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けいしょういさし
5 years ago
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1 軸 (shaft): 主に回転によって動力を伝達する要素軸の種類機械軸車軸伝動軸プロペラ軸クランク軸軸の強度軸に加わるトルク T の算出ねじりモーメント T のみを受ける軸曲げモーメント M のみを受ける軸軸の強度 ( 続き ) 曲げとねじりの組合せ荷重を受ける動荷重を受ける軸材料の疲労軸の座屈こわさによる設計キー溝の影響振動現象と危険速度ふれ回り運動と危険速度軸の材料 Copy Right by C.KANAMORI 008 1

2 用途による軸の種類 (1) 機械軸回転機械の軸, 変速機軸, 工作機械の主軸 ( スピンドル ) 高剛性 = 曲げねじりによる変形が小, 耐摩耗性が高. 軸の工作時に精度が要求される. スピンドル荷重による変形量が特に小さいことが要求される軸 () 車軸車体の重量を車輪に伝達. 動力伝達なし. 軸は固定 / 軸自身が回転曲げモーメント / 回転曲げ力を受ける. 例 ) 自動車, 鉄道車両, 航空機の車輪の軸 (3) 伝動軸回転により動力を伝達主にねじりを受ける. 一般に軸の全長が長いねじり強度, ねじり振動に注意. 例 ) 自動車のプロペラシャフト, 原動機と機械を結ぶ軸たわみ軸回転軸の方向を自由に変えながら小さな動力を伝達. 曲げ剛性 <<< ねじり剛性. (4) プロペラ軸船など原動機からプロペラに回転を伝える軸主にトルクと軸力を受ける. 軸力が軸心から離れる場合, 曲げモーメントも受ける. (5) クランク軸往復運動と回転運動の相互変換用. 曲げおよびねじりモーメントが衝撃的に繰返し作用する. Copy Right by C.KANAMORI 008

3 軸の強度軸に加わる荷重 1 曲げ力ねじり力 3 軸方向力 4 1~3の組合せ荷重軸の強度設計 1) 軸の荷重様式を調べる ) 1) に応じた強度設計と評価を行うねじり力 1 曲げ力 3 軸方向力 (1) 軸に加わるトルク T [N m] を求める軸に伝わる動力 P [W]= [N m/s], 軸の回転数 n [rps]= n*60 [rpm] P T = = π Tn 1 P π n Copy Right by C.KANAMORI 008 3

4 軸の強度計算法 () ねじりモーメント T のみを受ける軸の軸径の設計中実軸の最大せん断応力 τ ( 外周におけるせん断応力 ) T 16T τ = = Z π d p 3 0 中実軸の極断面係数 : 中実軸の直径 :d0 Z p π d0 = 16 3 中空軸の最大せん断応力 τ ( 外周におけるせん断応力 ) T 16Td 16T τ = = = Z π( d d ) π(1 λ ) d p 中空軸の極断面係数 : π( d d1 ) π(1 λ ) d Z p = = 16d 16 中空軸の外径 :d, 内径 :d1, 内径と外径の比 :λ= d1/d Zp: 軸のねじり断面係数 ( 極断面係数 ) (torsional section modulus) Copy Right by C.KANAMORI 008 4

5 ねじりモーメント T のみを受ける中実軸トルク T でねじるときの中実軸の軸径を求める τ: 中実軸の最大せん断応力 ( 外周におけるせん断応力 ) Zp: 軸のねじり断面係数 ( 極断面係数 ) (torsional section modulus) 中実軸の直径 :d 3 π d 中実軸の極断面係数 : Z p = 16 T 16T τ = = 3 Z d p π 材料のねじりに対する許容せん断応力 τa 破損する限界条件 τ τa 中実軸の直径 d の範囲は, 次式で表される d 3 16T πτ a Copy Right by C.KANAMORI 008 5

6 ねじりモーメント T のみを受ける中空軸トルク T でねじるときの中空軸の軸径を求める τ: 中空軸の最大せん断応力 ( 外周におけるせん断応力 ) Zp: 軸のねじり断面係数 ( 極断面係数 ) (torsional section modulus) 中空軸の外径 :d, 内径 :d π( d d1 ) π(1 λ ) d 中空軸の極断面係数 : Z = = T 16T τ = = Z π(1 λ ) d p 4 3 材料のねじりに対する許容せん断応力 τa 破損する限界条件 τ τa 中空軸の直径 d の範囲は, 次式で表される p 16d 16 d 軸径比 : λ = d 1 d 3 16T π λ τ 4 (1 ) a Copy Right by C.KANAMORI 008 6

7 曲げモーメントを受ける中実軸曲げモーメント M を受ける中実軸の軸径を求める σ: 曲げ応力 Z : 軸の曲げに対する断面係数 d : 中実軸の直径 π d 中実軸の断面係数 : Z = 3 M 3M σ = = 3 Z π d 材料の曲げに対する許容応力 σa 破損する限界条件 σ σa 中実軸の直径 d の範囲は, 次式で表される 3 d 3 3M πσ a Copy Right by C.KANAMORI 008 7

8 曲げモーメントを受ける中空軸曲げモーメント M を受ける中空軸の軸径を求める σ: 曲げ応力 Z : 軸の曲げに対する断面係数中空軸の外径 :d, 内径 :d1 π(1 λ ) d 中空軸の断面係数 : Z = 3 M 3M σ = = 4 3 Z π(1 λ ) d 4 3 材料の曲げに対する許容応力 σa 破損する限界条件 σ σa 中空軸の直径 d の範囲は, 次式で表される d 3M π (1 λ ) σ a 3 4 d 軸径比 : λ = d 1 Copy Right by C.KANAMORI 008 8

9 曲げとねじりの組合せ荷重を受ける軸曲げモーメント M 軸表面に最大引張応力ねじりモーメント T 軸表面に最大せん断応力ただし両者の方向は異なる中実軸に加わる最大引張応力 :σmax 相当曲げモーメント : M e M σmax = σ + σ + 4τ = M + M + T e 3 π d Z 中実軸に加わる最大せん断応力 :τmax 相当ねじりモーメント : T e Te τmax = σ + 4τ = M + T 3 π d Z 中空軸に加わる最大主応力 :σmax 1 16 σ max = M + M + T 4 3 π(1 λ ) d 中実軸に加わる最大せん断応力 :τmax 1 16 τ = M + T max 4 3 π(1 λ ) d Copy Right by C.KANAMORI p

10 曲げとねじりの組合せ荷重を受ける軸 ( 続 ) 使用する材料によりどちらで軸径を設計するかが異なる相当曲げモーメント Me 最大引張応力あるいは最大主応力 σmax 相当ねじりモーメント Te 最大せん断応力 τmax 延性材料を使用する場合一般に軸の材料としては延性が大きく強靭な低炭素鋼が用いられるその場合ねじりモーメントと曲げモーメントの比に関わらず最大せん断応力を用いて軸径を設計すればよいぜい材料を使用する場合ぜい性材料を用いることは少ないがもし使用するならば最大引っ張り応力あるいは最大主応力を用いて軸径を設計すればよい Copy Right by C.KANAMORI

11 動荷重を受ける軸静止軸 : 軸の自重支持物の重量ほか回転軸 : 上記に加えて歯車の重量と伝達トルクプーリー ( ベルト車 ) の重量と引張トルク等が回転ごとの繰り返し荷重となって加わる動荷重係数を導入荷重を大きめに見積る動荷重を受ける場合の曲げモーメント :MI 動荷重を受ける場合のねじりモーメント :TI M C M I I = M = T T C T 曲げモーメントの動荷重係数 :CM ねじりモーメントの動荷重係数 :CT Copy Right by C.KANAMORI

12 材料の疲労を考慮した設計軸が繰返し応力を受ける場合には材料の疲労により許容応力よりも低い応力で破損する疲労を考慮するには疲労強度による設計が必要である手順 1) ねじり荷重と曲げ荷重ごとに横軸に平均応力と縦軸に応力振幅をとり耐久限度線図 (fatigue limit diagram) を作成する ) 軸の形状寸法表面粗さなどを考慮して耐久限度を決める ( 切欠き係数, 寸法効果係数, 表面効果係数 ) 3) 安全率を考慮した設計許容範囲を決める 4) 設計許容範囲の内側になるように軸寸法を決定する Copy Right by C.KANAMORI 008 1

13 繰り返し荷重による疲労限度横軸 : 平均応力, 縦軸 : 応力振幅標準平滑試験片に対するねじり疲労限度 :τw0 ( 曲げ疲労限度 :σw0) 切欠き係数:βt(βm) 寸法効果係数 :ξ1 表面効果係数 :ξ 繰り返し荷重によるねじり疲労限度 :τw ( 曲げ疲労限度 :σw) τw = ξξ 1 τw0 βt σ w = ξξσ 1 w0 βm Copy Right by C.KANAMORI

14 安全率を考慮する荷重材料強度切欠き効果寸法効果運転条件の推定誤差に起因する安全率 :S 静応力に対する安全率 :S m 繰返し応力に対する安全率 :S w 許容応力静的ねじり許容応力 :τm 静的曲げ許容応力 :σm τal = τm Sm + τa Sw σal = σm Sm + σa Sw Copy Right by C.KANAMORI

15 切欠き係数, 寸法効果係数, 表面効果係数切欠き係数 β 切欠き部の切欠き効果によって応力集中が発生する切欠き部 : 段付軸のすみ肉部周方向環状みぞねじ継手車軸ボス玉軸受などの座油穴キー溝など. 切欠きを有する試験片の疲労限度 :σw = w0 w 切欠き底の横断面積と等しい断面積をもつ一様な棒の疲労限度 : β σ σ σw0 寸法効果係数 ξ1: 大型の軸で 0.86~0.89 程度 0.5 程度の実験例あり直径が大きくなるほど表面の応力が大きくなり疲労限度が低下する小型試験片による疲れ限度から大型軸の疲れ限度を推定する場合には寸法効果を考慮しなければならない表面効果係数 ξ: 研削材 :0.87~0.95, 切削材 :0.7~0.88, 黒皮 ( 鍛造, 鋳鋼, 鋳鉄 ):0.34~0.85 程度材料の疲労によるき裂の進展は表面に存在する微小き裂から始まる表面の仕上げおよび加工状況腐食作用などによって影響を受ける表面加工 ( ロール加工, 転造, ショットピーニング ) 表面処理 ( 浸炭, 窒化 ), 熱処理 ( 高周波焼入れ, 炎焼入れ ) を行うと材料の表面が安定し疲れ強さが強くなり 1 とおくこともできる Copy Right by C.KANAMORI

16 軸の座屈への配慮圧縮力を受ける軸では座屈を起こす可能性がある軸径が決まった後に座屈を起こすかどうか調べるオイラーの座屈理論一様断面の長柱 : 柱長 l, 断面積 A, 断面次モーメント I, 主断面次半径 k : k = ヤング率 : E, 軸端の条件 : n 値座屈応力 :σk σ k k = nπ E l I A Copy Right by C.KANAMORI

17 こわさによる設計 : ねじれ角 θ ねじりモーメント T によるねじれ角 θ 半径 d/ の軸に作用するトルク T と T = Gθ I p ねじれ角 θの関係 π 4 中実軸の断面次極モーメント :Ip Ip = d 3 単位長さに対するねじれ角 ( 比ねじれ角 ) :θ T 3T θ = = 4 GI π d 中空軸ではどうなりますか? p GIp: ねじりこわさ = 比ねじれ角に対するトルクを表す GI p = T θ 単位長さに対するねじれ角 ( 比ねじれ角 )θ 一般の伝動軸比ねじれ角 θ<0.5 [ /m] ただし G は鋼材の種類による違いが少ない d で調整することになるねじれ角が大きくなると : カムの位置が変化する歯車が片あたりする振動の発生原因となる Copy Right by C.KANAMORI

18 こわさによる設計 : ねじれ角 θ( 導出 ) ねじりモーメント T によるねじれ角 θ 半径 r 上のせん断ひずみγ γ = tan ϕ rϕ/ l ϕ は小さいので ϕ γ とおくことができるので γ = rϕ/ l = rθ 半径 r 上の円周上の任意の点のせん断応力 τはせん断ひずみγと横弾性 τ = Gγ = Grθ 係数 Gより半径 r 上の幅 dr のリング状に作用するトルク dt は 3 dt = π r dr τ r = πr dr Gθr r = πgθr dr 半径 d/ の軸に作用するトルク T は 4 d / 3 ( d /) 4 T = dt = π Gθ r dr = πgθ = Gθ π d = GθI p I p π = d 3 4 Copy Right by C.KANAMORI

19 こわさによる設計 : たわみ曲げモーメント M によるたわみ角 δ 一般の伝動軸の曲げモーメントによる軸の場合最大たわみ角 δmax 1/1000 [rad] たわみ角が大きくなると : 歯当たりの変化軸のふれ回り砥石軸の負荷変動軸受の片あたりが発生する Copy Right by C.KANAMORI

20 キー溝の影響キーとは各種プーリー歯車はずみ車等のトルクを軸に伝える機械要素キーを使うと軸断面積の減少キー溝による応力集中が発生ねじれ強さの比 e (Mooreの式) e =キー溝付き軸強さ / キー溝なし軸強さ e b 1.1 d = 0 d d0 : 軸の直径 0 t JISによる軸とキー溝の場合 e 0.64~0.90 キー b d0 b : キー溝の幅 t : キー溝の深さ t Copy Right by C.KANAMORI 008 0

21 振動現象と危険速度回転軸がある速度に達すると急に振動が大きくなることがある振動の種類 : たわみ振動とねじり振動振動現象発生のメカニズムねじり変形たわみ変形が発生弾性軸の復元力が発生これが運動エネルギとなり, 交互に変形を繰り返す振動現象となる主な変形の発生原因質量の不釣合いたわみ変形軸のヒステリシス減衰 ( 構造減衰 ) ねじり変形回転力の変動ねじり変形共振現象回転速度が軸の固有振動数に近づく振幅が次第に増大回転速度が軸の固有振動数と一致振幅が軸の弾性限界を超えて破損この回転速度を危険速度という ( ねじりの危険速度, たわみの危険速度 ) Copy Right by C.KANAMORI 008 1

22 危険速度対策軸の設計においては軸の使用回転速度を危険速度から 0% 以上離す方法 (a) 剛性軸 (rigid shaft) 常用回転数を常に危険速度の下に離しておく方法軸を太くしてばね定数を大きくし, 危険速度を大きくする (b) たわみ軸 (flexible shaft) 常用回転数を常に危険速度の上に離しておく方法ねじり剛性はあるが曲げ剛性を著しく小さくした軸回転伝達のみ, または小動力用数層の密巻きコイル ( より線形たわみ軸 ) Copy Right by C.KANAMORI 008

23 中央ローター軸のふれ回り : 教科書の式ここでは軸の質量は無視する減衰力 = 摩擦力 x 方向の運動方程式復元力 = 弾性力外力 = 遠心力 d x dx = + ω cos( ω ϕ) M C kx Me t dt dt e : 偏心量,ω: 回転速度 [rad/s] 任意の回転速度に対する振動 Meω x= cos( ωt ϕ φ) ( k Mω ) + ( cω ) 振幅振幅が最大となる回転速度 = 危険速度 ω = n k M C ξ = ωcr = 1 ξ ω N = 60ω n cr π Mk 機械力学の教科書で復習してください! Copy Right by C.KANAMORI 008 3

24 中央ローター軸のふれ回り : 本格的な式軸受のばね剛性ロータ重心 (x,y) に関する運動方程式定常振動解 = ふれ回りの式つり合いの式 R と δ の連立方程式を解く Copy Right by C.KANAMORI 008 4

25 中央ローター軸のふれ回り : 本格的な式 Copy Right by C.KANAMORI 008 5

26 中央ローター軸のふれ回り : つり合いの式ここでは軸の質量は無視する遠心力 :F = ( + ) ロータ偏心量 :ε, 軸のたわみ :δ 軸の弾性力 :D 軸のばね定数 :k F m ε δω D = kδ 遠心力 Fと弾性力 Dがつり合う D= F kδ = m( ε + δ) ω 軸のたわみδについて解く mεω mεω k δ = = = k m 1 m k 1 ( ωωc) ( ) ω ω ωω ω = ω=ωc で振幅が無限大となる ωc: 軸の危険速度軸の危険速度 ( 回転数 ):N [rpm] ωc 30 k N = 60 = π π m c ε c Copy Right by C.KANAMORI k m ωc [rad/s]: 軸の固有振動数

27 レーリー (Rayleigh) の方法ここで軸の質量は無視するロータ質量 :M1,M,M3 静たわみ :x1,x,x3 系の危険速度での振動 : x = A cos t i i ω 1 1 max 1 1 U max = g Mixi = g M x + M x + M x 系の運動エネルギーの総和 : T = Mix i = ( M1x 1 + Mx + M3x 3 ) 系の位置エネルギーの総和 : ( ) エネルギ保存則より T = U 系とおくことができるこれを ω について解く ( + + ) g M x M x M x g M x ω = = M x M x M x M x i i i i Copy Right by C.KANAMORI 008 7

28 軸の材料軸の多くは回転軸回転体の不釣合いによる繰返し荷重 ( 機械軸, 伝動軸 ) 回転曲げ荷重 ( 車両の車軸 ) 一般には, 延性が大きく強度の高い低炭素鋼 ( 炭素分 0.1~0.4%) たとえば安価なもの :SS41,SS50,S10C~S30C( 機械構造用炭素鋼鋼材 ) の冷間引抜材大きな径 : 同上の熱間, 鍛造高荷重, 高速回転機械軸 ( 車軸, タービン軸など ) では, S40C,S50C,SNC( ニッケルクロム鋼鋼材 ),SCM( クロムモリブデン鋼鋼材 ),SCr( クロム鋼鋼材 ),SNCM( ニッケルクロムモリブデン鋼鋼材 ) などの合金鋼の熱間圧延材機械加工した後で熱処理をして使用する Copy Right by C.KANAMORI 008 8

第1章単位

第1章単位 H. Hamano,. 長柱の座屈 - 長柱の座屈長い柱は圧縮荷重によって折れてしまう場合がある. この現象を座屈といい, 座屈するときの荷重を座屈荷重という.. 換算長長さの柱に荷重が作用する場合, その支持方法によって, 柱の理論上の長さ L が異なる. 長柱の計算は, この L を用いて行うと都合がよい. この L を換算長 ( あるいは有効長さという ) という. 座屈荷重は一般に,