 X i )X i )X ) 0 + i X i )X i )X ) 0 L X ) 0 = [L, X )] OPE 4.8) Fourier mode

68 62 4 Borcherds, 2 Borcherds 4.0) OPE 4.9. Φ v; w) : w Φ v; w) = Φ L v; w).. v H 0 d) d d = 0 v = 0 L 0 = 0 w Φ 0 ; w) = 0 = Φ L 0 ; w) d v H 0 d), X n) ĝ n > 0) Φ X n)v; w), Φ L X n)v; w) = Φ X n)l v; w) + Φ nx n )v; w) = Φ L v; w) Res Xz)z w) n dz ) z=0 Res Xz)z w) n dz ) Φ L v; w) + Φ nx n )v; w) z= = w Φ v; w))res Xz)z w) n dz ) 4.25) z=0 Res Xz)z w) n dz ) w Φ v; w) + Φ nx n )v; w) z= Φ v; w) w Res Xz)z w) n dz ) ) w Res z=0 z= = nφ v; w) Res z=0 = nφ X n )v; w) Xz)z w) n dz ) + nres z= Xz)z w) n dz ) )Φ v; w) Xz)z w) n dz ) Φ v; w) 4.25) = w {Φ v; w) Res Xz)z w) n dz ) + Res Xz)z w) n dz ) Φ v; w)} z=0 z= = w Φ X n)v; w) v H 0 F w, w 2 ) w = 0,, w 2 = 0,, w = w 2 Φ v ; w ), Φ v 2 ; w 2 ) v i H 0 d i )) OPE F w, w 2 ) 2π Φ Φ v ; w w 2 ) v 2 ; w 2 ) F w, w 2 )dw 4.26) C w2 = 2π Φ v ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) F w, w 2 )dw C 0,w2 2π Φ v 2 ; w 2 ) Φ v ; w ) F w, w 2 )dw C 0 Borcherds Fourier mode Borcherds 2

69 Borcherds ). Fourier mode Φ m v ), Φ n v 2 ) v i H 0 d i )) ) m Φ l+m+n d d j 2+Φ n+j d+v )v 2 ) ) n = ) j Φ m+n j d+v )Φ l+j d2 v 2 ) j j=0 ) n ) n+j Φ l+n j d2 v 2 )Φ m+j d+v ) j j=0 j=0 l, m, n Z, n j) z + w) n z > w > 0 z n j w j Φ n+j d+v )v 2 = 0 j 0),,,. 4.26) F w, w 2 ) = w m w2 l w w 2 ) n w 2 = ) 2π Φ Φ v ) 2 ; w w 2 ) v 2 ; w 2 ) w m w2 l w w 2 ) n dw dw 2 w 2=0 C w2 = 2π Φ Φ ) 2 i v )v 2 ; w 2 ) w m w2 l w w 2 ) n i d dw dw 2 w 2=0 C w2 i Z = 2π ) m Φ Φ ) 2 i v )v 2 ; w 2 ) w w 2 ) n+j i d w l+m j 2 dw dw 2 w 2=0 C w2 j i Z,j 0 ) m = 2π Φ Φ n+j d+v )v 2 ; w 2 ) w l+m j 2 dw 2 w 2=0 j j=0 = 2π ) m Φ k Φ n+j d+v )v 2 )w k+l+m+n d d2 2 dw 2 j = j=0 w 2=0 j 0 k Z ) m Φ l+m+n d d j 2+Φ n+j d+v )v 2 ) 2π Φ v ) 2 ; w ) Φ v 2 ; w 2 ) w m w2 l w w 2 ) n dw dw 2 w 2=0 C 0,w2 = 2π Φ ) 2 i v )Φ v 2 ; w 2 ) w m i d w2 l w w 2 ) n dw dw 2 w 2=0 C i Z = 2π ) n ) j Φ ) 2 i v )Φ v 2 ; w 2 ) w m+n j i d w l+j 2 dw dw 2 w 2=0 C j i Z,j 0 ) n = 2π ) j Φ m+n j d+v )Φ v 2 ; w 2 ) w l+j 2 dw 2 w 2=0 j j=0 = 2π ) n ) j Φ m+n j d+v )Φ k v 2 )w k+j+l d2 2 dw 2 j = w 2=0 n ) j j j=0 j 0 k Z ) Φ m+n j d+v )Φ j+l d2 v 2 )

70 64 4, 2 2π ) 2 = = = = = w 2=0 2π ) 2 2π ) 2 2π 2π Φ v 2 ; w 2 ) Φ v ; w ) w m w2 l w w 2 ) n dw dw 2 C 0 Φ v 2 ; w 2 ) Φ i v )w m i d w2 l w w 2 ) n dw dw 2 w 2=0 w 2=0 w 2=0 j=0 w 2=0 j 0 k Z n ) n+j j j=0 C 0 i Z C 0 i Z,j 0 n ) n+j j n ) n+j j ) Φ v 2 ; w 2 ) Φ i v )w m+j i d w l+n j 2 dw dw 2 n ) n+j j ) Φ v 2 ; w 2 ) Φ m+j d+v )w l+n j 2 dw 2 ) Φ k v 2 )Φ m+j d+v )w k+n+l j d2 2 dw 2 ) Φ n+l j d2 v 2 )Φ m+j d+v ) 4.26) j = 0, Fourier mode 4.. Φ v; w) v H 0 d)) Fourier mode Φ k v) Φ k v) 0 = 0 k > d) Φ d v) 0 = v. d d = 0 Φ v; w) = id d v H 0 d) X n) ĝ n > 0) Φ X n)v; w) 0 = Res Xz)z w) n dz ) Φ v; w) 0 z= Φ v; w) Res Xz)z w) n dz ) 0 z=0 = ) n ) j X n j)w j Φ v; w) 0 j j 0 Φ v; w) ) n ) n j Xj)w n j 0 j j 0 ) n = ) j X n j)φ k v) 0 w j k d 4.27) j j 0,k Z, k > d Φ k v) 0 = 0, Φ d v) 0 = v ) n 4.27) = ) j X n j)φ k v) 0 w j k d j j 0,k d = X n)φ d v) 0 + w ) = X n)v + w ) Φ X n)v; w) 4.2. V = n Z V n) Z, V n) n, :

71 n dimv n) <, n V n) = 0. v V Y v, z) Y v, z) = v n z n v n EndV ) n Z, vacuum) ω, V ) u, v V, n, u n v = 0. 2) vacuum) Y, z) = id. v V Y v, z) V [[z]], 3) Virasoro) L n EndV, c v C, v V n) lim Y v, z) = v. z 0 L n z n 2 = Y ω, z) n Z [L m, L n ] = m n)l m+n + m3 m δ m+n,0 c v id 2 L 0 v = nv, v V z Y v, z) = Y L v, z) 4) Cauchy-Jacobi identity) v, v 2 V, z, z 2 = 0,, z = z 2 F z, z 2 ) 2π Y v 2, z 2 )Y v, z )F z, z 2 )dz C 0 + 2π Y Y v, z z 2 )v 2, z 2 )F z, z 2 )dz C z2 + 2π Y v, z )Y v 2, z 2 )F z, z 2 )dz = 0 C V = H 0 Y v, z) = Φ v; z) v n = Φ n d+ v) v H 0 d)) = Borcherds [FHL]

72

73 67 5 P 5. 4 Φ v; w) dw) dw) v H 0 )) w w = λw λ C) 4.8), [L 0, Φ k v)] = kφ k v) λ L0 Φ v; w) λ L0 = e log λ)adl0 Φ v; w) = n! log λ)n adl 0 ) n Φ k v)w k = n 0,k Z n 0,k Z = λ k Z = λ Φ v; λw) n! log λ)n k) n Φ k v)w k Φ k v)λ k w k w ϕ w H j, u w H j0, w ϕ w H j, u w H j0, ϕ w Φ v; w) u w dw) ϕ w λ L0 = ϕ w λ L0 u w = u w = ϕ w Φ v; λ w ) u w dλ w )) = λ ϕ w λ L0 Φ v; w ) λ L0 u w λ dw ) = ϕ w Φ v; w ) u w dw ),, A

74 Φ V w A J A ) v i H 0 i ), z i P i =,, N) Φ J v ; z ) J v N ; z N ) u dz ) dz N ) N u HJ A )) z i = w a i =,, N, a A) z i = z j i j, i, j =,, N) ) N = 0 Φ u 2) J v ; z ) dz ),, J v N ; z N ) dz N ) N 3) v H 0 ), z P z Φ J v; z) J v ; z ) J v N ; z N ) u dz) + dz ) dz N ) N = Φ J L v; z) J v ; z ) J v N ; z N ) u dz) + dz ) dz N ) N 4) z = z i Φ J v; z) J v ; z ) J v i ; z i ) J v N ; z N ) u dz) = Φ J v ; z ) J Φ n v)v i ; z i ) J v N ; z N ) u z z i ) n dz) n Z dz ) dz N ) N 5) z = w a a A) ξ a = z w a Φ J v; z) J v ; z ) J v N ; z N ) u dz) = Φ J v ; z ) J v N ; z N ) ρ a Φ n v))u ξa n dξ a ) n Z dz ) dz N ) N 5.2, vacuum propagation) 5.2) 5.2 ). A {a } A = A {a } def, j a = 0, V w A J A ) V w J A A ) V J A ) V J A ) Φ Φ 0

75 A = ĝ out = g H 0 P, O )) A 2 = a A g Cξ a )) g C[[ξ a ]] Cc V = HJ A ) C ξ a = z w a, C g C[[ξ a ]] V A 2 A = A + A 2 = a A g Cξ a )) g Cξ a )) Cc = ĝ A A A 2 = g H 0 P, O )) = ĝ out Ṽ = UA) UA2) V = HJ A ) M 0 M ĝ f 3.4 V wa J A ) = V/A A 2 )V Ṽ /A Ṽ 5.) Ṽ /A Ṽ = HJ A ) M 0 /ĝ out HJ A) M 0 ) ĝ A HJ A ) H 0 /ĝ out HJ A) H 0 ) = V wa J A ) π : HJ A ) M 0 HJ A ) H 0 π 2 : HJ A ) H 0 HJ A ) H 0 /ĝ out HJ A) H 0 ) π = def π 2 π : HJ A ) M 0 HJ A ) H 0 /ĝ out HJ A) H 0 ) π HJ A ) M 0 /ĝ out HJ A) M 0 ) HJ A ) H 0 /ĝ out HJ A) H 0 ) 5.2), X f ĝ out u u 0 HJ A ) M 0 u 0 H 0 u 0 M 0 H 0

76 70 5 π X f) u u 0 ) = π a A = a A ρ a X f)u) u 0 + u ρ a X f)u 0 ) ρ a X f)u u 0 + u ρ a X f)u 0 = ρ a X f)u u 0 + u ρ a X f)u 0 a A = X f) u u 0 = X f)π u u 0 ) π ĝ out HJ A) M 0 )) ĝ out π HJ A ) M 0 ) = ĝ out HJ A) H 0 ) = Kerπ 2 ĝ out HJ A) M 0 ) Kerπ, 5.2) 5.2) π 2.47 H 0 = M 0 /Uĝ)E ) l+ ) 0 mod ĝ out w HJ A A) M 0 ) mod ĝ out w ) u HJ A A) x Uĝ) u x E ) l+ ) 0 0 x X i n i ) ĝ i =,, k) x = X n ) X k n k ) mod ĝ out w A u X n ) X k n k )E ) l+ 0 ρ a X z w a ) n ) u X 2 n 2 ) X k n k )E ) l+ 0 a A ) k a,,a k A. ρ ak X k z w a ) n k ) ρ a X z w a ) n ) u E ) l+ 0, u HJ A ) u E ) l+ 0 HJ A ) M 0 mod ĝ out 0 H ja u HJ A ) n Z, a A ρ a F z w a )) k u = 0 k n ) A F )E ) k 0 = kl k ))E ) k 0 kl k )) { = 0 k = 0, l + ) 0 k 0, l + ), n 0 c E ) l+ 0 = cf ) n E ) n+l+ 0

77 u E ) l+ 0 ) = u cf ) n E ) n+l+ 0 ) ) n n! c a n ρ a F ξ a ) na u E ) n+l+ 0 ) a! = 0 P a na=n a A Ṽ /A Ṽ V wa J A ), 5.) 5.3, A N A = A {a,, a N }, w a = z i, j i a i = 0 i =,, N) ι : V w J A A ) V J A ) Φ Φ, Φ u = Φ u 0 0, Φ V w A J A ) Φ = ι Φ ) u HJ A ), v i def H 0 i ) Φ J v ; z ) J v N ; z N ) u dz ) dz N ) N 5.3) = Φ u v v N dz ) dz N ) N Φ ). 5., ) N = 0, Φ = Φ 5.3) 2) 5.3),..., N 5.3) 3), 5) N = 0, 4) N =, i = 4) v H 0 ), v H 0 ) w = z Φ J v; w) J v ; z ) u = Φ J Φ n v)v ; z ) u w z ) n n Z A = A {a }, A = A {a } w a = w, w a = z j a = j a = 0 Φ V w A J A ) V w J A A ) Φ, V w J A A ) Φ = 0 4) Φ J 0 ; w) J v ; z ) u = Φ u 0 v = Φ u v = Φ J v ; z ) u