モンテカルロ・フィルタを用いた金融時系列分析

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ともあきみつだ
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1 9 月 26 日 CARF セミナー状態空間モデルを用いた金融時系列分析佐藤整尚 ( 大学共同利用機関法人情報システム研究機構統計数理研究所データ科学研究系准教授 )

2 はじめに 90 年代 : 統計科学の分野で金融データに対する応用が盛んになった :ARCH GARCH をはじめとするボラティリティモデルの推定 2000 年以降 : さまざまな商品が開発される高頻度データの解析債券価格のモデリング倒産確率のモデリング現在 : 数理ファイナンスの進化が著しい ( 統計科学の出番は?)

3 状態 (Sae) 変数とは必ずしも観測されるとは限らない物事の状態 ( 本質 ) を表す変数時間とともに変動する観測値は状態変数の関数で表される

4 状態空間モデルとはシステムモデル ( 状態モデル ) と観測モデルからなるシステムモデルにはマルコフ性が仮定されるシステムモデル - 時点の状態時点の状態時点の状態観測モデル観測モデル - 時点の観測値時点の観測値時点の観測値

5 状態空間モデル線形ガウスの場合 (x が状態変数 ) x y = Fx = Hx e Gv ( システムモデル ) ( 観測モデル ) 例 ) = y = x ε e ( システムモデル ) ( 観測モデル ) カルマンフィルタ

6 一般化状態空間モデル (Y が状態変数 ) システムモデル観測モデル

7 状態空間モデルの目的モデルの当てはめやパラメータの推定を行う観測値から状態変数を推定するモデルに基づき予測を行うモデルに基づき平滑化を行う

8 状態空間モデルの歴史もともとは物理システムの記述に使われていた 960 年代カルマンにより制御工学での利用が進んだ ( カルマンフィルタ ) 970 年代赤池により統計科学への応用が始まる理論モデルの記述システムの制御モデルの推定 * ファイナンスでも使われるようになってきた

9 金融時系列分析において状態空間モデルが有効な例 Trend Model の推定 Volailiy の推定 ( Sochasic Volailiy Model ) 金利の期間構造の推定マルチファクターモデルの推定 CAPM における時変 Bea の推定投資信託のスタイル分析マイクロマーケットストラクチャーの推定

10 金融時系列において状態空間モデルが適用される時の 2 つの傾向理論モデルの対象とする変数が観測できない場合数理ファイナンスを起源とするモデル ( 連続時間モデル ) 状態 ( システム ) モデルは一般に複雑である非線形でカルマンフィルターでは解けないことも多い時変係数タイプの非定常モデルクオンツタイプのモデルベースは回帰モデルでこれを時変にしたものシステムモデルは統計的なモデリングであるカルマンフィルタで解ける場合が多い

11 状態推定のアルゴリズムカルマンフィルタ拡張カルマンフィルタ非線形フィルタモンテカルロフィルタ

12 モンテカルロフィルタの特徴様々なモデルに適用可能である. 制約つき推定非線形構造突然のジャンプなどを含むモデル状態変数 ( 潜在変数 ) の推定が得意平滑化も可能である.

13 Mone Carlo Filer : ( Kiagawa [996] ) Iniial disribuion Predicion ~ likelihood Re-sampling by Filer

14 Log-Likelihood AIC (Akaike Informaion Crierion)

15 Trend-Volailiy model (summary) Y = T A ε exp S T = DT T e e 2 ( 状態 : トレンドボラティリティ周期変動 ) DT = DT e A = a A a 2 A 2 e 3 S = S c DT e 4 e,e 3,e 4 ~ N 0,σ i2, ε ~ N 0, e 2 ~ Uniform(d, d 2 ) (Prob. α) N(0,σ 22 ) (Prob. α)

16 時変係数マルチファクターモデル = = = = = = n n n n e f c f b a r e f c f b a r e f c f b a r v c c v b b v a a (2) () 2 2 (2) 2 () 2 (2) () 3 2 時変係数 CAPM ( 状態 : ファクターにかかる係数 )

17 Muli-Facor Model Observaional Daa (ineres raes) Sae Space Model Mone Carlo Filer ( 状態 : ファクター ) Esimaed Facors (Sae Variables) Esimaed Term Srucure

18 ファイナンス理論によるモデリング ( 一般的な枠組み ) Term srucure model of ineres raes Sae variables: Y (k-dimensional) W : n dimensional Brownian moion Shor-erm ineres rae : r = r( Y, )

19 Price of zero coupon bonds : P(,T) P は Y のモデルの形に依存して決定される T : mauriy Q : Risk neural measure P (, T ) = B( Y ( ),, T ) Under Q * *

20 Sysem Model: General case : Linear case : Σ = S S

21 Observaional Model Price of a zero coupon bond Y ( )] = B( Y ( );, T ) General case : Addiive case : Examples of H( ) : (LIBOR) (Swap rae)

22 要点 : モンテカルロフィルターを用いた金利の期間構造の推定特徴 : 幅広いモデルに適用可能である. 特にゼロクーポン債の価格が明示的に解けなくてもよい. 自由なモデリングが可能 (CIR などのモデルにこだわる必要が無い )

23 スタイル分析法静的枠組み回帰モデル動的枠組みウィンドウを移動しながら回帰を行う方法罰金つき最小 2 乗法状態空間表現によるアプローチ ( 新しい手法 )

24 投資信託のスタイル分析 ( 状態 : スタイルインデックスにかかる係数 ) r = SV 4 MG 2 SG 5 LV 3 MV 6 LG e SV:Small-Value SG:Small-Growh MV:Mid-Value MG:Mid-Growh LV:Large-Value LG:Large-Growh

25 従来の方法 Window-Regression によって求めた係数を平滑化する方法 (MPI- スタイラス,hp:// 制約つき最小 2 乗法 HP Filer ( 竹原 999) ここで提案する方法 : Smoohness Prior Mone Carlo Filer

26 = = = = = = ' ' 2 2, ) 6 : (Pr ) 6 : (Pr ) 6 : (Pr (3) (2) () 0 ) : (Pr ) (0, ) : (Pr ) (0, ~ j j j j j j i j j i i i i i i i i i c N N e LG LV MG MV SG SV r α σ α σ ε ε モデル : 制約 : 状態推定はモンテカルロフィルターを使う.

27 実証結果のまとめウエイト所与のもとでのシミュレーションデータに対してはよく推定されている. 特にMCFでは急激な変化も捉えられた. 現実のリターン系列に対しては必ずしも満足できる結果ではない. 現実のファンドは常にスタイルインデックスのみのポートフォリオとしてみれるか?

28 ボラティリティの推定ヒストリカルボラティリティ SV や GARCH などのモデルを使った推定高頻度データを使った実現ボラティリティの推定日次データ -> 分データ秒データ Tick データ * より精緻にVolailiyの推定が可能

29 High Frequency Daa of Nikkei-225 Fuures Traded a Osaka Securies Exchange Very acive Daily average volume 36,802 unis (2008) Inra-day volailiy movemens Large ick size 0 yen (Spo index : 0.0 yen) Apr *Fuures daa are presened by Osaka Securiies Exchange.

30 High Frequency Daa Apr Spo index (black) and Fuures (red) 60 sec.

31 Hisorical Inegraed Volailiy for Nikei225 Fuures Inegraed Volailiy (s) (5s) Σˆ x = n i= ( x 2 i / n x( i )/ n) (0s) (30s) X:LOG をとった株価 Inerval X: log ransformed sock price

32 従来のフレームワーク ( 状態 : 本源的な資産価格ただし状態そのものを推定するのではない ) Discree model: x y i i = xi = x i v e i i

33 高頻度データに対するより一般的な枠組み ),, ( ) (0 ) ( 0 2 / 0 i i i i s x v y x g y db s x x = Σ = 観測値 y から x のボラティリティを推定する

34 SIML (Separaing Informaion Maximum Likelihood) Esimaor (Proposed by Kuniomo and Sao (2008)) P n : roaion marix

35 For small k, a [ π ( 2k ) ] 0 n, k = 2 4nsin 2 2n

36 z, z2,, zm,, zn l, zn l 2,, zn Σˆ x Σˆ v

37 SIML の特徴実務的な方法である計算が簡単であり他の方法のようにデータごとに定めるパラメータなどがないやや効率性は落ちるが非常にロバストである漸近的な性質が比較的簡単である共分散も推定できるのでたとえば重回帰モデルの推定なども可能である

38 高頻度データに対する新しい観測モデル i i i i s x v y x g y db s x x = Σ = ) ( ) (0 ) ( 0 2 / 0 観測値 y から x のボラティリティを推定する

39 まとめ高頻度データの観測モデルを非線形に拡張したさまざまな非線形変換が考えられる従来の加法ノイズモデルにおける実現分散の推定法もほぼ有効である多変量のケースでの実現相関の推定も可能 (SIML)

40 ファイナンス分野での統計科学統計モデル ( 時系列モデル ) のファイナンスデータへの適用ファイナンスモデルへの統計手法の適用状態空間モデルは両方をつなぐ接点となりうる新しいフィルタリングの応用今まで推定の難しかったファイナンスモデルの推定

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Microsoft PowerPoint - 時系列解析（１１）_講義用.pptx 時系列解析 () ボラティリティ時変係数 AR モデル東京学数理情報教育研究センター北川源四郎概要. 分散定常モデル : 線形化正規近似. 共分散定常モデル : 時変係数モデル 3. 線形ガウス型状態空間モデル分散共分散定常 3 地震波経 5 定常時系列のモデル 4. 平均定常トレンド, 季節調整. 分散定常線形ガウスモデル ( カルマンフィルタ ) で推定するためには