縦と横を 2 回ずつたすと a+a++=2a+2 になるわよ 今日は 文字式の表す意味をよみとる問題について考えましょう 次の図のような, 縦の長さが a, 横の長さが の長方形があります このとき, 2( a + ) は, 何を表していますか 下のアからオの中から1つ選びなさい ア長方形の面積イ長方形の面積の2 倍ウ長方形の周の長さ a エ長方形の周の長さの2 倍オ長方形の対角線の長さ あっ そうか! 2a+2=2(a+) になるから 答えはウの 長方形の周の長さ だ! エの 長方形の周の長さの2 倍 はどうなるのかな 長方形の周の長さを2 倍するから 2(a+) 2=4(a+) になるわね そうですね ア~エまで 文字を使って表すことができました オの 長方形の対角線の長さ を求めるのは 3 年生で学習する 三平方の定理 を使います 面積 や 周の長さ などの具体的な事象を文字で表すことで 文字式が何を表しているのかをよみとることが大切です のワンポイントアドバイス 2( a + ) は何かの2 倍だから 答えはイかエかな 三角形の 3 つの辺には 面積や周の長さがどう表されるかも 2つの辺の長さの和は 残りの1つの辺の長さより大きい という関係があります 覚えておきましょう 考える必要があるんじゃない? この関係を使えば まず ア ~ オまでの中で 自分で文字を使って表せるものを見てみましょう 長方形の面積は分かるよ 長方形の面積 = 縦 横 だから a = a だよ ということは アは違うね イの 長方形の面積の 2 倍 も a の 2 倍だから a 2 = 2a になるので イも違うわね 長方形の対角線の長さ < 長方形の縦の長さと横の長さの和 (a+) となることが分かるので オの 長方形の対角線の長さ は答えでないことが 分かります a じゃあ エの 長方形の周の長さの 2 倍 が答えじゃないかな そうかしら? 長方形の周の長さがどう表されるかも考えてみましょうよ 長方形の図を使って考えてみましょう 出題 本問は 平成 19 年度全国学力 学習状況調査数学 A2(3) を参考にしました a は長方形の縦の長さ は横の長さ 学習指導要領の領域 = 数と式 を表しているよ 評価の観点 = 数学的な表現 処理 縦と横を 2 回ずつたせば 長方形 a 平 均 正 答 率 = 全国 ( 公立 ) 奈良県 ( 公立 ) 主な誤答例イと解答している 62.6% 66.3% 14.8% の周の長さになるわね
今日は 具体的な事象を式で表すことについて考えてみましょう あっそうか 縦の長さ 2 つと 横の長さ 2 つを合わせると ひもの長さになるんだ 長さ16cmのひもを使って いろいろな形の長方形を作ります 長方形の縦の長さを変えると 横の長さがどのように変わるかを調べます 1cm 7cm 2cm 6cm 長方形の縦の長さを cm 横の長さを y cmとするとき y を の式で表しなさい cm y cm あやさん ( 縦の長さ ) 2+( 横の長さ ) 2=( ひもの長さ ) になるわね 式で表すと 2+ y 2=16 1 です あやさん 問題には y を の式で表しなさい と書いてあるわよ 1の式の両辺を2でわると + y =8 です だから y を の式で表すと y =- +8 です 2 人ともよく考えました と y の2つの数量の変化や特徴をもとに その 関係を式で表すことが大切ですね のワンポイントアドバイス 表やグラフを用いて 2つの数量の変化や対応を調べることもできます 表 縦の長さ (cm) 1 2 3 4 5 6 7 横の長さ (cm) 7 6 5 4 3 2 1 この表から ( 縦の長さ )+( 横の長さ )=8 の関係があることが分かるので 式で表すと + y =8 です y を の式で表すと y =- +8 となります あやさんあやさん 長方形の縦の長さが増えると 横の長さは減るね わかったぞ ひもの長さは 16cm だから 長方形の縦の長さと横の長さを合 わせると 16cm になるよ だから式で表すと + y =16 です ちょっとまってよ 問題の最初にかいてある長方形は 縦が 1cm で横が 7cm だから 長方形の縦の長さと横の長さを合わせると 8cm にな るわよ ひもの長さと 長方形の縦と横の長さには どんな関係があるのかな 問題にかいてある 2 つめの長方形は 縦が 2cm で横が 6cm だから この 長方形も縦の長さと横の長さを合わせると 8cm だね 長方形の縦の辺と横の辺の数は それぞれいくつあるかを考えてみましょう 長方形は 縦の辺も横の辺もそれぞれ 2 つあります あやさん グラフ 表をもとに 横軸に縦の長さ ( cm) を 縦軸に横の長さ (y cm) をとると グラフは次のような直線になるので y は の1 次関数です グラフの変域にも注意しましょう も y も長さなので 負の数はとれません グラフの傾きは-1 y 軸上の切片は8 だから 求める式は y =- +8となります y ψ 10 5 Ο 5 10 出題 本問は 平成 22 年度全国学力 学習状況調査問題数学 A11(3) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数量関係 評価の観点 = 数学的な表現 処理 平均正答率 = 全国 ( 公立 )22.9% 奈良県 ( 公立 )25.7% 主な誤答例 y =- +8 4.3% 無解答 26.6% ξ
(2+7y)-2(-3y) を計算しましょう ( ) をはずせばい -2(-3y) のかっこいんだね をはずすのが むずかしそうだね 分配法則を使ってかっこをはずすのよね 分配法則は ( + )= + =2+7y-2+6y だよ そうですね それでは かっこははずせました 最後まで解いてみましょう あとは 同類項をまとめるだけだよ 2+7y-2+6y =2-2+7y+6y =+13y です ちょっと待って! 答えは 13y だよ あっ そうか! 2-2=0になるんだ!! 同じ文字式どうしのひき算は 0になるよね 答えは13yです そうです 答えは13y です それでは計算の結果を確認しましょう どうして 確認したらいいのかな? 与えられた式と計算したあとの式に 具体的な数を代入したらどうでしょうか ( + ) = + だったね 分配法則の意味についても理解しておこう 下の図のように考えられたね (2+5y) 2 5y 2 5y 3 = 3 + 3 3(2+5y) = 3 2+3 5y とういうことは (2+7y)-2(-3y) =2+7y-2-6y だね そうじゃないよ かっこをはずすとき 注意しないといけないことがあったよね そうか! かっこをはずすときは 符号に注意しないといけないんだ 符号 そうですね では 符号符号に注意して 丁寧に途中式を書きながら もう一度かっこをはずしてみましょう (2+7y)-2(-3y) =2+7y-2-2 (-3y) そうか! 与えられた式と計算したあとの式に 具体的な数を代入し 値を比較して計算結果が一緒になるか調べたらいいんだ たとえば =2 y=1を代入することにすると 与えられた式は (2+7y)-2(-3y)=(2 2+7 1)-2(2-3 1) =11+2 =13 そして 計算したあとの式は 13y=13 1 =13 同じ値になりました よくできました 今日学習した 分配法則を使った計算 や 同類項の整理 は 文字式の四則計算を正しく解いたり 連立二元一次方程式を解いたり 式を展開したりするときに必要になります 出題 本問は 平成 19 年度全国学力 学習状況調査 数学 A2(1) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数と式 評 価 の 観 点 = 数学的な表現 処理 平 均 正 答 率 = 全 国 ( 公立 )72.9% 奈良県 ( 公立 )74.4% 主な誤答例 -2(-3y) の計算を誤っていると考えられる解答 6.4%
今日は 連立方程式を解いてみましょう そうだった どちらかの文字を消去するんだったね どちらの文字を消去するのがいい のかな 1 の式は左辺が y だけの式になっているわよ わかったぞ! 2 の式の y を 3-1 におきかえればいいんだ 連立方程式 y =3-1 y の 2 つの文字があるよ 1 3 +2 y =16 2 1 の 3-1 を 2 の y に代入すると 3 +2 3-1=16 になります ちょっとまって y を 3-1 におきかえるから を解きなさい 文字がどちらか 1 つだけの式にすればいいわね 代入した式は 3 +2(3-1)=16 になるんじゃない? ほかに解き方はありますか 1の式の右辺にある3 を左辺に移項すると -3 + y =-1 3となりますね 3の式と2の式をたせば を消去することができます そうですね 次のような解き方になります 1の式の右辺にある3 を左辺に移項すると -3 +2 y =-1 3 3+2を計算すると -3 +2 y =-1 3 +) 3 +2 y =16 2 3 y =15 3 y =5 y =5を3に代入すると -3 +5=-1-3 =-6 =2 答 3 =2 y =5 どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ 左辺どうし 右辺どうしを加えたりひいたりして その文字を消去して解く方法を加減法といいます 問題によって解きやすい方法を選びましょう あっそうか 3-1 のような多項式を代入するときは ( ) をつけて代入するんだね そうですね 次のように考えましょう y =3-1 1 ( 両辺を 2 倍 ) 2 y =2(3-1) 1 2 3-1 全体を 2 倍するので ( ) をつける 連立方程式の解を グラフを使って求めることができます y =3-1 1 3 +2 y =16 2 のワンポイントアドバイス について 方程式 1 2 のグラフは右の図の直線です この 2 つの直線の交点の座標は (2,5) で 連立方程式の解になっています 2 のグラフ 1 のグラフ 3 +2(3-1)=16 のかっこをはずして整理すると 3 +6-2=16 3 +6 =16+2 9 =18 もうわかったよ 答えは =2です y の値はどうなるのかな 1の式に =2を代入すれば すぐに y の値がわかるわよ y =3 2-1を計算して y =5です =2 そのとおりです 連立方程式の解は のようにまとめてかきます y =5 このように 一方の式を他方の式に代入することによって 1つの文字を 消去して解く方法を代入法といいます 出題 本問は 平成 20 年度全国学力 学習状況調査問題数学 A 3( 4) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数と式 評価の観点 = 数学的な表現 処理 平均正答率 = 全国 ( 公立 ) 76.7% 奈良県 ( 公立 )79.2% 無解答率 10.7%
右のようになります y ψ 5 4 3 今日は 次の問題を考えましょう 5 4 3 2 1 Ο 1 2 3 4 5 6 ξ 1 2 2 1 3 3(3) 二元一次方程式 -y=1 の解である y の値の組について 下 のアからエの中から正しいものを 1 つ選びなさい ア解である y の値の組はない イ解である y の値の組は 1 つだけある ウ解である y の値の組は 2 つだけある エ解である y の値の組は無数にある yの値は整数だけじゃなくって 例えば =1.2 y=0.2も解になるわね yの値の組を 座標とする点をどんどん多くとってグラフをかくと 右のような直線になりそうね 4 5 ψ y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Ο 1 2 3 4 5 6 ξ 1 2 =2 y=1のとき成り立つので イだと思います そうかな 他にも yの値の組がありそうよ 3 4 5 =3 y=2のときも成り立ちます そうだね 他にもありそうだね? そうね =4 y=3のときも =5 y=4のときも成り立ちます あっ そうか からyを引いたとき 1になればいいんだ 表にまとめてみましょう -2-1 0 1 2 3 4 5 y -3-2 -1 0 1 2 3 4 そうだった 直線は点の集まりだから y の値の組は無数にあることになるね 直線上にあるすべての点が -y=1 の解なので y の値の組は無数にあ ります だから答えは エです よく考えました 二元一次方程式 -y=1 を y について解くと y=-1 となるので 上のグラフは 1 次関数のグラフになっており 傾き 1 y 切片が -1 の直線であることが分かります 二元一次方程式 -y=1 をグラフに表す ことで 解である y の値の組は無数にあることが分かりやすくなりましたね と y の値が負の数のときも考えられるんじゃないかな 上の表の y の値の組を座標とする点をとって グラフをかいてみましょう 出題 本文は 平成 20 年度全国学力 学習状況調査数学 A3(3) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数と式 評価の観点 = 数量 図形などについての知識 理解 平均正答率 = 全国 ( 公立 )58.0% 奈良県 ( 公立 )65.7% 主な誤答例イと解答している 21.3%
今日は 2 けたの自然数について予想されたことがらが成り立つ理 由を説明する方法を学習しましょう : いいことに気がついたね この問題は 21+12=33 11 3 35+53=88 11 8 47+74=121 11 11 自然数 82+28=110 11 10 11 =11 ( 自然数 ) 式を 11 ( 自然数 ) の形にすれば 11 の倍数であることが説明できます たくまさん : そうか!!11 の倍数であることを説明するには式の形が 11 と自然数の積 になることをいえばいいんだ あやさん : 式を 11 ( 自然数 ) の形にして 結論とその根拠を文字式を用いて表さないとい たくまさん : けないよ (10+y)+(10y+)=11+11y =11(+y) +y は自然数だから 11(+y) は 11 の倍数である 根拠結論 21+12=33 のように 2 けたの自然数と その数の十の位 の数と一の位の数を入れかえた数の和は 11 の倍数になるんだね どんな 2 けたの自然数でもそうなるのか? となればいいのかな あやさん : そうだね この問題は (10+y)+(10y+)=11+11y 11 11yが11の倍数で11の倍数の和は11の倍数だから 11+11yは11の倍数である たくまさん例えば2けたの自然数が54だと54+45=99になって 99は11 9だから11の倍数になるよ あやさんたくまさん : 本当だ! それでは (1) に当てはまる式はどうなるでしょう 82の十の位の数と一の位の数を入れかえた数は28だからたくまさん (1) には 82+28=110 とかけばいいね あやさんそうだね 82+28のままで和を求めていなかったり 和の110だけでは不十分になりますよ : そうですね では (2) を考えましょう たくまさん :(2) は説明を完成させる問題だね の中の=の後には 11+11y とかけばいいのかな あやさん : それだけだと文字式の計算をしただけで説明したことになるのかしら? としてもいいね : 二人ともよくできましたね 文字式の計算をするだけでなく どうして 11(+y) や11+11yが11の倍数を表しているのかを だから と根拠をあげて説明しないといけないね 次の問題にもチャレンジしてみよう 2けたの自然数と その数の十の位と一の位を入れかえた数の差はどんな数になるかを考え その予想が正しいことを説明してみよう 出題 本問は, 平成 20 年度全国学力 学習状況調査数学 B2(1)(2) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数と式 評価の観点 = 数学的な見方や考え方 平均正答率 =(1) 全国 ( 公立 )76.9% 奈良県 ( 公立 )76.2% (2) 全国 ( 公立 ) 44.6% 奈良県 ( 公立 ) 38.6% 主な誤答例 (1)82+28のみを解答しているもの 7.9% (2) 無解答 26.8%
今日は 一次関数の表から と y の関係を式に表すことについて考えてみましょう 下の表は ある一次関数について の値と y の値の関係を示したものです y を の式で表しなさい ある人が時速 3km で 一本道を東から西へ歩いています 一本道には A 地点とB 地点があ り B 地点はA 地点から西へ 5km のところにあります その人が B 地点を通過してから 時 間後に A 地点から西の方向に y km の位置にいるとします 時速 3km 東 A 5km B 西 y km y -2-1 0 1 2-1 2 5 8 11 まさきくん : たとえば 表の =1 のとき y=8 は ある人が B 地点を通過して 1 時間後に A 地点より西の方向に 8km の位置にいた ということだね はるかさん : 表の =-2 のとき y=-1 は ある人が B 地点を通過する 2 時間前に A 地点 まさきくん 一次関数の表の特徴は何だったかな? の値が 1 ずつ増えると y の値が 3 ずつ増えるよ はるかさん より東の方向に 1km の位置にいた ことを表しているのね : その通りです ある人は 1 時間ごとに ( の値が1 ずつ増える ) 西へ 3km ずつ移動している ( y の値が3 ずつ増える ) ことになります 次に ある人の A 地点からの位置 を言葉の式で表しましょう : 一次関数の表の特徴は の値が 1 ずつ増えるとき y の値が一定の値だけ増えたり 減 はるかさん : 言葉の式で表すと 下のようになるね ったりすることだったね それでは 一次関数はどのような式で表されますか はるかさん : 一次関数は y が の 1 次式で表されます A 地点からの = 時速 3km 位置 ある人が B 地点を通過してからの時間 + A 地点から B 地点までの距離 まさきくん : それじゃ の値が 1 ずつ増えると y の値が 3 ずつ増えるから 答えは y=3 だ はるかさん : そうかしら y=3 の式だと 確かに の値が 1 ずつ増えると y の値が 3 ずつ増えるけ まさきくん : A 地点からの位置 は y 時速 3km は 3 ある人が B 地点を通過してからの時間 は A 地点から B 地点までの距離 は 5 だから 言葉の式にあてはめると y=3+5 れど 表を見ると の値が 0 のとき y の値が 5 になっているわよ まさきくん : 本当だ y=3 の式だと の値が 0 のとき y の値は 0 になってしまうね になるよ のワンポイントアドバイス :1 次式は 1 次の項と数の項の和で表されるので 一次関数を表す式は次のようになり ます a を定数としたとき 一次関数は次のように表される y = a + 1 次の項数の項 一次関数の表と式の関係は次のようにまとめられます 具体的な例を通して 一次関数の特徴を理解しましょう y = a + の値が 1 ずつ増えると きの y の増減の値 =0 のときの y の値 まさきくん : そうか の値が 0 のとき y の値が 5 になっているから の値は 5 だね はるかさん :y=3+5 が答えになります : そうですね それでは 具体的な例を通して 一次関数の特徴を見てみましょう 出題 本問は 平成 20 年度全国学力 学習状況調査数学 A12(2) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数量関係 平均正答率 = 全国 ( 公立 ) 36.6% 奈良県 ( 公立 ) 37.1% 主な誤答例 正答 3+5 以外の一次関数の式 a+ を解答している 3 と解答している
今日は 1 次関数について学習しましょう ゆいさん : 分かったわ 1 次関数の式は,y=a+ と表すことができて 変化の割 合は a の値に一致するはずだわ だから a の値は -3 です としさん : 変化の割合が -3 だから の増加量が 1 のとき y の増加量は -3 という ことになるんだよ だから問題の表は下のようになるね 1 2-3 ゆいさん : いろいろな方法で求めることができそうね としさんの考えゆいさんの考え 変化の割合が -3 変化の割合が -3 としさん でも ウの式に =1 y=-2 を代入 したら等式は成り立たないよ -2=-2 1-5 =-7 ゆいさん : そうだね この表からは,=1 のとき,y=-2 になることしか分からない ね 表以外から他に分かることはないかな? としさん : 変化の割合が -3 である とかいてあるよ 変化の割合とは何だったか な 答はウだと思うよ それは 表を見ると y の値が -2 と -5 とかいてあるからだよ この表だけでは 式は分からないよ だって y=-5 のときの の値が分からないんだから : 変化の割合とは の増加量に対する y の増加量の割合のことです y の増加量 1 次関数では変化の割合は一定ですね 変化の割合 = の増加量 の増加量が 1 のとき y の増加量は -3 y=a+ の a=-3 1 1 y=-3+ に =1 0 1 2 y=-2 を代入する y 1-2 -5 切片 -3-3 =1 1 次関数 y=a+ の変化の割合 a a=-3 =1 y=-3+1 y=-3+1 : そうですね 1 次関数の式は y=-3+1 です 答はオです 1 次関数の式を求めるためには, 求める 1 次関数を y=a+ として a と の値を求めればよいのです a は変化の割合 この 1 次関数のグラフの傾きを表し は =0 のときの y の値と等しく この 1 次関数のグラフの y 軸上の切片といいます 表 =0 のときの y の値 式 定数項 切片 -1 0 1 y=-3+1 1 y 2 1-2 グラフ -3-3 -3 変化の割合 の係数傾き 出題 本問は, 平成 21 年度全国学力 学習状況調査問題 学習指導要領の領域 = 数量関係 評価の観点 = 数量 図形などについての知識 理解 平均正答率 = 全国 ( 公立 )52.3% 奈良県 ( 公立 )54.9% 数学 A11(3) を参考にしました
今日は 1 次関数の式とグラフについて学習しましょう ウ エ オのグラフの違いは何かな? あやさんあやさんまさきさんまさきさん グラフがy 軸と交わっているところが違います グラフとy 軸との交点のy 座標を このグラフのy 軸上の切片切片というんだ 切片 ね この問題の式は y=-3+2だから切片は 2 です グラフとy 軸との交点は (0,2) ということだから y=-3+2のグラフはエです そうですね y=-3+2のグラフはエです では 今日学習したことをまとめておきましょう y= a +のグラフ 切片 y= a + 傾き y グラフ y アだと思います 右上がりの直線になるのかな 0 0 a >0のとき a <0のとき グラフは右上がりグラフは右下がり二人ともよくできたね 式とグラフを関連付けて理解することが大切です まさきさん あやさん 1 次関数 y=-3+2 の式で -3 と 2 は何を表しているのかな? あやさん あやさん まさきさん -3 は傾きを表しています 傾きは の増加量増加量が 1 のときの yの増加量増加量を表していますしています そうか! 傾きが -3 ということは の増加量が 1 のときの y の増加量は -3 だよ だから が 1 増えると y は 3 減るんだ ということは y=-3+2 のグラフは右下がりの直線になるから ウ エ オの中のどれかになります 出題 本問は 平成 19 年度全国学力 学習状況調査数学 A11(2) を参考にしました 学習指導要領の領域 = 数量関係 評価の観点 = 数量 図形などについての知識 理解 平均正答率 = 全国 ( 公立 )59.7% 奈良県 ( 公立 )59.5% 主な誤答例アと解答している 12.7%