/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 複素積分 : コーシーの積分公式 Ⅰ. 閉じた積分経路と円周 積分しなくても線積分の結果が分かる場合の第 弾です それは ( ( π d は正則関数 d! d 積分経路は を囲む (. になります これを コーシーの積分公式といいます 複素積分 : コーシーの積分定理 -Ⅰ. 線積分の実技での線積分では 半径 r の円 周上の閉じた経路 で d π (. r re θ 図 a re θ が得られました 更に で発散する場合 r θ r θ d π 円周上 (. r が成り立ちます これは 図 a のように とを違う場所に取る事 従って re θ に対応します 図 b のような任意の閉じた積分経路を用いても同じ積分値になり d π 一般の閉じた経路 (. です このとき 領域 D 内に が含まれているので は で発散し ( lm 微分不可能なので d になっています (. を証明するため コーシーの積分定理を使います この場合 被積分関数は微分可能 である必要があります そのため が積分可能になるような都合の良い領域を指定しな いといけません のみ微分不可能なので D 図 b 図 c D 指定する領域は を含まない領域 にします 線積分は円周上 (. と一般の経路 (. との関係なので 円周と一般の経路を繋ぐ新たな積分経路 x x
/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 を作ります それには 図 c のように x 軸に平行な直線で繋ぎます すると 積分経路は は (.5 と分解されます このとき 積分経路で囲まれた領域を D とすると 領域 D 内に が含まれていないので は微分可能で コーシー リーマ ンの積分定理により d (.6 となります 線積分 (. は (.6 を用いると計算結果が で 積分経路を (.5 に従って d d d d d (.7 と分解できます ここで 繋いだ直線上は 行きと帰りに通過するので そこから積分への寄与は になります 何故なら x 軸に平行な直線上の積分は通常の x 積分になり x d x dx x x d dx dx x x (.8 なので x x (.9 d d dx dx x x となり 寄与は なので d d (. がわかります 従って (.7 は d d d d d d (. です その結果 積分経路は図 d の つになり d d (. d 図 d 図 e になります また 図 e のように に対して逆向きの 経路 とすると 複素積分 : コーシーの積分定理 Ⅱ. コーシーの積分定理 :B. 行
/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 きと帰りの経路の (. の積分の性質より d d です つまり d d d (. になります これより 図 のように 同じ向きに回る積分経路では を中心にする円周上の線積分は (.: d π (. を含む一般の積分経路の線積分 : d d ( π ともに同じ積分結果を与える事が分かり ます 従って d π 一般の閉じた経路 (.5 になり (. が証明できました これは一般化することができて ( 正則関数 ( の線積分 : d 大きな積分経路 の中に 幾つかの色々な形の と同じ方向の小さな積分経路がある場合 (.6 になり それぞれ個別の積分経路に沿った線積分の和 d d d d (.7 になる事がわかります 図 g,h では つの積分経路を含む 積分経路は円周 の場合が示してあります 証明は を避けて行きと帰りに通過する 経路で結び ( 図 g コーシーの積分定理 を適用して 最後に円の積分経路の向き逆にすれば( 図 h 証明できます 図 g 図 h 図 この時 図 h の積分経路に於いて
/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 : : : d d π d (.8 に注意しましょう ( 問題 : 何故 積分経路 のみ線積分の値があるか? Ⅱ. コーシーの積分公式 ( 簡略編 まず 数学的厳密さを犠牲にしてコーシーの積分公式を導いてみます 使用する積分結果は (. の結果 : d π (.9 です まず でテーラー展開できる複素関数を 用いると ( ( ( ( d ( (.! d と展開できるので ( 積分と和の ( 順序が交換可能 テーラー展開 ( できる! d d! d! d π ( ( ( d ( (!! d d d (. です つまり ( d π ( π ( (. になり 最終的に ( ( d π (. をコーシーの積分公式という この方法では ( d なども計算でき
5/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 なので ( ( ( テーラー展開 積分と和の ( できる 順序が交換可能!! ( ( d! d d d ( ( d d d ( です つまり ( (! ( (! π d ( ( 5 ( 6 ( ( (! d d d 5! 6! ( ( (. d π (.5! ( ( ( (! ( d π より 従って (.6 ( (! d と計算できます π (,,, Ⅲ. コーシーの積分公式 ( 厳密編 さて 厳密にコーシーの積分公式を導くのに 以下の予備知識を用います : コーシーの積分定理 d π 一般の閉じた経路 ( は の近傍収束半径内でベキ級数に展開可能 ((.: テーラー展開できる 収束半径内で 発散しないで級数になるという事 ベキ級数は項別に積分可能 ((.: 積分と和の順序が交換可能 5 ベキ級数は正則 微分可能である ((.: テーラー展開できる 正則な関数 ( に対して の性質 : ベキ級数に展開可能より
6/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 (.7 a a a a a になります このとき なので ( ( ( ( ( a a a a a (.8 a (.9 です 両辺を で割ると a a a a (. を得ます そこで 図 a のように半時計回りの閉じた積分経路 をとり a (. d a a a d の線積分にします の性質 : 項別に積分可能より ( a d d a a a d (. に分けられます の性質 : コーシーの積分定理と 5 の性質 : ベキ級数は正則より 正則関数 a a ( a ( (. なので (. は a d d a a d a a a d d (. です 従って ( a d d (.5 が成り立ちます の性質を用いれば ( a d d a d π a なので (.6 a ( d π (.7 です (.9 より
7/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 d a π π (.8 と計算できます 以上から コーシーの積分公式 ( ( は正則関数 ( d π 積分経路 はを囲む が導けました ここで ( は正則関数で微分可能なので で微分でき d d ( d d d π π d になります ここで (.9 (. d d ( a ( a ( d a d a ( ( (. なので ( ( d d ( d π を得る 同様にして d π (. ( d d! ( ( d d d d π d π π d! ( ( d d d d π π π ( ( d! ( ( d d (. π がわかります つまり ( (! は正則関数 ( d π 積分経路は を囲む (. と計算できます もちろん の場合は コーシーの積分公式 (.9 に帰着します 次章では ローラン展開といって を新たな関数 g( x とみなし g( x に対してコーシーの積分公式 を導く方法を学びます つまり (.6 では
8/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 g!!! d d g d ( g( ( (! ( π π π なので 新たな関数 g( x に対して (.5 g ( (!! c c c c ( (!! ( c c c ( 5 6 ( ( (! 5! 6! c ( c ( ( (! になります つまり g ( (.6 ( ( c c (.7 (! です c の計算方法を導けば (. に対応した公式が得られます ここで (. より c は c ( ( (! (! d d! π π (.8 5 5 になり 更に (.7 より ( ( ( ( ( g ( ( c d d d (.9 5 π π π と計算できます 以上から ( ( π (.5 ( g g( c c d と展開できる事になります これを 位の極を持つ関数 g( x のローラン展開 と言います 一般化すれば テーラー展開を知らなくても g( x のローラン展開として g( ( g c c d (.5 π