平行線と線分の比 1 4 平行線と線分の比 ポイント : 平行な直線がある つの三角形の線分の比について考える 証明 右の図で で とする (1) は と相似である これを証明しなさい と において から 平行線の ( ) は等しいから 9c = ( ) 1 = ( ) 1, より ( ) がそれぞれ等しいので 相似な図形になるので相似比を利用して () : の相似比を求めなさい 対応する線分の長さを求めることができる (3), の長さを求めなさい ポイント : 平行線のある三角形の線分の比の性質を, 相似な図形の性質と関連づけて理解する これからは次の図のように だったら, すぐに と気づくこと 1 1 1 1 3 3 3 3 ならば相似な図形より, 対応する線分の比は等しいので : = : = : 1: 1 = : = 3 : 3 が成り立つ
平行線と線分の比 ポイント : 三角形の線分の比の性質を用いて, 相似な図形の線分の長さを求めることができる 問 1. 下の図の で のとき 各問いに答えなさい まず, 相似な図形を確認する 次に, 相似比が分かる線分を探す (1), の長さ (), の長さ 9c 7c 9c 1 (3), の長さ (4), の長さ 9c 7c (5), の長さ (6), の長さ 9c c c c
平行線と線分の比 3 ポイント : 平行な直線がある つの三角形の線分の比について考える 証明 右の図で とする (1) は と相似である これを証明しなさい と において から 平行線の ( ) は等しいので = ( ) 1 = ( ) 1, より ( ) がそれぞれ等しいから () (1) の相似において, 点 に対応する点を求めなさい また, に対応する辺を求めなさい (3) = 15 c, = 1 c, = 6 c, = 8 cのとき : の相似比を求めなさい 相似な図形になるので相似比を利用して対応する線分の長さを (4), の長さを求めなさい 求めることができる ポイント : 平行線のある三角形の線分の比の性質を, 相似な図形の性質と関連づけて理解する これからは次の図のように だったら, すぐに と気づくこと 1 3 1 1 1 3 3 3 ならば相似な図形より, 対応する線分の比は等しいので : = : = : 1: 1 = : = 3 : 3 が成り立つ
平行線と線分の比 4 ポイント : 三角形の線分の比の性質を用いて, 相似な図形の線分の長さを求めることができる 問 3. 下の図で のとき 各問いに答えなさい (1), の長さ (), の長さ (3), の長さ 3c 7c 3c (4) の長さ (5), の長さ 3c c
平行線と線分の比 5 ポイント : 三角形の 1 辺に平行な直線で他の 辺を切り取るときの線分の比について考える 証明 右の図において R とするとき R を証明しなさい と R において 1 から 平行線の ( ) は等しいので ( ) = ( ) 1 1 R から R 平行線の ( ) は等しいので ( ) = ( ) 1 より ( ) 等しいので R 相似な図形の線分の比は等しいので, : =:R 相似な図形になるので相似比が等しくなる 同じ線分の長さを利用し横割りの比が等しくなる また四角形 R は平行四辺形なので, R = したがって, : = : ( 注意 ) と は, この相似な三角形の対応する辺ではないので上記の比の関係は成り立たない ポイント : 三角形の線分の比の性質を用いて, 相似な図形の線分の長さを求めることができる 問 4. 下の図で のとき 各問いに答えなさい (1), の長さ (), の長さ 7c 9c 3c 1 7c
平行線と線分の比 6 つの相似な三角形における線分の比の定理 ならば (1) : = : = c: n () : = : (3) : = : = c: n n l c l n c 問 5. 次の各図の長さを求めなさい (1) () (3) 4 3 8 6 6 c 8 3 6 10 c 問 6. 次の各図の, の長さを求めなさい ただし とする (1) () (3) 4 4 5 0 6 6 1 6 4 3 4. 1
平行線と線分の比 7 ポイント : 平行線にはさまれた線分の比を理解する ( 三角形が消えた 今までの進化形 ) 証明 l n のとき,: = : となることを証明しなさい l l n n つの直線を, 平行な直線で切り取るとき, 次の関係が成り立つ (l n) 1 : = : :c = :z :c = :z : = : = c:z ともいえる l n c z 問 7. 下の図で 直線,, c が平行のとき の値を求めなさい (1) () (3) 3c. c c c 5.
平行線と線分の比 8 問 8. 右の図で, E, F は平行である 線分 EF, の長さを求めなさい 1 E R F 問 9. 右の図で 直線,, c, d が平行のとき,, z の値を求めなさい 0c zc 30c 7c c d c
平行線と線分の比 9 ポイント : 三角形の角の二等分線と線分の比の関係を理解する E 問 10. 左の図において は における の二等分線である 点 を通り に平行な直線と の延長との交点を E とするとき E は二等辺三角形であることを証明しなさい 点 を通り に平行な直線と を延長した直線との交点を E とする E から 平行線の ( ) は等しいので = ( ) 1 また 平行線の ( ) は等しいので = ( ) 仮定より = ( ) 3 1,, 3より ( ) = ( ) E は ( ) ので 二等辺三角形といえる 問 11. 問 10 において : = : が成り立つことを証明しなさい E は二等辺三角形なので E = ( ) 1 E において E から :E = ( ) : ( ) 1, より : = ( ) : ( ) 角の二等分線の公式 で の二等分線と の交点を とするとき, : = : : = : ポイント : 三角形の角の二等分線の公式を利用して線分の長さを求めることができる 問 1. で の二等分線と の交点を とするとき, ( ア ) と ( イ ) において, の長さを求めなさい ( ア ) ( イ ) 1 1
平行線と線分の比 10 5 線分の比と平行線 ポイント :( 復習 ) 平行な直線がある つの三角形の線分の比の定理を理解する (1) ならば相似になるので : l = : () ならば相似になるので : = : ( 学習済みの内容 ) (1) () l ポイント : 上記の (1), () の仮定と結論を逆にした内容が正しくなることを理解する ポイント :( 復習 ) 平行を証明する手段を理解する 証明 平行な直線がある つの三角形の線分の比の定理の逆は正しい (3) :l = : ならば (4) : = : ならば ( 本日学習する内容 ) (3) (4) l 平行を証明する方法としては, 次の つの方法がある ( ア )( ) あるいは ( ) が等しいことをいう方法 ( イ ) ( ) になることを証明し その性質を利用する方法
平行線と線分の比 11 (3) : l = : ならば l ( ) と ( ) において 共通な角ので ( ) = ( ) 1 仮定より : l = : 比が等しい 1, より ( ) 等しいので ( ) ( ) 三角形の相似を証明 相似な図形の対応する角は等しいので ( ) = ( ) したがって ( ) が等しいことがいえたので 錯角 同位角が等しい 平行 (4) : = : ならば から に平行な直線をひき, 直線 との交点を R とすると, と ( R から平行線の ( ) において ) が等しいので ( ) = ( ) 1 ( ) = ( ) R 1, より ( ) 等しいので ( ) 三角形の相似を証明 相似な図形では, 対応する辺の比は等しいので : R = : ( ) 3 比が等しい 仮定より : = ( ) : ( ) 4 3, 4 より : = ( ) : ( ) したがって = R 平行四辺形になるための条件がいえる = R と R から, ( ) 平行四辺形といえる 四角形 R は平行四辺形となる 平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ平行なので 平行
平行線と線分の比 1 問 1. 右の図の線分 E, EF, F のうち, の辺に平行なものはどれですか 4. F E 3c 問. の台形 で,, の交点を O とするとき O, O の長さを求めなさい 9c O 問 3. 長方形 で, 辺, の中点を, それぞれ, とし, 対角線 と,, の交点をそれぞれ X,Y とします このとき, 点 X,Y は対角線 を 3 等分することを証明しなさい 四角形 は長方形なので, より 1 仮定より = 1, より ( ) なので X Y 四角形 は ( ) となる したがって, ( ) ( ) 3 Y において, 3 より X Y だから : = X:XY = ( ): ( ) 4 数字を入れて! X において,3 より Y X だから : = Y:XY = ( ) : ( ) 5 数字を入れて! 4, 5 より,X:XY:Y = 1:1:1 となるので, 点 X,Y は対角線 を 3 等分する
平行線と線分の比 13 問 4. 次の各図の長さを求めなさい ( ア ) ( イ ) c c c c c ( ウ ) ( エ ) c c c 7c c ( オ ) ( カ ) c 7c c 4. 3.c
平行線と線分の比 14 6 拡大図 縮図 ポイント : 相似な図形の性質を利用して, 拡大図や縮図を書くことができる 問 1. 点 O を中心として, を 倍に拡大した ' ' ' をまた, 点 を中心として, E F を 3 倍に拡大した 'E 'F ' を書きなさい O F E E < 書けたら理由を考えよう!!> () 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので < 数字が入ります > O O ' ' 対応する辺の比なので : ' ' = ( ): ( ) 1 () 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので < 数字が入ります > O ( ) 対応する辺の比なので ( ): ( )= ( ): ( ) (c) 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので < 数字が入ります > O ( ) 対応する辺の比なので ( ): ( )= ( ): ( ) 3 1,, 3 より ( ) ' ' '
平行線と線分の比 15 1 問. 四角形 を点 を中心として, 倍の縮図をかきなさい 四角形 E F G H を点 O を中心として, 倍の拡大図をかきなさい E H O F G 1 問 3. 点 Oを中心として, 図のおうぎ形 O のの縮図をかきなさい また, 倍の拡大図をかきなさい O
平行線と線分の比 16 問 4. ( ア ) = 9 5 = 3 ( イ ) 40 0 = = 7 7 ( ウ ) 4 16 = = 5 5 = 1 = 18 ( エ ) = 7 = 6 ( オ ) 1 = = 3 ( カ ) = 1 = 8
平行線と線分の比 17 角の二等分線の定理の別証明 Ⅰ & Ⅱ &Ⅲ E E E n F