1. A 1-1/2 1 5 (1) sin (x y) = sin x cos y cos x sin y Z = e ix e iy (2) x < 1 x = 0 (i) 1 1 x (ii) log (1 + x) log (3) (i) (ii) 0 1 xe x dx dx (x x x

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ふじきみかんけ
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1 1. A 1-1/2 1 5 (1) sin (x y) = sin x cos y cos x sin y Z = e ix e iy (2) x < 1 x = 0 (i) 1 1 x (ii) log (1 + x) log (3) (i) (ii) 0 1 xe x dx dx (x x x 2 1 = 1t ) (4) A A = ( (i) A (ii) A (iii) 2 Q = 2x x 1 x 2 x 2 2 )

2 1-2/2 (5) π x π 2π f(x) f(x) a n, b n f(x) = a a n cos nx + a n = 1 π b n = 1 π π π π π n=1 b n sin nx n=1 f(x) cos nx dx, (n = 0, 1, 2,...) f(x) sin nx dx, (n = 1, 2,...) (i) f(x) = x 2 ( π x π) a n (n 0) b n (n 1) (ii) (i) S S = ( 1) n 1 n 2 n=1

3 2. B 2-1/2, ( 2 x y 2 ) u(x, y) = 0, (I). (1), (2).. (1) (I) (r, φ), x = r cos φ, y = r sin φ,, 2 r 2 u(r, φ) + 1 r r u(r, φ) r 2 u(r, φ) = 0, φ2 (II). (i) x, y, i ζ = x + iy = re iφ, ζ = x iy = re iφ, ζ, ζ, (I). ( 2 x y 2 ) u(x, y) = 4 2 ζ ζ u(ζ, ζ ) (III) (ii) (III) r, φ, u ζ *1., u ζ u r, φ, r, u φ ( ) *1 (II), (II).

4 2-2/2 (2) 2 r 2 u(r, φ) + 1 r r u(r, φ) r 2 u(r, φ) = 0, φ2 (II). (i) (II) u(r, φ) = R(r)Φ(φ), α, R(r), Φ(φ). d 2 R(r) dr dr(r) α r dr r 2 R(r) = 0 (IV) d 2 Φ(φ) dφ 2 + αφ(φ) = 0 (V) (ii) (V)., Φ(φ), α = m 2 (m = 0, 1, 2, ). (iii) R(r) = r λ, λ m, (IV). λ. (iv) (II), α = m 2, u(r, φ). u(a, φ) = 3 cos φ + 5 sin 2φ u(, φ) = 0, a.

5 3.( 物理学 A) 3-1/2 以下の問い (1),(2) に答えなさい. 解答にあたっては結果だけでなく導出過程も記しなさい. (1) 質量の球の運動を考える. (i) 水平面を平面とし, 鉛直上向きをの正の向きとする. 球には速度に比例する空気からの抵抗力, ただし, が働くとする. は定数である. 球に働く空気の浮力は無視できるとする. また, 球の回転は考えない. 重力加速度をとする. 時刻 0 において, この球を初速度 0 で落下させる. (a) 球の運動方程式を示しなさい. (b) 球の終端速度を求めなさい. (c) 時刻における球の速度を求めなさい. 今度は, 時刻 0 において, この球を図のように初速度で空気中を投げ上げる. は平面内のベクトルで, 軸とのなす角がである. (d) 球が最大の高さに達する時刻を求めなさい. (e) 球の軌跡を式で表しなさい. (ii) 質量, 半径の大気のない天体の表面上から球を投げる. 天体や球の自転は考えない. 万有引力定数をとする. (a) 球がこの天体の重力を振り切るのに必要な初速度の最小値を求めなさい. (b) 天体表面から表面の接線方向に初速度の大きさ ( 1) で球を投げだした. 球が天体中心から最大の距離に達したときの, 天体中心からの距離をとで表しなさい.

6 3-2/2 (2) 誘電率, 透磁率, 電気伝導度の半無限の導体 ( 0) が真空と接している.,, は時間と空間によらない定数とする. 電荷がない空間におけるマクスウェルの方程式は, 次のように表される. rot rot div 0 div 0 ここで, 電場, 電束密度, 磁束密度, 磁場には, 以下の関係が成り立つとする. また, 導体中では, 電流と電場の間にオームの法則が成り立つ. (i) 導体内の電場について以下の式が成り立つことを示しなさい. 今, 真空中から導体に垂直に角振動数の平面電磁波が入射する. このとき, 導体内の電磁波の電場成分が以下のように与えられるとする.,0,0, ただし,,, は時間と空間によらない定数である. (ii) が満たす式を求めなさい. (iii) とし, とを求めなさい. (iv) のとき, 導体内での電場の振幅がどのようになるかを説明しなさい.

7 4. 4-1/2 (1) (3) T V P S (1) U U = Q P V V Q (i) 1, 2 (ii) C V C V C V = ( ) U T V (iii) C P C P C P = C V + {( ) U V T } ( ) V + P T P (2) du du = T ds P dv (i) F F = U T S ( ) ( ) S P = V T (ii) (2) (i) ( ) U V T T = T V ( ) P T V P

8 4-2/2 (3) (1) (2) (i) ( U/ V ) T 0 (ii) C P C V (iii) S C V C 0 S = C V log T + R log V + C 0 (iv) (3) (ii) (iii) P V C P /C V = γ (v) (3) (iv) dp dv > dp dv

9 5.( 岩石学鉱物学 ) 5-1/3 以下の問い (1)~(4) に答えなさい (1) 図 1のような仮想的な 2 次元結晶を考える小胞の中心には A 原子あるいは B 原子が配置する小胞は一辺の長さが a (nm) の正三角形であり変形しない A 原子あるいは B 原子は小胞の壁を介して最も近い等価な3 方向の原子と結合するがそれより遠い原子との相互作用は無いとする A-A, B-B および A-B 結合の存在割合をそれぞれ x AA, x BB, x AB としその結合エネルギーをそれぞれ e AA, e BB, e AB とするここで結合エネルギーとは結合している原子対を無限遠まで引き離すのに必要なエネルギーのことであるこの結晶に関して以下の問い (ⅰ)~(ⅳ) に答えなさい A A A B A B A A B A A A B B A B A B B A B B B 図 1. 仮想的な 2 次元結晶の模式図 (ⅰ)1 m 2 の結晶中に存在する全結合エネルギーを求めなさい (ⅱ) 全原子に対する A 原子の存在割合を x AA とx BB を用いて表しなさい (ⅲ) 次の 2 つの場合に安定となる結晶構造について単位格子を答案用紙に描き単位格子に含まれる回転軸をすべて示しなさい 1 e AA, e BB, e AB が全て等しい場合 2 e AB が他の二つに比べて極めて大きい場合 (ⅳ)e AA と e BB が互いに等しく e AB に比べて極めて大きい場合結晶はどのような状態になるのが安定と考えられるか理由を挙げて答えなさい

10 5-2/3 (2) 以下の文章をよみ問い (ⅰ)~(ⅴ) に答えなさい図 2は Mg 2 SiO 4 -CaAl 2 Si 2 O 8 -SiO 2 からなる三成分系の模式的相平衡図であるこの図に基づいて図上の点 X で示される組成のマグマが温度の低下とともにどのように結晶化するかを考えてみよう平衡結晶作用が起こる場合を考えようまずマグマが 100% メルトである状態から始める温度の低下が進行するとまずカンラン石が晶出し始めるカンラン石の晶出が進行するとメルトの組成は ( ア ) 直線に沿って変化していきやがて点 cと点 hを結んでいる相境界上に達するその後メルト組成は ( イ ) この相境界に沿って変化し ( ウ ) 最終的に相平衡図上のある点に達するその後メルト組成は変化することなく ( エ ) 完全に固結し岩石となる一方 ( オ ) 分別結晶作用によりマグマの結晶化が進行する場合のメルトの組成変化経路は平衡結晶作用によるものと異なる (ⅰ) 下線部 ( ア ) の直線はどのような直線か相平衡図中の点の記号を用いて答えなさい (ⅱ) 下線部 ( イ ) の状態のとき温度低下に伴うマグマ中の各相の増減を説明しなさい (ⅲ) 下線部 ( ウ ) のある点とはどの点か相平衡図中の点の記号で答えなさい (ⅳ) 下線部 ( エ ) に関連してこの岩石はどのような鉱物からなるかを答えなさい (ⅴ) 下線部 ( オ ) のように分別結晶作用によるマグマの結晶化が起こる場合点 X の組成のマグマが 100% メルトの状態から完全に固結するまでのメルト組成の変化経路を解答用紙に相平衡図の概形を書きその図上で分かりやすく示しなさい図 2.Mg 2 SiO 4 -CaAl 2 Si 2 O 8 -SiO 2 三成分系の模式的相平衡図相境界の位置は重量比に基づく Fo,En,Q,An はそれぞれカンラン石直方輝石石英斜長石がその組成領域で最初に晶出する鉱物であることを示す点 g は MgSiO 3 の組成に対応する

11 5-3/3 (3) 下の噴火の推移で示す火山噴火が起こったその記述に基づいて火口から数 km 離れた場所の露頭で観察されるこの噴火の堆積物の産状を推定して答えなさい解答では図 3を参考にして図 4に示す構成物質の記号を用いた柱状図を描き各ステージの堆積物を説明しなさい図 4の構成物質記号をすべて使う必要はありません必要に応じて構成物質の記号を追加してもかまいません [ 噴火の推移 ] ある火山で大規模な珪長質マグマの噴火が起こった噴火は以下のように進行したステージ1: マグマ水蒸気爆発で噴火が開始したステージ2: 高さ約 30 km の噴煙柱が立ち上がったステージ3: 噴煙柱が崩壊して火砕流が発生したりまた噴煙柱が立ち上がったりを繰り返したステージ4: 大規模な火砕流が発生したその後噴火はだんだん弱くなり停止した図 3. 参考柱状図図 4. 構成物質の記号 (4) 次の用語群 (ⅰ)~(ⅵ) の中から 2 つ選び岩石学鉱物学的観点から 3 行程度で説明しなさい (ⅰ) 2 次の相変態 (ⅱ) 電子線プローブマイクロアナライザ (EPMA) (ⅲ) バーガーズベクトル (ⅳ) マントル遷移層 (ⅴ) ストロンボリ式噴火 (ⅵ) 普通角閃石 ( ホルンブレンド )

12 6. 6-1/2 (1) i ii (i) (ii) (2) i ii (i) (ii) (3) i v (i) (ii) (iii)

13 6-2/2 (iv) (v) (4) (5)

14 7. A 7-1/3 (1) (3) (1) (i) (iv) (i) 9.8 m/s 2 0.5% (ii) (iii) (ii) (iv) (iii) (2) 1 (i), (ii) (i) (ii) 3 90 N 60 N 30 N 0 30 S 60 S 90 S :. million years

15 7-2/3 (3) 2a 2b D d 1 P Q v (i) (vi) (a) (b) P d v v T=0 v v T m η D v vv Q 2:. (a). (b) (a).. (i) α : V V 0 = α T (I) V = V V 0 V 0 V T = T T 0 T 0 T (I) d D ρ = ρ 0 α T (II) ρ = ρ ρ 0 ρ 0 ρ ρ ρ/ρ ρ/ρ 0 (ii) 2b B g ρ ρ m B

16 7-3/3 (iii) T m T = 0 T m T m /2 T = T m /2 T m = T m /2 (ii) B g, ρ m, α, T m, D, d (iv) 2b D 2v τ = η 2v/D η 2b F R (v) 2b (iv) B v (vi) v D = 3000 km d = 100 km η = Pa s g = 10 m s 2 ρ m = 3300 kg m 3 α = C 1 T m = 1300 C v m/ 1

17 8.( 固体地球物理学 B) 8 1/3 以下の問い (1) (2) に答えなさい計算問題の場合途中の導出過程も示しなさい (1) 地震は断層に沿ったせん断破壊現象とみなすことができるこの現象を理解する際しばしば図 1 のような岩石の圧縮試験によって生じるせん断破壊が考えられるさらに図 1 のような破壊現象を定量的に扱うため図 2 のような長さ LL LL1 LL3 の面で構成される三角柱を考えるただし紙面に垂直な方向のこれらの面の長さは1( 単位長さ ) とする図 2 において最大主応力 σσ11がxx1 軸最小主応力 σσ33がxx3 軸の正の方向に働いているものとするまた長さLLの面に対する法線ベクトルnnは σσ11 σσ33を含む面内にあるものとする nnがxx1 軸となす角をθθとし長さLLの面に働く法線応力 σσnnとせん断応力 ττを図 2 のようにとり σσnn ττをσσ11 σσ33 θθ を用いて表すことを考えるなお上記の三角柱の面に働いている力は全体としてつり合っているものとする σσ11 σσ33 図 1 図 2 (i) 図 2 において法線応力 σσnnが長さllの面に及ぼすxx1 軸方向の力を求めなさい (ii) 図 2 において xx1 軸方向の力のつり合いの式を書きなさい (iii) 図 2 において xx3 軸方向の力のつり合いの式を書きなさい

18 8 2/3 (iv) (ii) (iii) で求めた式を用いて σσ nn = 1 2 (σσ 11 + σσ 33 ) (σσ 11 σσ 33 ) cos 2θθ (v) ττ = 1 2 (σσ 11 σσ 33 ) sin 2θθ となることを示しなさい (iv) の 2 つの式からθθを消去し σσnnとττの関係を表す式を求めなさいまた横軸にσσnn 縦軸にττをとり ττ 0の範囲でこの関係式を図示しなさいまたこの図形の名称を専門用語で答えなさい (vi) 凝着力をττ0 内部摩擦係数をμμとすると破壊強度 ττssは ττss = ττ0 + μμμμnn と表される横軸にσσnn 縦軸にττまたはττssをとった座標系において (v) の図形とττssの図形が接するときせん断破壊が起こると考えられるこの場合内部摩擦係数が 0 のとき ττssをσσ33を用いて表しなさいまたこのとき θθの値を求めなさい (2) 図 3 は水平 2 層構造における走時曲線を表したものである 1 層目 2 層目の地震波速度は一定でそれぞれの速度をV 1 V 2 とするただし V 1 < V2 とするまた 1 層目の厚さを HH1 とし震源と観測点は地表にあるものとする以下の問いに答えなさいなお以下の問い (i) (vi) 以外は上記の変数名のみを用いて解答すること図 3 図 3

19 8 3/3 (i) 図 3 において実線で示した ( ア ) ( イ ) ( ウ ) の走時曲線に対応する地震波の名称を答えなさい (ii) 図 3 において震央距離 0 における ( ウ ) の走時を求めなさい (iii) 図 3 において ( ア ) ( イ ) の走時曲線の傾きを求めなさい (iv) 図 3 において XXcritical は ( ア ) の走時曲線が初めて現れる震央距離で (v) あるこの距離を求めなさい図 3 において ( ア ) の走時曲線で表される地震波の走時 TT を震央距離 XX の関数として表しなさいただし水平成層構造の場合の波線パラメター ( 水平スローネス )ppを用い V 2 は用いないこと (vi) 図 4 の右図のような水平 3 層構造において 1 層目 2 層目 3 層目の地震波速度は一定でそれぞれの速度を VV1 VV2 VV3 とするただし VV1 < VV2 < VV3 とするまた 1 層目 2 層目の厚さをそれぞれ HH1 HH2 とし震源と観測点は地表にあるものとする今図中の太い実線のような地震波の走時を考えるこれは A から B に至る太い実線に沿った震央距離 YY に対する水平 2 層構造の場合の走時に図 4 の左図 ( 右図の四角の枠内の拡大図 ) にあるような距離 DD(B 側も合わせると, 2 DD) に対する走時が付け加わったものと考えることができるこのとき震源から観測点までの太い実線に沿った地震波の走時 T は震央距離 XX の関数として 1 VV 2 1 pp 2 TT = XXXX + 2 HH 1 VV 1 + HH 2 1 VV 2 2 pp 2 VV 2 となることを示しなさいここで pp は水平成層構造の場合の波線パラメター ( 水平スローネス ) である図 4

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ÿþŸb8bn0irt 折戸の物理スペシャル補習 http://orito-buturi.com/ NO.3 今日の目的 : 1 微分方程式をもう一度三角関数の近似について学ぶ 3 微分の意味を考える 5. 起電力の電池, 抵抗値の抵抗, 自己インダクタンスのコイルとスイッチを用いて右図のような回路をつくった始めスイッチは開かれている時刻 t = でスイッチを閉じた以下の問に答えよただし, 電流はコイルに