立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 による立体の断面積を とする 図 1の から までの斜線部分の立体 の体積を とすると, 図 2のように は 底面積 高さ の角柱の体積とみなせる よって 図 2 と表せる ただし とすると, 体積公式 ( 注極限を考えているから から = に変化している ) 斜軸回転体の体積の求め方 図 3のように, 曲線 : と直線 および 2 直線 図 3 直線 とで囲まれた図形 Dを直線 のまわりに 1 回転 曲線 させてできる立体の体積 V を求めることを考えてみる ただし 直線 と 軸のなす角を とする [ としては - も考えられるが小さいほうを とおく ] 図 4のように大変微小な区間 を考える 直線 に平行な直線を BFと曲線 Cとの交点 Eから引き CHとの交点を Dとおく このとき, 曲線 Cと直線 とではさまれた部分の面積 BCKE は, 平行四辺形 BCDE の面積とほとんど同じとみてよい つまりさまれた部分の面積 BCKE 平行四辺形 BCDE の面積 図 4 直線 C D 曲線 K H -1-
図 5 の平行四辺形 BCDE において底辺を BC 高さを BI とみる 底辺を BC は直角三角形 BGC より よって また平行四辺形 BCDE の面積 U は ところで図 6の直角三角形 BIEにおいて が成り立ち, また であるから で となる O ところで右図のように底辺と高さが同じ平行四辺形と長方形の 面積は等しいので, 平行四辺形 BCDE を直線 のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 は長方形 BCJI を直線 のまわりに 1 回転させてできる円柱の体積と 等しい よって よって求める体積 V は 斜軸回転体の体積公式 パップス ギュルダンの定理 平面上に, 直線 の一方の側に 重心が G で面積が S の閉じた図形 D がある D を直線 のまわりに回転してできる立体の体積 V は V=S( 重心 G が直線 のまわりを回転してできる円の周の長さ ) 図 5 C J D G I 曲線 C E H 直線 C =S ( ただし は重心 G が直線 のまわりを回転してできる円の半径 ) I 図 6 G E I 直線 I C 曲線 C バウムクーヘン分割公式 一番左の図の斜線部分を 軸のまわりに回転 して得られる立体の体積 を求めるとき, 図の部分をあらかじめ縦長の短冊に O 切っておく これを 軸のまわりに回転すると できる立体はバウムクーヘンの形状となる 座標が のところの短冊の高さを とし幅を とすると その 1 つの短冊の回転体は 図のような 円筒 とみなせる さらにその 円筒 をひろげると図のように 直方体 と見なすことができる よって円筒の体積 = である すべての短冊で同じことを行って それら全部を集めると求める体積になる よって バウムクーヘン分割公式 バウムクーヘン分割は積分区間を分割して求める必要性があるときに 計算が煩雑にならないので便利である -2-
問 1 平面において, 放物線 と直線 によって囲まれた図形を, 直線 のまわりに回転 させてできる回転体の体積を求めよ ( 名古屋市立大東京女子大 ) 放物線 と直線 との交点の 座標を求める より ゆえに また, 直線 と 軸とのなす角 は である 斜軸回転体の体積公式 に当てはめる より これを斜軸回転体の体積公式に代入して ( 答 ) 問 2 は正の定数とする 放物線 と直線 で囲まれる図形を 直線 のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ ( 大分大 ) 放物線 と直線 との交点の 座標を求める より ゆえに また, 直線 と 軸とのなす角 とする ところで直線の傾き は 傾きは正の定数とするから と表せる 斜軸回転体の体積公式 よって に当てはめる これより これを斜軸回転体の体積公式に代入して -3- から ( 答 )
問 3 直線 と曲線 により囲まれる部分を 直線 のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 Vを求めよ ( 年横浜国立大 ) 曲線 と直線 との交点の 座標を求める より ゆえに より また, 直線 と 軸とのなす角 は である 斜軸回転体の体積公式 より に当てはめる これを斜軸回転体の体積公式に代入して ( 答 ) 問 4 放物線 と直線 とで囲まれた部分が, この直線のまわりに回転してできる立体の 体積を求めよ ( 名古屋大学習院大青山学院大 ) 放物線 と直線 との交点の 座標を求める より ゆえに また, 直線 と 軸とのなす角 は である 斜軸回転体の体積公式 より に当てはめる これを斜軸回転体の体積公式に代入して 答 -4-
問 5 は自然数とする 直線 と曲線 で囲まれる図形を直線 のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 Vを求めよ ( 東京理科大 ) 曲線 C と直線 との交点の 座標を求める より より また, 直線 と 軸とのなす角 とする ところで直線の傾き は は自然数とするから と表せる 斜軸回転体の体積公式 よって に当てはめる これより から これを斜軸回転体の体積公式に代入して ( 半角の公式より ) ( 答 ) 問 4 とする 原点 O と点 を通る直線 原点 Oと点 を通る直線 および 曲線 で囲まれた部分を Rとする Rを直線 のまわりに 1 回転させてできる回転体 の体積 V を と の式で表せ ( 年岡山大 ) 直線 OA の方程式 : 同様に直線 OB の方程式 : 直線 OA と直線 と 直線 で囲まれた図形を直線 のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を 曲線 と直線 と直線 直線 で囲まれた図形を直線 まわりに 1 回転させてできる回転体の 体積を 直線 OBと直線 と直線 で囲まれた図形を直線 のまわりに 1 回転させてできる 回転体の体積を おくと 求める体積 VはV= 1 で求められる ( 余計に求めた体積の部分から いらない部分を引いている ) -5-
を斜軸回転体の体積公式 に当てはめて求める 直線 と 軸とのなす角 は であるから で とみる を求める とおくと を求める と同様に求められるから を求める とおくと これを斜軸回転体の体積公式に代入して これを公式に代入して 2 3 次に23 より を計算する 4 よって 45 を 1 に代入する 答 5-6-
問 4 点 を中心とする半径 1の円 Cを, 原点を通る直線 のまわりに 1 回転させてできる立体 の体積を とする が負の範囲で変わるときの の最大値を求めよ ( 年お茶の水女子大 ) パップス ギュルダンの定理 を使用することを考える 円の重心は中心 Gである 点 を中心とする半径 1の円 Cの 重心 Gは である また円の面積 SはS= である いま重心 G から直線 に垂線を下ろしその足を H とおく パップス ギュルダンの定理 より この式より はGH が最大になったとき最大値をとる そこで Gと原点 Oを結んで直角三角形 GHO を考え GOH= とおく が負の範囲で変わるときより となる また H より で が最大になるのは のときで となったときである よって のとき GHが最大値 をとりよって は最大値 ( 答 ) をとる 問 5 円 のなる部分を, 直線 を回転軸として 1 回転させるとき, 囲まれる立体の体積を求めよ ( 聖マリアンナ医大 ) 与えられた円を中心 半径 の円となるように平行移動して考えると 直線 は 軸に平行移動される よって回転軸が直線 から 軸になり, 軸回転の問題として考える そこでバウムクーヘン分割公式 を使用する バウムクーヘン分割公式の に 相当する関数を求める 円 ゆえに の 座標 のときの正の 座標を求めてそれを とおけばよい これより 求める体積を V とおく V を求めるには上半分だけ求めてそれを 2 倍すればよい また円 と 軸の正の部分の交点は である である -7-
1 ここで とおくと 両辺を で微分すると よって より であるから 倍角の公式より 半角の公式より と積和公式より より 答 問 6 とする 楕円 で囲まれた図形を直線 のまわりに 1 回転させてできる 立体の体積 V を求めよ ( 年茨城大 ) パップス ギュルダンの定理 を使用することを考える 楕円 の面積 Sを求める より -8-
は半径 の 円の面積のことであるから 楕円の重心は中心 Gである 重心 Gは である 重心 Gから直線 に垂線を下ろしその足を Hとおく パップス ギュルダンの定理 より ( 答 ) 問 7 楕円 と直線 とで囲まれる領域のうち右上の部分を, 直線 を軸に回転してできる立体の体積を求めよ ( 年九州大 ) 楕円 楕円の標準形では と直線 との交点の 座標を求める より ゆえに また, 直線 と 軸とのなす角 は である 楕円 Cの上半分の方程式は で, 下半分はの方程式は である 求める体積を Vとする 楕円 Cの と直線 と直線 で囲まれた図形を 直線 のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を 楕円 Cの と直線 と直線 で囲まれた図形を直線 のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を とおくと 1 で求まる を斜軸回転体の体積公式 を求める より これを斜軸回転体の体積公式に代入して に当てはめて求める とおいて -9-
ここで 次に 両辺を で微分すると 2 3 を求めるために とおく これより 34 を 2 に代入すると 5 4 を求める とおいて 6 ここで 7 次に を求めるために とおいて上と同様に計算すると -10-
78 を 6 に代入すると 9 8 これらより 59 を 1 に代入して 答 -11-