1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16 =- +8 =7 ⑴ 次方程式は, 右辺が0になるように移項した後, 左辺が因数分解できるときは因数分解を利 用し, 因数分解できないときは下の解の公式を利用する -b± b²-4ac 次方程式 a²+b+c=0の解は,= である a ⑵ ⑶ -(-1)± (-1)²-4 3 (-1) 1± 13 次方程式の解の公式より,= = 3 6 等式をある文字について解くときは, その文字の付いた項を左辺に, それ以外の項を右辺に集 めてから計算する -5y=7 =5y+7 = 5y+7 1 0 以上の整数 nについて, n² a< (n+1)² が成り立つとき, aの整数部分はnで あることを利用して, と 19 の整数部分を考える 1²< < ² より の整数部分は 1, 4²< 19< 5² より 19 の整数部分は 4 である よって, 条件を満たす整数 は,,3,4 ⑶ 正の数 a,b,cについて,a<b<cのとき,a²<b²<c² が成り立つ, 19 はともに正の数なので, は正の数であり,( )²<²<( 19)² が成り立つ これより,<²<19 となる 1²=1,²=4,3²=9,4²=16,5²=5 より, 条件を満た す整数 は,,3,4 ⑷ yがに反比例しているとき,y= a (aは比例定数 ) が成り立つ yがに反比例しているので, その式をy= a とする y=a に=-3,y=-5を代入すると, -5= a -3 より,a=15 となる よって, 求める式は,y= 15 高校入試模擬テスト第 6 回 1 / 9
3 ⑴ 面積比は相似比の 乗に等しいから, 1 4 =(1 )² より, 点 Oを中心とし, 半径が円 Oの 1 倍の 円を作図すればよい 円 O の半径をかき, この半径の垂直二等分線を作図すれば, 資料 1 点 O の半径の 1 倍の長さが作図できる 作図の手順 資料 1 参照 1. 円 Oの半径をかき, 円 Oとの交点をとする O. 半径 O の垂直二等分線を作図し,O との交点を とする 3. 点 O を中心とする, 半径 O の円をかく 3 ⑵ 1 n 角形の内角の和は,{180 (n-)} 度で求められる また, 平行線の同位角や錯角は等しいことを利用する 資料 l 56 G 資料 のように補助線を引き, 記号をおく n E 五角形の内角の和は 180 (5-)=540( ) だから, 正五角形の1つの内角は 540 5=108( ) である m H これより, E= E=108 となる 3 4 ⑴1 平行線の同位角は等しいから, E= G=56, E=108-56=5( ) 平行線の錯角は等しいから, EH= E=5 よって, =180-(108+5)=0( ) 多角形の外角の和は 360 度だから, 正 n 角形の1つの外角の大きさは, 360 度である n 正五角形の1つの外角の大きさは 360 =7( ) だから,1つの内角 5 の大きさは 180-7=108( ) である これより, E= E=108 となるから, 上と同様に の大きさを 0 と求めることができる 7.0 秒以上 7.5 秒未満の階級の度数は3 人, 相対度数は 0.06 である は度数の合計だから,= 3 0.06 =50 また,y=50-(3+15+10+4)=18 資料 3 ( 相対度数 )= ( その階級の度数 ) ( 度数の合計 ) であるから,( 度数の合計 )= ( その階級の度数 ) で求められる ( 相対度数 ) l m 56 E 高校入試模擬テスト第 6 回 / 9
4 ⑴ 1 相対度数を 100 倍すれば, 百分率で表せる 記録が 8.0 秒未満の生徒の相対度数の合計は,0.06+0.30=0.36 だから,0.36 100=36(%) 4 ⑴ まず, 問われている部分の度数を求めてから相対度数を求め, それを 100 倍して, 百分率に なおしてもよい 3 ⑵ 記録が 8.0 秒未満の生徒の度数の合計は3+15=18( 人 ) だから, その相対度数は 18 50 =0.36 である よって, 百分率で表すと,0.36 100=36(%) ちゅうおうちさいひんち度数, 範囲 ( レンジ ), 中央値 ( メジアン ), 最頻値 ( モード ) などの用語は, 理解しておこう ( 範囲 )=( 資料の最大値 )-( 資料の最小値 ) 中央値 資料を大きさの順に並べたとき, 中央にくる値 資料が偶数個の場合は, 中央にくる つの資料の平均 最頻値 資料の中で最も多く現れる値 ヒストグラムや度数分布表の場合は, 度数が最も大きい階級の階級値 7.5 秒以上 8.5 秒未満の度数は,3 年 1 組が5+9=14( 人 ), 3 年 組が 10+9=19( 人 ) なので, アは誤り 資料の最大値は,3 年 1 組, 組ともに同じ階級に入っているが, 最小値は異なる階級に入っている したがって, ( 資料の最大値 )-( 資料の最小値 ) が同じ値になるとは限らないので, イは誤り 度数の合計は,3 年 1 組が5+9+10+1=5( 人 ),3 年 組が 50-5=5( 人 ) である したがって,5 =1 余り1より, 中央値はともに, 大きさの順に並べたとき 1+1=13( 番目 ) にくる人の記録である よって, 中央値は,3 年 1 組が 8.0 秒以上 8.5 秒未満の階級に入っており,3 年 組が 7.5 秒以上 8.0 秒未満の階級に入っているので, ウは正しい 最頻値は,3 年 1 組が (8.5+9.0) =8.75( 秒 ), 3 年 組が (7.5+8.0) =7.75( 秒 ) となるので, エは誤り 資料 4 3 年 1 組のヒストグラム ( 人 ) 中央値最頻値 10 5 資料 5 0 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 範囲 3 年 組のヒストグラム ( 人 ) 中央値 10 最頻値 5 0 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 範囲 高校入試模擬テスト第 6 回 3 / 9
5 ⑴ 1 関数 y=a² のグラフが点 (₁,y₁) を通るとき,y=a² に=₁,y=y₁ を代入して解けば, a の値を求めることができる また, 直線の式は y=m+n とおけるので, 点を通る直線の式は,y=m+n に通る点の 座標,y 座標の値をそれぞれ代入し, 連立方程式を解くことで求めることができる 関数 y=a² のグラフは点 を通るので,y=a² に =-,y=3 を代入すると, 3=a (-)² より,4a=3 a= 3 4 また, 直線 の式を y=m+n とする 点 は関数 y= 3 4 ² のグラフ上の点で, 座標が4だから,y 座標を求めるため,y= 3 ² に=4を 4 代入すると,y= 3 4²=1 より,(4,1) 4 直線 は点 を通るので,y=m+nに=-,y=3を代入すると,3=-m+n 1 同様に, 点 を通るので,1=4m+n -1 で n を消去すると,1-3=4m-(-m) 9=6m m= 3 1 に m= 3 を代入すると,3=-3+n より,n=6 となる 資料 6 よって, 直線 の式は,y= 3 +6 y 5 ⑴ 点 (₁,y₁),(₂,y₂) を通る直線の傾きは y₂-y₁ ₂-₁ となることを利用して, 直線の式を求めることができる y= 3 4 ² 7 直線 の傾きは 1-3 4-(-) =3 である これより, その式を y= 3 +nとおける この直線は点 を通るので,1= 3 4+nより, 15 1 5 ⑵ n=6 となる よって,y= 3 +6 資料 7 のように点 をとると, 底面の半径が, 高さが の円すい から, 底面の半径が, 高さが の円すいを切り取った立体ができ る 3 O y= 3 - +6 資料 7 4 6 円すいの体積は, 1 3 ( 底面積 ) ( 高さ ) で求められる 点 は関数 y= 3 4 ² のグラフ上の点で, 座標が 6 だから,y 座標を求め るため,y= 3 4 ² に=6を代入すると,y= 3 6²=7 より,(6,7) 4 また点 は直線 上にあり, 座標が6だから,y= 3 +6に=6を 4 代入すると,y= 3 6+6=15 となるので,(6,15) となる =6-(-)=8,=7-3=4,=15-3=1 より, 求 める体積は, 1 3 8²π 4-1 3 8²π 1=56π 8 1 高校入試模擬テスト第 6 回 4 / 9
5 ⑶ 1 高さが等しい三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいから, E: E=: である このことと,( 四角形 E)= E+ E となることを 利用して, E: E を求めると,E:E がわかり, 点 E の座標を求められる また, 点 (₁,y₁),(₂,y₂) を結ぶ線分の中点の座標は, ( ₁+₂,y₁+y₂ ) と表せる 3 点,, は一直線上にあるので, と の長さの比は, ( 点, の 座標の差 ) と ( 点, の 座標の差 ) の比に等しいから, :={4-(-)}:(6-4)=3:1 とわかる これより, E: E=3:1 となる ( 四角形 E)= E+ E だから, E:( 四角形 E)=3:5 のとき, E: E: E=3:1:(5-1)=3:1:4 となる 資料 8 y 4 E 1 3 - O 4 6 このとき, E= E+ E だから, E: E=(3+1):4=1:1 とな る ( 資料 8 参照 ) したがって,E:E= E: E=1:1 より, 点 E は線分 の中 点とわかる よって, その 座標は -+6 =,y 座標は 3+7 =15 となるので, 求める座標は,(,15) 資料 9 資料 9のように点 Gをとり, 点 E,Gの 座標をpとすると, E の面積を p で表すことができる また, の面積か ら E の面積を求めることもできるので, E の面積につ いて p の方程式を立てて,p を求めることができる y =7-15=1 で, の底辺を としたときの高さは, 点, の 座標の差に等しく 6-(-)=8 である したがって, = 1 1 8=48 となり, 題意より, E= 3 3+5 =48 3 =18 となる 8 (-,3),(6,7) より, 直線 の式を求めるとy=3+9 となり, 点 E は直線 上の点だから,E(p,3p+9) となる E G - O p 4 6 同様に, 点 Gは直線 上の点だから,G(p, 3 p+6) となる E= GE+ GEで, GEと GEの底辺をEG=(3p+9)-( 3 p+6)= 3 p+3としたときの高さは, それぞれp-(-)=p+,4-pである 高校入試模擬テスト第 6 回 5 / 9
したがって, E= 1 (3 p+3) (p+)+1 (3 p+3) (4-p)= 1 (3 p+3) {(p+)+(4-p)}=1 (3 p+3) 6=9 p+9となる よって, 9 p+9=18 より,p=となるから, 求める座標は,(,15) 3 資料 10 において, PST= PQR PS PQ PT PR となることを利用して解ける E= E より, E = E となる 資料 10 S P 題意より, E = 3 3+5 =3 である また,との長さの比 8 Q R は,( 点,の 座標の差 ) と ( 点,の 座標の差 ) の比に等しいから, =4-(-) 6-(-) =3 4 となる したがって,3 8 =3 4 E より,E =1 となる これより, 点 Eは線分 の中点とわかるので, 1 と同様に点 Eの座標を求めることが できる T 6 ⑴ は正三角形だから, Eにおいて, E=60 である これより, E の 3 辺の長さの比は,E::E=1:: 3 とわかる E= 3 = 3 = 3( cm ) 6 ⑵ Eは, E=45 の直角三角形 ( 直角二等辺三角形 ) だから,3 辺の長さの比は, E:E:=1:1: である = E= 3= 6( cm ) 4 ⑶1 1 と に注目する これらの三角形が合同であることは, 比較的簡単に証明で きる これより, = である と において,, は正三角形だから,=,= また, = =60 だから, 資料 11 = =60 - cm 以上より, 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので, となる 対応する角の大きさは等しいので, E = =60 高校入試模擬テスト第 6 回 6 / 9
= =60 より,4 点,,,は同一円周上の 点とわかるので, について, 円周角の定理を使って解く について, = =60 資料 1 4 ⑶ 1 = =60 より, 錯角が等しいので,//と 資料 13 わかる したがって, E の底辺を E としたときの高さは, 正三角形 の高さに等しい 正三角形の高さは 1 辺の長さの 3 倍である ( 資料 13 参照 ) 1 3 E は直角二等辺三角形なので,E=E= 3 cm E= 1 =1( cm ) だから,=E+E=1+ 3( cm ) 正三角形 の高さは, 3 = 3 3+3 (1+ 3)= ( cm ) となるから, 求める面積は, 1 3+3 3 =3+3 3 4 ( cm ) 資料 14 cm E 資料 15 のように点 G をとる E, はともに直線 E について対称な図形だか ら, 四角形 Eも直線 Eについて対称であり,E,G= 1 となる これをもとに線分 E,Gの長さを求め, E= 1 E Gを計算する 7 ⑴ 1 と同様に,E= ⑵ から,= 6 cm 3 cm GEは直角二等辺三角形だから,EG=G= 1 = 6 ( cm ) G=60 より,G= 3G= 3 ( cm ) となるから, E=EG+G= 6 +3 = 6+3 ( cm ) となる 資料 15 よって, 求める面積は, 1 6+3 6 =3+3 3 4 ( cm ) P=Pのとき,P= 1 =1 8=4( cm ) となるので,P==となる したがって, P, P, は合同な直角二等辺三角形となる cm G E P=P= となるから, P は正三角形とわかるので, P=60 高校入試模擬テスト第 6 回 7 / 9
7 ⑵ 1 立体 P Q は, Q を底面としたときの高さが QP になるか 資料 16 ら, その体積は, 1 3 Q QP で求められる 立体 を, 3 点,M, を通る平面で切ったときの断面図で考えるとわかりやす い QP Mを利用して, 線分 QP, 線分 QMの長さをそれぞれ求める Q P, M は直角二等辺三角形だから,= =4 ( cm ), M M=M= 1 = ( cm ) となる Mは, M=90 の直角三 角形だから, 三平方の定理より,M= ²+M²= 8²+( )²= 6 ( cm ) となる 資料 17 で, 組の角がそれぞれ等しいから, QP M となるため, 資料 17 P:M=QP:M より,6:6 =QP: QP=( cm ) Q:=P:Mより,Q:8=6:6 Q= 8 =4 ( cm ) QM=M-Q=6-4 = ( cm ) したがって, Q= 1 QM=1 4 =8( cm ) となる よって, 求める体積は, 1 3 Q QP=1 3 8 =16 3 ( cm3 ) 資料 18 のように点 Rをとり, 三角すい の体積から,Rの長 さを求め, QP R を利用して QP の長さを求める 6 cm M Q 資料 18 cm 6 cm P cm = 1 4 4=8( cm ) だから, 三角すい の体積は, 1 3 8 8=64 3 ( cm3 ) となる 一方, = 1 4 6 =4( cm ) より, 三角すい の体積について, 1 3 4 R=64 3 が成り立つ これより,R= 8 3 cmとなる QP Rより,QP=R P =8 3 6 =( cm ) となるから, 8 あとは, 1 と同様に求めることができる 6 cm Q R M cm 6cm P cm 3 三角すい と三角すいP Qを比較して考える それぞれの底面を, Q とすると, その面積比は M:QM( 底辺を としたときの高さの比 ) に等しい また, 高さの比は資料 18 より,R:QP=:Pとなる これより, 求める体積は,( 三角すい の体積 ) QM M P となる 高校入試模擬テスト第 6 回 8 / 9
1, と同様にして,M と QM の長さ, 三角す い の体積を求めると, 三角すいP Qの体積は, ( 三角すい の体積 ) QM M P =64 3 6 6 8 =16 3 ( cm3 ) 高校入試模擬テスト第 6 回 9 / 9