Tsor th-ordr tsor by dcl xprsso m m Lm m k m k L mk kk quott rul by symbolc xprsso Lk X thrd-ordr tsor cotrcto j j Copyrght s rsrvd. No prt of ths documt my b rproducd for proft.
テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数 ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現 シンボリック表現 [ ]
テンソル ( その ) テンソル ( その ) 階のテンソル 階のテンソル j 行列表現 [ ] j シンボリック表現 階のテンソル 階のテンソル シンボリック表現 jk
テンソルの成分数 個 (, m ) (, m ) 個 m 方向 個 m 方向 スカラー ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) テンソル (m 階のテンソル ) 次元 () ( ) ( ) 階数 m 以上 成分数 m (, m ) 個 個 個 (, m ) m 方向
テンソルの和と差 和 jk + jk + 差 シンボリック表現 + 同じ階数のテンソルについてのみ和が取れる. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + シンボリック表現 jk jk 同じ階数のテンソルについてのみ差が取れる.
テンソルのスカラー倍 スカラー倍 シンボリック表現 c jk c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
テンソルの内積 ( テンソル同士の積 ) テンソルの内積 ( テンソル同士の積 ) C j について総和を取る C k j jk シンボリック表現 C テンソル 交換法則は成り立たない. ( ( ) T ) T T C C C C C C C C C 行列表現 C 階のテンソル同士の内積と行列の積は形式的に等しい.
テンソルの内積 ( テンソル同士の積, 複内積 ) テンソルの内積 ( テンソル同士の積, 複内積 ) すべての j の組 と j の両方について総和を取る c j j : シンボリック表現 c : テンソル c 展開表現 c L + + + +
テンソルの内積 ( ベクトルとテンソルの積 ) テンソルの内積 ( ベクトルとテンソルの積 ) について総和を取る j について総和を取る c j j ベクトル c j b j シンボリック表現 c テンソル c b c c b c c b c c b 行列表現 c c c b b b 正しくは, c ( T ) T
テンソル積 ( テンソル同士の積 ) テンソル積 ( テンソル同士の積 ) C C C jkl j kl シンボリック表現 C テンソル C C C C C C C C C C C C テンソル積によって得られた新しいテンソルの階数は, 元のテンソルの階数の和になる. C C C
テンソル積 ( ベクトルとテンソルの積 ) テンソル積 ( ベクトルとテンソルの積 ) C C C jk jk シンボリック表現 C ベクトル テンソル C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
階のテンソルの成分一覧表示 階のテンソルの成分一覧表示 固体力学では,, 階のテンソル を取り扱うことが多い. 便宜上便宜上,, 階のテンソルの成分一覧を示す場合は, 行列と同じ の形式で表示することとするが, 基本的に行列とテンソルは異なるものであるである.
座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) 座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) x O x 座標変換 x' ' x ' O ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' x' x x x x' テンソルの定義 j k jl kl
座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) 座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) 座標変換 kl jl k j 行列表現シンボリック表現 T T ( ) ( ) j T lj T kl k kl jl k j
座標変換とテンソル ( 階のテンソル ) 座標変換とテンソル ( 階のテンソル ) 個 個 座標変換 ' k k L k ' ' m m L m k k L Lk k k k L m m Lm m m m m m Lm m k m k L mk kk Lk 個 m k m k m k
テンソルの成分と基底 階のテンソル の成分を j, j j j とするとき, は j を係数とする j の 次結合で表される. j j + + L+ 基底 + L+ ベクトル 階のテンソル jk j k
対称テンソルと逆対称テンソル対称テンソルと逆対称テンソル ( ) ( ) T T S + + + ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j S j + + + 対称テンソル逆対称テンソルシンボリック表現例 ( 階のテンソル ) ( ), 4 4 6 + T S T
等方テンソル 座標変換に対して成分の変わらないテンソル. x O k k L k x x' x ' O ' ' m m L m x' x x x x' 等方ベクトル ( 階等方テンソル ) 階等方テンソル 零ベクトル j α δ j ( α : スカラー ) 階等方テンソル jk α jk ( α : スカラー ) 4 階等方テンソル jkl α δ j δ kl + β δ k δ jl + γ δ l δ jk ( α, β, γ : スカラー )
テンソルの主値と主軸 ( その ) テンソルの主値と主軸 ( その ) テンソル が応力テンソルやひずみテンソルの場合, 法線ベクトルが の面における垂直応力あるいは垂直ひずみの値が f() に相当する. f() f() を 階の対称テンソル と単位ベクトル ( ( の関数 ) の関数 f ( ) j j とするとき,, を変化させたときの f() f() の極値の極値 λ をテンソル の主値の主値と言うと言う. またまた, λ ( λ) となる単位ベクトル が決定する方向をテンソル の主軸と言う. が 階対称テンソルであるときは, 主値主値 固有値固有値 ( 実数実数 ) 主軸主軸 固有ベクトルの方向 ( 互いに垂直 ) となるとなる.
テンソルの主値と主軸 ( その ) テンソルの主値と主軸 ( その ) 主値 主値 x 主軸 x' x ' ' O x 座標変換 ' ' O ' ' ' 主値 x' x x 主軸 x x' 主軸 j k jl kl : 直交テンソル ( T I, I: 単位テンソル )
() () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ T Α 行列の対角化とテンソルの主値, 主軸との関係行列の対角化とテンソルの主値, 主軸との関係座標変換テンソル主軸 ( 新たな座標軸の基本ベクトル ) 主値固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列を用いて行列は対角化される. 行列の対角化 λ λ λ P P T () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) P 対角化固有ベクトル固有値行列主値と主軸 ( ) ( ) ( ) ( ) () () () + + + + 転置関係行列の積 テンソルの内積
テンソルの不変量 ( その ) テンソルの不変量 ( その ) テンソルの個々の成分は座標変換によって変化するが, 座標変換によって変わらないいくつか ( 次元の場合 個 ) のスカラー ( 成分の演算結果結果 ) を作ることができる. これらの量を不変量と言う. 第 不変量 ( + ) I + tr 第 不変量 I { ( tr ) + tr( )} ( + ) ( + + + ) jj j j 第 不変量 I dt 6 jk rst r js kt
テンソルの不変量 ( その ) テンソルの不変量 ( その ) x x' x ' ' ' O x 座標変換 ' ' O ' ' ' ' ' ' ' ' x' x x x x' j 変化 j k jl kl I I 不変 I I I I
縮約 ( その ) 縮約 ( その ) 縮約とは, テンソルの成分の つの添字 ( 自由指標 ) を等しいとおいて ( 自由指標 擬指標擬指標 ), ), それらについて和をとる操作である. 縮約によって, テンソルの階数は 階低くなる. 例 j 縮約 ( j ) 階のテンソル (-) 階のテンソル ( スカラー ) + + tr
縮約 ( その ) 縮約 ( その ) 例 内積内積 テンソル積 + 縮約縮約 階のテンソル ( ベクトル ) b テンソル積 (+) 階のテンソル b b b b b b b b b b 縮約 (-) 階のテンソル ( スカラー ) b + b + b b
縮約 ( その ) 縮約 ( その ) 例 複内積複内積 テンソル積 + 縮約縮約 + 縮約縮約 : 回 階のテンソル テンソル積 : + + L+ j kl 縮約 4(+) 階のテンソル (4-) 階のテンソル j l 縮約 ( k ) ( l j ) j j (-) 階のテンソル ( スカラー ) ドットの個数は, テンソル積を取った後の縮約の回数を表す ( 参考 )4 階のテンソルの 4 重内積 :: + + L+ jkl jkl
商法則 ある量ある量 X と任意のテンソルとの内積がテンソルであるならば,X,X はテンソルである. X 階のテンソル X の階数 k k + m m 階のテンソル
テンソル場の勾配 ( 微分 ) テンソル場の勾配 ( 微分 ) grd k j k j 階のテンソル 階のテンソル j j k k 勾配 任意のテンソルを微分すると, 階数が 階増加する. 正確には, この勾配を右形の勾配と言う. 左形は, jk j k. grd は, 階のテンソルであるから, 座標変換において r pq を満たす. ( ) k j rk p x x x 階のテンソル 階のテンソル qj j k j x x x x x k x x
ガウスの発散定理 ( その ) ガウスの発散定理 ( その ) 面積分面積分 体積分体積分 スカラー場 S ds V ( ) dv V dv x 表面積 S 体積要素 単位法線ベクトル 面要素 dv ds S ds V dv シンボリック表現 x O x 体積 V + + ベクトル場 S ds V dv ( ) dv V ds dv S V ( ) dv dv V シンボリック表現
ガウスの発散定理 ( その ) ガウスの発散定理 ( その ) 階のテンソル場 右形の発散 S j j ds V j j dv ( ) dv V j j S ds dv V シンボリック表現 左形の発散 S j ds V j dv ( ) dv V j S ds dv V シンボリック表現
ストークスの定理 ベクトル場 面積分面積分 線積分線積分 k jk ds S j ( rot ) ds tds S C C dx シンボリック表現 単位法線ベクトル + + 面要素ベクトル ds 大きさが ds で向きが面の法線方向であるベクトル 線要素ベクトル ds 大きさが ds で向きが線の接線方向であるベクトル 曲面 S 閉曲線 C x x O x rot ds ds t 面要素 線要素 単位接線ベクトル t t + + t t
スカラー場とベクトル場とテンソル場 スカラー場 ベクトル場 x x x x O O x x 場所大きさ場所大きさと方向 テンソル場 x x O x 場所方向毎の大きさと方向 ( 場所と方向大きさと方向 )