データ解析

データ解析 ( 前期 ) 最小二乗法 向井厚志 005 年度テキスト 0

データ解析 - 最小二乗法 - 目次 第 回 Σ の計算 第 回ヒストグラム 第 3 回平均と標準偏差 6 第 回誤差の伝播 8 第 5 回正規分布 0 第 6 回最尤性原理 第 7 回正規分布の 分布の幅 第 8 回最小二乗法 6 第 9 回最小二乗法の練習 8 第 0 回最小二乗法の推定誤差 0 第 回推定誤差の計算 第 回 試験 -

第 回 Σ の計算. 個のデータの足し算 データ セット,,,, 3 K データの表記 データ番号 データの種類 足し算の表記 データ番号 終了番号 開始番号 3 L データ番号が ずつ加算 Σ の基本的な規則 ( : 定数 ). 平方根の計算 : 5. 3 5 X 3. 5 6 7 0 0 0 0 0 + 5 3 + 5 5 3 0 3 9 5 6 + 3 9 0 9 3 0 6 7 7 0 + 3 0 6 3 0 6 5 7 0 9 0 0 + 5 5 3 5 3 0 6 3 0 X 7 7 7 5 0 0 + X Y Y Y Y Y Y Y

課題 Σ の計算得点 /5 次の式を足し算に展開しなさい ( 各 0.5 点 ) 3 5 5 5 次の式を Σ でまとめなさい ( 各 0.5 点 ) 3 5 6 63 8 05 3 3 8 65 3 3. の平方根を求める 空欄に適切な 桁の整数を記入しなさい ( 全 点 ). 7 7 3. + 7 + 7 8 9 3 7 5 0 0 + 7 9 3 5 7 0 0 + 7 0 8 3

第 回 ヒストグラム ヒストグラム ある範囲内の測定値が何回現れたかを示す度数分布表に基づいて作成された棒グラフ 測定されやすい値 ( 平均 ) や測定値のばらつき ( 標準偏差 ) を大まかに視認できる ヒストグラムの作成手順 最大値と最小値を調べる 区間を設定する 3 度数分布表を作成する ヒストグラム ( 棒グラフ ) を描く 例題 組 A 班の 00m 走のタイム [ 秒 ] 番号 3 5 6 7 8 9 0 タイム [ 秒 ] 6. 3.9 5.8 7.5.7.3 5.. 6. 5.3 度数分布表の作成 最小値 =.7 秒 最大値 = 7.5 秒.8 秒の差 秒間隔で区間を設定 最小値以下 最大値以上 タイム [ 秒 ] 3 5 6 7 8 計 度数 3 0 ヒストグラムの作成 以上 3 未満 3 以上 未満 3 度数 0 3 3 5 5 6 6 7 7 8 8 9 タイム [ 秒 ]

課題 ヒストグラム得点 /5 ある樹木の葉の横幅を測定し, 表のような計 30 個の測定値を得た ( 単位 :mm) 6. 7.9 5. 7.0 6.0.3 9. 6. 8. 9.. 5. 5.8 9.5.9. 6. 30.3 3..8 8. 6.0 6. 8...9 6.0.0 3.. 最小値と最大値を調べ, 空欄に記入しなさい ( 各 0. 点 ) 最小値 = 最大値 = mm mm mm 間隔で区間を設定し, 度数分布表を作成しなさい ( 各 0. 点 ) 葉幅 [mm] 計 度数 30 3 問 の度数分布表をもとに, ヒストグラムを作成しなさい ( 全 点 ) 0 9 8 7 6 度数 5 3 0 8 0 6 8 30 3 3 葉幅 [mm] 5

第 3 回 平均と標準偏差 ある実験で音速を測定したところ, 下記の結果が得られた 測定番号 3 5 音速 [m/s] 3 33 33 3 3 測定値の合計. 平均 測定値の個数 測定値 [m/s] 代表値 測定値 - 代表値 3 33-33 0 33 0 3 + 3 - 計 ) 測定値 代表値の合計 平均 代表値 33 3.8 [m/s] 測定値の個数 5. 標準偏差 測定値 平均の合計測定値の個数 測定値 [m/s] 平均 測定値 - 平均 ( 測定値 - 平均 ) 3 3.8-0.8 0.6 33 +0. 0.0 33 +0. 0.0 3 +.. 3-0.8 0.6 計 ).80.8 標準偏差 0.7 0.8366L m/s 5 3. 測定結果の表記 平均 ± 標準偏差単位 6

課題 3 平均と標準偏差得点 /5 バネに様々な重さのおもりをつるし, バネの伸びを測った その測定結果からバネ定数を計算 したとき, 以下の結果が得られた バネ定数の推定値を求めよ 測定番号 3 5 6 7 8 9 0 バネ定数 [/m] 86 85 8 89 85 89 87 85 8 85 測定値 代表値 測定値 - 代表値 平均 測定値 - 平均 ( 測定値 - 平均 ) 86 85 85 8 89 85 89 87 85 85 85 計計計 ( 各 0. 点 ) 7 平均 85 85. 7 /m ( 各 0. 点 ) 0 標準偏差. 68 0 /m ( 小数点以下 桁まで表示 ) ( 各 0.5 点 ) バネ定数の推定値 85 /m ( 小数点以下 桁まで表示 ) ( 各 0.5 点 ) 7

第 回 誤差の伝播 つの測定値, が存在するとき, 測定値の和 の誤差 を求める を測定したとき, 次のつの測定値が等しい確率で得られたとする,,, その標準偏差は である 3 を測定したとき, 次のつの測定値が等しい確率で得られたとする,,, その標準偏差は である 3 を測定したとき, 次の つの測定値が等しい確率で得られることが期待される,,,, その標準偏差は, 測定値 [m/s] 平均測定値 - 平均 ( 測定値 - 平均 ) 計 計 より, よって, 測定値 と である の和は 一般に,,, 3 3,, の和は, L L 3 3 8

課題 誤差の伝播得点 /5 3 個のおもり A,B,C がある おもりの重さをそれぞれ 5 回ずつ測定したところ, 次表の結 果が得られた おもり A 測定番号 3 5 重さ [kg].3.0.8.3. おもり B 測定番号 3 5 重さ [kg] 3. 3.8 3.5 3.0 3.6 おもり C 測定番号 3 5 重さ [kg].8..6.8.9 おもり A,B,C の重さの平均値および標準偏差を求めよ ただし, 平均および標準偏差は, 小数点以下 桁目を四捨五入し, 小数点以下 桁まで表示せよ ( 各 0.5 点 ) 平均 [kg] 標準偏差 [kg] おもり A おもり B おもり C おもり A,B,C の重さの合計およびその測定誤差を求めよ ただし, 合計の測定誤差は, 小数点以下 桁目を四捨五入し, 小数点以下 桁まで表示せよ ( 各 点 ) ± kg 9

第 5 回 正規分布 正規分布 f() = 自然界で測定された値が満たす確率密度分布 f e α : 真値 β : 分布の幅 α=.5,β= の場合 0.5 α 山のピーク 最も測定されやすい値 0. 確率密度 0.3 0. 0. β 山のそでの広がり 測定値のばらつきの大きさ 0 0 0.5.5.5 3 3.5.5 5 測定値 の測定値 が得られる確率 = ~ の範囲で確率密度関数を積分した値 確率密度 確率 p f d 測定値 の測定値 が得られる確率 3 3 0.68 (68%) 0.95 (95%) 0.99 (99%) 測定値測定値測定値 0

課題 5 正規分布得点 /5 表は, 次式で表される正規分布 f()(α=0,β=) の値を示す f e f f t dt f の値を用いて, 正規分布のグラフを描け ( 点 ) 0. 0.0 0.399 0.000 0. 0.39 0. 0.368 0.6 0.333 0.8 0.90 確率密度 f() 0.3 0. 0..0 0.. 0.9. 0.50.6 0..8 0.079.0 0.05. 0.035. 0.0.6 0.0.8 0.008 3.0 0.00 0 0 3 数値積分によって, 表の f t dt の値を求めよ 3 f t dt のグラフを描け 確率 f()d 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 0.3 0. 0. 0 ( 各 0. 点 ) ( 点 ) 0 3

第 6 回最尤性原理 ( さいゆうせいげんり ) 最尤性原理 個の測定値,,, があるとき, これらの測定値が得られる確率を最大とする α および β が真値および分布の幅の最良推定値である 測定値が真値 α, 分布の幅 β の正規分布に従うとき, 測定値 が k k となる確率 k P は, 近似的に次式で表される k k k k e d e P 測定値,,, が同時に得られる確率 P は, e P P P P L 確率 P を最大にする α と β が, 真値および分布の幅の最良推定値となる 真値 α の最良推定値確率 P が α のみの関数であるとすると, 定数 と を用いて,P は次式のように表される g e e P ここで,,, g と が定数の場合, 確率 P が最大となるには g が最小となればよい g であるから, g は のとき, 最小値 をもつ すなわち, 真値 α の最良推定値は平均値である

課題 6 最尤性原理得点 /5 最尤性原理について説明せよ ( 点 ) 次の 0 個の測定値 がある 3 5 6 7 8 9 0 3 3 () g の式を求めよ ( 各 0.5 点 ) g () g(α) を最小とする α の値を求めよ (0.5 点 ) (3) g(α) のグラフを描け ( 点 ) 50 0 30 g(α) 0 0 0 0 3 α 3

第 7 回 正規分布の 分布の幅 分布の幅 β の最良推定値 確率 P が β のみの関数であるとすると, と を用いて P は次式のように表される P e e ここで,,, 最尤性原理に従い,P が最大となる γ の値を求める P dp e は下図のようなグラフであり,Pが最大となるγでは 0 d となる P 0.8 0.6 0. P e 0, 3, 0 0. 0 0 3 5 6 γ k dp d e 0 現実的な測定値では, 分布の幅 β は 0 を満たすことから, 0 かつ である よって, このとき, となり, 分布の幅 βの最良推定値は, 測定値 の標準偏差に相当する

課題 7 正規分布の 分布の幅 得点 /5 次式の微分を求めよ ( 各 0.5 点 ) () () (3) 3 d d d d e d d e e d () d e (5) d d 次の 式について, 以下の問いに答えよ 3 3 () 式の微分を求めよ (0.5 点 ) d d () 式の極大値, 極小値, および, そのときの の値を求めよ (0.5 点 ) 極大値となる 極大値 極小値となる 極小値 5

6 第 8 回最小二乗法最小二乗法測定値との差の 乗和が最小となる関数の式を求める方法測定値,,,,,, に最もよく当てはまる直線の式 を求める 仮定 : () 測定値 は正規分布に従う () 測定値 の真値は, 分布の幅は である 最尤性原理により, 測定値 が得られる確率を最大とする および を求める 測定値,,, が同時に得られる確率 P は, e P であり, 分布の幅 σ を定数とみなす場合, 確率 P が最大となるには, g, が最小となればよい g, が最小となる点では, 0 d dg かつ 0 d dg となることから, と の連立一次方程式 および を解いて, 0 6 8 0 0 3 5 6 7 8 9 0

課題 8 最小二乗法得点 /5 最小二乗法を用いて, 個の測定値 る指数関数の式 e,,,,,, を求める 以下の空欄に適切な式を記入せよ に最もよく当てはま 測定値 の真値をe, 分布の幅を とするとき, 測定値 が得られる確率 P は, P (0.5 点 ) となる 測定値,,, が同時に得られる確率 Pは, (0.5 点 ) P であり, 確率 P が最大となるには, g, ( 点 ) が最小となればよい よって, dg d dg d (0.5 点 ) (0.5 点 ) 0 0 式と 式を, と について解く ( 点 ) ( 点 ) 7

第 9 回 最小二乗法の練習 個の測定値,,,,, Det, を表す最適な直線の式 : Det Det 練習問題 : エアトラック上を滑る台車の位置を測定した 台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ 時刻 [ 秒 ] 3 台車の位置 [cm].6. 3.7 5.0 ( 解 ) 時刻 台車の位置.6.6..8 3 3 3.7 9. 5.0 6 0.0 計 0.7 30 37.5 Det 30 0 0 37.5 0.7.5 cm/ 秒 0 台車の速さ 30.7 0 37.5 0.3 cm 0 時刻 0 秒における台車の位置 8

課題 9 最小二乗法の練習得点 /5 エアトラック上を滑る台車の位置を測定した 時刻 [ 秒 ] 3 5 台車の位置 [cm] -. 0. 3.5.9 7.6 () 横軸を時刻, 縦軸を台車の位置としてグラフを描け ( 点 ) 8 7 6 5 3 0 - - -3 0 3 5 6 () 台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ 時刻 台車の位置 -. 0. 3 3 3.5.9 各 0. 点 5 5 7.6 計 各 0.3 点 台車の速さ cm/ 秒 ( 小数点以下 桁まで表示 ) 時刻 0 秒における台車の位置 cm ( 小数点以下 桁まで表示 ) 9

0 第 0 回最小二乗法の推定誤差最小二乗法で求めた直線の式 の傾き および切片 の推定誤差を求める 第 回 誤差の伝播 の復習測定値,,, の和は ( : 測定値, : 測定誤差 ), L L 測定値 の誤差がすべて同じ値 ( ) であると仮定すると, の誤差 = の誤差 = であることから, Det Det Det Det のとき, であることから,

課題 0 最小二乗法の推定誤差得点 /5 のとき, であることを証明する 以下の空欄に適切な式を記入せよ ( 各 点 ) 0 K K K のとき, K が成り立つと仮定する K のとき, K K K K K K K K K K K 同上 K 0 となり, の任意のに対して, が成立する 一般に, のとき, 式の値は無限大に発散する そのため, のとき, となる

第 回推定誤差の計算 練習問題 : エアトラック上を滑る台車の位置を測定した 台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ 時刻 [ 秒 ] 3 台車の位置 [cm]..0 3.. ( 解 )...07 0.03 0.0009.0.0. -0. 0.096 3 3 3. 9 0. 3. 0.9 0.036. 6 6.8.8-0.08 0.006 計 0 0.7 30 3. 0.0630 Det 30 0 0 3.00.7.07 cm/ 秒 0 300.7 0 3. 0 cm 0 0.063 0.9L 0.9L 0. 065L cm/ 秒 30 0.9L 0. 075L cm よって, 台車の速さ =.07±0.03 cm/ 秒 時刻 0 秒における台車の位置 = 0.00±0.07 cm

課題 推定誤差の計算得点 /5 エアトラック上を滑る台車の位置を測定した 時刻 [ 秒 ] 3 5 台車の位置 [cm].9.7 3. 3..0 () 横軸を時刻, 縦軸を台車の位置としてグラフを描け ( 点 ) 5 台車の位置 [cm] 3 0 0 3 5 6 時刻 [ 秒 ] () 台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ 各 0. 点.9.7 3 3 3. 3. 5 5.0 計 各 0. 点 台車の速さ ± cm/ 秒 ( 小数点以下 桁まで表示 ) 時刻 0 秒における台車の位置 ± cm ( 小数点以下 桁まで表示 ) 直線の当てはめ誤差 σ cm cm ( 小数点以下 桁まで表示 ) 3