この三者は, 度数分布が左右対称なとき以外, 同じ値をとらない. ヒストグラムが右 ( 歪度がプラスを示している ) に偏っている場合は,mode<median<mean となりスペルが辞書に出てくる逆順, 左に偏っている場合は, mean<median<mode となりスペルが辞書に出てくる順とな

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1 第 1 章基礎数値の算出統計解析を実施するためには, 幾つかの基礎数値を算出する必要がある. これら数値の算出法および用語なども併せて説明する. 表 1 の臨床検査値について解説する. 表 1. 成人男性 10 人の血清中 GPT 活性値 ( 肝機能の指標 ) (U/L) 個体値合計 4, 60, 6, 48, 56, 31, 30, 80, 79, 標本数 (Sample, N, n) 10. 平均値 (Mean, X ) X = å N X = 54.5 å はギリシャ文字のシグマで, 英語の S にあたり, 和をとる summation という意味である.X は個体値を表す. 3. 中央値 (Median) 変量を大きさの順に配列したとき, その中央に位置する値をいう. N が奇数と偶数では算出法 N + 1 が異なる. 標本数が奇数ならば小さい方から番目の値をメディアンという. 標本数が偶数な らば, 中央にくる二つの値の平均値で定義する. 平均値に比較すると, 中央値は, 標本数が小さい場合や外れ値がある場合は, 平均値に比較して頑健性 ( ロバストネス ) がある. 以前は陸上競技のタイム計測および冬季のジャンプの飛形点などは大きい値と小さい値を除外して残りの数値の平均値を使用している. この場合は, 審判員の性格によって常に大きい数値または小さい数値を示す人がいるためである. ばらつきの大きい場合は, 平均値に比較して中央値がその集団の平均を代表していることがある つの M, 代表値, 平均値 (Mean) 中央値 (Median) 最頻値 (Mode) SAS JMP (Version5) のサンプルデータの 1 才の身長体重 の 63 人の男女の体重を解析する. SAS JMP による解析結果を下記に示した. 箱ひげ図の下の赤い横かぎは Shortest half で, この中に全標本の 50% が含まれる. 平均値 = 94. データ自体の値. 中央値 = 91.5 データの順番. 最頻値 = データの頻度 ( 最も多く現れているデータ値, 視覚的 ). 1

2 この三者は, 度数分布が左右対称なとき以外, 同じ値をとらない. ヒストグラムが右 ( 歪度がプラスを示している ) に偏っている場合は,mode<median<mean となりスペルが辞書に出てくる逆順, 左に偏っている場合は, mean<median<mode となりスペルが辞書に出てくる順となる. * スーパーや量販店などの カジュアルウェアーの一掃セール. 有名ブランドのセータが 980 円 といったチラシにつられて店に行くと, お目当ての 980 円のセータは用意されていた品数が少な くすぐに売り切れてしまい, 残っていたほかの商品も普段とあまり値段が変わらなかった. これ に似た経験をしたことがある人も多いと思う. セータならチラシに騙されたとしても諦めがつく であろう. マンションや建売住宅などの購入を考えているときはそうはいかない. 一生に一度あ るかないかの買い物だからである. そのようなことが起きないように, マンションなどの広告に は 販売価格 / 万円 ( 戸 )~ 万円 ( 戸 ) とともに 最多価格帯 / 万円台 ( 戸 ) を 必ず表示するよう義務付けられている. このような表示がしてあれば, どのあたりの価格の物件 が最も多く売り出されているかがあらかじめ知ることができる. この最多価格帯がモードである. したがって, 飛び離れているデータが幾つかある場合は, 平均値よりもモードおよびメディアン も一緒に表示したい. プロ野球選手の平均賃金や国民一世帯の平均貯蓄額などは, データ中に飛び離れたデータが入 っている場合があることから, メディアンおよびモードは有効と思う ( 表 ). 表. プロ野球選手の年俸および日本人の貯蓄高 調査項目 Mean Median Mode 理由 プロ野球選手の年俸 (H10), 万円 6,00 4,000,500 清原と松井が超高額年俸者 日本人の貯蓄高 (H3), 万円 1, 売れっ子作家, 土地成金, 会社役員 ワイド Skewness: 歪度 歪み度 : ひずみ度は, 左右対称か否かを判定する統計量である. 正規分布で は, 歪度は 0 である. 右に裾を引く場合は, 正である. 左に裾を引く場合は, 負になる. センド Kurtosis: 尖度 尖り度 : とがり度は, 正規性の場合は 0 となる. 扁平の場合は負になる ( 新村, 000). 歪み度および尖り度の合計が目安で絶対値約 を超えると正規性は否定される ( Shapiro-Wilk の W 検定 ) 場合が多い. 5. 偏差平方和 ( SS, Sum of square) 一般的には平方和と呼び各個体値から平均値 ( X ) を引いた値の二乗の総和で表す å( X 1 - X ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) = で表す. 後者の方が計算は容易である または = = 分散 ( Sx, V, Variance) -1 å X N ( X - ) = 偏差平方和を N-1 で割った値である. しかし, 標本数が 100 以上と大きい場合は, N 自体で割 っても大きなずれはない.

3 7. 標準偏差 ( Sx, S.D., s.d., Standard deviation) 分散 = = ± 3.4 標準偏差は得られたデータの分布を表す. したがって, 図 1 のように棒グラフに示された ±S.D. のエラーバーは, データのおおよそ 68% がこの中にあることを意味している. 決して, 平均値の 振れ幅を示しているのでもなく, データの 95% がこの中に入っている訳でもない. 8. 標準誤差 ( S x, S.E., s.e., Standard Error) 分散を Sx, 標準偏差を Sx, 標本数を N で表せば, 標準誤差 S x は次式で求められる. Sx または N Sx N 標準偏差 3.4 = = ± 7.4 N 10 標準誤差は得られた平均値の信頼性を表す. したがって, 棒グラフに示された ±S.E. のエラーバーは母平均の 68% 信頼限界を表すと見なしてよい.95% 信頼限界を示すためには ±S.E. を採らなくてはならない. すなわち, データの分布を示すことに用いてはならない. エラーバーの幅を小さく見せるために故意に使うことは許されない ( 松本,1990). 標本数が 5 程度と少なく, 平均値の信頼性を重んじる薬理 薬効分野では, 標準誤差を使用している場合が多い. いずれにせよ個体数, 平均値および標準偏差を明記すれば標準誤差が計算できる. 図 1 に標準偏差と標準誤差の表現の比較を示した. γ-gtp (IU/L) (A) 標準偏差 (B) 標準誤差 図 1. 標準偏差と標準誤差の表現の比較 (A) 標準偏差は平均値の棒グラフ, ± 標準偏差のエラーバーを付けた表示である. 正規分布をするとみなるデータについて使用する. このときは, データのおおよそ 68% がエラーバーの幅の中にあるといえる. (B) 標準誤差は平均値の棒グラフに ± 標準誤差のエラーバーを付けた表示である. 大きさが 0 以上のデータについては, 母平均値の 68% 信頼区間を表すと見なしてよい. データの分布を表示しなければならない場合に, エラーバーを狭くして精度をあげたように見せるために, 故意に (B) を使うのは一種の詐欺である. 生物反応の多くは, 測定値の平均値に占める標準偏差の割合が 8-0% 弱であることから, 標準偏差の表示はグラフ化した場合, バランスがとれているように思う. 我が国の生物を用いた文献では 10% ぐらいの割合で標準誤差が使用されている. また平均値と分布とが一目にして理解でき, 慣れることによって極めて有用との声が高い 箱ヒゲ図 の利用も試験 調査結果の考察には便利かも知れない. 3

4 表 1 に示した血清中 GPT 活性値のデータを SAS JMP によって解析した結果を下記に示した. 9. 箱ヒゲ図 (Box-and-Whisker plot) この図はとても便利という声もあるが, 何を表示しているのかまたどうやって図を作成するのか簡単に説明する. 箱ヒゲ図は慣れてくると, とても素晴らしいグラフ表示です. SAS JMP でも表示される. ここで実際のデータから箱ヒゲ図 ( 中里, 199) を作成する過程を説明する. データは表 3 に示した飲酒群の γ-gtp( 肝機能検査値 アルコール指数 ) を使用する. 標本数は 64, 小さい値から順番に並び換えた. 表 3. 飲酒群の γ-gtp 活性値 γ-gtp, IU/L データを上記のように小さい方から大きい方へ並び換える. 中央値 (50% 点 ) を求める. データの大きさ N が奇数であれば (N+1)/ 番目の値, 偶数であれば N/ 番目の値と (N/)+1 番目の値の平均値になる. この例では,N=64 だから,3 番目の値と 33 番目の値の平均値である. ( ) = 33.0 データ全体を, N が奇数であれば { 最小値から中央値 }, { 中央値から最大値 } の二つに ( 中央値は重複する ), 偶数であれは { 最小値から N/ 番目の値 },{ (N/)+1 番目の値から最大値 } の二つに分けて, それぞれ中央値を求める. 小さい方を下部ヒンジ (lower hinge), 大きい方を (upper hinge) という. 下部ヒンジは 5% 点, 上部ヒンジは 75% 点に相当する. この例では, 下部ヒンジは 16 番目の値と 17 番目の平均値, 上部ヒンジは 48 番目の値と 49 番目の平均値になる. ( ) = 18.0, ( ) =

5 上下のヒンジの差を採って, ヒンジ散布度 (hinge spread) を求める =48.5 下部ヒンジと上部ヒンジの簡を箱で表し, 中央値を箱の中に線分で記入する. 内堀 ( 内境界点 ) (inner fence) を ( 下部ヒンジ ) -1.5 ( ヒンジ散布度 ), ( 上部ヒンジ ) ( ヒンジ散布度 ) とし, 内堀に最も近い内側の測定値まで箱からヒゲを伸ばす. 例の内堀は次のようになる =-54.75, =139.5 外堀 ( 外境界点 ) (outer fence) を ( 下部ヒンジ ) - 3 ( ヒンジ散布度 ), ( 上部ヒンジ ) + 3 ( ヒンジ散布度 ) とし, 内堀の外側で外堀の内側にある測定値をはなれ値 ( 外側値 )(outside) として で, 外堀の外側にある測定値を飛び離れ値 ( 極外値 )(far out) として で記入する. 例の外堀は次のようになる. 図 に飲酒群の γ-gtp 活性値の箱ひげ図を示した =-17.5, = 下部ヒンジ, 中央値, 3 上部ヒンジ 内堀 図. 飲酒群の γ-gtp 活性値の箱ひげ図. 18 から 間での最小値は 0 であることから 0 でバーを止める から の間には 116 が一番大きい値となる. 外堀は 11 までの間に 155, 174, 190 の 3 個体,11 以上の個体は 38 と 413 の 個体. 想定している母集団が正規分布しているとき, データの大きさがある程度 ( 少なくても 0, なるべくなら 50) 以上あれば, 箱ヒゲ図は次のような性質を持つはずである. 5

6 SAS JMP による解析結果を下記に示した. 中央値の線は箱のほぼ中央にある. 箱の両側のヒゲはほぼ同じ長さになる. 内堀の外側にでるデータは, 全体の % 程度である. 一般的にデータが外堀の外側にでることは, ほとんどない. まとめ は, はなれ値 (outside). は, 飛び離れ値 (far out). 標準偏差や分散等は使用していないのが特徴である. スキャッタグラムに近い表示法と思う. 10. 正常範囲はなぜ SD を採るのか? 生物から得られた定量値から, しばしば正常閾 ( 背景値 正常値とも一般的にいわれるが, ここでは正常域とする ) と比較する. 定量した値が正常域に入っているか否かを検討したいためである. しかし, だれがいったか正常域は SD の中だ. いや, 3SD だと種々の主張がでるが文献的にもこれを支持するものは見あたらない. 谷本 (1993) が本論に触れているのでこの論文を紹介し, どうして SD なのか著者なりに例を用いて説明する. 特に調査例が少ない場合は, 対照群との比較を含め正常域との比較を時折実施することがあり, この正常域の概念は重要と思う. 1) 谷本 (1993) の正常域などの概念正常域とは, 正常なヒトの母集団が示す値であって, 検査域が正常値を示しているかどうかを識別するための物差し ( 尺度 ) である. しかし, 正常域という言葉を定義づけるのは困難である. 正常なヒトとは, どのようなものを指すのか, ヒトにおける正常とは, 何かなど多くの問題をかかえているからである. 以前から, 正常域という用語に代わって参考値や基準値, 標準値などという言葉が用いられるようになってきた. しかし, これらの用語に比べて正常域という言葉の方が通じやすいということで常用されている. ヒトでの血液検査で使用されている正常域の概念は, 長年の臨床経験に基づいてできたのである. それぞれの施設で正常域を設定する場合, 以下のように実施する. 分布が平均値を中心に左右対称になる場合は, 正規分布を示し, 平均値 ±SD ( 標準偏差 ) の範囲を正常域と呼ぶ, 健康なヒトの集団の 95.4% がこの範囲に入る. 血液学的検査項目では, 白血球数など一部を除いて正規分布を示す. しかし, 血液生化学的検査項目では GOT, GPT を始めとする多くの項目が対数正規分布を示す. 健康なヒトの正常域 ( 平均値 ±SD) を越え平均値 ±3SD の範囲に入る値を境界値 ( 疑惑値 ) と呼ぶ. 健康な集団の 95.4% 以上 99.7% 以下がこの範囲にはいる. この範囲に入る値が得られた場合, 検体の取り扱いが適切であったか, 測定に問題はなかったかなどを調査し, 関連項目の動きもみて再測定するかどうかの判断をする. 単独の動きもみて再測定するかどうかの判断をする. 単独の項目が境界値を示した場合, その臨床的意義は乏しくかつ変化の機序も不明なことが多い. 健康 6

7 なヒトにおける平均値 ±3SD の範囲を外れる値 (99.7% 以上 ) が, いわゆる異常値である. この範囲の上限もしくは下限の一方を採ると,1,000 例中 1 例強が示す値である. ヒトにおける生体成分の動きからみると, 異常値は, 直ちに異常を意味するものではない. 異常の有無は, 器質的変化を含めて総合的に判断することが肝要である. ) SD を採用する訳生物学的反応を統計処理する場合, 一応の目安は 5% の危険率でここ 50 年間実施されてきた. すなわち, 100 回中 5 回または 0 回中 1 回の間違いは許そうという国際的認識の基で統計解析が成り立っている. したがって, 調査データが 100 標本あるとすると, その中の 5 標本と 95 標本との境界線をこの SD によって引くことができるのである. 成人男子 300 人の血漿総蛋白量 (g/dl) 測定結果を表 4 に示した. 表 4. 成人男子 300 人の血漿総蛋白量 * * * * * * * * * * * * * * * * 標本数 : 300 平均値 ± 標準偏差 : 7.8±0.9 SD の正常域 : 9.6~ 6.0( この中に 84 人が入っている, 約 95%) 3SD の正常域 : 10.5~ 5.1( この中に 97 人が入っている, 99%) * は SD から逸脱する個体, 下線は 3SD から逸脱する個体を示す. 7

8 SAS JMP による解析結果を下記に示した. 11. 変動係数 (%) (C.V., Coefficient of variation) 標準偏差 = 100 = 4.9% 平均値 54.5 時折文献に使用されている. 数字の桁数および単位が異なった項目が混在している場合の分布 の比較には有用である. 変動の少ない電解質と変動の大きい酵素系などの桁数の異なった計測値 の分布の比較などに適している. 1. 自由度 (D.F., df, Degrees of freedom) 標本数 (N) の大きさに関係する数で通常 D.F. で表す. 有意差検定の場合, この値によって確率 ( 有 意差の判断 ) が変化する. 一般に D.F. は, N-1 を用いる. 引用文献および引用資料 谷本義文 (1993): 実験動物の臨床検査値の読み方, 静岡実験動物研究会々報, 中里ひろし (199): 実験データのグラフ表示, pp4-5, サイエンティスト社, 東京. 新村秀一 (000): パソコン楽々統計学 pp53, ブルーバックス B-1198, 講談社, 東京. 松本一彦 (1990): 日本実験動物技術者協会, 第 6 号, p4-5. 8