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研究の動機 圧縮応力下の破壊現象 主要な亀裂の破壊に支配される引張応力下の破壊現象と異なり, 亀裂群の破壊パターンが多様 物理亀裂の進展条件 数理多様な破壊パターン 理論解析と数値解析 現状理論解析が主, 数値解析を従 将来 数値解析が主, 理論解析を従 数値解析を前提とした数理問題の設定が必要

背景 解析が困難な破壊現象 亀裂の三次元的進展 圧縮応力下での破壊 破壊問題を解くために FEM に導入される技巧 ジョイント要素 リメッシュ メッシュフリー ガラーキン法 変位の不連続の取り扱いが困難 変形する物体連続体モデル FEM 解析

個別要素法 粒状体の力学的挙動の解析に適している 粘土 / 砂 / 岩 粉体 破壊パターンの再現に強いとされている 変形する物体に対する剛体 バネモデル 破壊はバネの切断で表現 破壊 = バネの切断 変形する物体粒子モデル DEM 解析

背景のまとめ 現象 fracture 連続体との等価性は明らかでないが,DEM は破壊の問題を解ける 物理モデル continuum 数理モデル BVP 計算手法 FEM / FDM / BEM DEM block and mysterious spring 破壊現象の境界値問題はうまく解けない. 解が特異性を持つ 2. domain configuration が変化する 何故 DEM で破壊問題が解けるのか? DEM は変位場の離散化に特性関数を用いた FEM とみなすことが出来る

FEM-: 連続体の境界値問題に対する新解法 重なりのない不連続な形状関数 通常の FEM u FEM- u 2 u 2 u x 2 u 3 x 3 x x Ω 2 u x 2 3 Ω FEM Ω 3 x 3 u i (x) = u α ϕ α i (x) α 滑らかではあるが, 互いに重なり合う形状関数で変位場を離散化 特性関数で変位場を離散化

問題設定 線型弾性体の境界値問題 (c ui kl = u u k,l i ),i = 0 inb on B ポテンシャル エネルギー汎関数 J( u) = B 2 u i, j c kl u k, l ds 計算には少し工夫が必要. なぜなら, ひずみエネルギーを, 不連続かつ重なりのない形状関数で離散化された変位場を用いて評価. 境界で変位が不連続 2. 境界を除いてほとんどいたるところひずみが 0

平均ひずみの計算 x Δ 02 y 0 Δ 03 Delaunay 三角形上で平均ひずみを計算 変位場の離散化 (Voronoi 分割 ) x 2 x 3 Δ 023 Delaunay 三角形の凸包の変形で平均ひずみを評価

ばね定数の決め方 汎関数の離散化 平均ひずみを用いて平均ひずみエネルギーを計算 J = 2 [ ] T u [ k][ u] x [k] は通常の FEM の剛性マトリクスと一致 Ω 行列 [k] は剛体的に動くブロック間のバネを表す Ω 2 Ω 3 x 2 x 3

FEM との比較 : 重なりのない形状関数 u u u 2 u 2 u 3 u 3 FEM- 通常の FEM FEM- の形状関数は重なりをもたない通常の FEM の形状関数は互いに重なり合う

DEM との比較 : ばね定数の決めかた FEM- x Ω 4 DEM x Ω Ω x 2 Ω 2 Ω 3 x 3 x 2 Ω 2 Ω 3 FEM- のバネ定数は 3 つのブロックの相対変位に基づいて決められる. DEM のバネ定数は 2 つのブロックの相対変位で決められる. ( ひずみの退化が生じる )

FEM- と FEM/DEM との比較 ( まとめ ) 変形する物体 FEM FEM- DEM t n ε nn ( 0) ε ( tn 0) 三角形要素の変形 3 つのブロックの相対変位 ε tt = 0

整理 汎関数 J の離散化 剛体ブロック (Voronoi ブロック ) で領域を離散化 重なりのない形状関数で変位場を離散化. いたるところ不連続な変位場 2. ほとんどいたるところひずみが 0 Delaunay 三角形上で平均ひずみを計算 平均ひずみに基づき平均ひずみエネルギーを評価 積分可能性の問題 ブロック境界でデルタ関数が立つひずみ場 ひずみエネルギーはデルタ関数の 2 乗の積分 積分できない!

CONJUGATE DISCRETIZATION 共役な場に対する エネルギー汎関数 I( u, ) = B ε 2 c 第一変分 kl kl ds δi = B δu j,i + δ ( ε c kl kl ) ds 離散化 変位場は Voronoi 分割で 応力場は Delaunay 分割で u i (x) = u α ϕ α i (x) α ( x) = ψ (x)

計算計算 ( ) S,i j j, i 2, B,i j j, i 2 s ds (x) u (x) u ds (x) u (x) u (x) ε = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ψ α α α α α α α α α α γ α γ α γ α ϕ ϕ =, k i S,l kl S j, S 2 u u ds c ds Î = ψ ψ kl kl 2 B kl kl 2 c s (x)ds (x)c. 代入 2. の決定 3. u α の決定通常の FEM の剛性マトリクスと一致 ( ) α ε = kl kl 2 c s }) },{ ({ Î u ε = B kl kl 2 ds c ), ( I u ( ) ε = kl c s Î

まとめ FEM- の特徴 オーバーラップしない関数を用いた離散化によって, 破壊現象を表現することが容易 変形する物体に対し, 連続体モデルと等価なバネ-マス系モデルを提示 FEM- の定式化 双対汎関数双対の物理量に双対の離散化を施すと, 汎関数を最適化することができる 新しい物理数学の描像物理量を表す関数として, 連続な関数の代わりに, 数値解析に適した離散的な関数を用いることが可能.

境界値問題の一般的な解析理論 物理数学の楕円型境界値問題 cp, j) p = p (, i on B 共役汎関数と共役離散化 = 0 in B H( p, q) = qip,i qic q j ds Ω 2 関数 p を Voronoi ブロックの特性関数で離散化する場合, 関数の微係数を Voronoi ブロック以外の特性関数で離散化可能 共役な Delaunay 三角形の特性関数を使うと汎関数 H を最小化

FEM- の解釈 inadmissible functions space of displacement used by FEM- solution of failure problem: singular/discontinuous admissible functions FEM- の変位場はいたるところ不連続であるため, admissible でない. space of functions used by ordinary FEM: becomes larger as for finer discretization

DEM 的な破壊の表現 : ばねの切断 FEM- の剛性マトリクス [k [k [k 2 3 ] ] ] [k [k [k 2 22 32 ] ] ] [k [k [k 3 23 33 ] ] ] strain energy due to relative deformation of Ω and Ω 2 through Ω 3 for indirect interaction for direct interaction Ω x ( T k ] [k ]) [ ji = Ω 2 Ω 3 direct [k2] = [k2 ] + [k ] indirect 2 x 2 剛性マトリクスの成分から, 直接 間接ばねの寄与を正しく取り去る x 3

局所的な乱れの導入 Delaunay y x Ω not Delaunay y x Ω Ω 2 y 3 x 2 y 0 x 3 Ω 2 y 0 y 3 x 3 x 2 y 2 Ω 3 y 2 Ω 3 通常の FEM と等価 局所的乱れの導入 局所的乱れは破壊の核に.

数値解析例 : 破壊パターン 収束性 板の 軸引張

ひずみ場の乱れの程度 Delaunay 厳密解 Voronoi 中点 ε 0.065 0.062 0.060 0.057 0.054 0.05 0.049 0.046 0.043 0.040 0.038 0.035

変位ノルムの収束性 0.08 0.06 0.008 0.006 NDF=83 NDF=522 NDF=875 NDF=7248 η d 0.04 η d 0.004 0.02 0.002 0.00 0 5 0 4 NDF 0 3 0 2 displacement norm w.r.t. NDF (w/o interpolation in the post process) 0.000 0 0.05 0. displacement norm w.r.t. disturbance (with interpolation ξ in the post-process) displacement norm: η d = B u û B û 2 2 dv dv disturbance: ξ N a i i= = N i= a a FEM i FEM i

特異性のある問題における回転自由度の影響 K I - field 変位ノルム K I field corresponding to far-field uniform tension

変位ノルムの収束 0.0 without rotational DOF 0.08 0.06 with rotational DOF η d 0.04 0.02 0.00 0 5 0 4 0 3 0 2 NDF displacement norm w.r.t. NDF (w/o interpolation in the post process) 回転自由度を入れると, 同じ自由度で 40% 誤差が低減

エネルギー ノルムの収束性 η e 0.0 NDF=83 NDF=522 NDF=875 NDF=7248 0.05 ξ 0.00 0 energy norm 0.05 w.r.t. disturbance0. energy norm: η e = B 2 ( ε εˆ)c( ε εˆ)dv B 2 εˆcˆ εdv

亀裂開口変位 局所的回転 0.009-0.005 0.006-0.00-0.05 0.003 with rotational DOF without rotational DOF -0.020 0.000 -.0-0.5 0.0 r /2 のプロファイルに沿うように局所的回転が分配される -.0-0.5 0.0 局所的回転は亀裂端で発散 変位場の局所 Taylor 展開のうち, 局所的回転に対応する部分を新たな自由度として導入 並進と異なる挙動を示す自由度の導入により亀裂端の変位場を表現しやすくなる

問題提起 () 変形の問題 破壊の問題 x a PDF 均一体の解 u 2 (x a ) PDF 均一体の解 u 2 (x a ) u (x a ) u (x a ) 現象 均一体の挙動 現象 均一体の挙動 均一体の問題を高い離散化で精度良く解析することに意義がある 均一体の問題を高い離散化で精度良く解析することにはほとんど意味がない

圧縮応力下の破壊現象の解析のポイント 不均一性の影響 現象と均一体の挙動が乖離 ( 均一体の精度良い解析?) 局所的収束は必要なし ( 現象が局所収束しないから ) むしろ, 局所的乱れに応じて, 微妙に異なる破壊パターンを再現できる解析手法が適している Mesh 依存性 あって当然 離散化の度合い 高離散化 高精度は必ずしも成立しない 解析対象の不均一性の空間スケールに応じた離散化で十分 適度な離散化が存在するはず ( 大きいことは良いことだ とは限らない )

問題提起 (2) 変形 破壊現象に対する連続体モデルの妥当性 理論解析を前提とすると連続体モデルは適当 数値解析を前提とすると連続体モデルは不適当? - 理論解析を主, 数値解析を従とした数理体系は不適当 変形する物体に対する粒子モデル 正しく定義されたバネでつながれた剛体ブロックの集合でモデル化 連続体モデルで用いられるグローバルな材料定数に基づき, バネ定数が一意に決定される モデルの離散化により自然に導入される局所的乱れが破壊の核となる 局所的な回転の自由度により, 特異性を持つ場をうまく表現できる

まとめ FEM- の定式化 互いに重なり合わない形状関数の利用 Conjugate discretization による conjugate energy potential の数値的評価 破壊をうまく扱う仕組み ばねの切断による破壊の簡便な表現 離散化により自然に導入される局所的乱れ= 破壊の核 局所的回転自由度による特異な場の表現