: =, >, < π dθ = dφ = K = 1/R 2 rdr + udu = 0 dr 2 + du 2 = dr 2 + r2 1 R 2 r 2 dr2 = 1 r 2 /R 2 = 1 1 Kr 2 (4.3) u iu,r ir K = 1/R 2 r R
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- きみつぐ うみのなか
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1 K WMAP > 100Mpc : v = ȧ(t) = Ha [ ] dr 2. : ds 2 = c 2 dt 2 a(t) kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) a(t) H k = +1 k *1) k = 0 k = 1 dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 [dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ] (4.1) 3 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 (x,y,z,u) R r 2 +u 2 = R 2 u 2 r 2 = R 2 dl 2 = du 2 + dr 2 + r 2 [dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ] (4.2)
![dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 [dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ] (4.](/docs-images/51/20150059/images/page_1.jpg "1) 3 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 (x,y,z,u) R r 2 +u 2 = R 2 u 2 r 2 = R 2 dl 2 = du 2 + dr 2 + r 2")
2 : =, >, < π dθ = dφ = K = 1/R 2 rdr + udu = 0 dr 2 + du 2 = dr 2 + r2 1 R 2 r 2 dr2 = 1 r 2 /R 2 = 1 1 Kr 2 (4.3) u iu,r ir K = 1/R 2 r Rr, a(t) a(t)r O,P,Q P(Q) O r 1, r 2 V 1, V 2 4.2: V 1 = v(r 1 ), V 2 = v(r 2 ) (4.4) P Q r 1 r 2 V 1 V 2 V 1 V 2 = v(r 1 r 2 ) v(r 1 ) v(r 2 ) = v(r 1 r 2 ) (4.5) v(r) r V i = H i j r j v = Hr (t = t 0 ) H 0 1/H 0
3 4 3 (r,θ,φ) (Comoving coordinate) a(t) H 0 = H(t = ) = 100h km/sec/mpc, H0 1 = /h Gyr 132 h 0.74 ± 0.03, 1Mpc = 100 1pc = 3.26 D = c H (4.7) ( 30Mpc) Ia (z 1, or 2000Mpc) : ( ) ( )
4 : ) SNIa Si Ia 4.5: H 0 = 72km/sec/Mpc (ASTROPHYS.J. 553(2001)47-72
5 dη(t) = dt a(t), l(r) = Z r 0 dr 1 kr 2 η (conformal time) ds 2 = 0 (4.8) η(t 0 ) η(t) = l(r) (4.9) r = r t t + δt r = 0 t 0 t 0 + δt 0 (4.9) δη(t 0 ) = δη(t) δt 0 a(t 0 ) = δt a(t) (4.10) λ ν δt 1/ν νa(t) = ν 0 a(t 0 ) ν 0 a 0 (4.11) ν = λ 0 ν 0 λ = 1 + z = a 0 (4.12) a(t) (peculiar velocity) (λ 0 > λ) (1+z) ( ) 4.3 µ T µν = 0 (4.13) R µν 1 2 Rg µν Λg µν = 8πG c 3 T µν (4.14) 3 H 2 = 8π Gρ kc2 + Λc2 3c 2 a 2 3 (4.15) d(ρv ) + PdV = 0 (4.16) ä a = 4πG 3c 2 (ρ + 3P) + Λc2 3 (4.17) H=ȧ/a G ρ = ρ M + ρ r Λ (4.15) (4.15)(4.17) (4.16) 3 ( )
6 4 6 (4.17) (4.15) (4.16) ρ Λ Λc4 8πG (4.18) ρ = ρ m + ρ r + ρ Λ (4.19) (P = ρ Λ ) Λ (4.17) 4.1. (P = ρ Λ ) P R v = HR P R M = (4π/3)ρ m R (HR)2 4π 3 Gρ mr 3 R = E (4.20) E > 0 E < 0 R a r R = ar 4.6: R H 2 = 8π 3 Gρ m + 2E/r2 a 2 (4.21) ρ c 3H2 8πG *2) 2E/r 2 = k (4.17) E = 0(k = 0) ρ ρ c ( ) *3) (4.22) * 2) * 3)
7 h 2 g/cm 3 ρ c = = h 2 GeV /cm 3 = h 2 M Mpc 3 M = (4.23) 1 Ω = ρ/ρ c (4.17) Ω m + Ω r + Ω Λ = 1 Ω k, Ω k k H 2 a 2 (4.24) q = 1 ( P ) Ω m Ω Λ q 2 ρ ä/ȧ ȧ/a = ä ah 2 (4.25) q (4.24) k = ±1,0 ±1/R 2 *4) k = a 2 0H 2 0 (1 Ω m0 Ω r0 Ω Λ ) (4.26) r Rr a 0 = 1 k 1/R 2 K = k R 2 = H2 0 (1 Ω m0 Ω r0 Ω Λ ) (4.28) t = t 0 H 0, ρ m0, ρ r0, q 0 (K) ( Λ) q 0 < 0, Ω 0 (Ω m + Ω r ) 0 = 0.26, Ω Λ = 0.74 Ω O(1) R 1/H Ω k = k/r 2 H 2 0 R WMAP CMB ( 4.7 ) * 4) [ R R = 6 R + Ṙ2 R 2 + k ] R 2 (4.27) R = 6 R
8 第4講 宇宙の幾何学 8 図 4.7: (a) 空間幾何学を決めるには ３角形の内角の和が 180 であることを言う ガウスはドイツの３ つの山で３角測量をした 現代の３角測量は D として晴れ上がり当時の (音波) 地平線 ( 40 万光年) Ｌとして晴れ上がりまでの距離 137 億光年を使う 宇宙距離の正確な定義については後述 D は温度 ゆらぎのフーリエ解析より求める 現代の方法は 長さ D の基線とそこまでの距離が判っている宇宙サイズの物体の視角を測定し ユー クリッド幾何学の示す公式 θ D/2 tan = (4.29) 2 L に従うかどうかを見る 晴れ上がりまでは 宇宙は電子と陽子とフォトンによるプラズマ状態であり 音波が生じている 音速 p V = dp/dρ = c/ 3 で与えられる D として晴れ上がり時の音波の到達最大距離 (音波の地平線) を使 い L として晴れ上がり時から現在の地球まで光が走った距離 すなわち宇宙年齢 (-40 万年) に光速を 掛けた距離を採用する (図 4.7 右) ただし 膨張による補正を入れる必要がある (晴れ上がり時の赤方遷 移 z=1100 分だけ小さくなる) 晴れ上がりは時刻 tdc 40 万年であるから D = V yr 従って視 角はおおよそ D c/ yr θ (4.30) L c yr/1100 程度となる 音波は粗密波であり エネルギー密度のゆらぎは温度のゆらぎとなる したがって D の 大きさは 背景輻射温度ゆらぎをフーリエ分解して得られる最大波長の 1/2 として得られる これは TV の箱のサイズがチャネル間のノイズのフーリエ成分の最大波長の 1/2 で与えられるのと同じ理屈であ る (図 4.8) ただし 宇宙マイクロ波は 平面から放射されるのではなく 球面上の全天から来るので フーリエ展開の代わりに調和関数展開を使う 2003 年に WMAP による背景輻射 (CMBR) の温度ゆらぎの精密な解析結果が得られた 温度ゆらぎの強 度は調和関数で展開して与えられ 調和関数の次数 l の関数として与えられる (図 4.9 左) 調和関数で展 開した場合 角度スケール θ と調和関数の次数 ℓ とは π/ℓ の関係がある l 200 θ に最 大波長に対応する山があり 平坦宇宙の予想と一致した 図 4.9 右は 歴史的に WMAP に先行した気球 観測によるブーメラン実験の結果を示したもので 宇宙の幾何学構造の違いによる温度ゆらぎ予想値と 実際の温度ゆらぎを比較し 平坦宇宙を結論づけている
9 第4講 宇宙の幾何学 9 図 4.8: 音波地平線の 2 倍を 2D として 音波は λ = 2D, 2D/2, 2D/3 の波長を持つ ノイズ分布をフー リエ解析すれば波長分布が判る TV のノイズ分布より TV 画面サイズが判る 図 4.9: 左) 宇宙マイクロ波強度の調和関数分解 波長に対応するのが 見込み角 θ π/ℓ である 最初 の頂上の位置は平坦宇宙の予想と一致した 右図は ゆらぎの分布をより視覚的に表したブーメランの 測定 歴史的にはこちらが先行した
10 4 10 ( ) I ν dν = 4π hν3 dν e hν/kt 1 (4.31) ( 4.10) n = (θ,φ) T (n) T (n) = T 0 [1 + β n + T 0 = 1 Z 4π l l=2 m= l a l,m Y l,m (θ,φ)] T (θ,φ)sinθdθdφ = ± 0.001K (4.32a) (4.32b) ( β) *5) Anisotropy) φ δt T 0 (n) = T (n) T 0 T 0 (4.33) < a l,m a l,m >= δ ll δ mm < a l 2 > (4.34) < > n 1 n 2 cosθ = n 1 n 2 ( ) C(θ) = 1 T (n 1 ) T (n 2 ) 2 δt 2 = (n 1 ) δt (n 2 ) (4.35) T 0 T 0 T 0 (4.32)(4.34) C(θ) = 1 4π l=0 (2l + 1)C l P l (cosθ), C l = a l 2 (4.36) P l 1 cosθ 1 l C l C l 180 /l + 1 T 1 = T 0 β = ± K v = cβ = ± 19km (4.37a) (4.37b) ( 4.10 ) (l 2) (δt ) 2 = (4.38) T * 5) β << 1 ν ν = ν(1 + β) ν ν T T (1 + β) n β n T T (1 + β n)
11 : µK (v 30km/s) (v 220km/s) (v 80km/s) v = 630km ± 20km/s = c Proof4.1: S V E = ρ V V F x E = ρ V xs ( ) P P = F S = E x = ρ V (4.39) ( ) ( )
12 : ( ) ( ) : a y b x 5
13 (ȧ ) 2 H 2 = = 8πG a 3 ρ k a 2 (4.40) ( ) ρ c = 3H0 2/8πG, Ω Λ = k/a 2 0 H2 0 ( ) 1 da 2 ( a0 ) ( a0 ) ( ) ] 2 a 2 +U(a) = Ω k, U(a) = [ Ω m0 + Ω r0 + ΩΛ (4.41) dt a a a 0 a 2 0 H2 0 dτ = H 0 dt, x = a/a 0 1 ( ) dx 2 +U(x) = Ω k, U(x) = Ω m0 dτ x Ω r0 x 2 Ω Λx 2, Ω k = 1 Ω m0 Ω r0 Ω Λ (4.42) a/a 0 a (Ω Λ < 0) a a = 0 ( 4.12 ) 4.12: Ω Λ < 0 Ω Λ 0 ( ) (Ω Λ = 0) a U 0 k > 0 1:1 (Ω Λ > 0) a 0, a = a s U = U s ( 4.12 ) Ω k > U s
14 4 14 k 0 Ω k > U s ȧ > 0 a > a s 4.13: (E-L ) Ω k < U s U = 1 Ω m Ω Λ Ω Λ λ 1 > λ 2 a = (Ω Λ > λ 1 ) a = 0 (Ω Λ < λ 2 ) Ω k = U s (a) a = 0 a a s a s (b) a = a s (c) a = a s (c) a a s a a s a = 1 Ω Λ = Ω r0 + Ω m0 /2 Ω k = 0 Ω r0 = 0 a s = (Ω m0 /2Ω Λ ) 1/3 a t 2/3 1 a s = 1 + z s = ( t0 t s ) 2/3, t s = t 0 Ωm0 2Ω Λ = 57.4 z s = 0.79 (4.43)
( ) Note WMAP > 100Mpc [ ] dr ds 2 = c 2 dt 2 a(t) kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1) a(t)
![( ) Note WMAP > 100Mpc [ ] dr ds 2 = c 2 dt 2 a(t) kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1) a(t)](/thumbs/103/157490836.jpg "( ) Note WMAP > 100Mpc [ ] dr ds 2 = c 2 dt 2 a(t) kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1) a(t)")
( ) Note 7 19 12 6 7 7.1 1922 1929 1947 WMAP 2003 1. > 100Mpc 2. 10 5 3. 1. [ ] dr ds 2 c 2 dt 2 a(t) 2 2 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1) a(t) (r, θ, φ) * 1) a(t) 2. v H 0 dz v dz H 0 H(0){ H(t)
1 180m g 10m/s 2 2 6 1 3 v 0 (t=0) z max t max t z = z max 1 2 g(t t max) 2 (6) 1.3 2 3 3 r = (x, y, z) e x, e y, e z r = xe x + ye y + ze z. (7) v =
1. 2. 3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. I http://risu.lowtem.hokudai.ac.jp/ hidekazu/class.html 1 1.1 1 a = g, (1) v = g t + v 0, (2) z = 1 2 g t2 + v 0 t + z 0. (3) 1.2 v-t. z-t. z 1 z 0 = dz = v, t1 dv v(t), v
24.15章.微分方程式
m d y dt = F m d y = mg dt V y = dy dt d y dt = d dy dt dt = dv y dt dv y dt = g dv y dt = g dt dt dv y = g dt V y ( t) = gt + C V y ( ) = V y ( ) = C = V y t ( ) = gt V y ( t) = dy dt = gt dy = g t dt
0.,,., m Euclid m m. 2.., M., M R 2 ψ. ψ,, R 2 M.,, (x 1 (),, x m ()) R m. 2 M, R f. M (x 1,, x m ), f (x 1,, x m ) f(x 1,, x m ). f ( ). x i : M R.,,
2012 10 13 1,,,.,,.,.,,. 2?.,,. 1,, 1. (θ, φ), θ, φ (0, π),, (0, 2π). 1 0.,,., m Euclid m m. 2.., M., M R 2 ψ. ψ,, R 2 M.,, (x 1 (),, x m ()) R m. 2 M, R f. M (x 1,, x m ), f (x 1,, x m ) f(x 1,, x m ).
7 9 7..................................... 9 7................................ 3 7.3...................................... 3 A A. ω ν = ω/π E = hω. E
B 8.9.4, : : MIT I,II A.P. E.F.,, 993 I,,, 999, 7 I,II, 95 A A........................... A........................... 3.3 A.............................. 4.4....................................... 5 6..............................
hirameki_09.dvi
2009 July 31 1 2009 1 1 e-mail: mtakahas@auecc.aichi-edu.ac.jp 2 SF 2009 7 31 3 1 5 1.1....................... 5 1.2.................................. 6 1.3..................................... 7 1.4...............................
( ) Note Ω m = 1 Ω m : ( ) r-process α 1: 2 32T h(t 1/2 = y) 2 38U(t 1/2 = y) 2 35U(t 1/2 = 7.038
( ) Note 4 19 11 22 6 6.1 1 Ω m = 1 Ω m.3 6.1.1 : ( ) r-process α 1: 2 32T h(t 1/2 = 1.45 1 1 y) 2 38U(t 1/2 = 4.468 1 9 y) 2 35U(t 1/2 = 7.38 1 8 y) 2 44Pu(t 1/2 = 8.26 1 7 y) β / (J.A.Johnson and M.Bolte:
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/lectures-j.html 2 N(ε 1 ) N(ε 2 ) ε 1 ε 2 α ε ε 2 1 n N(ɛ) N ɛ ɛ- (1.1.3) n > N(ɛ) a n α < ɛ n N(ɛ) a n
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/lectures-j.html 1 1 1.1 ɛ-n 1 ɛ-n lim n a n = α n a n α 2 lim a n = 1 n a k n n k=1 1.1.7 ɛ-n 1.1.1 a n α a n n α lim n a n = α ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) a n α < ɛ
A B 5 C 9 3.4 7 mm, 89 mm 7/89 = 3.4. π 3 6 π 6 6 = 6 π > 6, π > 3 : π > 3
π 9 3 7 4. π 3................................................. 3.3........................ 3.4 π.................... 4.5..................... 4 7...................... 7..................... 9 3 3. p
i 0 1 0.1 I................................................ 1 0.2.................................................. 2 0.2.1...........................
2008 II 21 1 31 i 0 1 0.1 I................................................ 1 0.2.................................................. 2 0.2.1............................................. 2 0.2.2.............................................
2009 2 26 1 3 1.1.................................................. 3 1.2..................................................... 3 1.3...................................................... 3 1.4.....................................................
(w) F (3) (4) (5)??? p8 p1w Aさんの 背 中 が 壁 を 押 す 力 垂 直 抗 力 重 力 静 止 摩 擦 力 p8 p
F 1-1................................... p38 p1w A A A 1-................................... p38 p1w 1-3................................... p38 p1w () (1) ()?? (w) F (3) (4) (5)??? -1...................................
5 36 5................................................... 36 5................................................... 36 5.3..............................
9 8 3............................................. 3.......................................... 4.3............................................ 4 5 3 6 3..................................................
ma22-9 u ( v w) = u v w sin θê = v w sin θ u cos φ = = 2.3 ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) ( a b) ( c d) = (a 2 b 3 a 3 b 2 )(c 2 d 3 c 3 d
A 2. x F (t) =f sin ωt x(0) = ẋ(0) = 0 ω θ sin θ θ 3! θ3 v = f mω cos ωt x = f mω (t sin ωt) ω t 0 = f ( cos ωt) mω x ma2-2 t ω x f (t mω ω (ωt ) 6 (ωt)3 = f 6m ωt3 2.2 u ( v w) = v ( w u) = w ( u v) ma22-9
2 2. : ( Wikipedia ) 2. 3. 2 2. photoelectric effect photoelectron. 2. 3. ν E = hν h ν > ν E = hν hν W = hν
KEK 9,, 20 8 22 8 704 690 9 804 88 3.. 2 2. : ( Wikipedia ) 2. 3. 2 2. photoelectric effect photoelectron. 2. 3. ν E = hν h ν > ν E = hν hν W = hν 2.2. (PMT) 3 2: PMT ( / ) 2.2 (PMT) ν ) 2 2 00 000 PMT
untitled
10 log 10 W W 10 L W = 10 log 10 W 10 12 10 log 10 I I 0 I 0 =10 12 I = P2 ρc = ρcv2 L p = 10 log 10 p 2 p 0 2 = 20 log 10 p p = 20 log p 10 0 2 10 5 L 3 = 10 log 10 10 L 1 /10 +10 L 2 ( /10 ) L 1 =10
2 (f4eki) ρ H A a g. v ( ) 2. H(t) ( ) Chapter 5 (f5meanfp) ( ( )? N [] σ e = 8π ( ) e mc 2 = cm 2 e m c (, Thomson cross secion). Cha
![2 (f4eki) ρ H A a g. v ( ) 2. H(t) ( ) Chapter 5 (f5meanfp) ( ( )? N [] σ e = 8π ( ) e mc 2 = cm 2 e m c (, Thomson cross secion). Cha](/thumbs/43/23149233.jpg "2 (f4eki) ρ H A a g. v ( ) 2. H(t) ( ) Chapter 5 (f5meanfp) ( ( )? N [] σ e = 8π ( ) e mc 2 = cm 2 e m c (, Thomson cross secion). Cha")
http://astr-www.kj.yamagata-u.ac.jp/~shibata P a θ T P M Chapter 4 (f4a). 2.. 2. (f4cone) ( θ) () g M θ (f4b) T M L 2 (f4eki) ρ H A a g. v ( ) 2. H(t) ( ) Chapter 5 (f5meanfp) ( ( )? N [] σ e = 8π ( )
2 p T, Q
270 C, 6000 C, 2 p T, Q p: : p = N/ m 2 N/ m 2 Pa : pdv p S F Q 1 g 1 1 g 1 14.5 C 15.5 1 1 cal = 4.1855 J du = Q pdv U ( ) Q pdv 2 : z = f(x, y). z = f(x, y) (x 0, y 0 ) y y = y 0 z = f(x, y 0 ) x x =
6 2 T γ T B (6.4) (6.1) [( d nm + 3 ] 2 nt B )a 3 + nt B da 3 = 0 (6.9) na 3 = T B V 3/2 = T B V γ 1 = const. or T B a 2 = const. (6.10) H 2 = 8π kc2
![6 2 T γ T B (6.4) (6.1) [( d nm + 3 ] 2 nt B )a 3 + nt B da 3 = 0 (6.9) na 3 = T B V 3/2 = T B V γ 1 = const. or T B a 2 = const. (6.10) H 2 = 8π kc2](/thumbs/92/109118076.jpg "6 2 T γ T B (6.4) (6.1) [( d nm + 3 ] 2 nt B )a 3 + nt B da 3 = 0 (6.9) na 3 = T B V 3/2 = T B V γ 1 = const. or T B a 2 = const. (6.10) H 2 = 8π kc2")
1 6 6.1 (??) (P = ρ rad /3) ρ rad T 4 d(ρv ) + PdV = 0 (6.1) dρ rad ρ rad + 4 da a = 0 (6.2) dt T + da a = 0 T 1 a (6.3) ( ) n ρ m = n (m + 12 ) m v2 = n (m + 32 ) T, P = nt (6.4) (6.1) d [(nm + 32 ] )a
A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan A(0, 0) π A π
4 4.1 4.1.1 A = f() = f() = a f (a) = f() (a, f(a)) = f() (a, f(a)) f(a) = f 0 (a)( a) 4.1 (4, ) = f() = f () = 1 = f (4) = 1 4 4 (4, ) = 1 ( 4) 4 = 1 4 + 1 17 18 4 4.1 A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan
) km 200 m ) ) ) ) ) ) ) kg kg ) 017 x y x 2 y 5x 5 y )
001 ) g 20 g 5 300 g 7 002 720 g 2 ) g 003 0.8 m 2 ) cm 2 004 12 15 1 3 1 ) 005 5 0.8 0.4 ) 6 006 5 2 3 66 ) 007 1 700 12 ) 008 0.315 ) 009 500 g ) kg 0.2 t 189 kg 17.1 kg 010 5 1 2 cm 3 cm )km 2-1 - 011
34 2 2 h = h/2π 3 V (x) E 4 2 1 ψ = sin kxk = 2π/λ λ = h/p p = h/λ = kh/2π = k h 5 2 ψ = e ax2 ガウス 型 関 数 1.2 1 関 数 値 0.8 0.6 0.4 0.2 0 15 10 5 0 5 10
33 2 2.1 2.1.1 x 1 T x T 0 F = ma T ψ) 1 x ψ(x) 2.1.2 1 1 h2 d 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (2.1) 2m dx 2 1 34 2 2 h = h/2π 3 V (x) E 4 2 1 ψ = sin kxk = 2π/λ λ = h/p p = h/λ = kh/2π = k h 5 2 ψ = e ax2
Part. 4. () 4.. () 4.. 3 5. 5 5.. 5 5.. 6 5.3. 7 Part 3. 8 6. 8 6.. 8 6.. 8 7. 8 7.. 8 7.. 3 8. 3 9., 34 9.. 34 9.. 37 9.3. 39. 4.. 4.. 43. 46.. 46..
Cotets 6 6 : 6 6 6 6 6 6 7 7 7 Part. 8. 8.. 8.. 9..... 3. 3 3.. 3 3.. 7 3.3. 8 Part. 4. () 4.. () 4.. 3 5. 5 5.. 5 5.. 6 5.3. 7 Part 3. 8 6. 8 6.. 8 6.. 8 7. 8 7.. 8 7.. 3 8. 3 9., 34 9.. 34 9.. 37 9.3.
Gmech08.dvi
51 5 5.1 5.1.1 P r P z θ P P P z e r e, z ) r, θ, ) 5.1 z r e θ,, z r, θ, = r sin θ cos = r sin θ sin 5.1) e θ e z = r cos θ r, θ, 5.1: 0 r
50 2 I SI MKSA r q r q F F = 1 qq 4πε 0 r r 2 r r r r (2.2 ε 0 = 1 c 2 µ 0 c = m/s q 2.1 r q' F r = 0 µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 k = 1/(4πε 0 qq
49 2 I II 2.1 3 e e = 1.602 10 19 A s (2.1 50 2 I SI MKSA 2.1.1 r q r q F F = 1 qq 4πε 0 r r 2 r r r r (2.2 ε 0 = 1 c 2 µ 0 c = 3 10 8 m/s q 2.1 r q' F r = 0 µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 k = 1/(4πε 0 qq F = k r
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766 Copyrght 7 Mzuho-DL Fnancal Technology Co., Ltd. All rghts reserved. Copyrght 7 Mzuho-DL Fnancal Technology Co., Ltd. All rghts reserved. 3 Copyrght 7 Mzuho-DL Fnancal Technology Co., Ltd. All rghts
1.1 ft t 2 ft = t 2 ft+ t = t+ t 2 1.1 d t 2 t + t 2 t 2 = lim t 0 t = lim t 0 = lim t 0 t 2 + 2t t + t 2 t 2 t + t 2 t 2t t + t 2 t 2t + t = lim t 0
A c 2008 by Kuniaki Nakamitsu 1 1.1 t 2 sin t, cos t t ft t t vt t xt t + t xt + t xt + t xt t vt = xt + t xt t t t vt xt + t xt vt = lim t 0 t lim t 0 t 0 vt = dxt ft dft dft ft + t ft = lim t 0 t 1.1
km2 km2 km2 km2 km2 22 4 H20 H20 H21 H20 (H22) (H22) (H22) L=600m L=430m 1 H14.04.12 () 1.6km 2 H.14.05.31 () 3km 3 4 5 H.15.03.18 () 3km H.15.06.20 () 1.1km H.15.06.30 () 800m 6 H.15.07.18
(1) D = [0, 1] [1, 2], (2x y)dxdy = D = = (2) D = [1, 2] [2, 3], (x 2 y + y 2 )dxdy = D = = (3) D = [0, 1] [ 1, 2], 1 {
![(1) D = [0, 1] [1, 2], (2x y)dxdy = D = = (2) D = [1, 2] [2, 3], (x 2 y + y 2 )dxdy = D = = (3) D = [0, 1] [ 1, 2], 1 {](/thumbs/94/118399854.jpg "(1) D = [0, 1] [1, 2], (2x y)dxdy = D = = (2) D = [1, 2] [2, 3], (x 2 y + y 2 )dxdy = D = = (3) D = [0, 1] [ 1, 2], 1 {")
7 4.., ], ], ydy, ], 3], y + y dy 3, ], ], + y + ydy 4, ], ], y ydy ydy y y ] 3 3 ] 3 y + y dy y + 3 y3 5 + 9 3 ] 3 + y + ydy 5 6 3 + 9 ] 3 73 6 y + y + y ] 3 + 3 + 3 3 + 3 + 3 ] 4 y y dy y ] 3 y3 83 3
IV 1 IV ] shib@mth.hiroshim-u.c.jp [] 1. z 0 ε δ := ε z 0 z 「数列の和としての積分 入門」
7 I = 5. introduction.......................................... 5........................................... 7............................................. 9................................................................................................
A. Fresnel) 19 1900 (M. Planck) 1905 (A. Einstein) X (A. Ampère) (M. Faraday) 1864 (C. Maxwell) 1871 (H. R. Hertz) 1888 2.2 1 7 (G. Galilei) 1638 2
1 2012.8 e-mail: tatekawa (at) akane.waseda.jp 1 2005-2006 2 2009 1-2 3 x t x t 2 2.1 17 (I. Newton) C. Huygens) 19 (T. Young) 1 A. Fresnel) 19 1900 (M. Planck) 1905 (A. Einstein) X (A. Ampère) (M. Faraday)
m dv = mg + kv2 dt m dv dt = mg k v v m dv dt = mg + kv2 α = mg k v = α 1 e rt 1 + e rt m dv dt = mg + kv2 dv mg + kv 2 = dt m dv α 2 + v 2 = k m dt d
m v = mg + kv m v = mg k v v m v = mg + kv α = mg k v = α e rt + e rt m v = mg + kv v mg + kv = m v α + v = k m v (v α (v + α = k m ˆ ( v α ˆ αk v = m v + α ln v α v + α = αk m t + C v α v + α = e αk m
E B m e ( ) γma = F = e E + v B a m = 0.5MeV γ = E e m =957 E e GeV v β = v SPring-8 γ β γ E e [GeV] [ ] NewSUBARU.0 957 0.999999869 SPring-8 8.0 5656
![E B m e ( ) γma = F = e E + v B a m = 0.5MeV γ = E e m =957 E e GeV v β = v SPring-8 γ β γ E e [GeV] [ ] NewSUBARU.0 957 0.999999869 SPring-8 8.0 5656](/thumbs/39/20055634.jpg "E B m e ( ) γma = F = e E + v B a m = 0.5MeV γ = E e m =957 E e GeV v β = v SPring-8 γ β γ E e [GeV] [ ] NewSUBARU.0 957 0.999999869 SPring-8 8.0 5656")
SPring-8 PF( ) ( ) UVSOR( HiSOR( SPring-8.. 3. 4. 5. 6. 7. E B m e ( ) γma = F = e E + v B a m = 0.5MeV γ = E e m =957 E e GeV v β = v SPring-8 γ β γ E e [GeV] [ ] NewSUBARU.0 957 0.999999869 SPring-8
genron-3
" ( K p( pasals! ( kg / m 3 " ( K! v M V! M / V v V / M! 3 ( kg / m v ( v "! v p v # v v pd v ( J / kg p ( $ 3! % S $ ( pv" 3 ( ( 5 pv" pv R" p R!" R " ( K ( 6 ( 7 " pv pv % p % w ' p% S & $ p% v ( J /
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![Microsoft PowerPoint - ip02_01.ppt [互換モード]](/thumbs/96/127250376.jpg "Microsoft PowerPoint - ip02_01.ppt [互換モード]")
空間周波数 周波数領域での処理 空間周波数 (spatial frquncy) とは 単位長さ当たりの正弦波状の濃淡変化の繰り返し回数を表したもの 正弦波 : y sin( t) 周期 : 周波数 : T f / T 角周波数 : f 画像処理 空間周波数 周波数領域での処理 波形が違うと 周波数も違う 画像処理 空間周波数 周波数領域での処理 画像処理 3 周波数領域での処理 周波数は一つしかない?-
1 1 1 11 25 2 28 2 2 6 10 8 30 4 26 1 38 5 1 2 25 57ha 25 3 24ha 3 4 83km2 15cm 5 8ha 30km2 8ha 30km2 4 14
3 9 11 25 1 2 2 3 3 6 7 1 2 4 2 1 1 1 11 25 2 28 2 2 6 10 8 30 4 26 1 38 5 1 2 25 57ha 25 3 24ha 3 4 83km2 15cm 5 8ha 30km2 8ha 30km2 4 14 60 m3 60 m3 4 1 11 26 30 2 3 15 50 2 1 4 7 110 2 4 21 180 1 38
i 18 2H 2 + O 2 2H 2 + ( ) 3K
i 18 2H 2 + O 2 2H 2 + ( ) 3K ii 1 1 1.1.................................. 1 1.2........................................ 3 1.3......................................... 3 1.4....................................
662／04-直立.indd
l l q= / D s HTqq /L T L T l l ε s ε = D + s 3 K = αγk R 4 3 K αγk + ( α + β ) K 4 = 0 γ L L + K R K αβγ () ㅧ ర ㅧ ర (4) (5) ()ᑼ (6) (8) (9) (0) () () (3) (3) (7) Ƚˎȁ Ȇ ၑა FYDFM වႁ ޙ 䊶䊶 䊶 䊶䊶 䊶 Ƚˏȁζ υ ίυέρθ
C:/KENAR/0p1.dvi
2{3. 53 2{3 [ ] 4 2 1 2 10,15 m 10,10 m 2 2 54 2 III 1{I U 2.4 U r (2.16 F U F =, du dt du dr > 0 du dr < 0 O r 0 r 2.4: 1 m =1:00 10 kg 1:20 10 kgf 8:0 kgf g =9:8 m=s 2 (a) x N mg 2.5: N 2{3. 55 (b) x
2 g g = GM R 2 = 980 cm s ;1 M m potential energy E r E = ; GMm r (1.4) potential = E m = ;GM r (1.5) r F E F = ; de dr (1.6) g g = ; d dr (1.7) g g g
1 1 (gravitation) 1.1 m F a ma = F (1.1) F a m F 1.1 m F a (1.1) m a F m F a m a F F a m 0 0 1.2 (universal gravitation) (potential) M m gravitational force F r F = ; GMm r 2 (1.2) G = 6:67 10 ;8 dyn cm
Gmech08.dvi
145 13 13.1 13.1.1 0 m mg S 13.1 F 13.1 F /m S F F 13.1 F mg S F F mg 13.1: m d2 r 2 = F + F = 0 (13.1) 146 13 F = F (13.2) S S S S S P r S P r r = r 0 + r (13.3) r 0 S S m d2 r 2 = F (13.4) (13.3) d 2
2 Chapter 4 (f4a). 2. (f4cone) ( θ) () g M. 2. (f4b) T M L P a θ (f4eki) ρ H A a g. v ( ) 2. H(t) ( )
http://astr-www.kj.yamagata-u.ac.jp/~shibata f4a f4b 2 f4cone f4eki f4end 4 f5meanfp f6coin () f6a f7a f7b f7d f8a f8b f9a f9b f9c f9kep f0a f0bt version feqmo fvec4 fvec fvec6 fvec2 fvec3 f3a (-D) f3b
x : = : x x
x : = : x x x :1 = 1: x 1 x : = : x x : = : x x : = : x x ( x ) = x = x x = + x x = + + x x = + + + + x = + + + + +L x x :1 = 1: x 1 x ( x 1) = 1 x 2 x =1 x 2 x 1= 0 1± 1+ 4 x = 2 = 1 ± 5 2 x > 1
CAT. No. 1154b 2008 C-9
T CAT. o. 1154b IS SK µm D K mm & Dmp 1 ea µm d CS mm & Bs K ia & dmp V dp & dmp & Hs 1 mm d & ds & & B2s d2s & Hs & A1s d d B C B2 H A1 SjD d2 H d µm d & dmp & d1mp & dmp V dp 1 mm d d d B & dmp & d1mp
( ) 24 1 ( 26 8 19 ) i 0.1 1 (2012 05 30 ) 1 (), 2 () 1,,, III, C III, C, 1, 2,,, ( III, C ),, 1,,, http://ryuiki.agbi.tsukuba.ac.jp/lec/12-physics/ E104),,,,,, 75 3,,,, 0.2, 1,,,,,,,,,,, 2,,, 1000 ii,
平成18年度弁理士試験本試験問題とその傾向
CBA CBA CBA CBA CBA CBA Vol. No. CBA CBA CBA CBA a b a bm m swkmsms kgm NmPa WWmK σ x σ y τ xy θ σ θ τ θ m b t p A-A' σ τ A-A' θ B-B' σ τ B-B' A-A' B-B' B-B' pσ σ B-B' pτ τ l x x I E Vol. No. w x xl/ 3
sec13.dvi
13 13.1 O r F R = m d 2 r dt 2 m r m = F = m r M M d2 R dt 2 = m d 2 r dt 2 = F = F (13.1) F O L = r p = m r ṙ dl dt = m ṙ ṙ + m r r = r (m r ) = r F N. (13.2) N N = R F 13.2 O ˆn ω L O r u u = ω r 1 1:
f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) 2 f (x) f (x) f (x) f (x) 2 n f (x) n f (n) (x) dn f f (x) dx n dn dx n D n f (x) n C n C f (x) x = a 1 f (x) x = a x >
5.1 1. x = a f (x) a x h f (a + h) f (a) h (5.1) h 0 f (x) x = a f +(a) f (a + h) f (a) = lim h +0 h (5.2) x h h 0 f (a) f (a + h) f (a) f (a h) f (a) = lim = lim h 0 h h 0 h (5.3) f (x) x = a f (a) =
467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 B =(1+R ) B +G τ C C G τ R B C = a R +a W W ρ W =(1+R ) B +(1+R +δ ) (1 ρ) L B L δ B = λ B + μ (W C λ B )
3 filename=quantum-3dim110705a.tex ,2 [1],[2],[3] [3] U(x, y, z; t), p x ˆp x = h i x, p y ˆp y = h i y, p z ˆp z = h
![3 filename=quantum-3dim110705a.tex ,2 [1],[2],[3] [3] U(x, y, z; t), p x ˆp x = h i x, p y ˆp y = h i y, p z ˆp z = h](/thumbs/102/156509212.jpg "3 filename=quantum-3dim110705a.tex ,2 [1],[2],[3] [3] U(x, y, z; t), p x ˆp x = h i x, p y ˆp y = h i y, p z ˆp z = h")
filename=quantum-dim110705a.tex 1 1. 1, [1],[],[]. 1980 []..1 U(x, y, z; t), p x ˆp x = h i x, p y ˆp y = h i y, p z ˆp z = h i z (.1) Ĥ ( ) Ĥ = h m x + y + + U(x, y, z; t) (.) z (U(x, y, z; t)) (U(x,
I.2 z x, y i z = x + iy. x, y z (real part), (imaginary part), x = Re(z), y = Im(z). () i. (2) 2 z = x + iy, z 2 = x 2 + iy 2,, z ± z 2 = (x ± x 2 ) +
I..... z 2 x, y z = x + iy (i ). 2 (x, y). 2.,,.,,. (), ( 2 ),,. II ( ).. z, w = f(z). z f(z), w. z = x + iy, f(z) 2 x, y. f(z) u(x, y), v(x, y), w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).,. 2. z z, w w. D, D.
1 I 1.1 ± e = = - = C C MKSA [m], [Kg] [s] [A] 1C 1A 1 MKSA 1C 1C +q q +q q 1
![1 I 1.1 ± e = = - = C C MKSA [m], [Kg] [s] [A] 1C 1A 1 MKSA 1C 1C +q q +q q 1](/thumbs/94/121802164.jpg "1 I 1.1 ± e = = - = C C MKSA [m], [Kg] [s] [A] 1C 1A 1 MKSA 1C 1C +q q +q q 1")
1 I 1.1 ± e = = - =1.602 10 19 C C MKA [m], [Kg] [s] [A] 1C 1A 1 MKA 1C 1C +q q +q q 1 1.1 r 1,2 q 1, q 2 r 12 2 q 1, q 2 2 F 12 = k q 1q 2 r 12 2 (1.1) k 2 k 2 ( r 1 r 2 ) ( r 2 r 1 ) q 1 q 2 (q 1 q 2
Gauss Gauss ɛ 0 E ds = Q (1) xy σ (x, y, z) (2) a ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 (r, θ, φ) (1) xy A Gauss ɛ 0 E ds = ɛ 0 EA Q = ρa ɛ 0 EA = ρea E = (ρ/ɛ 0 )e
7 -a 7 -a February 4, 2007 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 1 Gauss Gauss ɛ 0 E ds = Q (1) xy σ (x, y, z) (2) a ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 (r, θ, φ) (1) xy A Gauss ɛ 0 E ds = ɛ 0 EA Q = ρa ɛ 0 EA = ρea E = (ρ/ɛ 0 )e z
,..,,.,,.,.,..,,.,,..,,,. 2
A.A. (1906) (1907). 2008.7.4 1.,.,.,,.,,,.,..,,,.,,.,, R.J.,.,.,,,..,.,. 1 ,..,,.,,.,.,..,,.,,..,,,. 2 1, 2, 2., 1,,,.,, 2, n, n 2 (, n 2 0 ).,,.,, n ( 2, ), 2 n.,,,,.,,,,..,,. 3 x 1, x 2,..., x n,...,,
1 (Berry,1975) 2-6 p (S πr 2 )p πr 2 p 2πRγ p p = 2γ R (2.5).1-1 : : : : ( ).2 α, β α, β () X S = X X α X β (.1) 1 2
2005 9/8-11 2 2.2 ( 2-5) γ ( ) γ cos θ 2πr πρhr 2 g h = 2γ cos θ ρgr (2.1) γ = ρgrh (2.2) 2 cos θ θ cos θ = 1 (2.2) γ = 1 ρgrh (2.) 2 2. p p ρgh p ( ) p p = p ρgh (2.) h p p = 2γ r 1 1 (Berry,1975) 2-6
( ) ,
II 2007 4 0. 0 1 0 2 ( ) 0 3 1 2 3 4, - 5 6 7 1 1 1 1 1) 2) 3) 4) ( ) () H 2.79 10 10 He 2.72 10 9 C 1.01 10 7 N 3.13 10 6 O 2.38 10 7 Ne 3.44 10 6 Mg 1.076 10 6 Si 1 10 6 S 5.15 10 5 Ar 1.01 10 5 Fe 9.00
esba.dvi
Ehrenberg-Siday-Bohm-Aharonov 1. Aharonov Bohm 1) 0 A 0 A A = 0 Z ϕ = e A(r) dr C R C e I ϕ 1 ϕ 2 = e A dr = eφ H Φ Φ 1 Aharonov-Bohm Aharonov Bohm 10 Ehrenberg Siday 2) Ehrenberg-Siday-Bohm-Aharonov ESBA(
168 13 Maxwell ( H ds = C S rot H = j + D j + D ) ds (13.5) (13.6) Maxwell Ampère-Maxwell (3) Gauss S B 0 B ds = 0 (13.7) S div B = 0 (13.8) (4) Farad
13 Maxwell Maxwell Ampère Maxwell 13.1 Maxwell Maxwell E D H B ε 0 µ 0 (1) Gauss D = ε 0 E (13.1) B = µ 0 H. (13.2) S D = εe S S D ds = ρ(r)dr (13.3) S V div D = ρ (13.4) ρ S V Coulomb (2) Ampère C H =
x,, z v = (, b, c) v v 2 + b 2 + c 2 x,, z 1 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) v 1 = ( 1, b 1, c 1 ), v 2 = ( 2, b 2, c 2 ) v
12 -- 1 4 2009 9 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 c 2011 1/(13) 4--1 2009 9 3 x,, z v = (, b, c) v v 2 + b 2 + c 2 x,, z 1 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) v 1 = ( 1, b 1, c 1 ), v 2
2. 2 P M A 2 F = mmg AP AP 2 AP (G > : ) AP/ AP A P P j M j F = n j=1 mm j G AP j AP j 2 AP j 3 P ψ(p) j ψ(p j ) j (P j j ) A F = n j=1 mgψ(p j ) j AP
1. 1 213 1 6 1 3 1: ( ) 2: 3: SF 1 2 3 1: 3 2 A m 2. 2 P M A 2 F = mmg AP AP 2 AP (G > : ) AP/ AP A P P j M j F = n j=1 mm j G AP j AP j 2 AP j 3 P ψ(p) j ψ(p j ) j (P j j ) A F = n j=1 mgψ(p j ) j AP
木村の物理小ネタ ケプラーの第 2 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という) が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に
ケプラーの第 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に関する面積速度の大きさ という 定点 O まわりを回る面積速度の導き方導き方 A ( x( + D, y( + D v ( q r ( A ( x (, y( 動点 P が xy 座標平面上を時刻
Note5.dvi
12 2011 7 4 2.2.2 Feynman ( ) S M N S M + N S Ai Ao t ij (i Ai, j Ao) N M G = 2e2 t ij 2 (8.28) h i μ 1 μ 2 J 12 J 12 / μ 2 μ 1 (8.28) S S (8.28) (8.28) 2 ( ) (collapse) j 12-1 2.3 2.3.1 Onsager S B S(B)
基礎数学I
I & II ii ii........... 22................. 25 12............... 28.................. 28.................... 31............. 32.................. 34 3 1 9.................... 1....................... 1............
note01
γ 5 J, M α J, M α = c JM JM J, M c JM e ipr p / M p = 0 M J(J + 1) / Λ p / M J(J + 1) / Λ ~ 1 / m π m π ~ 138 MeV J P,I = 0,1 π 1, π, π 3 ( ) ( π +, π 0, π ) ( ), π 0 = π 3 π ± = m 1 π1 ± iπ ( ) π ±,
2010 4 3 0 5 0.1......................................... 5 0.2...................................... 6 1 9 2 15 3 23 4 29 4.1............................................. 29 4.2..............................
z z x = y = /x lim y = + x + lim y = x (x a ) a (x a+) lim z z f(z) = A, lim z z g(z) = B () lim z z {f(z) ± g(z)} = A ± B (2) lim {f(z) g(z)} = AB z
Tips KENZOU 28 6 29 sin 2 x + cos 2 x = cos 2 z + sin 2 z = OK... z < z z < R w = f(z) z z w w f(z) w lim z z f(z) = w x x 2 2 f(x) x = a lim f(x) = lim f(x) x a+ x a z z x = y = /x lim y = + x + lim y
5.. z = f(x, y) y y = b f x x g(x) f(x, b) g x ( ) A = lim h g(a + h) g(a) h g(x) a A = g (a) = f x (a, b)............................................
5 partial differentiation (total) differentiation 5. z = f(x, y) (a, b) A = lim h f(a + h, b) f(a, b) h........................................................... ( ) f(x, y) (a, b) x A (a, b) x (a, b)
応力とひずみ.ppt
in yukawa@numse.nagoya-u.ac.jp 2 3 4 5 x 2 6 Continuum) 7 8 9 F F 10 F L L F L 1 L F L F L F 11 F L F F L F L L L 1 L 2 12 F L F! A A! S! = F S 13 F L L F F n = F " cos# F t = F " sin# S $ = S cos# S S
dvipsj.4131.dvi
7 1 7 : 7.1 3.5 (b) 7 2 7.1 7.2 7.3 7 3 7.2 7.4 7 4 x M = Pw (7.3) ρ M (EI : ) M = EI ρ = w EId2 (7.4) dx 2 ( (7.3) (7.4) ) EI d2 w + Pw =0 (7.5) dx2 P/EI = α 2 (7.5) w = A sin αx + B cos αx 7.5 7.6 :
物性物理学 I( 平山 ) 補足資料 No.6 ( 量子ポイントコンタクト ) 右図のように 2つ物質が非常に小さな接点を介して接触している状況を考えましょう 物質中の電子の平均自由行程に比べて 接点のサイズが非常に小さな場合 この接点を量子ポイントコンタクトと呼ぶことがあります この系で左右の2つ
物性物理学 I( 平山 ) 補足資料 No.6 ( 量子ポイントコンタクト ) 右図のように つ物質が非常に小さな接点を介して接触している状況を考えましょう 物質中の電子の平均自由行程に比べて 接点のサイズが非常に小さな場合 この接点を量子ポイントコンタクトと呼ぶことがあります この系で左右のつの物質の間に電位差を設けて左から右に向かって電流を流すことを行った場合に接点を通って流れる電流を求めるためには
Microsoft Word - Wordで楽に数式を作る.docx
Ver. 3.1 2015/1/11 門 馬 英 一 郎 Word 1 する必要がある Alt+=の後に Ctrl+i とセットで覚えておく 1.4. 変換が出来ない場合 ごく稀に以下で説明する変換機能が無効になる場合がある その際は Word を再起動するとまた使えるようになる 1.5. 独立数式と文中数式 数式のスタイルは独立数式 文中数式(2 次元)と文中数式(線形)の 3 種類があ り 数式モードの右端の矢印を選ぶとメニューが出てくる
2015年度 岡山大・理系数学
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を 以上の自然数とし, から までの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意する これらすべてを箱に入れ, 箱の中から 枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード 枚の番号が両方とも k である確率を と k の式で表せ () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を
i
009 I 1 8 5 i 0 1 0.1..................................... 1 0.................................................. 1 0.3................................. 0.4........................................... 3
1 2 3 6 10 < > 13 16 16 4 17 13 00 15 30 5
2004 16 3 23 q 4 21 r 1 2 3 6 10 < > 13 16 16 4 17 13 00 15 30 5 13 2 2 16 4 4 17 3 16 3 1 16 3 2 905 1438 1201 1205 1210 70 1812 25 1635 1654 3 44 47 10 10 911.18-R 1193 34 1652 4 911.107-H 1159 1685
example2_time.eps
Google (20/08/2 ) ( ) Random Walk & Google Page Rank Agora on Aug. 20 / 67 Introduction ( ) Random Walk & Google Page Rank Agora on Aug. 20 2 / 67 Introduction Google ( ) Random Walk & Google Page Rank
t = h x z z = h z = t (x, z) (v x (x, z, t), v z (x, z, t)) ρ v x x + v z z = 0 (1) 2-2. (v x, v z ) φ(x, z, t) v x = φ x, v z
I 1 m 2 l k 2 x = 0 x 1 x 1 2 x 2 g x x 2 x 1 m k m 1-1. L x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ẋ 1 x = 0 1-2. 2 Q = x 1 + x 2 2 q = x 2 x 1 l L Q, q, Q, q M = 2m µ = m 2 1-3. Q q 1-4. 2 x 2 = h 1 x 1 t = 0 2 1 t x 1 (t)
I 1
I 1 1 1.1 1. 3 m = 3 1 7 µm. cm = 1 4 km 3. 1 m = 1 1 5 cm 4. 5 cm 3 = 5 1 15 km 3 5. 1 = 36 6. 1 = 8.64 1 4 7. 1 = 3.15 1 7 1 =3 1 7 1 3 π 1. 1. 1 m + 1 cm = 1.1 m. 1 hr + 64 sec = 1 4 sec 3. 3. 1 5 kg
2009 年 11 月 16 日版 ( 久家 ) 遠地 P 波の変位波形の作成 遠地 P 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は 波線理論をもとに P U () t = S()* t E()* t P() t で近似的に計算できる * は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録
遠地 波の変位波形の作成 遠地 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は 波線理論をもとに U () t S() t E() t () t で近似的に計算できる は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録 参照 ) ここで St () は地震の断層運動によって決まる時間関数 1 E() t は地下構造によって生じる種々の波の到着を与える時間関数 ( ここでは 直達 波とともに 震源そばの地表での反射波や変換波を与える時間関数
B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:
![B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:](/thumbs/94/118646867.jpg "B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:")
B. 41 II: ;; 4 B [] S 1 S S 1 S.1 O S 1 S 1.13 P 3 P 5 7 P.1:.13: 4 4.14 C d A B x l l d C B 1 l.14: AB A 1 B 0 AB 0 O OP = x P l AP BP AB AP BP 1 (.4)(.5) x l x sin = p l + x x l (.4)(.5) m d A x P O
Quiz x y i, j, k 3 A A i A j A k x y z A x A y A z x y z A A A A A A x y z P (x, y,z) r x i y j zk P r r r r r r x y z P ( x 1, y 1, z 1 )
Quiz x y i, j, k 3 A A i A j A k x y z A x A y A z x y z A A A A A A x y z P (x, y,z) x i y j zk P x y z P ( x 1, y 1, z 1 ) Q ( x, y, z ) 1 OP x1i y1 j z1k OQ x i y j z k 1 P Q PQ 1 PQ x x y y z z 1 1
総研大恒星進化概要.dvi
The Structure and Evolution of Stars I. Basic Equations. M r r =4πr2 ρ () P r = GM rρ. r 2 (2) r: M r : P and ρ: G: M r Lagrange r = M r 4πr 2 rho ( ) P = GM r M r 4πr. 4 (2 ) s(ρ, P ) s(ρ, P ) r L r T
E F = q b E (2) E q a r q a q b N/C q a (electric flux line) q a E r r r E 4πr 2 E 4πr 2 = k q a r 2 4πr2 = 4πkq a (3) 4πkq a 1835 4πk 1 ɛ 0 ɛ 0 (perm
1 1.1 18 (static electricity) 20 (electric charge) A,B q a, q b r F F = k q aq b r 2 (1) k q b F F q a r?? 18 (Coulomb) 1 N C r 1m 9 10 9 N 1C k 9 10 9 Nm 2 /C 2 1 k q a r 2 (Electric Field) 1 E F = q
ab c d 6 12 1:25,000 28 3 2-1-3 18 2-1-10 25000 3120 10 14 15 16 7 2-1-4 1000ha 10100ha 110ha ha ha km 200ha 100m 0.3 ha 100m 1m 2-1-11 2-1-5 20cm 2-1-12 20cm 2003 1 05 12 2-1-13 1968 10 7 1968 7 1897
h4_1_et
1 RY RO RM RG RR RW RD LN LM LB LC LD MW MG MB CW SB VR BB EB WR LR MR BR DR PM SM MC CB BO 2 3 RY RO RR RW RD RM RG LN LM LB LC LD MW MG MB 4 CW SB VR BB EB 5 PI PY PP PG PB 6 WR LR MR BR DR 7 SM MC CB
( ) sin 1 x, cos 1 x, tan 1 x sin x, cos x, tan x, arcsin x, arccos x, arctan x. π 2 sin 1 x π 2, 0 cos 1 x π, π 2 < tan 1 x < π 2 1 (1) (
6 20 ( ) sin, cos, tan sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan. π 2 sin π 2, 0 cos π, π 2 < tan < π 2 () ( 2 2 lim 2 ( 2 ) ) 2 = 3 sin (2) lim 5 0 = 2 2 0 0 2 2 3 3 4 5 5 2 5 6 3 5 7 4 5 8 4 9 3 4 a 3 b
( : December 27, 2015) CONTENTS I. 1 II. 2 III. 2 IV. 3 V. 5 VI. 6 VII. 7 VIII. 9 I. 1 f(x) f (x) y = f(x) x ϕ(r) (gradient) ϕ(r) (gradϕ(r) ) ( ) ϕ(r)
( : December 27, 215 CONTENTS I. 1 II. 2 III. 2 IV. 3 V. 5 VI. 6 VII. 7 VIII. 9 I. 1 f(x f (x y f(x x ϕ(r (gradient ϕ(r (gradϕ(r ( ϕ(r r ϕ r xi + yj + zk ϕ(r ϕ(r x i + ϕ(r y j + ϕ(r z k (1.1 ϕ(r ϕ(r i
最 新 測 量 学 ( 第 3 版 ) サンプルページ この 本 の 定 価 判 型 などは, 以 下 の URL からご 覧 いただけます. このサンプルページの 内 容 は, 第 3 版 1 刷 発 行 時 の
最 新 測 量 学 ( 第 3 版 ) サンプルページ この 本 の 定 価 判 型 などは, 以 下 の URL からご 覧 いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/047143 このサンプルページの 内 容 は, 第 3 版 1 刷 発 行 時 のものです. 3 10 GIS 3 1 2 GPS GPS GNSS GNSS 23 3 3 2015
grad φ(p ) φ P grad φ(p ) p P p φ P p l t φ l t = 0 g (0) g (0) (31) grad φ(p ) p grad φ φ (P, φ(p )) xy (x, y) = (ξ(t), η(t)) ( )
2 9 2 5 2.2.3 grad φ(p ) φ P grad φ(p ) p P p φ P p l t φ l t = g () g () (3) grad φ(p ) p grad φ φ (P, φ(p )) y (, y) = (ξ(t), η(t)) ( ) ξ (t) (t) := η (t) grad f(ξ(t), η(t)) (t) g(t) := f(ξ(t), η(t))