Microsoft PowerPoint - FrontISTRの梁要素／シェル要素( ).pptx

Transcription

1 FrontISTRの梁要素 シェル要素の解説 東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 橋本 学 06年月日 第5回 FrontISTR研究会 事例 サービスの紹介 FrontISTRの構造要素 (シェル要素 梁要素)の解説

2 FrontISTR に実装されている定式化を十分に理解し, 解きたい問題に対してソースコードを自由にカスタマイズ ( 要素タイプを追加, 材料の種類を追加, ユーザサブルーチンを追加 ) できるようになること を最終目標とします 今回は,FrontISTR に実装されている構造要素 (Bernoulli- Euler 梁要素 /MITC シェル要素 ) を解説しますまた, シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析メッシュを使用する場合の計算方法について解説します

3 FrontISTR のメッシュファイル ヘッダー節点の番号 I と節点の座標値 ( I, y I, z I ) 要素の番号 e と要素内の節点同士のつながり ( コネクティビティ ) 梁要素 :TYPE=6 シェル要素 :TYPE=74 TYPE=74 節点グループ 境界条件や集中荷重 ( 外力 ) を与える 梁要素 : TYPE=BEAM シェル要素 : TYPE=SHELL セクションデータ材料データセクションの設定によって要素グループに材料データが与えられる ファイルの終わり

4 要素種類 要素タイプ番号 節点数 節点自由度数 説明 線要素 節点リンク要素 節点リンク要素 三角形 次要素 平面要素 6 三角形 次要素 4 4 四角形 次要素 4 8 四角形 次要素 (Serendipity 族 ) 0 節点トラス要素 4 4 四面体 次要素 4 0 四面体 次要素 ソリッド要素 5 6 プリズム 次要素 5 5 プリズム 次要素 6 8 六面体 次要素 6 0 六面体 次要素 (Serendipity 族 ) インターフェース要素 54 4 四角形面 次要素 54 8 四角形面 次要素 梁要素 6* 6 節点梁要素 (Bernoulli-Euler 梁 ) 64** 節点梁要素 (Bernoulli-Euler 梁 ) 7* 6 三角形 次要素 (MITCシェル) 76** 三角形 次要素 (MITCシェル) シェル要素 74* 4 6 四角形 次要素 (MITC4シェル) 78** 4 四角形 次要素 (MITC4シェル) 四角形 次要素 (MITC9シェル) ( 注意 ) 解析メッシュにソリッド要素, 梁要素, シェル要素が混在する場合, 節点自由度数を に揃えるため,* ではなく ** の要素タイプ番号を使用してください 4

5 梁要素 6 6 要素形状 次元ソリッド要素 要素形状 シェル要素 7 要素形状 5

6 静解析 荷重増分解析不要!SOLUTION,TYPE=STATIC 荷重増分解析要!SOLUTION,TYPE=NLSTATIC 微小変形理論 ( 線形弾性体のみ ) 微小変形理論 材料定義において INIFINITE を追記例 :!ELASTIC, INFINITE 有限変形理論 構造解析 動解析 直接時間積分!SOLUTION,TYPE=DYNAMIC!DYNAMIC 下の id_resp を に設定 固有値解析!SOLUTION,TYPE=EIGEN 微小変形理論 ( 線形弾性体のみ )!DYNAMIC,TYPE=LINEAR 有限変形理論!DYNAMIC,TYPE=NONLINEAR 周波数応答解析!SOLUTION,TYPE=DYNAMIC!DYNAMIC 下の id_resp を に設定 熱伝導解析!SOLUTION,TYPE=HEAT 定常解析!HEAT の下に記述無または 0.0 と記述 非定常解析 6

7 微小変形理論 ( 微小変位 ) 有限変形理論 ( 有限変位 ) 微小ひずみ 微小ひずみ 大ひずみ 線形弾性体弾塑性体粘弾性体クリープ材線形弾性体弾塑性体粘弾性体クリープ材弾塑性体 超弾性体粘弾性体クリープ材!ELASTIC!ELASTICと!PLASTIC!ELASTICと!VISCOELASTIC!ELASTICと!CREEP!ELASTIC!ELASTICと!PLASTIC!ELASTICと!VISCOELASTIC!ELASTICと!CREEP!HYPERELASTIC 青字はFrontISTRで解析可能な材料 有限変形理論大ひずみ E ( u ) ( u ) ( u ) ( u ) t 0S f ( t 0E, t 0E t 0E,...) ひずみ変位こう配の 次項がある応力ひずみの 次以上の項がある t 0 t 0 t T 0 t 0 t T 0 7

8 t N u t b 時刻 [s] 次元 ( 次元 :N = ) 有界領域 [m N ] 境界 [m N- ] 物質点の位置ベクトル [m] ナブラ [/m] 変位 [m] トラクション [Pa] 単位質量当たりの体積力 [N/kg] 密度 [kg/m ] n 外向き単位法線ベクトル [-] 時刻 t の物理量 E ( u ) ( u ) ( u ) ( u ) t 0 t 0 t T 0 t 0 t T 0 基準となる時刻が時刻 0 の意味 a, b a, b A, B, ab ab= ab AB= : AB ij ij i i スカラー ベクトル 階のテンソル 8

9 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例 9

10 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例 0

11 (a) 時刻 t = 0 に梁の中立軸に垂直な直線は梁が変形する間も直線であるが, 変形した中立軸に垂直である ( せん断変形は考慮されない ) Bernoulli-Euler の仮定 (b) 梁の断面は変形しない微小ひずみの仮定 t = 0 M M

12 eˆ e ˆ ref e e eˆ u u u () () y () z () () y () z ref () ˆ ˆ ê 並進自由度と回転自由度 ˆ () eˆ eˆ eˆ e z u u u z e y () () y () z () () y () z e y 中立軸方向の一様引張 一様圧縮 ˆ 方向変位 : ˆ の 次式を仮定 曲げ ˆ 方向変位 : ˆ の 次式を仮定 ˆ uˆ ˆ 方向回転 : ˆ ˆ 方向変位 : ˆ の 次式を仮定 微小変形を仮定 ˆ uˆ ˆ 方向回転 : ˆ ねじり ˆ 方向回転 : ˆ の 次式を仮定 Bernoulli-Euler 梁要素 鷲津久一郎, 宮本博, 山田嘉昭, 山本善之, 川井忠彦共編, '' 有限要素法ハンドブック I 基礎編 '' (98), p.8-0.

13 eˆ e ˆ ref e e eˆ u u u () () y () z () () y () z ref () ˆ ˆ ê 並進自由度と回転自由度 () eˆ eˆ eˆ e z Bernoulli-Euler 梁要素 ˆ u u u z e y () () y () z () () y () z e y 変位ベクトル u u ˆ ˆ iei uiei e eˆ u( eˆ e ) u T u i i j j ij j 局所座標成分 局所座標成分 uˆ ˆ ˆ ˆ ee eey e ez u uˆ eˆ e eˆ e eˆ e u y z y uˆ ˆ ˆ ˆ y z u e e e e e e z e T ˆ eˆ ˆ ˆ e eey ee z ˆ eˆ e eˆ e eˆ e y z y ˆ ˆ ˆ ˆ y z e e e e e e z e T 応力テンソル e e ˆ eˆ eˆ ij i j ij i j e e i j i k kl l j ik kl Tjl eˆ eˆ ( eˆ e ) ( e eˆ ) T 全体座標成分 全体座標成分 鷲津久一郎, 宮本博, 山田嘉昭, 山本善之, 川井忠彦共編, '' 有限要素法ハンドブック I 基礎編 '' (98), p.8-0.

14 節点 Bernoulli-Euler 梁要素 (/4) 局所座標系 Kˆ uˆ fˆ e e e Kˆ e EA EA l l EI 6EI EI 6EI l l l l EI 6EI EI 6EI l l l l GJ GJ l l 6EI 4EI 6EI EI l l l l 6EI 4EI 6EI EI l l l l EA EA l l EI 6EI EI 6EI l l l l EI 6EI EI 6EI l l l l GJ GJ l l 6EI EI 6EI 4EI l l l l 6EI EI 6EI 4EI l l l l E l I, I J : Young 率 : 梁の長さ : 断面 次モーメント : ねじり定数 uˆ e uˆ uˆ ˆ u ˆ ˆ ˆ uˆ uˆ uˆ ˆ ˆ ˆ () () () () () () () () () () () () 4

15 節点 Bernoulli-Euler 梁要素 (4/4) e T e e T O O O T O O O T O O O e e e O T O O ˆ O T O O O T O O ˆ e K e u e f O O T O O O T O O O T O e e e O O O T O O O T O O O T e K e e e f e T e 全体座標系の要素剛性マトリックス K を作成後, e K を全体剛性マトリックスに加える u e u u u u u u () () y () z () () y () z () () y () z () () y () z 5

16 (a) 時刻 t = 0 にシェルの中立面に垂直な直線はシェルが変形する間も直線であるが, 変形した中立面に垂直である必要はない ( せん断変形は考慮される ) Reissner-Mindlin 板の仮定 (b) シェルのディレクタは変形しない微小ひずみの仮定 t = 0 M M 6

17 FrontISTR では微小変形を仮定した MITC シェル要素が実装されている e e () V () V e () V (4) V (4) V 4 (4) V g g g () V () V MITC4 シェル要素 () V e e e () V () V () V () V () V () V e e e () V () V g g g (8) V (8) V 8 () V (4) V (4) V 4 (8) V (4) V (5) V (5) V 5 (5) V (5) V () V () V 6 () V () V () V (6) (5) (6) V V V 9 (6) V (5) V (7) V (7) V 7 (7) V MITC9 シェル要素 () V () V () V () V g g g () V () V MITC シェル要素 () V Bathe, K.J., Finite Element Procedures, Prentice Hall, (995). 7

18 (a) Isoparametric degenerated shell element (b) The covariant components measured in the convected system are used as the Green-Lagrange strain components. (c) The transverse shear strain components are evaluated using the values interpolated at sampling points. Bathe, K.J., Finite Element Procedures, Prentice Hall, (995). 8

19 Dvorkin, E.N. and Bathe, K.J., A Continuum Mechanics Based Four-node Shell Element for General Non-linear Analysis, Engineering Computations, Vol., pp.77-88, (984). e z z e y () V () V e y a : 厚さ (α) (α) (α) V, V, V : 節点での単位直交ベクトル (α) V () V : ディレクタベクトル g, g =, g : 共変基底ベクトル 0 V g 0 g 0 (α) (4) V (4) V 4 (4) V g g g () V () V () V () V () V () V 0 u 位置ベクトル a V 4 ( ) ( ) ( ) N (, ) 変位ベクトル 4 ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) ( u V V ) ( 微小変形を仮定 ) 4 ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) u N (, ) u ( V V ) 4 ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) u ( V ) u u e u e u e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V ( ) ( ) ( ) ( ) y y z z Fig. MITC4 shell element 節点あたり 5 自由度 9

20 ( ) dv ( ) dv * DI DI V V : dv ds dv V u t S u b t V Dvorkin, E.N. and Bathe, K.J., A Continuum Mechanics Based Four-node Shell Element for General Non-linear Analysis, Engineering Computations, Vol., pp.77-88, (984). C : ij 0 0 gi g 0 i 0 ij j g g j Tensorial components ( ) ( ) ( ) ( ) AS AS AS, A,C AS AS AS, D, B ( ) ( ) A ( ) ( ) C ( ) ( ) D ( ) ( ) B 4 C 4 g g D g g B A 0

21 Dvorkin, E.N. and Bathe, K.J., A Continuum Mechanics Based Four-node Shell Element for General Non-linear Analysis, Engineering Computations, Vol., pp.77-88, (984). * 0 より, 仮想仕事の原理 : dv ut ds ub dv V S V t AS DI DI ( ) (0,, 0) ( ) (0,, 0) AS DI DI ( ) (, 0, 0) ( ) (, 0, 0) Mied Interpolation of Tensorial Components 4 C 4 g g D g g B A

22 Dvorkin, E.N. and Bathe, K.J., A Continuum Mechanics Based Four-node Shell Element for General Non-linear Analysis, Engineering Computations, Vol., pp.77-88, (984). せん断ひずみ成分 4 4 C 4 g g g g D g g B A

23 Lee, P.S. and Bathe, K.J., Development of MITC Isotropic Triangular Shell Finite Elements, Computers & Structures, Vol.8, pp , (004). e z z e y a : 厚さ (α) (α) (α) V, V, V : 節点での単位直交ベクトル (α) V V e y () V () V : ディレクタベクトル : 共変基底ベクトル 0 g g 0 (α) 0 () V () V () V g = g g, g, g g () V () V () V () V 0 u 位置ベクトル a V ( ) ( ) ( ) N (, ) 変位ベクトル ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) ( u V V ) ( 微小変形を仮定 ) ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) u N (, ) u ( V V ) ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) u ( V ) u u e u e u e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V ( ) ( ) ( ) ( ) y y z z Fig. MITC4 shell element 節点あたり 5 自由度

24 Lee, P.S. and Bathe, K.J., Development of MITC Isotropic Triangular Shell Finite Elements, Computers & Structures, Vol.8, pp , (004). せん断ひずみ成分 4 B C g g A 4

25 Bucalem, M.L. and Bathe, K.J., Higher-order MITC general shell element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.6, pp , (99). e z g z e y e y () V () V g g a : 厚さ (α) (α) (α) V, V, V : 節点での単位直交ベクトル (α) V V (8) V (8) V 8 () V : ディレクタベクトル : 共変基底ベクトル 0 g g 0 (α) 0 (4) V (4) V 4 (8) V 5 (4) V (5) V (5) V (5) V (5) V () V () V 6 () V () V () V (6) (5) (6) V V V 9 (6) V (5) V g, g, g = (7) V (7) V 7 (7) V () V 0 u 位置ベクトル a V 9 ( ) ( ) ( ) N (, ) 変位ベクトル 9 ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) ( u V V ) ( 微小変形を仮定 ) 9 ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) u N (, ) u ( V V ) 9 ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) u ( V ) u u e u e u e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V ( ) ( ) ( ) ( ) y y z z Fig. MITC4 shell element 節点あたり 5 自由度 5

26 Bucalem, M.L. and Bathe, K.J., Higher-order MITC general shell element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.6, pp , (99). せん断ひずみ成分 g g g g g g

27 弾性テンソル成分の変換 () V () V () V g, g =, g e,e,e ˆ ˆ ˆ (4) V (4) V ê 4 ê (4) V ê g g g () () V V : 共変基底ベクトル : 単位直交ベクトル g g eˆ eˆ =, e ˆ =, eˆ eˆ eˆ g g ˆ e () V () V (α) (α) (α) V, V, V : 節点での単位直交ベクトル eˆ e V eˆ, V, V =V V (α) (α) (α) (α) (α) eˆ e () V () V 各節点において 弾性テンソル C C g g g g ijkl i j k l ˆ ijkl C eˆ eˆ eˆ eˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ C ˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ C C C C C Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ i j k l ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k C ijkl 0 i 0 j 0 k 0 l E k E : Young 率 : Poisson 比 k : せん断補正係数 ( C : g g ): g g Cˆ eˆ g eˆ g eˆ g eˆ g mnop 0 0 i 0 0 j 0 0 k 0 0 l ( m )( n )( o )( p ) 7

28 () 5 自由度として計算する場合 ( ディレクタ回りの回転自由度を計算しない場合 ) () 6 自由度として計算する場合 ( ディレクタ回りの回転自由度を drilling DOF として計算する場合 ) (A) 隣接要素の節点で同じディレクタベクトルを使用する場合 (B) 隣接要素の節点で別のディレクタベクトルを使用する場合 FrontISTR では,() と (B) の定式化を使用しています 8

29 シェル要素の節点あたりの自由度数を 6 として, 六つ目の自由度 (drilling DOF と呼ばれる三つ目の回転自由度 ) を考慮 (Hughes and Brezzi 989) n ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) u N (, ) u ( V V ) n ( ) ( ) a ( ) 0 ( ) N (, ) u ( V ) u u e u e u e e e e ( ) ( ) ( ) ( ) y y z z ( ) ( ) ( ) ( ) y y z z drilling DOF を考慮した場合のエネルギー ** DI DI : dv ( ) ( ) V ut ds S ub dv dv dv t V V V 0 0 V : : dv V e V e ( / ) 0 u( 0 u) T e eijk ei ej ek Hughes, T.J.R. and Brezzi, F., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.7, pp.05-, (989). Nguyen-Van, Hieu and Mai-Duy, Nam and Tran-Cong, Thanh, CMES: Computer Modeling in Engineering and Sciences, Vol.49, No., pp.8-0, (009). 9

30 ** 0 より, 仮想仕事の原理 V 0 0 : dv V : V : dv V e e ut ds ub S t V dv ( / ) AS DI DI ( ) (0,, 0) ( ) (0,, 0) AS DI DI ( ) (, 0, 0) ( ) (, 0, 0) 0

31 (A) 隣接要素の節点で同じディレクタベクトルを使用する場合 (B) 隣接要素の節点で別のディレクタベクトルを使用する場合 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V

32 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例

33 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例

34 シェル要素とソリッド要素の計算結果の比較 奥田洋司, 早田浩平, 橋本学, 上島豊, クラウド CAE システムを用いた効率的な有限要素モデリング, 日本計算工学会第 8 回計算工学講演会, 0. より 薄膜構造の円筒 集中荷重 mn 半径 00mm 高さ 00mm 集中荷重 mn Pinched cylinder model (Bucalem and Bathe 99) メッシュの規模による計算精度の違い Bucalem, M.L. and Bathe, K.J., International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.6, pp , (99). 4

35 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例 4

36 要素混在問題における BCSR 形式での格納 ( ) u ( ) uy ( ) uz DOFs at each node Stiffness matri (sparse matri) K K K N K K K N K K N K N K NN N :Numberoforiginal and dummy nodes u u u () V () V () ( ) ( ) y ( ) z () V (4) V (4) V (4) ( ) ( ) y ( ) z (4) V g g g Dummy node DOFs at each node () V () V () () V () V () V () u u u () V () V () V () ( ) ( ) y ( ) z ( ) ( ) y ( ) z () V () V () V drilling DOF [7][8] 6 DOFs at each node g g g () V () () V () V () () V ( ) u ( ) uy ( ) uz ( ) ( ) 5 DOFs at each node Fig. BCSR format for solid and shell elements. Hughes, T.J.R. and Brezzi, F., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.7, pp.05-, 989. Nguyen-Van, Hieu and Mai-Duy, Nam and Tran-Cong, Thanh, CMES: Computer Modeling in Engineering and Sciences, Vol.49, No., pp.8-0,

37 FrontISTR の既存の要素データの利用 (/) 梁要素 6 6 節点あたりの自由度 次元ソリッド要素 : シェル要素 :6 梁要素 :6 次元ソリッド要素 ソリッド要素と梁要素 / シェル要素を混在させる場合, 節点あたり 自由度のデータ構造に統一して, 剛性マトリックスを作成し, 線形ソルバーに渡すようにする シェル要素 7 梁要素のデータ構造が節点あたり 自由度を持つように, 四面体要素 4 のデータ構造を利用した要素タイプ 64 を導入する 44

38 FrontISTR の既存の要素データの利用 (/) 梁要素 6 6 節点あたりの自由度 次元ソリッド要素 : シェル要素 :6 梁要素 :6 次元ソリッド要素 ソリッド要素と梁要素 / シェル要素を混在させる場合, 節点あたり 自由度のデータ構造に統一して, 剛性マトリックスを作成し, 線形ソルバーに渡すようにする シェル要素 7 MITC4 シェル要素のデータ構造が節点あたり 自由度を持つように, 六面体要素 6 のデータ構造を利用した要素タイプ 76 を導入する 45

39 要素タイプ 64 () FrontISTR のメッシュファイルでは, 節点座標を二つ用意する ( メッシュを表示する際に都合が良いためであるが, 計算には使用しないので () と (4) の節点座標はどのような値でも良い ) (4) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () 計算したい梁要素 6 () () () () 入力データとして用意するのは四面体要素 4 のデータ構造 46

40 要素タイプ 64 () 47 FrontISTR のプログラム内では,() と (4) の節点変位は梁の回転自由度となる () () () () () () u u u () () () () () () u u u () () 計算したい梁要素 6 () () () u u u () () () (4) () () () u u u () () () () () () FrontISTR のプログラム内では四面体要素 4 のデータ構造

41 要素タイプ 64 () FrontISTR のプログラム内では, 梁要素の剛性マトリックス成分をテーブルに従って変更する 剛性マトリックス ( 梁要素 6) テーブル K K K K K K K K K= K K K K K K K K,,,,,,,,,,,,,,,, FrontISTRのプログラム内で計算する剛性マトリックス K, K, K, K, K, K, K, K, K= K, K, K, K, K, K, K, K, 例えば, K K 4,8 7, u u u u u u () () () () () () () () () () () () u u u u u u () () () () () () () () () () () ()

42 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例 49

43 目次.FrontISTR における Bernoulli-Euler 梁要素 /MITC シェル要素を用いた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例. シェル要素 / 梁要素とソリッド要素を混ぜた解析 理論 現バージョンのプログラム 解析事例 50

44 梁の曲げ解析 ( 解析モデル ) y H O L T,min M T,ma Young s modulus: E = 00,000 MPa Poisson s ratio: ν = 0 Geometry: L = 00 mm, H = 0 mm T,ma = 60 MPa = -60 MPa T,min 5

45 梁の曲げ解析 ( メッシュ ) Case A : 梁 次要素 Case B : ソリッド 次要素 ( 非適合要素 ) Case C : 梁 次要素とソリッド 次要素の混合

46 梁の曲げ解析 ( 梁 次要素とソリッド 次要素の混合 ) y 梁の中立軸と 軸を一致させる z 中立軸上の節点 5の変位を ( u, uy, u z), 回転自由度を (, y, z) とすると, 同じ断面上にある節点 05,05,05,405,505,605,705,805の変位 ( u, u, u) を以下の式によって拘束する ( ただし, 微小変形を仮定 ) y z u u y z z y u y uy z u z uz y 5

47 梁の曲げ解析 ( 梁 次要素とソリッド 次要素の混合 ) u u 05 5 u u u u u u u u u u u u u u H z H H H H z z z z H z 54

48 梁の曲げ解析 ( 計算結果 :Case A と Case B).5E-0.5E-0.0E-0 Eact.0E-0 Eact.5E-0 Case A.5E-0 Case B.0E-0.0E-0 u y [mm].5e-0 u y [mm].5e-0.0e-0.0e-0 5.0E-0 5.0E-0 0.0E E+00.0E+0 4.0E+0 6.0E+0 8.0E+0.0E+0 [mm] 0.0E E+00.0E+0 4.0E+0 6.0E+0 8.0E+0.0E+0 [mm] Displacement [mm] Case B の変形形状 変形の拡大率 00 55

49 梁の曲げ解析 ( 計算結果 :Case C).5E-0.0E-0.5E-0 Eact Case C.0E-0 u y [mm].5e-0.0e-0 5.0E-0 0.0E E+00.0E+0 4.0E+0 6.0E+0 8.0E+0.0E+0 [mm] Displacement [mm] Case C の変形形状 変形の拡大率 00 56