学習塾 家庭教師の先生方へ 公立高校入試過去問数学 4. 平面図形 3. 合同の証明ほか よく受ける質問内容をもとに この教材の効果的な使い方をお伝えいたします 特に中学 3 年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります 中学 1 2 年生の学年では 1 年間で数学の教科書 1 冊を終えればよいのですが 3 年生の場合はそういうわけにはいきません 3 年生の 1 年間で 3 年生の教科書 1 冊と受験対策 (1 年 ~3 年 ) を塾の講座で実施しなければなりません 学習塾におきましては 3 年生の年間カリキュラムを以下の A.B のように 大きく 2 つに分類できました A.3 年生の教科書内容の日々の学習指導と並行して受験対策をされている学習塾 B.3 年生の教科書を前倒し (11~12 月位 ) で終えて それ以降受験対策をされる学習塾 A.3 年の教科書と並行して受験対策を実施されている場合 1 3 年生の教科書のある単元が終了した後にその単元から出題されている公立高校入試の過去問を生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方 2 1 と並行して 1 年生で学習した内容の各単元の重要事項を説明した上で その単元から出題されている公立高校入試の過去問を生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方 B.3 年生の教科書を前倒し (11~12 月位 ) で終えて それ以降受験対策をされる 1 前倒しで 3 年生の教科書を終え その後に受験対策として受験する都道府県の出題傾向に沿った単元の過去問及びその類似問題を大量に解かせて高校入試レベルに引き上げる使い方 2 点数が取れない単元や不得意分野の過去問及び類似問題を大量に解かせて苦手を克服し得点につなげる使い方 いずれの場合でも数学の受験対策は受験する都道府県の入試問題の出題傾向を分析した上で その傾向に沿った問題 ( 類似問題 ) の過去問演習をやらないわけにはいきません (3 年生対象の実力テスト 模試は その都道府県の傾向に沿った出題形式 出題内容である場合が多いようです ) また 例えば公立高校入試に出題される関数の問題はミックス問題が出題される都道府県が多くあります 3 年で学習する放物線 ( 二次関数 ) と 1 年比例 2 年一次関数との組み合わせ問題が出題される都道府県では 3 年生で学習する内容を終えなければ高校入試の過去問に手をつけられない事も起こりうる場合があります 中学 1 2 年生の講座でも単元終了時点で あるいは その日に学習した内容の練習問題として 徐々に高校入試レベルの問題に触れさせることも可能です 高校入試の問題が解けることによって生徒各自のモチベーションが上がるようです 学習塾や家庭教師の先生方は年間カリキュラムの中でアレンジしてお使い下さい 中学生各自で利用される場合公立高校入試の受験対策学習は各自が受験する都道府県の公立高校入試の出題傾向に沿った問題を数多く演習して下さい まずは自分が受験する公立高校入試問題の出題傾向を一覧表で確認し 出題可能性の高い単元からの問題を確実に解けるようにして下さい この教材は 数学の成績を短期間に伸ばせる 定期テスト 実力テスト 公立高校入試のための実践力 得点力を付けられる! 点数が取れない分野 単元を克服できる! 不得意 苦手を克服できる! 中学 1 年生でも 2 年生でも学校で習った内容が高校入試でどのように出題されるのか どんな問題が出るのか 早い段階から受験対策を進めることができる! 自分が受験する公立入試の傾向をつかんだ効率よい学習ができる! 自宅で自分のペースで学習を進めることができる! この様な中学生に最適な教材です 1 http://zaitaku-study.net
3-2. 平面図形合同の証明複合問題ほか 2003 年度出題 問 1 図の長方形 ABCD で, 対角線 AC に点 B,D から垂線をひき, その交点をそれぞれ点 E,F とする このとき, ADF CBE となることを証明しなさい ( 青森県 2003 年度 ) 欄 証明 2 http://zaitaku-study.net
問 2 図のように, BAD が鈍角である平行四辺形 ABCD があり, 辺 CD の中点を E とし, 辺 AD の延長と線分 BE の延長との交点を F とします また, 点 A から線分 BF に垂線をひき, 線分 BF との交点を H とします このとき, 次の (1),(2) の問いに答えなさい ( 岩手県 2003 年度 ) (1) EBC EFD であることを証明しなさい (2) AD=AH=BH=2 cm のとき, 平行四辺形 ABCD の面積を求めなさい 欄 証明 (1) (2) cm 2 3 http://zaitaku-study.net
問 3 図で, 四角形 ABCD は平行四辺形である 線分 BC の中点を E, 線分 AE と DC を延長した直線の交点を F とする 次の (1),(2) の問いに答えなさい (1) 平行四辺形 ABCD の面積が 20 cm 2 のとき, ABE の面積を求めなさい ( 秋田県 2003 年度 ) (2) ABE FCE となることを下のように証明した にあてはまる記号またはことばを書きなさい [ 証明 ] ABE と FCE において 仮定から,BE= は等しいことから, AEB= FEC ABE= FCE したがって, ABE FCE は等しいことから, がそれぞれ等しいから, 欄 (1) cm 2 [ 証明 ] ABE と FCE において 仮定から,BE= (2) AEB= FEC ABE= FCE したがって, ABE FCE は等しいことから, は等しいことから, がそれぞれ等しいから, 4 http://zaitaku-study.net
5 http://zaitaku-study.net
問 4 図で, 合同な三角形はどれとどれか 記号 を使って表しなさい ( 福島県 2003 年度 ) 欄 6 http://zaitaku-study.net
問 5 図のように, BAC=45 の ABC がある 頂点 A から辺 BC に垂線をひき, 辺 BC との交点を P とする また, 頂点 B から辺 AC に垂線をひき, 辺 AC との交点を Q とし, 線分 AP と線分 BQ の交点を R とする このとき, ARQ BCQ であることを証明しなさい ( 茨城県 2003 年度 ) 欄 証明 7 http://zaitaku-study.net
問 6 次の会話文を読んで, 後の (1),(2) の問いに答えなさい 田中先生 : 黒板の図で,H と B,B,C,C とをそれぞれ直線で結ぶと BHB = CHC となります このことを証明するには, どの三角形とどの三角形の合同をいえばよいと思いますか 春彦さん : 三角形アと三角形イとの合同をいえばよいと思います 田中先生 : そうですね では, BHB = CHC であることを証明してみてください ( 群馬県 2003 年度 ) 黒板にかかれた図と条件 1 ABC A B C 2H は, 線分 BB, CC の垂直二等分線の交点 春彦さんの黒板での証明 Hが, 線分 BB,CC の垂直二等分線の交点より, HB=HB,HC=HC 1 ウ = エ ( ABC A B C より ) 2 よって,1,2より, オから, ア イさらに,[ カ ] よって, BHB = CHC 田中先生 : そのとおりです! この図から, 他に何か気づくことはありませんか 夏子さん : H は線分 AA の垂直二等分線上の点ですか? そうだとすれば,HA=HA となると思います 田中先生 : よいところに気づきましたね HA=HA であることを証明してみてください (1) 会話と春彦さんの証明において, ア ~ エにはそれぞれ適する記号を入れなさい オには三角形の合同条件をそれぞれ入れなさい また,[ カ ] に適する式やことばを入れなさい (2) HA=HA であることを証明しなさい 8 http://zaitaku-study.net
欄 ア イ ウ エ (1) オ カ 証明 (2) 9 http://zaitaku-study.net
問 7 図のように, 線分 AB を直径とする半円 O の AB を 5 等分します そのうち, AB を 1:4 に分ける点を C,3:2 に分ける点を D とします 線分 BC と AD との交点を E とし, 点 E から直径 AB に垂線をひき, その交点を F とします このとき, 次の各問に答えなさい ( 埼玉県 2003 年度 ) (1) DEB の大きさ x を求めなさい (2) AEF と AEC が合同であることを証明しなさい 欄 (1) 度 証明 (2) 10 http://zaitaku-study.net
問 8 図 1 で, 四角形 ABCD は,AB<AD の平行四辺形である 点 P は平行四辺形 ABCD の辺 AD 上にある点で, 頂点 A,D のいずれにも一致しない 点 Q は平行四辺形 ABCD の辺 BC 上にある点で, 頂点 B,C のいずれにも一致しない 頂点 A と点 Q を結んだ線分と, 頂点 B と点 P を結んだ線分との交点を E とする 次の各問に答えよ 問 1. 図 1 において, ABC=70,AB=AP=AQ のとき, AEP の大きさは何度か 図 1 ( 東京都 2003 年度 ) 問 2. 図 2 は, 図 1 において,AP=BQ の場合を表している 次の 1,2 に答えよ 1 AEP QEB であることを証明せよ 図 2 図 3 2 図 3 は, 図 2 において, 頂点 C と点 P を結んだ線分と, 頂点 D と点 Q を結んだ線分との交点を F とした場合を表している 四角形 PEQF の面積は, 平行四辺形 ABCD の面積の何分のいくつか 11 http://zaitaku-study.net
欄 問 1 度 証明 AEP と QEB において, 問 2 1 AEP QEB 2 12 http://zaitaku-study.net
問 9 図のように,1 辺の長さが 2 3 cm の正方形 ABCD があり, 辺 AB の中点を O とし,O を中心として OA を半径とする半 円をつくる 弧 AB 上に線分 AE の長さが 3 cm となる点 E をとり, 線分 AE の延長と辺 CD との交点を F, 線分 BE の延長と辺 AD との交点を G とするとき, 次の (1)~(3) の問いに答えなさい (1) BAE の大きさと ABE の大きさの和は何度か答えなさい ( 新潟県 2003 年度 ) (2) ABG DAF であることを証明しなさい (3) 弧 AE と線分 EG,GA で囲まれた斜線部分の面積を求めなさい ただし, 円周率は π とする 欄 (1) 度 証明 (2) (3) cm 2 13 http://zaitaku-study.net
問 10 AB=6 cm,bc=8 cmの平行四辺形 ABCDがある この平行四辺形の辺 BC 上に点 Eをとり,AとEを結ぶ Eのとり方を (1)~(3) のように変えたとき, 次の問いに答えなさい ( 富山県 2003 年度 ) (1) 図 Ⅰのように,AEが BADの二等分線となるようにEをとるとき, ECの長さを求めなさい 図 Ⅰ (2) 図 Ⅱ のように,AE=AB となるように E をとり,A と C,D と E をそれぞれ結ぶ 1 AED と合同な三角形を 2 つあげなさい 2 1 であげた 2 つの三角形のどちらかを選び, AED と合同であることを証明しなさい 図 Ⅱ (3) AE が BAD の二等分線で,AE=AB である E がとれるとき, 平行四辺形 ABCD の面積を求めなさい 欄 (1) cm 1 AED AED 証明 AED と において (2) 2 (3) cm 2 14 http://zaitaku-study.net
問 11 図のように, 点 O を中心とし, 線分 AB を直径とする半円と, その外部に点 C がある 線分 BC と半円の交点を D, 線分 AC の中点を E とする このとき, 次の問いに答えよ ( 福井県 2003 年度 ) (1) OAE ODE であることを証明せよ (2) AB=8 cm,ac=6 cm, ABC=30 とする ア CD の長さを求めよ イ四角形 ODEA の面積を求めよ 欄 証明 (1) (2) ア cm イ cm 2 15 http://zaitaku-study.net
問 12 図で, ABC は AB=AC の二等辺三角形である 辺 AB,AC の中点をそれぞれ D,E とし, 線分 BE と CD の交点を F とする このとき, 下の図の中には, BDF と CEF のように合同な三角形の組がいくつかある BDF と CEF 以外の合同な 2 つの三角形を 1 組見つけ, 合同であることを証明しなさい ( 山梨県 2003 年度 ) 欄 合同な三角形 証明 と 16 http://zaitaku-study.net
問 13 図のように,AB=3 cm,ac=4 cm の ABC がある A の二等分線をひき,BC との交点を D とする また, 辺 AC 上に点 E を AE=3 cm となるようにとる このとき, 次の問 1, 問 2 に答えなさい ( 和歌山県 2003 年度 ) 問 1. ABD と AED が合同であることを証明しなさい 問 2. ABC と EDC の面積の比を求め, 最も簡単な整数の比で表しなさい 欄 証明 問 1 問 2 ABC: EDC= : 17 http://zaitaku-study.net
問 14 図 Ⅰの ABCは,AC=1 cm,bc=2 cm, A=90 の直角三角形である この ABCの内部に点 Pをとり, PA+PB+PCの長さについて考える このとき, 次の各問いに答えなさい ( 鳥取県 2003 年度 ) 問 1. 辺 ABの長さを求めなさい 図 Ⅰ 問 2. 図 Ⅱのように, 図 Ⅰで辺 BCと線分 PCをそれぞれ1 辺とする2つの正三角形 BDC, PECをつくるとき PBC EDCであることを証明したい 欄のに, 必要なことを述べて, 証明を完成させなさい 図 Ⅱ 問 3. 問 2 から PB=ED であることがいえる また PC=PE であるから,PA+ PB+PC=AP+PE+ED である PA+PB+PC の長さが最も短くなるとき, (1) PA+PB+PC の長さを求めなさい (2) また, そのときの APB の大きさを求めなさい 欄 問 1 AB= cm 証明 PBC と EDC で, 問 2 PBC EDC 問 3 (1) cm (2) APB= 度 18 http://zaitaku-study.net
19 http://zaitaku-study.net
問 15 図 1 のように, 円周上の点 A から, AB= AC となる円周上の異なる 2 点 B,C をとり, 二等辺三角形 ABC をつくった 辺 AC について B と反対側の AC 上に点 P をとり, 辺 AC と BP の交点を Q とする P が AC 上を動くとき, 次の問 1~ 問 4 に答えなさい 問 1. 用紙の図において, ACP の面積が最大となる点 P を作図して示しなさい ただし, 作図に用いた線を消さないこと 図 1 ( 島根県 2003 年度 ) 問 2. 図 2 のように,AB PC のとき, 面積の等しい三角形の組は下の例のほかにいくつか考えられる そのうち,1 組だけ書きなさい 例 ABC と ABP 図 2 問 3. 図 3 のように, BC= CP のとき, ABQ ACP であることを証明しなさい 問 4. 図 4 のように,BP がこの円の中心 O を通る OB=2 cm,bc=3 cm とするとき, 次の 1,2 に答えなさい 1.CP の長さを求めなさい 図 3 図 4 2. ABP の面積を求めなさい 20 http://zaitaku-study.net
欄 問 1 問 2 と 証明 問 3 問 4 1 cm 2 cm 2 21 http://zaitaku-study.net
問 16 図のように,1 辺が 4 cm の正三角形 ABC があり, 辺 AC の中点を M とする 正三角形 ABC の外側に正三角形 DBA と正三角形 MCE をつくる このとき, 次の (1)~(4) の各問いに答えなさい ( 佐賀県 2003 年度 ) (1) ADM CBE であることを証明しなさい (2) EMB において EMB の大きさを求めなさい (3) DM の長さを求めなさい (4) ADM の面積を求めなさい 欄 (1) (2) 度 (3) cm (4) cm 2 22 http://zaitaku-study.net
問 17 図 1, 図 2 のように, 平行四辺形 ABCD があり,AB=8 cm,bc=10 cm, BAD=120 である 辺 AD の中点を M とするとき, 次の問いに答えなさい 問 1. ABC の大きさは何度か 図 1 ( 長崎県 2003 年度 ) 問 2. 図 2 のように, 線分 BM の延長と辺 CD の延長との交点を E とする このとき, ABM DEM であることを証明せよ 問 3. 図 3, 図 4 のように, 図 1 の平行四辺形 ABCD を点 B が点 M に重なるように折り返すと, 折り目は辺 AB 上の点 F と辺 BC 上の点 G とを結ぶ線分 FG となった このとき, 次の (1)~(3) に答えよ (1) 折り目となる線分 FG を定規とコンパスを用いて作図せよ ただし, 定規は直線や線分をひくときに使い, 長さを測ったり角度を利用したりしてはならない なお, 作図に用いた線は消さずに残しておくこと 図 2 (2) 図 4 のように, 点 M から線分 GC にひいた垂線と線分 GC との交点を H とするとき, 線分 MH の長さは何 cm か 図 3 図 4 (3) 図 4 において, 線分 MG の長さは何 cm か 23 http://zaitaku-study.net
欄 問 1 証明 問 2 (1) 問 3 (2) cm (3) cm 24 http://zaitaku-study.net
問 18 図 Ⅰのように, 長方形 ABCDの対角線の交点をO, 交点 Oを通る直線 l と辺 AD,BCの交点をそれぞれE,Fとする 図 Ⅰについて, ひろ子さんは次のことに気づいた の中を読んで,1,2の問いに答えなさい ( ひろ子さんが気づいたこと ) 図 Ⅰ において, AOE COF, AOB COD, BOF DOE であるから, 四角形 ABFE と四角形 EFCD の面積は等しい したがって, 長方形 ABCD の対角線の交点を通る直線 l は, 長方形 ABCD の面積を二等分する ( 大分県 2003 年度 ) 1 図 Ⅰ において, BOF DOE であることを, 次のように証明した 次の ( ア ),( イ ) をうめて, 証明を完成しなさい 証明 BOF と DOE において, 長方形は平行四辺形で, その対角線はそれぞれの ( ア ) で交わるから, OB=OD 対頂角は等しいから, BOF= DOE 平行線の錯角は等しいから, OBF= ODE ( イ ) がそれぞれ等しいから, BOF DOE ( 図 Ⅰ) 2 次の ( ウ ),( エ ) には適する記号を, また,( オ ) には適する数を記入しなさい ひろ子さんが気づいたことを用いると, 図 Ⅱのような土地の面積は, 長方形 ( ウ ) の対角線の交点と長方形 ( エ ) の対角線の交点を通る直線で二等分できる また, この2つの交点を結ぶ線分の長さは ( オ )mになる ( 図 Ⅱ) 欄 1 ア イ 2 ウ オ m エ 25 http://zaitaku-study.net
26 http://zaitaku-study.net