第 4 章 薄板構造力学 4.1 板の曲げ 板においては応力を断面で積分して中央面での釣合を考える. 軸力, 面内剪断力, 横剪断力をそれぞれ = ò h - h T x s xdz, S xy ò txydz, Q x = dz - ò t xy - = h h と y 方向の単位幅で定義する.

Transcription

1 第 章 薄板構造力学. 板の曲げ 板においては応力を断面で積分して中央面での釣合を考える. 軸力, 面内剪断力, 横剪断力をそれぞれ d, d, d と 方向の単位幅で定義する. ここに板の厚さを としている. 同様に断面モーメントも d, d とする. これは 方向の断面に関する量であるが, 方向についても ここで d, d, d, d であるので, このように定義した断面力と断面モーメントで平衡を考える. まず,,, 方向の力の釣合から, 軸周りのモーメントの合計から d (.) (.b) (.c)

2 (.) (.b) と とを 方向の釣合方程式に代入して消去すると (.) 断面内の中央面から 離れた点での歪は中央面での量に曲げによる伸びを加算して (.) (.b) g (.c) g g (.d) 応力 歪関係式から Gg G G となる これをこれを断面力の定義式に代入して G (.5) であり, 断面モーメントの式に入れれば

3 (.6) G これらの結果により, 面内の変位, と面外変位 とは完全に独立であることがわかる. 上の式にでてくる量を, と定義して を板の伸び剛性 (iol i), を曲げ剛性 (ll i, bdig igidi) という. これを 方向の平衡方程式 (.) に代入すれば (.7) と の重調和方程式となる. これが板の曲げの基礎方程式 と を で表せば (.8) (.8b) となる. ここで 板は梁と本質的には同じであることを確認しよう. 例えば 軸回りの曲げモーメント はを単位幅 b の矩形断面梁の式 Ε と比べればポアソン比の影響, すなわち横方向の影響 が現れるだけで本質的には同じ形であることがわかる. 板の曲げの方程式は梁の場合と同様に μ p, û ù ë é であり, 方向の微分をゼロとすれは梁の曲げ方程式となる. 境界条件はたとえば固定のとき,. 板の有限要素 ( その : 長方形要素 )

4 板の有限要素は有限要素法の初期から研究されているが通常の変位法では決定版というべき要素が導出, / / をもつので全部で 9 個の自 できない. たとえば三角形要素では各節点で つの自由度 由度を持つ. これに対応する変位関数が9 項では と に関しての完全多項式とできないから 例え ば 次までだと,,,, の, 6 項になり, 次項まで採用すると 項となってしまう. この理由から多くの板曲げ要素が提案されている. ここでは初期に提案された長方形要素 ( 提案者の Adii,Clog,i の頭文字をとって AC 要素と呼ばれる ) を導いてみる. この要素は一番簡単な板曲げ要素であるが, 長方形という制限がある. 汎用的な 角形, 角形要素は次節で導く... 変位関数 節点の変位として と傾き /, / を考える. 要素につき 節点で 自由度の要素となる. ということはこの 個の節点変位で内部の変位 (,) を内挿できればよいので, 完全な 次多項式 (5 項 ) からいくつかの項を落として 項にする.と との対称性から (, ) c c c c c5 c6 c 7 c8 c9 c c c を採用する. これから各節点で /, / (i,,,) を計算して { δ } [ C]{ c} i, i i と表す. ここに [C] は の行列で, ベクトル {c} の成分は c (i,,... ) これを {c} について解けば次のような変位関数が得られる. ここに { N(, } { d} ) {N(,}{ )..... 応力 歪関係式板の応力ー歪関係式は b 図. 長方形要素 k i C }[ ]

5 となる. ì í î ü ý þ é ë ù ì û î í ý þ ü.. 歪み 変位関係式板の曲げによる歪みは を採用するので となるので é c c 6 ë c 5 { } ì í î 6c 7 c 9 c8 [ ] { c} { } [ ] { d} なる歪み 変位関係式が得られる. ここに であり é [ ] ë [ ] [ ] [ C] 6.. 剛性行列第 章の一般定式化から剛性行列は [ K] [ ] [ ] [ Β] で, 具体的には を計算すればよい. ü ý þ c 6c c 9 8 dd Τ [ K] [ C] [ ] [ ][ ] dd[ C] 6c. 板の有限要素 ( その : 多角形要素 ) 6cù 6c 6c û ù 6 6 û ここでは, これまで述べてきた変位法から少し離れてハイブリッド応力法という方法に基づいて導かれる板の曲げ要素について説明する. 内容はかなり高度であるし また板要素はアイソパラナトリック要素の方が使われることが多いので この節は読み飛ばしてもかまわない. この定式化は多角形要素に対して適用できる... ハイブリッド応力法変位法では要素内の変位を要素節点の値で内挿するが, 本方法では要素内の応力分布を仮定することから始める. { } [ P(, ) ] { c} (.9) 5

6 ここに P(,) が応力分布を決める多項式で,{c} はその係数 歪は { } [ ] { } (.) となる. さらに要素境界上での変位 {} は節点変位 {d } で { } [ L] { d} と表せるとすると {} に対応する境界力 {} は (.) { } [ R] { c} * となる. ここで仮想境界力 による外部仕事は (.) dw * * * { } { } d { c } [ R] [ L] d{ d } { c }[ ]{ d } は dw (.) * 一方, 仮想応力 { } による内部仕事は du * すべての {c * } に対して より さて, 剛性方程式は * * { } { } dv { c} [ P] [ ] [ P] dv{ c } d { c } * [ H]{ c} (.) * * U dw [ H]{ c } [ ] { d} あるいは { } [ H] [ ] { d} { } [ K] { d} であるから, 仮想変位 { d * } よる外部仕事は * * * d { d }{ F} { d }[ K]{ d} (.5) c (.6) F (.7) W (.8) これと先ほどの仮想境界力による外部仕事は等しいから * * c d d K d (.9) { }[ ]{ } { }[ ]{ } となって [H] が対称行列であることを考慮すれば [ K] [ ] [ H] [ ] (.) を得る. この方法に基づいて多角形要素が作成できる. ここでは三角形要素と四角形要素を作成してみよう... 9,A 要素前項の理論を三角形と四角形要素に適用する. 応力 歪関係式は { } { } 6

7 { } { g g g } 平衡条件は 図. A 9 要素 é [ ] ( ) ë 応力の仮定については を板厚として 8 (, ) であり, その断面力は 8 (, ) 8 (, ) 5 (, ) (, ) ( ) / d / / / / d / / / / d / / / ù û 8 (, ) d (, ) 8 (, ) d (, ) 8 (, ) d (, ) 7

8 8 / / / /, d, d 5 / / / /, d, d 周辺に沿っての積分を行うために接線方向とそれに垂直方向のモーメントを, とすると þ ý ü î í ì û ù ë é þ ý ü î í ì c c c c c c ここに co c, i 応力の内挿関数として最も簡単な 次式を採用すると,,, 5 であり, 平衡式から, 5 については独立でなく となる. よって [ ] û ù ë é b b b b Y X Y X Y X P ここで 8 /, ) / ( b これをもとに剛性行列が作成できる. 詳細は付録のプログラムリストをみていただきたい.. シェルシェル ( 曲面 ) の一般理論はかなり難解であるのでここでは実用上多く用いられる軸対称シェルに絞って考察を行う. 板の場合は曲げと面内引張り / 圧縮は独立に考えることができた. すなわち, 中央面で考える限り, 曲げモーメントを加えても引張りや圧縮は生じない. 一方, 曲面の場合, たとえば, 卵の殻を考えればわかるように引張れば曲がろうとするし, 曲げようとすれば引張りあるいは圧縮を生ずる. 曲面構造の場合, 曲げと面内変形とは本質的に連成するの

9 シェルとしてまず円筒について考える. シェルの場合も板と同じく応力を断面で積分して中央面での釣合を考える. 板の場合と異なるのは中央面の半径を としたとき断面内の 方向には幅が / と変化して扇形になることを考慮しなければならない. 以下に展開する理論は板の場合の を, / を / と置き換えればほとんど同じであることを確認されたい. しかし, 最終的に導きだされる基礎方 程式は面内変位, と面外変位 とが連成しているのが大きな違い 軸力, 面内剪断力, 横剪断力をそれぞれ d, d d, d, d, d, d (.) d する. このように定義した断面力と断面モーメントで平衡を考える. まず,,, 方向の力の釣合から (.) (.b) (.c) 上式のおいて, シェルの場合, と が連成することがわかっているので釣り合い方程式に 方向と 方向の力 と とを入れておく. これは後に振動の定式化のとき便利になる. 9

10 また,,, 軸周りのモーメントの合計から (.) (.b) (.c) と とを,, 方向の釣合方程式に代入して消去すると (.) (.b) (.c) を得る. 断面内の中央面から 離れた点での歪は中央面での量に曲げによる伸びを加算してかつ断面 方向の扇型の効果を考えると, 断面の任意の面内変位 と は中央面の変位,, により (.5) (.5b) と表されるので

11 (.6) g g g 応力 歪関係式から (.7) Gg となる. これを断面力の定義式に代入して板の場合と同様, と定義して (.8) であり, 断面モーメントの式に入れて に関して積分すれば (.9) となる. この断面力, 断面モーメントの計算において 方向の積分を微小量 / の何乗まで採用するかなどで様々なシェル理論が存在する. これまでに展開してきた近似は gg Fl の理論と一致する. これを,, 方向の平衡方程式に代入すれば

12 ( ) (.) (.b) (.c) となり, と に関して 階, に関して 階の方程式となる. これが円筒シェルの基礎方程式 この式を基づいて多くの問題が解かれているが, 後でみるように軸対称シェル要素は有限要素法の中でも最も強力な要素であり, 実用的な問題が簡単に解けるのでここで個々の問題を解くことはひとまずおいておいて, 定性的に知っておかねばならない問題をとりあげる... 薄膜理論薄膜理論 (mmb o) とはシェルの曲げ剛性が伸び剛性に比べて著しく小さく, 曲げを無視できるとした近似理論 式 (.) において とおいて (.) (.b) (.c) などの断 を得る. これは,, 方向の釣り合い式で, モーメントの釣り合い ( 式 (.) ) は考えない. 面モーメントを考えない (とした) ため, 式 (.) から, が と出てくるの この (.) 式は直接に解くことができる. まず,(.c) より (.) となり,Hoop 応力が得られる. これを式 (.b) に代入して d c ( ) (.b) が得られる. これらを式 (.) に代入して となり, 断面力が決定される. d c ( ) (.c)

13 まず, 一定の内圧 p を受ける薄いシェルの応力を求める. 式 (.) において となる. これから応力は p p p とおいて (.) となり, 軸対称荷重であるので で, 式 (.c) から は積分定数だけが残って定数となるが, 円筒 の両端末で面積 となる. よって応力は p にかかる圧力を p pp p p p P で受けるので (.b) となる. この簡単な結果 (.) の示唆するものは大変に広範な応用範囲がある. 圧力容器の筒部の応力は端末部を除けば式 (.) で与えられるし, 航空機の胴体, ロケットタンクも同様 さらに葉巻型の軟式飛行船はまさしく (.) 式そのもので, 膜材料の強度は周方向に比べて軸方向は / の強度でよいこと, すなわち, 繊維強化材料で最適設計ができることを示す. また, 応力は半径に比例するということは, ( ミッキーマウスの ) ゴム風船では大きな半径の部分 ( 頭部分 ) が早く膨らみ ( 応力が大きいので歪みが大きい ), 小さい半径部 ( 耳部 ) はあとから膨らむということも示唆している p 図.6: 水圧を受ける円筒シェル 次の例題として水の入った薄い容器が縦と横に置かれている場合に発生する応力 ( 断面力 ) を求めてみよう. まず, 縦置きの場合, 水圧は g( ) p

14 て軸対称荷重となるので ( ) となる. 横置きの場合 を上にとって g, ( ) ( ) g co 式 (.) に代入して, 対称性より れると を得る. g ( co) g g にて i co,, にて ( 無拘束 ) の条件を入.. タンクの理論軸対称荷重を受ける円筒タンクを取り上げる. 先ほどの理論と異なり, シェルの曲げ剛性も考慮する. 式 (.9) において, 軸対称性から, / として とすれば (.9)(.9c) が残って の / となる. 式 (.) を で微分して (.c) 項を消去する. ここで であるので, に対して << / を無視すれば を得る. さらに先ほどの の仮定に連動して となるので, 先の式から が消去できて d d と仮定すると (.7) 式より を得るが, 第 項は第 項に比べて無視できるとして ( この根拠はあとの例題で示す ) d d を得る. この基礎式も有用 (.) (.c)

15 例として先ほどの水の入ったタンクの変形と応力について解いてみる. まず, 一般解を得るため, として を代入するとであるのでとおくととなり l l W W l l ± ( ± i)k k k k ( C co k C i k) ( C co k C i k ) が得られる.つの定数は円筒両端の境界条件から決定される. g( ) g ( ) に対する特解は これを一般解に付け加えれば解が得られる. まず, 上端末の境界条件の影響を無視すると の項を無視して g k ( ) ( C co k C i k) これに下端末の固定条件を導入すると で / で C を得る. したがって で g é ë,, は が得られる. g, C k k co k k ù i k û k d d,, d d さて, 先ほどの式 (.5) を導くとき第 項を無視した根拠であるが, 第 項と第 項のオーダーを比較す k ると として k と k になる. k O( / ( ) ) であることを考慮すれば, 薄いシェル ( / ) べ無視できることがわかる. k << であれば第 項は第 項に比.. 軸対称シェル要素 歪は 5

16 6 { } þ ý ü î í ì k k k g (.6) þ ý ü î í ì / i co co i co i i co i これに対応する応力は { } [ ]{ } þ ý ü î í ì N N N (.7) [] 行列は等方性材料については [ ] û ù ë é / / / / / / (.8) 荷重が円周方向に正弦的に変化する場合, 各変位もまた正弦的であるという性質を利用して co, i, (.9) co, としてこの節では今後,, は (), (), () を表すものとする. 変位関数としては, に の 次関数を, に 次関数を採用すると

17 ここに / L ì ü é í ý îþ ë é ë [ ] [ l] として梁要素の場合と同じく ( ) L L ( ) [ ] [ l] ì ù b í û îb であり, [ ] éco ù é co i, [ l] co i ë co û ë さて,(.) 式を微分することにより歪 節点変位関係式 d { } [ ] { } ü ý þ ù û co i (.) (.) が計算できるので (.5) によって剛性行列が計算できるが, 積分については dv dd p d となる. この式は円周方向波数 の場合で, がより大きいときこの値の / となる. に関する積分は数値積分により行う. 数値積分についてはプログラムの中で具体的に示す. プログラムでは GLgd の積分公式 (7 点積分 ) を採用している. ( 値段の書いてあるものは入手可能 ) 参考文献 [.] 倉西正嗣 : 応用弾性学, 共立全書 7, 昭和 5 年, 共立出版 [.] 林毅編 : 軽構造の理論とその応用 ( 上, 下 ) 日科技連 966. [.].imoko Kig:o d Woiok o Pl d ll (i 959c G Hill [.]P.. グラビナ ( 坪井, 那須川訳 ): 回転シェルの理論と計算, 新科学出版社 (5 円 ) [.5]W.Fl üggik d mik Vlg d 邦訳 9 cl : 曲面板の力学 (, 坪井 pig, 寺崎訳, コロナ 社 ) ù û 7

18 [.6] 関谷壮, 斉藤渥 : 薄板構造力学, 共立出版 (9 円 ) [.7] 小林繁夫 : 航空機構造力学, 丸善 (5 円 ) [.8] 新沢順悦, 藤原源吉, 川島孝行 : 航空機の構造力学, 産業図書 ( 円 ) [.9]O.C. ツィエンキービッツ : マトリックス有限要素法 ( 第 版 ) 培風館 ( 円 ). 引用文献円筒シェル理論の差異について [.] 古賀達蔵 : シェル理論の現状, 日本航空宇宙学会誌,69 (978) 87. pp.8 ハイブリッド応力法 [.]R.J.Allood d..co:a Polgol Fii lm Appoc, Iiol od i Jol giig o 9. Nmicl, Vol. ( AC 要素 [.]A.Adii d R.W.Clog:Ali o pl bdig b N.ci.Fod/U..A.,G77 (96). [.]R.J.lo:i o diio o mod,j.o mic o AIAA, pp 薄肉構造の有限要素法について [.] 三本木茂夫 : 薄板構造解析, コンピュータによる構造解析講座 Ⅱ7A, 培風館 (97). 軸対称シェル要素 [.5] P..Go d.r.om:ali o immic,(96) 7. pp. [.6] 小松敬治, 戸田勧 : リング補強シェルの振動と座屈,NAL7 R (975). 8