ニュートン重力理論.pptx

3 ニュートン重力理論 1. ニュートン重力理論の基本 : 慣性系とガリレイ変換不変性 2. ニュートン重力理論の定式化 3. 等価原理 4. 流体力学方程式とその基礎

3.1 ニュートン重力理論の基本 u ニュートンの第一法則 = 力がかからなければ 等速直線運動を続ける u 等速直線運動に見える系を 慣性系 と呼ぶ ² 直線とはどんな空間の直線か? ニュートン理論では 3 次元ユークリッド空間 ( 平坦空間 ) の直線 つまり 力がかからなければ 物体は空間の最短距離を進む とも言える ² 等速とはどのような時間で測った速度か? 絶対時間当たりに進んだ距離 式で書くと 慣性系で運動方程式は 2 2 2 dx dy dz = 0, = 0, = 0 x, y, z は 直交座標 2 2 2 dt dt dt

v 慣性系は無数にある 慣性系の特徴 まず慣性系を 1 つ選ぶ それが (x, y, z) で表されるとする すると以下の変換で移ったものも全て慣性系 : 1. 並進 : x =x d 2. 回転 : x =cosθ x sinθ y, y =sinθ x + cosθ y 3. 他の等速運動系 : x =x v t ただし 時間はどの慣性系で見ても一緒 絶対時間 t =t

ガリレイ変換 x x' = x v t y y' = y v t z z' = z v t t ' = t 等速運動する系から 別の等速運動する系 への座標変換 v ニュートン理論では 当時の実験事実 を鑑み 全ての慣性系で同じ物理法則が成り立つ ことを原理として要求する ü 言い換えれば ニュートン理論はガリレイ変換に対して不変 特定の慣性系は存在しない

m d 2 x dt 2 3.2 万有引力の法則の定式化 = F = GMm r 2 r r = m Φ; m r Φ x Φ( x )= GM r 連続体の場合 ( ) = d 3 x' Gρ ( x ') x x ' (r = x x I ) ΔΦ = 4πGρ M 密度 m 重力ポテンシャル ポアソン方程式 注 : デルタ関数 Δ # " 1 x x ' $ (3) = 4πδ & % x x ' ( ) ρ

ポアソン方程式はガリレイ変換不変 x' = x v x t y' = y v y t z' = z v z t この変換に対して Δ = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 2 x' 2 + 2 y' 2 + 2 z' 2 が成り立つから 理論の整合性が満たされている 注 : 重力ポテンシャルはスカラーだから 座標系に依存しない量

例 : 球状の静的な星の基本方程式 P(r Δr / 2)4π (r Δr / 2) 2 P(r + Δr / 2)4π (r + Δr / 2) 2 = GM (r) r 2 Δr 0 : dp dr 4πr2 Δr = dp dr 4πr 2 Δrρ(r) GM (r) r 2 = GM (r) r 2 ΔΦ = 4πGρ 1 r 2 ρ(r) M (r) = 4π ρ(r)r 2 dr P = ρ Φ 4πr 2 Δrρ(r) d ' dφ* ) dr ( r2, = 4πGρ dr + P(r+Δr/2) P(r-Δr/2) GM (r) 4πr 2 Δrρ(r) r 2 一般の場合に成り立つ式

3.3 等価原理 : 慣性質量と重力質量 m d 2 x dt = m Φ " EOM 運動方程式 2 左辺と右辺の質量は 本来意味が異なる 左辺は慣性質量 加速のし難さを表す量 右辺は重力質量 重力場に対する反応を表す量 一般には d 2 x m I dt = m Φ 2 g m I d 2 x dt 2 しかし 実験事実は m I = m g = q E = q φ 静電場中の EOM 電磁気学を思い起こせば m I m g でよいはず 不思議と思うべき

エトベスの実験 棒 重力 遠心力 異なる 2 物質 A と B 遠心力は慣性質量に比例 重力は重力質量に比例 捩れ具合を 測って調べる 全ての物体で 慣性質量 / 重力質量 の比が等しければ 棒は捩れない

捩れ方向のつりあい m I A a A = m g A g, 具体的数式 m I B a B = m g B g 捩れ度 η 2 a A a B a A + a = 2 m A / m A g I m B B g / m I B m A g / m A I + m B B g / m I 現在の最も正確な実験結果 η 2 10 13 Wagner et al. (2012) 重力質量と慣性質量は高精度で等しい # ちなみにエトベスの最初の実験結果は 10-7 程度

地球と月は同じように落ちるか? Lunar laser ranging test 強い等価原理 の検証実験 月も地球も太陽の周りを回っている ( 遠心力 = 重力 ) 太陽重力との反応の仕方が月と地球で異なったら 月の地球周りの軌道が変化する

簡単のため 地球も月も太陽の重力のみで軌道が決まっているとする 力の釣り合い : 遠心力 = 重力 m I v 2 r = GM m g v 2 = GM r 2 r m g m I 公転軌道速度は 重力質量と慣性質量の比による # 遠心力は 運動方程式を回転系で書いたときに 現れる慣性力 ( コリオリ力も同じ )

例えば 月の方が太陽重力に敏感に反応したら 月は太陽方向にシフトするであろう 円軌道が楕円軌道に変化する 実際は地球に引き付けられるからもっと複雑だが いずれにせよ軌道は変化するはず

Lunar laser ranging 反射板の位置 ( アポロなど で設置 ) McDonald Obs. 距離精度 : 数 cm の範囲で 月の軌道は不変 ; 加速度 にして 1.5 10-13 の精度 月面の 反射板

実験結果から得られた結論 v 慣性質量と重力質量は 何故だか分からない がおそらく等しい v 自己重力が重要な役割を果たす天体の場合ですら 同様に成り立つ 等しいという事実を原理として採用する v 一般相対論ではこれを等価原理と呼び 理論の骨幹とする ( これは後述 )

3.4 流体力学方程式とその基礎 多くの星は流体力学で記述される 完全流体を仮定して良い場合が多い ( 粘性は考える必要がない場合が多い ) 以下では完全流体を仮定する

流体力学の基本方程式 0. オイラー微分とラグランジュ微分 オイラー微分 : ある固定点での時間微分 ( ) Q( t, x ) Q t = lim Q t + Δt, x Δt 0 Δt ラグランジュ微分 : 流体と一緒に動く系で見た時間微分 ( ) Q( t, x ) dq dt = lim Q t + Δt, x + vδt Δt 0 Δt d v dt = v t + ( v ) v 時間 t = Q t + ( v )Q Q( t + Δt, x ) Q( t + Δt, x + vδt ) Q( t, x ) x

流体力学の基本方程式 1 1. 連続の式 ( 質量保存則 ): P M = P = V V P: 圧力 v ρ dv ρ v dv n P d dt ρ dv = ρ v n ds V S ρ t dv = ( ρ v )dv V V 任意の領域に対して成立するので ρ t + ρ v ( ) = 0 dv ρ t + dv ( ρ v ) = 0 d dt M = ρ は密度, v は速度 dv ρ = 0 連続の式 質量保存

流体力学の基本方程式 2 2. オイラーの式 ( 運動方程式 ): d dt P dv = " P n ds ρ ΦdV V S d P dv = d ρ v dv = ρ d v ここで dt V dt V dt dv V ' = ρ v ) t + ( v ) v * -,dv / Note : d ρdv V ( +. dt ' ρ v ) t + ( v ) v *,dv = P dv ρ ΦdV ( + V V V V ラグランジュ微分 ( ) = 0 0 2 1 任意の領域に対して成立するので ρ v t + ρ ( v ) v = P ρ Φ オイラーの式

流体力学の基本方程式 3 3. エネルギー方程式 ( エネルギー保存則 ): 熱力学第一法則 ( ラグランジュ微分で書かれている ) " dε = Pd 1 % $ ' ρ dε # ρ & dt = P dρ ρ dt = P v ρ ε t + ρ v ( )ε = P v e ε + v2 2 オイラー方程式を用いる ρ e t + ρ v ( )e + P v ( ) = ρ v Φ ε は単位質量当たりの内部エネルギー ( ) ρe t. ( ) v + / ρe + P 0 1 = ρ v Φ

d dt ( ρe) dv + dv % ( ρe + P) v ' t & ( = dv ρ v Φ dv ρe + 0 = dvρ d x dt Φ これは非自明 d dt U +T ( ) = d dt W de dt エネルギー保存則 エネルギー方程式を体積積分すると導出される : = 0, E =U +T +W U = dv ρε, T = dv 1 2 ρv2, W = dv 1 2 ρφ 内部エネルギー運動エネルギー エネルギー保存則 重力ポテンシャルエネルギー

ビリアル定理 オイラーの式に x をかけて体積積分する : dvρ x d v x d v dt = x d 2 x dt 2 dt = dv x P dv & ) = d dt ( ' x d x dt dvρ x d v dt = 1 d 2 2 dt 2 / dv x P 1 = Here, 0 21 dvρ x Φ =W 1 2 d 2 dt 2 + v 2 = 1 * 2 ρ x Φ d 2 x 2 dt 2 v 2 ρ x 2 dv 2 ρv 2 dv ρ x 2 dv = 2T + 3Π +W dvp x = 3 P dv 3Π これは非自明 定常な系なら 左辺はゼロ

ΔΦ = 4πGρ Φ x 非自明部分の説明 ( ) = G ρ ( y ) d 3 y x y d 3 xρ x Φ = G d 3 x d 3 y ρ ( x)ρ y = 1 2 G d 3 x d 3 y ρ ( x)ρ y = 1 2 G d 3 xρ ( x) ( ) ( ) ( ) x ( x y ) d 3 y ρ y x y = 1 2 d 3 xρ d x dt Φ = G d 3 x d 3 y ρ ( x)ρ y = 1 2 G d 3 x d 3 y ρ ( x)ρ y = 1 2 G d 3 x d 3 y ρ ( x)ρ y = 1 2 G d dt ( ) d ( x y ) ( ) d dt d 3 x d 3 y ρ ( x)ρ ( y) dt 1 x y x y x y = 1 3 2 original + x y x y x y 3 d 3 xρ ( x)φ x ( ) d x 1 x y = dw dt ( ) =W x y dt x y 3 x y x y 3 ( ( )) ( ) Here, d d 3 xρ x dt " # $ = 0

定常な星に成り立つ関係 1 d 2 ρ x 2 dv = 2T + 3Π +W = 0 2 dt 2 E =U +T +W =U 3Π T Assume ideal fluid: P = ( Γ 1)ρε Π = 3 P dv = 3 ( Γ 1)U E = ( 4 3Γ)U T 常温で単原子理想気体なら Γ=5/3 2 原子分子なら Γ=7/5 U > 0, T 0 if T = 0, E 0 only for Γ 4 3 束縛系と存在できるのは 限られた状態方程式のときのみ 自然界では Γ 4/3 となる場合が数多くあり 不安定現象が起こるゆえに 現象が多様になる

星の安定性 : 簡単のため球対称を仮定 dv dt = 1 P ρ r Φ r = 1 P ρ r M (r) = 4π r 0 ρ ( r' )r' 2 dr' GM (r) r 2 : v dr dt ideal fluid + adiabatic: P = ( Γ 1)ρε & dε = Pdρ 1 P = Kρ Γ : Γ = adiabatic constant 次元解析 M ~ ρr 3 GM / r 2 ~ GM 1/3 ρ 2/3 ( P / r) / ρ ~ Kρ Γ 1 / R ~ KM 1/3 ρ Γ 2/3 dv dt ~ KM 1/3 ρ Γ 2/3 GM 1/3 ρ 2/3 Γ > 4/3 の場合安定 ln F KM 1/3 ρ Γ 2/3 (Γ > 4 / 3) 平衡状態 GM 1/3 ρ 2/3 KM 1/3 ρ Γ 2/3 (Γ < 4 / 3) ln ρ

Γ=4/3 の星の特徴 dv dt = 1 P ρ r Φ r = 1 P ρ r GM (r) r 2 = 0 ( ~ KM 1/3 ρ Γ 2/3 ) (~ GM 1/3 ρ 2/3 ) = 0 For Γ = 4 3 [~KM 1/3 (~ GM 1/3 )]ρ 2/3 = 0 M ~ & ( ' K G ) + * 3/2 正確には & M = ( 2.7477K ' G ) + * 3/2 質量が決まってしまう (K の値で決まる ) 最も重要な重力の性質の 1 つ