平成 7 年度数学 数学 ( 問題 ) 問題 から問題 3 を通じて必要であれば ( 付表 ) に記載された数値を用いなさい 問題. 次の ()~() の各問について 空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢 の中から選び 解答用紙の所定の欄にマークしなさい なお 同じ選択肢を複数回選択してもよい 各 5 点 ( 計 6 点 ) ()つのサイコロを振る試行を 回繰り返すこととする 回目と 回目の試行でともにの目が出る事象を A 回目と 回目の試行でともに 3 以下の目が出る事象を 3 回目と 回目の試行でともに奇数の目が出る事象をC とする このとき 事象 A C のいずれかが発生する確率はである (A) 3 () 9 (C) 9 5 (D) 6 5 (E) 6 7 9 () 7 3 (G) 7 37 (H) 8 () 次の確率分布のうち 再生性を持たないものはである ( 当てはまるものをすべてマークせよ ) ここで ある種類の確率分布が再生性を持つとは この種類の確率分布に従うつの独立な確率変数の和が 再び同じ種類の確率分布に従うことを意味するものとする (A) 二項分布 () ポアソン分布 (C) 負の二項分布 (D) 幾何分布 (E) 正規分布 () 指数分布 (G) ガンマ分布 (H) 分布
平成 7 年度数学 (3) あるゲームを 回行ったときに勝つ確率が. 8のプレイヤーがいる このゲームは 回ごとに独 立であるとする a. このゲームを 5 回行う場合 中心極限定理を用いると このプレイヤーが 5 回以上勝つ確率 は である. 回以上ゲームをした場合 そのうちの勝ち数が 3 割以上となる確率は. 以下となる ( は最も近い数値 は条件を満たす最小の自然数を選択すること ) [ の選択肢 ] (A). 6 (). (C). 3 (D). 9 (E). 3 (). 38 (G). (H). 3 [ の選択肢 ] (A)3 ()37 (C)33 (D)337 (E)3 ()37 (G)35 (H)357 () 確率変数 Y Z は互いに独立で すべて標準正規分布 N( ) に従うとき 確率変数 U Z Y の確率密度関数は f (u) u である u (A) u 3 (E) u u () () ue u 3 (C) u u (G) u e u (D) u u (H) e u
平成 7 年度数学 3 (5)から までの数字が記入された 個の球が箱に入っている この箱から 個の球を取り 出し 元に戻す試行を 5 回繰り返したところ 度だけ同じ数字が記入された球が取り出された このとき の最尤推定値は である なお 各球を取り出す確率は等しいものとする (A) 5 () 6 (C) 7 (D)8 (E) 9 () (G) (H) (6) ある電球の寿命は指数分布に従うことが分かっている いま電球の寿命の平均値を信頼係数 95% で区間推定するために 個の電球について 時間観測を行ったところ 観測終了時点までに寿命を迎えた 個の電球の寿命は次のとおりであった ( 単位 : 時間 ) 3 97 9 37 6 9 676 76 このときの区間推定の上限と下限の差が 867 時間であったとき に最も近い数値は 時間である (A) 795 () 955 (C) 99 (D) (E) 33 () 533 (G) 593 (H) 658
平成 7 年度数学 (7) A 工場においてある製品を作るためにかかる時間を計ったところ 標本 5 個に対して平均 3 時間 標準偏差は3 時間であった 同じ製品を作るためにかかる時間を 工場においても計ったところ 標本 個に対して平均 x 時間 標準偏差は 時間であった この製品を作るためにかかる時間が A 工場 工場ともに同じ標準偏差の正規分布に従うものとして A 工場と 工場とでその平均時間に違いがあるかどうかを有意水準 5 % で検定を行ったところ A 工場と 工場の平均時間には違いがない という結果が得られた このとき 工場における平均 x 時間の取りうる値のうち 下限に最も近い数値は 時間であり 上限に最も近い数値は 時間である (A). 858 () 7. 8795 (C) 7. 989 (D) 7. 999 (E) 8. 3 () 3. 7568 (G) 3. 9 (H) 3. 7 (I) 3. 5 (J) 35. 9 (8)9 枚のカードに 3 9 の数字がそれぞれつ記入されている このカードの中から無作為に 枚のカードを同時に抜き出す この 枚のカードに記入された数字の和の平均に最も近い数値は 分散に最も近い数値は である (A) 9. (). (C). (D). (E). 7 (). (G) 3. 6 (H) 5. (I) 9. (J) 3. 3
平成 7 年度数学 5 (9) 以下のデータはある町における 5 日間の各日の最高気温 平均湿度 熱中症者数である 日目 日目 3 日目 日目 5 日目 最高気温 ( ) 3. 3. 5 3. 5 35. 3. 平均湿度 (%) 5 65 5 7 75 熱中症者数 ( 人 ) 3 6 7 各日の最高気温を表すパラメータを x 平均湿度を表すパラメータを y 熱中症者数を表すパラメ ータを z とした時 z を x に回帰したモデル z x z を y に回帰したモデル z y を考える この時 z と x の相関係数に最も近い数値は であり z と y の相関係数に最も近い数値は である (A). (). 33 (C). 565 (D). 655 (E). 378 (). 87 (G). 373 (H). 557 (I). 73 (J). 837 () ある粒子は 数直線上の点 3 のいずれかの位置に置かれた場合 その後 時間の経過とと もに 以下の移動法則に従い 数直線上の点 3 5 を移動することが分かっている [ 移動法則 ] ある時点で点 ( 3 ) に位置していた場合に 次の 秒後に点 または に それぞれ確率 で移動し 点 または点 5 に達すると そこで移動を停止する この粒子がある時点で点 3 のいずれかに等しい確率で置かれたとして 秒後に点 に位置し ていたとき 最初に置かれた位置が点 3 であった確率に最も近い数値は である (A). 57 (). 933 (C). 53 (D). 5 (E). 68 (). 88 (G). 5 (H). 65
平成 7 年度数学 6 () AR() モデルY Y Y の平均 分散 および自己共分散 が下 = 記のとおり与えられているとき パラメータ および の分散 に最も近い数値はそれ ぞれ = = = 3 = となる.. 7. 5. [ の選択肢 ] (A) 3. 75 (). (C). (D). 33 (E). 83 () 5. (G) 5. 6 (H) 5. 5 [ 3 の選択肢 ] (A). 3 (). 5 (C). 75 (D). 76 (E). 333 (). 7 (G). 5 (H). 57 (I). 65 (J). 655 [ の選択肢 ] (A). 33 (). 338 (C). 35 (D). 35 (E). 358 (). 365 (G). 37 (H). 379
平成 7 年度数学 7 () 上の一様分布に従う乱数 U U 3 U U 5 U 6 おり得た U を生成し 標本 g( U) ex( U) を下表のと 3 5 6 U ex( U) から 6 までの.8.33.675.67.78.8 - 平均.333.55.959.95.38.8.538 このとき 標本平均の分散に最も近い数値は となる 次に 負の相関法の効果を検証するために 上記の乱数のうち U U U 3 までと U U U 3 までを使用して下表を得た 3 U U ex( U) ex( U) から 3 までの 平均.8.33.675 -.799.5666.375 -.333.55.959.683.5.763.3875.737 このとき 負の相関法による平均の分散に最も近い数値は となり 標本平均の分散より も減少していることがわかる [ の選択肢 ] (A). (). 7 (C). 699 (D). 39 (E). 7 (). 93 (G). 367 (H). 79 [ の選択肢 ] (A). 5 (). 3 (C). 388 (D). 57 (E). 66 (). 86 (G). 6 (H). 8
平成 7 年度数学 8 問題. 次の ()~(3) の各問について 空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から つ選び 解答用紙の所定の欄にマークしなさい なお 同じ選択肢を複数回選択してもよい ( 点 ) ある池には 匹の魚がいる その中の 匹 3 は赤色であり 残りの 匹 3 3 すくい上げる試行を行うことにする なお 赤色のそれぞれの魚を a a a 黒色の は黒色であるとする この 匹の中から非復元抽出により無作為に 匹 それぞれの魚を と表すこととする () この試行における標本点 w はa a a から重複せずに 匹を選んで並べた順 列によって表すことができる ここで w を表す順列の第 番目 が赤色であれば 黒色であれば このとき と確率変数 の結合確率分布は を定義する となる 3 また となる となる確率 5 は ()() で定義した確率変数 () の結果を用いると期待値 EY は について Y と確率変数 Y を定義する となる E Y 6
平成 7 年度数学 9 また の分散 V および の共分散 Cov は V 7 Cov 8 であるため V Y 9 となる (9 と の解答は順不同 ) (3)() で定義した確率変数 Y について Y となる確率 Y は Y m となる ( と の解答は順不同 ) ここで : の比は一定のまま を十分大きくすると 確率 Y および分散 Y 次の式で近似される (56 と 78 の解答のペアは順不同 ) 3 V は Y 5 6 7 8 V Y 9
平成 7 年度数学 [~ 5 7 9 の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) (O) () (Q) (U) (R) (V) (S) (W) (T) () (Y) (Z) [~ の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) (O) ()
平成 7 年度数学 [6 8 の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) (I) () (G) (J) (H)
平成 7 年度数学 問題 3. 不良率が である母集団から大きさ の不良品が入っていたという ただし の標本を取り出したところ 個 とする が小さいときの不良率 を信頼係数 で精密法により区間推定する方法について 次の空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの 選択肢の中から つ選び 解答用紙の所定の欄にマークしなさい なお 同じ選択肢を複数回選択し てもよい ここで 不良率とは 良品および不良品よりなる無限母集団からの標本が不良品である確率のことを いう ( 点 ) 個の標本中の 番目 の標本が不良品のときに 良品のときに となる確率変数を と おくと 不良率 の最尤推定量 ˆ は ˆ である ところで 個の標本中の不良品の個数を表す確率変数 は二項分布に従うから ˆ x 3 となる したがって 信頼係数 の と ˆ h h ; 5 5 h 6 の信頼区間を求めるには ˆ h h ; となる h h h を求めなければならない ここで a が正の整数のとき ベータ関数 a d の部分積分を考えると d となるから これを帰納的に用いて 7 a ; とおく であることに注意して a d
平成 7 年度数学 3 9 9 8 3 3 3 7 5 8 8 6 7 9 3 d ; と表せる ここで右辺において とおけば d ; を得る 右辺の被積分関数は自由度 の 分布の確率密度関数である したがって 自由度 の 分布に従う確率変数を とおくと ; ここで である また ; であり を とおき直すと ; ここで である これより h h について h h を得る したがって h h ˆ より の信頼区間として を得る この結果を用いて 個の標本のうち 個が不良品だったとすると 信頼係数 95 % のもとで の信頼区間の下限に最も近い数値はであり 上限に最も近い数値はである
平成 7 年度数学 [ の選択肢 ] (A) () (C) x (D) x (E) () (G) x (H) x [ 3 の選択肢 ] (A) () (C) x (D) (E) x () x (G) (H) x (I) (J) x [~6 の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) (I) (J) (K) (L) [7 の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H)
平成 7 年度数学 5 [8 の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) [9~ の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) (O) () [3~8 の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) (I) (J) (K) (L) [9~ の選択肢 ] (A) () (C) (D) (E) () (G) (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) (O) ()
平成 7 年度数学 6 [ 3 の選択肢 ] (A). 63 (). 7 (C). 9 (D). 9 (E). 3976 (). 75 (G). 859 (H). 933 (I). 93 (J). 9937
平成 7 年度数学 7 ( 付表 ) Ⅰ. 標準正規分布表上側 ε 点 u(ε ) から確率 εを求める表 x. 5. 3 u (ε ) ε * = * = * = * = 3 * = * = 5 * = 6 * = 7 * = 8 * = 9.*.5.96.9.88.8.8.76.7.68.6.*.6.56.5.83.3..36.35.86.7.*.7.68.9.9.5.3.397.3936.3897.3859.3*.38.3783.375.377.3669.363.359.3557.35.383.*.36.39.337.3336.33.36.38.39.356.3.5*.385.35.35.98.96.9.877.83.8.776.6*.73.79.676.63.6.578.56.5.83.5.7*..389.358.37.96.66.36.6.77.8.8*.9.9.6.33.5.977.99.9.89.867.9*.8.8.788.76.736.7.685.66.635.6.*.587.56.539.55.9.69.6.3..379.*.357.335.3.9.7.5.3..9.7.*.5.3..93.75.56.38..3.985.3*.968.95.93.98.9.885.869.853.838.83.*.88.793.778.76.79.735.7.78.69.68.5*.668.655.63.63.68.66.59.58.57.559.6*.58.537.56.56.55.95.85.75.65.55.7*.6.36.7.8.9..39.38.375.367.8*.359.35.3.336.39.3.3.37.3.9.9*.87.8.7.68.6.56.5..39.33.*.8..7..7..97.9.88.83.*.79.7.7.66.6.58.5.5.6.3.*.39.36.3.9.5..9.6.3..3*.7...99.96.9.9.89.87.8.*.8.8.78.75.73.7.69.68.66.6.5*.6.6.59.57.55.5.5.5.9.8.6*.7.5..3...39.38.37.36.7*.35.3.33.3.3.3.9.8.7.6.8*.6.5..3.3.....9.9*.9.8.8.7.6.6.5.5..
平成 7 年度数学 8 x. 96. 5 確率 εから上側 ε 点 u (ε) を求める表 ε u (ε ) * = * = * = * = 3 * = * = 5 * = 6 * = 7 * = 8 * = 9.* 3.9.878.778.65.5758.5.573.89.3656.*.363.9.57.6.973.7...969.79.*.537.335..995.977.96.93.968.9.8957.3*.888.8663.85.838.85.89.799.7866.77.76.*.757.739.779.769.76.695.689.677.666.656.5*.69.635.658.66.67.598.5893.585.578.563.6*.558.56.538.53.5.5.563.985.99.833.7*.758.68.6.538.66.395.35.55.87.8.8*.5.398.397.385.3787.37.3658.3595.353.369.9*.38.336.385.35.365.36.37.988.93.873.*.86.759.7.66.59.536.8.6.37.39.*.65..6.7.55..95.9.85.8.*.75.7.65.6.55.53.55.7.359.3.3*.6.7.7.3.77.3.985.939.893.88.*.83.758.7.669.65.58.537.9.5.7.5*.36.3.79.37.9.5..69.7.9986.6*.995.99.9863.98.978.97.97.966.96.958.7*.95.95.963.9.9385.936.937.969.93.99.8*.95.96.978.9.9.8965.897.889.8853.886.9*.8779.87.875.8669.8633.8596.856.85.888.85.*.86.838.835.83.87.839.8.869.83.899.*.86.83.7995.796.796.789.7858.78.779.7756.*.77.7688.7655.76.7588.755.75.788.75.7.3*.7388.7356.733.79.757.75.79.76.78.795.*.763.73.6999.6967.6935.693.687.68.688.6776.5*.675.673.668.665.66.6588.6557.656.695.66.6*.633.63.637.63.63.68.65.69.689.658.7*.68.698.668.638.68.5978.598.598.5888.5858.8*.588.5799.5769.57.57.568.565.56.559.5563.9*.553.555.576.56.57.5388.5359.533.53.573.3*.5.55.587.558.59.5.57.5.55.987.3*.959.93.9.87.85.87.789.76.733.75.3*.677.69.6.593.565.538.5.8.5.7.33*.399.37.3.36.89.6.3.7.79.5.3*.5.97.7.3.6.3989.396.393.397.388.35*.3853.386.3799.377.375.379.369.3665.3638.36.36*.3585.3558.353.355.378.35.35.3398.337.335.37*.339.39.366.339.33.386.36.33.37.38.38*.355.39.3.976.95.9.898.87.85.89.39*.793.767.7.75.689.663.637.6.585.559.*.533.58.8.56.3..378.353.37.3.*.75.5..98.73.7..96.7.5.*.9.993.968.9.97.89.866.8.85.789.3*.76.738.73.687.66.637.6.586.56.535.*.5.8.59.3.8.383.358.33.37.8.5*.57.3.6.8.56.3.5.8.55.3.6*..979.95.99.9.878.853.88.83.778.7*.753.78.7.677.65.67.6.577.55.57.8*.5.76.5.6..376.35.36.3.76.9*.5.6..75.5.5..75.5.5
平成 7 年度数学 9 Ⅱ. 自由度 φ の χ 分布の上側 ε 点 : φ \ ε.99.975.95.9.5..5.5....39.58.59.755 3.85 5.39 6.639..56.6.7.3863.65 5.995 7.3778 9.3 3.8.58.358.58.366 6.5 7.87 9.38.39.97.8.77.636 3.3567 7.779 9.877.33 3.767 5.553.83.55.63.355 9.36.75.835 5.863 6.87.373.635. 5.38.66.596.9 6.89 7.39.6899.673.833 6.358.7.67 6.8 8.753 8.665.797.736 3.895 7.3 3.366 5.573 7.535.9 9.879.7 3.35.68 8.38.6837 6.99 9.8.666.558 3.7 3.93.865 9.38 5.987 8.37.83 3.93 3.535 3.857.578 5.5778.3 7.75 9.675.9.75 3.576.38 5.6 6.338.33 8.593.6 3.3367 6.7 3.69 5.88 5.899 7.5.3398 9.89.36.7356 7.688.66 5.687 6.576 7.7895 3.3393.6 3.688 6.89 9. 5 5.93 6.6 7.69 8.568.3389.37.9958 7.88 3.5779 6 5.8 6.977 7.966 9.3 5.3385 3.58 6.96 8.85 3.9999 7 6.78 7.56 8.678.85 6.338.769 7.587 3.9 33.87 8 7.9 8.37 9.395.869 7.3379 5.989 8.8693 3.56 3.853 9 7.637 8.965.7.659 8.3377 7.36 3.35 3.853 36.99 8.6 9.598.858.6 9.337 8. 3. 3.696 37.566 8.897.89.593 3.396.337 9.65 3.676 35.789 38.93 9.55.983.338.5.337 3.833 33.9 36.787.89 3.957.6886 3.95.88.3369 3.69 35.75 38.756.638.856. 3.88 5.6587 3.3367 33.96 36.5 39.36.9798 5.5 3.97.6 6.73.3366 3.386 37.655.665.3 6.98 3.839 5.379 7.99 5.3365 35.563 38.885.93 5.67 7.8785.573 6.5 8.39 6.3363 36.7.33 3.95 6.969 8 3.567 5.379 6.979 8.939 7.336 37.959.337.68 8.78 9.565 6.7 7.78 9.7677 8.336 39.875.557 5.73 9.5879 3.9535 6.798 8.97.599 9.336.56 3.773 6.979 5.89 3 5.6555 7.5387 9.86.336 3.3359.7.9853 8.39 5.9 3 6.36 8.98.79.76 3.3359.587 6.93 9.8 53.858 33 7.735 9.67.8665 3. 3.3358 3.75 7.3999 5.75 5.7755 3 7.789 9.863.663 3.953 33.3357.93 8.6 5.966 56.69 35 8.589.569.65.7967 3.3356 6.588 9.88 53.33 57.3 36 9.37.3359 3.686 5.633 35.3356 7. 5.9985 5.373 58.69 37 9.96.56.79 6.9 36.3355 8.363 5.93 55.668 59.895 38.69.8785.8839 7.33 37.3355 9.56 53.3835 56.8955 6.6 39.6 3.653 5.695 8.958 38.335 5.6598 5.57 58. 6.8.63.33 6.593 9.55 39.3353 5.85 55.7585 59.37 63.697.956 5.5 7.356 9.97.3353 5.985 56.9 6.566 6.95 3.65 5.9987 8. 3.765.335 5.9 58. 6.7768 66.6 3.3976 6.785 8.967 3.655.335 55.3 59.335 6.99 67.593 5.8 7.576 9.7875 3.87 3.335 56.3685 6.89 6.5 68.795 5 5.93 8.366 3.63 33.35.335 57.553 6.656 65. 69.9568 6 6.657 9.6 3.39 3.5 5.335 58.65 6.896 66.665 7. 7 7.58 9.956 3.676 35.8 6.335 59.773 6. 67.86 7.33 8 8.77 3.755 33.98 35.99 7.335 6.966 65.78 69.6 73.686 9 8.96 3.559 33.933 36.88 8.335 6.375 66.3386 7. 7.995 5 9.767 3.357 3.763 37.6886 9.339 63.67 67.58 7. 76.539
平成 7 年度数学 Ⅲ. 分母の自由度 分子の自由度 m の 分布の上側 ε 点 : m ε =. \m 3 5 6 7 8 9 8.563 9. 9.68 9.3 9.96 9.355 9.39 9.3668 9.385 9.396 3 5.5383 5.6 5.398 5.36 5.39 5.87 5.66 5.57 5. 5.3.58.36.99.7.56.97 3.979 3.959 3.9357 3.999 5.6 3.7797 3.695 3.5 3.53 3.5 3.3679 3.3393 3.363 3.97 6 3.7759 3.633 3.888 3.88 3.75 3.56 3.5.983.9577.9369 7 3.589 3.57 3.7.965.8833.87.789.756.77.75 8 3.579 3.3.938.86.76.6683.6.5893.56.538 9 3.363 3.65.89.697.66.559.553.69.3.63 3.85.95.777.653.56.66..377.373.36 ε =.5 \m 3 5 6 7 8 9 8.58 9. 9.63 9.68 9.96 9.395 9.353 9.37 9.388 9.3959 3.8 9.55 9.766 9.7 9.35 8.96 8.8867 8.85 8.83 8.7855 7.786 6.93 6.59 6.388 6.56 6.63 6.9 6. 5.9988 5.96 5 6.679 5.786 5.95 5.9 5.53.953.8759.883.775.735 6 5.987 5.33.757.5337.387.839.67.68.99.6 7 5.59.737.368.3 3.975 3.866 3.787 3.757 3.6767 3.6365 8 5.377.59.66 3.8379 3.6875 3.586 3.55 3.38 3.388 3.37 9 5.7.565 3.865 3.633 3.87 3.3738 3.97 3.96 3.789 3.373.966.8 3.783 3.78 3.358 3.7 3.355 3.77 3..978 ε =.5 \m 3 5 6 7 8 9 38.563 39. 39.655 39.8 39.98 39.335 39.355 39.373 39.3869 39.398 3 7.3 6. 5.39 5..888.737.6.5399.73.89.79.69 9.979 9.65 9.365 9.973 9.7 8.9796 8.97 8.839 5.7 8.336 7.7636 7.3879 7.6 6.9777 6.853 6.757 6.68 6.69 6 8.83 7.599 6.5988 6.7 5.9876 5.898 5.6955 5.5996 5.53 5.63 7 8.77 6.55 5.8898 5.56 5.85 5.86.999.8993.83.76 8 7.579 6.595 5.6 5.56.873.657.586.333.357.95 9 7.93 5.77 5.78.78.8.397.97..6 3.9639 6.9367 5.56.856.683.36.7 3.998 3.859 3.779 3.768 ε =. \m 3 5 6 7 8 9 98.55 99. 99.66 99.9 99.993 99.336 99.356 99.37 99.388 99.399 3 3.6 3.865 9.567 8.799 8.37 7.97 7.677 7.89 7.35 7.87.977 8. 6.69 5.977 5.59 5.69.9758.7989.659.559 5 6.58 3.739.6.399.967.673.555.893.578.5 6 3.75.98 9.7795 9.83 8.759 8.66 8.6 8.7 7.976 7.87 7.6 9.566 8.53 7.866 7.6 7.9 6.998 6.8 6.788 6.6 8.586 8.69 7.59 7.6 6.638 6.377 6.776 6.89 5.96 5.83 9.56 8.5 6.999 6. 6.569 5.88 5.69 5.67 5.35 5.565.3 7.559 6.553 5.993 5.6363 5.3858 5. 5.567.9.89 ε =.5 \m 3 5 6 7 8 9 98.53 99. 99.66 99.97 99.996 99.333 99.3568 99.376 99.3885 99.3996 3 55.55 9.7993 7.67 6.96 5.396.8385.3.56 3.88 3.6858 3.338 6.83.59 3.55.56.976.67.35.39.9667 5.788 8.338 6.598 5.556.9396.533. 3.96 3.776 3.68 6 8.635.5.966.75.637.73.7859.5658.395.5 7 6.356..88.55 9.5 9.553 8.885 8.678 8.538 8.383 8.688. 9.5965 8.85 8.38 7.95 7.69 7.959 7.3386 7.6 9 3.636.67 8.77 7.9559 7.7 7.339 6.889 6.6933 6.5 6.7.865 9.7 8.87 7.38 6.87 6.56 6.35 6.59 5.9676 5.867
平成 7 年度数学 Ⅳ. 自由度 φ の 分布の上側 ε 点 : () Ⅴ. 自然対数表 Ⅵ. 指数関数表 φ \ ε..5.5 x log x x ex(x) 3.777 6.338.76..953 -..98.8856.9.37..83 -.9.939 3.6377.353 3.8.3.6 -.8.93.533.38.776..3365 -.7.93 5.759.5.576.5.55 -.6.98 6.398.93.69.6.7 -.5.95 7.9.896.366.7.536 -..968 8.3968.8595.36.8.5878 -.3.97 9.383.833.6.9.69 -..98.37.85.8..693 -..99.363.7959..5.963...356.783.788 3..986.. 3.35.779.6 3.5.58...35.763.8..3863.3.35 5.36.753.3.5.5..8 6.3368.759.99 5..69.5.53 7.333.7396.98 5.5.77.6.68 8.33.73.9 6..798.7.75 9.377.79.93 6.5.878.8.833.353.77.86 7..959.9.9.33.77.796 7.5.9..5.3.77.739 8..79 3.395.739.687 8.5..378.79.639 9..97 5.363.78.595 9.5.53..36 以上
問題 () 事象 C A の少なくともいずれか発生する確率は C A であり それは次式で表される C A A C C A C A C A ここで 確率 C A はそれぞれ 36 6 6 A C である A は 回目の試行において の目 回目の試行において 3 以下の目 回目の試行において の目が出る事象である C は 回目と 回目の試行において 3 以下の目 3 回目と 回目の試行において奇数の目が出る事象である A C は 回目と 回目の試行において の目 3 回目の試行において奇数の目が出る事象である また C A は 回目と 回目の試行において の目 回目の試行において 3 以下の目 3 回目の試行において奇数の目が出る事象である よって 確率 C A A C C A はそれぞれ 7 6 6 A 6 C 7 6 6 A C 6 6 C A である 数学 ( 解答例 )
したがって A C である 36 9 よって 解答は () 7 6 7 () 確率変数 あるか調べる Y が互いに独立な場合に Y の積率母関数を求めることにより 再生性が (A) Y は独立で それぞれ ( m ) ( ) に従うとすると m m M Y ( ) M ( ) MY ( ) ( e q) ( e q) ( e q) よって Y は ( m ) に従うことがわかり (A) 二項分布は再生性を持つ () Y は独立で それぞれ o( ) o( ) に従うとすると M Y ( ) M ( ) M Y ( ) e ( e -) e ( e -) e ( )( e -) よって Y は o( ) に従うことがわかり () ポアソン分布は再生性を持つ (C) Y は独立で それぞれ N( ) N( ) に従うとすると ( ) M Y ( ) M ( ) MY ( ) ( qe ) ( qe ) ( qe ) よって Y は N( ) に従うことがわかり (C) 負の二項分布は再生性を持つ (D) Y は独立で それぞれ G( ) G( ) に従うとすると M Y ( ) M ( ) M Y ( ) ( ) e ( ) e ( ) e ( ただし ( ) e ( ) e ) よって Y は G( ) に従わないことがわかり (D) 幾何分布は再生性を持たない (E) Y は独立で それぞれ N( ) N( ) に従うとすると M Y ( ) M ( ) M Y ( ) ( e )( e ) e ( ) ( ) よって Y は N( ) に従うことがわかり (E) 正規分布は再生性を持つ () Y は独立で それぞれ e( ) e( ) に従うとすると M Y ( ) M ( ) M Y ( ) ( ) ( ただし )
よって Y は e( ) に従わないことがわかり () 指数分布は再生性を持たない (G) Y は独立で それぞれ ( ) ( ) に従うとすると M Y ( ) M ( ) M Y ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ただし ) よって Y は ( ) に従うことがわかり (G) ガンマ分布は再生性を持つ (H) Y は独立で それぞれ ( m) ( ) に従うとすると M Y m m ) ( ) ( ( ) M ( ) M ( ) ( ) ( ただし ) Y よって Y は ( m ) に従うことがわかり (H) 分布は再生性を持つ よって 解答は (D)() (3) を勝ち数を表す確率変数とすると このプレイヤーが 回ゲームに勝つ確率は 5 5 ( ).8 (.8) : 5 また E ( ) 5.8 V ( ) 5.8.7.8 であるから このプレイヤーが5 回以上勝つ確率は中心極限定理より E( ) 5 ( 5) ( ) V ( ).8 u().6 また 3 割以上勝つ確率が. 以下となるためには ゲームの回数を 回とおくと E ( ).8 V ( ).8.7 となるので E( ). (.3) ( ). V ( ).8.7. u(.86)..86.8.7 を解くと 356. 9 であり ゲームの回数は 357 回以上である必要がある
よって 解答は (A)(H) () Y Z A とおくと A は負の値をとらず A Y Z U v a u とおけば この変換は a 平面の a なる部分 ( 第 象限 ) を uv 平面の v u なる部分に移す 対 の変換である v uv a より v u v v u a である また Z A および Y は互いに独立でそれぞれ自由度 の 分布に従うので 確率密度関数はそれぞれ ) ( a e a a g a a ) ( e h であり A の確率密度関数は ) ( a e a a その他 a となる ゆえに V A Y Z U の結合確率密度関数は v u のとき v e uv v u a a v u u v ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u v e v u また v u は負の値をとらないから v u でないときは ) ( v u よって U の ( 周辺 ) 確率密度関数は u のとき ) ( ) ( ) ( dv e v u dv v u u f u v
v( u ) ここで w とおけば f v(u) 3 w ( u) u v e dv u u w e dw 3 u u 3 ( 最後の符号で w w e dw を用いた ) なお u のとき( u v) より f ( u) である よって 解答は (E) ( 別解 ) 確率変数 A が互いに独立でそれぞれ自由度 m の - 分布に従うとき A m は自由 Z 度 ( m ) の - 分布に従うことから W は自由度 () の - 分布に従う Y したがって W の確率密度関数 (w) g は w のとき g( w) 3 w w 3 w w 3 w w 3 U Z W なので 変数変換により Y 8 f ( u) u u 3 を得る (5) 5 回の試行で 度だけ同じ数字が記入された球が取り出される確率 f () は 5 3 f ( ) ( )( )( 3) f () を最大にする を求めればよい f ( 7) f ( 8) f ( 9) f ( ).998.57.5.5
となり 8のとき f () は最大となることから の最尤推定値は 8 となる よって 解答は (D) (6) データの観測が 時間で打ち切られた場合 全体の電球の個数を N 観測終了時点までに 寿命が判明した電球の個数を 観測された電球の寿命を x ( 寿命判明分のみ ) とすると 指数分布の母平均の信頼区間は ˆ ( / ) ˆ ( / ) である ただし ここで ˆ x ( N ) とする なお 信頼係数は とし ( ) は自由度 の - 分布の上側 点とする 信頼区間の幅が 867 であることから ˆ ˆ 867 ( / ) ( / ) が成り立つ これより x ( N ) ( / ) 867 ( / ) となる これを について解くと 867 ( / ) ( / ) N x
となる ここに N x 3 87 および付表より ( / ) (.5) 3. 696 ( / ) (.975) 955 となる 9.598を代入して計算すると よって 解答は () (7) A 工場の標本数 5 標本平均 3 標準偏差 s 3 工場の標本数 標本平均 x 標準偏差 s である 帰無仮説 H : A 工場と 工場の平均時間には違いがない 対立仮説 H : A 工場と 工場の平均時間には違いがある として 有意水準 5 % で検定を行う 自由度 3 の 分布の. 5 % 点は (.5).687 であり 3 x 38 (3 x) 5 s s.687 であれば H は採択される 7.8795 x 3. 5 であれば H は採択される 工場からの標本の平均時間が 7. 8795 時間超 3. 5 時間未満であれば A 工場と 工場である製品を作るのにかかる時間は違いがないといえる よって 解答は () (I) (8) 母集団の数 N =9 標本数 = で 抽出した標本 ) について 9 Z R ( の期待値 E( ) 分散 V( ) = V ( Z R ) を求めればよい 8 ( ここで Z R は 母集団の総計の推定量とする ) 母平均を 母分散を とすると 定義より = 5 = 6. 67
ここで E( Z R ) = N V Z ) = N との関係を用いて ( R E( Z R ) = 5 V Z ) = 36. 5 これより ( R N N E( ) = V ) =. 67 ( よって 解答は () (E) (9) 各パラメータの平均 分散 共分散は下記の通り x 3. y 6 z 6 5 5 S x 5 5 S y 5 5 S z S S xz yz 5 5 5 5 x x. 66 y y 6 z z 6 xz xz. yz yz 以上より Sxz. xz =.5568 SxSz.66 6 Syz yz =.837 SySz 6 6 よって 解答は (H) (J) () この粒子の数直線上の位置は マルコフ過程 ( 連鎖 ) のモデルで表現することができる を数直線上の点...5 に位置していた状態から次の 秒後に点...5 に 移動する確率とすると このモデルの推移確率行列 は
55 5 53 5 5 5 5 3 35 3 33 3 3 3 5 3 5 3 5 3 で表せる ここで 8 5 8 6 3 6 8 3 6 5 6 3 8 8 6 3 6 5 8 3 6 6 3 8 8 5 である ある時点で点 3 のいずれかに等しい確率で置かれるため 求める確率 は 6 8 8 3 8 5 8 = 9 =.56 である よって 解答は (C) () ユール = ウォーカー方程式
を について解くと.5. 一方 自己相関の定義より. 7. 57 であるので.7.7 上記の式に を代入し.65.5 となる については ) 5. 分散 については となる (.338 よって 解答は () (I) 3 () () () 標本分散および標本平均の分散は以下のとおりである ˆ ˆ 6 6 6 5 6 5 標本分散 ex( U) ex( U).538. 標本平均 ˆ 6 ˆ Va 6 ˆ 6.39 6 6 の分散. 負の相関法による平均の分散は以下のとおりである 3 共分散 ex( U ).683 ex( U).737. 73 負の相関法の平均 ˆ 6 () ˆ () ˆ Va 6 6.5 6 の分散 Va 共分散 よって 解答は (D) (A) ( 注 ) 本問は指定教科書 モデリング に準拠した出題であるが 標本分散を演習書 確
率統計演習 統計 における定義 共分散を演習書 確率統計演習 確率 における定義を用いて算出した場合の解答 (C)(D) も正解とした 問題 () のとき 事象 に属する標本点の個数は であるから となる 同様に 事象 または事象 に属する標本点の個数は であるから となる また 事象 に属する標本点の個数は であるから となる したがって の確率分布は である
よって 解答は (О) (Q) 3 () (J) 5 (I) () () より 確率変数 の期待値 E は E となる よって 確率変数 Y の期待値は E Y E となる また の期待値 E は E となる したがって の分散 V は E E V となる さらに のとき () より の期待値 E は E となるので 共分散 Cov は E E E Cov となる
したがって 確率変数 Y の分散 Y V は Cov V V V V Y V ) ( ) ( ) ( である よって 解答は 6 (K) 7 (U) 8 (Y) 9 (V) (E) (9 と は順不同 ) (3) 確率変数 Y のとりうる値は ) m( であり ) m( なる整数 に対して Y w ; なる事象に属する標本点の個数は である また 標本点の総数は であるから Y ) m( となる したがって 確率変数 Y は超幾何分布に従うことが分かる つぎに Y を展開すると
Y であるため : の比は一定のまま を十分大きくすると Y と近似され 確率変数 Y は二項分布 に従う したがって 分散 Y V は Y V と近似される Y V については () より Y V であるため lm Y V と解くこともできる よって 解答は () (M) 3 () (N) 5 (I) 6 () 7 (J) 8 () 9 (V) ( と は順不同 また 56 と 78 のペアは順不同 ) 問題 3 個の標本中の 番目 の標本が不良品のときに 良品のときに となる確率変数を とおくと 不良率 の最尤推定量 ˆ は ˆ である ところで 個の標本中の不良品の個数を表す確率変数 は二項分布に従うから
x x x x x x ˆ となる よって 解答は () (E) 3 (J) 信頼係数 の の信頼区間を求めるには ; とおくと ; ˆ h h h ; ˆ h h h となる h h を求めなければならない ここで a を正の整数とし ベータ関数 a a a であることに注意して d の部分積分を考えると d d d となる よって 解答は () 5 (E) 6 (K) 7 () これを帰納的に用いて d ; と表せる ここで右辺において とおけば d d d d
d d d d d d となることより d ; を得る よって 解答は 8 (G) 9 (D) (K) (M) (O) 右辺の被積分関数は自由度 の 分布の確率密度関数である したがって 自由度 の 分布に従う確率変数を とおくと ; ここで である また ; であり を とおき直すと ; ここで である が自由度 の 分布に従うとき は自由度 の 分布に従うから ; となる
よって 解答は 3 (K) (I) 5 () 6 () 7 () 8 () これより h h について h h を得る したがって h h ˆ より の信頼区間として を得る よって 解答は 9 () (M) (K) (O) この結果を用いて 個の標本のうち 個が不良品だったとすると 6 8 7 6..5 39.373.5 6 8.63 39.373 8.859 6 6.7 6.7 となることより 信頼係数 95 % のもとで の信頼区間の下限は 63. 上限は.859 となる よって 解答は3 (A) (G)
問題 () () 5 点 (9) (H).5 点 () (D) () 完答で 5 点 (J).5 点 (3) (A).5 点 () (C) 5 点 (H).5 点 () () 点 () (E) 5 点 (I) 完答で 点 (5) (D) 5 点 3 () (6) () 5 点 () 点 (7) () 完答で 5 点 () (D) 点 (I) (A) と完答で 点 (8) () 点 (E) 3 点 () は指定教科書 モデリング に準拠した出題であるが 標本分散を演習書 確率統 計演習 統計 における定義 共分散を演習書 確率統計演習 確率 における定義を用 いて算出した場合の解答 (C)(D) も正解とした 問題 () (O) 点 (3) () 完答で 点 (Q) 点 (M) は順不同 3 () 点 3 () (J) 点 (N) 完答で 点 5 (I) 点 5 (I) 56 78の () 6 (K) 点 6 () ペアは順不同 7 (U) 点 7 (J) 8 (Y) 点 8 () 9 (V) 完答で 点 (E) 順不同 9 (V) 点
問題 3 () 点 3 (K) 完答で 点 (E) 完答で 点 (I) 3 (J) 5 () 完答で 点 () 完答で 点 6 () 5 (E) 7 () 完答で 点 6 (K) 8 () 7 () 9 () 完答で 点 8 (G) 点 (M) 9 (D) 完答で 点 (K) (K) (O) (M) 3 (A) 完答で 点 (O) (G)